5차원 회전군
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2. 정의
5차원 회전군은 단순 리 대수의 분류에서 B₂ 또는 C₂ 형으로 표현되는 딘킨 도표 (•⇒•)에 대응하는 리 군 이다.\operatorname{SO}(5;\mathbb R) 및 그 스핀 군 \operatorname{Spin}(5) 의 2겹 몫군 이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수 를 갖는 5차원 로런츠 군 \operatorname{SO}(1,4) 및 \operatorname{SO}(2,3) 과 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.심플렉틱 군 은 \operatorname{USp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(2;\mathbb H) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C) \cap \operatorname U(r) 이며, 분할 형태 \operatorname{Sp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C)\cap\operatorname{GL}(4;\mathbb R) 가 존재한다.
킬링 형식 의 부호수기호 직교군 기호심플렉틱 군 기호군의 중심 기본군 사타케 도표 보건 도표 비고 (0,10) B₂, C₂ \operatorname{USp}(4)=\operatorname U(2;\mathbb H) | \operatorname{Cyc}(2) | 0\bullet\Rightarrow\bullet \circ\Rightarrow\circ 단일 연결 콤팩트 형태 \operatorname{PUSp}(4)=\operatorname{PU}(2;\mathbb H) | 0 | \operatorname{Cyc}(2) | 무중심 콤팩트 형태(6,4) B₂Ⅰ, C₂Ⅰ \operatorname{Sp}(4;\mathbb R) | \operatorname{Cyc}(2) | \operatorname{Cyc}(\infty) \circ\Rightarrow\circ \bullet\Rightarrow\circ 분할 형태 \operatorname{PSp}(4;\mathbb R) | 0 | \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(\infty) | 무중심 분할 형태(4,6) B₂Ⅱ, C₂Ⅱ \operatorname{USp}(2,2)=\operatorname U(1,1;\mathbb H) | \operatorname{Cyc}(2) | 0\circ\Rightarrow\bullet \circ\Rightarrow\bullet SO⁺(1,4) \operatorname{PUSp}(2,2)=\operatorname{PU}(1,1;\mathbb H) 0 \operatorname{Cyc}(2)
2. 1. 직교군 관점
단순 리 대수의 분류에서 \mathsf B_2=\mathsf C_2 형을 생각하면, 이는 딘킨 도표 :\bullet\Rightarrow\bullet 에 대응한다. 이 리 군 은 B₂(직교군 ) 또는 C₂(심플렉틱 군 )로 해석될 수 있다.\operatorname{SO}(5;\mathbb R) 및 그 스핀 군 \operatorname{Spin}(5) 의 2겹 몫군 이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수 를 가진 \operatorname{SO}(1,4) (5차원 로런츠 군) 및 \operatorname{SO}(2,3) 과 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.킬링 형식 의 부호수기호 직교군 기호군의 중심 기본군 사타케 도표 보건 도표 비고 (0,10) B₂, C₂ Spin(5) \operatorname{Cyc}(2) 0 \bullet\Rightarrow\bullet \circ\Rightarrow\circ 단일 연결 콤팩트 형태 SO(5) 0 \operatorname{Cyc}(2) 무중심 콤팩트 형태 (6,4) B₂Ⅰ, C₂Ⅰ Spin(2,3) \operatorname{Cyc}(2) \operatorname{Cyc}(\infty) \circ\Rightarrow\circ \bullet\Rightarrow\circ 분할 형태 SO⁺(2,3) 0 \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(\infty) 무중심 분할 형태 (4,6) B₂Ⅱ, C₂Ⅱ Spin(1,4) \operatorname{Cyc}(2) 0 \circ\Rightarrow\bullet \circ\Rightarrow\bullet SO⁺(1,4) 0 \operatorname{Cyc}(2)
2. 2. 심플렉틱 군 관점
단순 리 대수의 분류에서 \mathsf B_2=\mathsf C_2 형은 딘킨 도표 :\bullet\Rightarrow\bullet 에 대응되며, 리 군 은 B₂(직교군 ) 또는 C₂(심플렉틱 군 )로 해석될 수 있다. 심플렉틱 군의 경우 다음이 존재한다.\operatorname{USp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(2;\mathbb H) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C) \cap \operatorname U(r) \operatorname{Sp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C)\cap\operatorname{GL}(4;\mathbb R) 킬링 형식 의 부호수기호 직교군 기호심플렉틱 군 기호군의 중심 기본군 사타케 도표 보건 도표 비고 (0,10) B₂, C₂ Spin(5) \operatorname{USp}(4)=\operatorname U(2;\mathbb H) \operatorname{Cyc}(2) 0 \bullet\Rightarrow\bullet \circ\Rightarrow\circ 단일 연결 콤팩트 형태 SO(5) \operatorname{PUSp}(4)=\operatorname{PU}(2;\mathbb H) 0 \operatorname{Cyc}(2) 무중심 콤팩트 형태 (6,4) B₂Ⅰ, C₂Ⅰ Spin(2,3) \operatorname{Sp}(4;\mathbb R) \operatorname{Cyc}(2) \operatorname{Cyc}(\infty) \circ\Rightarrow\circ \bullet\Rightarrow\circ 분할 형태 SO⁺(2,3) \operatorname{PSp}(4;\mathbb R) 0 \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(\infty) 무중심 분할 형태 (4,6) B₂Ⅱ, C₂Ⅱ Spin(1,4) \operatorname{USp}(2,2)=\operatorname U(1,1;\mathbb H) \operatorname{Cyc}(2) 0 \circ\Rightarrow\bullet \circ\Rightarrow\bullet SO⁺(1,4) \operatorname{PUSp}(2,2)=\operatorname{PU}(1,1;\mathbb H) 0 \operatorname{Cyc}(2)
2. 3. 관련 군들
단순 리 대수의 분류에서 \mathsf B_2=\mathsf C_2 형은 딘킨 도표 \bullet\Rightarrow\bullet 에 대응하며, 직교군 B₂ 또는 심플렉틱 군 C₂로 해석될 수 있다.\operatorname{SO}(5;\mathbb R) 및 그 스핀 군 \operatorname{Spin}(5) 의 2겹 몫군 이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수 를 갖는 \operatorname{SO}(1,4) (5차원 로런츠 군)와 \operatorname{SO}(2,3) , 그리고 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.심플렉틱 군 은 \operatorname{USp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(2;\mathbb H) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C) \cap \operatorname U(r) 이며, 분할 형태 \operatorname{Sp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C)\cap\operatorname{GL}(4;\mathbb R) 가 존재한다.킬링 형식 의 부호수기호 직교군 기호심플렉틱 군 기호군의 중심 기본군 사타케 도표 보건 도표 비고 (0,10) B₂, C₂ Spin(5) \operatorname{USp}(4)=\operatorname U(2;\mathbb H) \operatorname{Cyc}(2) 0 \bullet\Rightarrow\bullet \circ\Rightarrow\circ 단일 연결 콤팩트 형태 SO(5) \operatorname{PUSp}(4)=\operatorname{PU}(2;\mathbb H) 0 \operatorname{Cyc}(2) 무중심 콤팩트 형태 (6,4) B₂Ⅰ, C₂Ⅰ Spin(2,3) \operatorname{Sp}(4;\mathbb R) \operatorname{Cyc}(2) \operatorname{Cyc}(\infty) \circ\Rightarrow\circ \bullet\Rightarrow\circ 분할 형태 SO⁺(2,3) \operatorname{PSp}(4;\mathbb R) 0 \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(\infty) 무중심 분할 형태 (4,6) B₂Ⅱ, C₂Ⅱ Spin(1,4) \operatorname{USp}(2,2)=\operatorname U(1,1;\mathbb H) \operatorname{Cyc}(2) 0 \circ\Rightarrow\bullet \circ\Rightarrow\bullet SO⁺(1,4) \operatorname{PUSp}(2,2)=\operatorname{PU}(1,1;\mathbb H) 0 \operatorname{Cyc}(2)
3. 성질
5차원 회전군의 낮은 차원 표현과 그 영 타블로 는 아래 표와 같다.
표현 SO(5) 해석 SO(5) 영 타블로 USp(4) 해석 USp(4) 영 타블로 4 스피너 ■ 벡터 □ 5 벡터 □ 무대각합 반대칭 2-텐서 (4×3/2! − 1) □ 10 반대칭 2-텐서 (5×4/2!) □ 대칭 2-텐서 (4×5/2!) □□ 14 무대각합 대칭 2-텐서 (14=5×6/2! − 1) □□ 4-텐서 □□ 16 라리타-슈윙거 장 (4×(5−1))□■ 3-텐서 □□
3. 1. 기하학적 해석
SO(5)는 ℝ⁵의 직접 유클리드 군 ''E''⁺(5)의 부분군으로, 원점을 고정하고 방향을 보존하는 등거리 변환이다.3. 2. 로런츠 형태 (Spin(1,4))
Spin(1,4)는 (1,4)차원 민코프스키 공간 의 로런츠 군이자 3차원 유클리드 공간 의 등각군이다. 이 경우, 최소 스피너는 복소수 4차원의 디랙 스피너이다.\operatorname{U}(1,1;\mathbb H) = \{M \in \operatorname{GL}(2;\mathbb H)\colon M^\dagger\Omega M = \Omega\} \Omega = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} V = \left\{\begin{pmatrix} M\cdot v = Mv\Omega M\Omega^{-1} \qquad(v\in V) 3. 3. 표현론
낮은 차원 표현들과 그 영 타블로 는 다음과 같다.
표현 SO(5) 해석 SO(5) 영 타블로 USp(4) 해석 USp(4) 영 타블로 4 스피너 ■ 벡터 □ 5 벡터 □ 무대각합 반대칭 2-텐서 (4×3/2! − 1) □ 10 반대칭 2-텐서 (5×4/2!) □ 대칭 2-텐서 (4×5/2!) □□ 14 무대각합 대칭 2-텐서 (14=5×6/2! − 1) □□ 4-텐서 □□ 16 라리타-슈윙거 장 (4×(5−1))□■ 3-텐서 □□
4. 리 군
단순 리 군이다.
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