H-보충 경계

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1. 개요

h-보충 경계는 두 n차원 다양체 M과 N 사이의 보충 경계 (W, 𝜄M, 𝜄N)가 주어졌을 때, 𝜄M과 𝜄N이 모두 호모토피 동치일 경우를 의미한다. h-보충 경계 정리는 5차원 이상에서 단순 연결된 다양체의 h-보충 경계가 동형임을 보장하며, 이는 스티븐 스메일에 의해 처음 제시되었다. 이 정리는 4차원 이하의 다양체에서는 성립하지 않으며, 특히 4차원 매끄러운 다양체에서는 반례가 존재한다. s-보충 경계 정리는 h-보충 경계가 단순 호모토피 동치일 때 원통임을 나타낸다.

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2. 정의

$\mathcal C$ 가 (위상) 다양체, 조각적 선형 다양체(임시링크), 매끄러운 다양체의 범주 가운데 하나라고 하자. 그리고 두 $n$ 차원 $\mathcal C$ -다양체 $M$ , $N$ 사이의 보충 경계 $(W,\iota_M,\iota_N)$ 이 주어졌다고 하자. (그러므로 $W$ 는 $(n+1)$ 차원 $\mathcal C$ -다양체가 된다.)

: $\iota_M\colon M\hookrightarrow W$

: $\iota_N\colon N\hookrightarrow W$

만약 $\iota_M$ 과 $\iota_N$ 각각이 모두 호모토피 동치일 경우, $(W,\iota_M,\iota_N)$ 을 '''h-보충 경계'''라고 한다.

h-보충 경계는 h-보충 경계 정리 때문에 중요한 개념이다. 스티븐 스메일이 이 정리를 증명하기 전까지, 수학자들은 3차원 또는 4차원 다양체를 이해하는 데 어려움을 겪었고, 더 높은 차원의 다양체는 훨씬 더 어려울 것이라고 추정했다. 그러나 h-보충 경계 정리는 (단순 연결된) 5차원 이상의 다양체가 3차원 또는 4차원의 다양체보다 다루기 쉽다는 것을 보여주었다.

2. 1. h-보충 경계

\mathcal C

가 (위상) 다양체, 조각적 선형 다양체(임시링크), 매끄러운 다양체의 범주 가운데 하나라고 하자. 그리고 두

n

차원

\mathcal C

-다양체

M

,

N

사이의 보충 경계

(W,\iota_M,\iota_N)

이 주어졌다고 하자. (그러므로

W

는

(n+1)

차원

\mathcal C

-다양체가 된다.)

:

\iota_M\colon M\hookrightarrow W

:

\iota_N\colon N\hookrightarrow W

만약

\iota_M

과

\iota_N

각각이 모두 호모토피 동치일 경우,

(W,\iota_M,\iota_N)

을 '''h-보충 경계'''라고 한다.

2. 2. h-보충 경계 정리

\mathcal C

가 위상 다양체, 조각적 선형 다양체, 매끄러운 다양체 중 하나라고 하자. 두

n

차원

\mathcal C

-다양체

M

,

N

사이의 보충 경계

(W,\iota_M,\iota_N)

이 주어졌다고 하자. (

W

는

(n+1)

차원

\mathcal C

-다양체이다.)

:

\iota_M\colon M\hookrightarrow W

:

\iota_N\colon N\hookrightarrow W

만약

\iota_M

과

\iota_N

이 모두 호모토피 동치일 경우,

(W,\iota_M,\iota_N)

을 '''h-보충 경계'''라고 한다.

h-보충 경계는 다음과 같은 '''h-보충 경계 정리'''(h-補充境界定理, h-cobordism theorem^영어)가 성립하기 때문에 중요하다.

즉, 5차원 이상 단일 연결 다양체의 경우, (주어진 범주에서의) h-보충 경계의 존재는 (주어진 범주에서의) 동형과 같다. 스메일이 이 정리를 증명하기 전에는 3차원 또는 4차원 다양체를 이해하는 것이 어렵다고 생각되었고, 고차원의 경우는 더 어려울 것이라고 예상했다. 그러나 h-보충 정리는 (단순 연결된) 5차원 이상의 다양체가 3차원 또는 4차원의 다양체보다 훨씬 쉽다는 것을 보여주었다. 이 정리의 증명은 하슬러 휘트니의 "휘트니 트릭"에 의존하는데, 이는 4차원 이상의 다양체에서 상보적인 차원의 호몰로지적으로 얽히지 않은 구를 기하학적으로 풀 수 있게 해준다. 3차원 또는 4차원 다양체가 어려운 이유는 트릭이 낮은 차원에서는 작동하지 않기 때문이며, 낮은 차원에서는 얽힐 공간이 없기 때문이다.

n

을 5 이상으로 하고,

W

를 '''C''' = '''Diff''', '''PL''', 또는 '''Top'''에서

M

과

N

사이의 콤팩트한

(n + 1)

차원 h-코보디즘이라고 하자. 이때,

W

,

M

,

N

은 단순 연결이다. 그러면

W

는 '''C'''-동형사상에 의해

M × [0, 1]

과 같다. 이 동형사상은

M × {0}

에서 항등사상으로 선택할 수 있다.

이는

M

과

N

사이의 호모토피 동치(또는

M × [0, 1]

,

W

,

N × [0, 1]

사이의 호모토피 동치)가 '''C'''-동형사상으로 호모토픽하다는 것을 의미한다.

3. h-보충 경계 정리 증명

모스 함수 $f:W\to[a,b]$ 는 ''W''의 핸들 분해를 유도한다. 즉, $f^{-1}([c,c'])$ 에 지수 ''k''인 단일 임계점이 있으면, 상승 코보디즘 $W_{c'}$ 는 ''k''-핸들을 부착하여 $W_c$ 에서 얻어진다. 증명의 목표는 비영 경사 벡터장의 적분을 통해 원하는 사상을 자명한 코보디즘으로 제공할 수 있도록 핸들이 전혀 없는 핸들 분해를 찾는 것이다.

h-보충 경계 정리 증명은 핸들 재배열, 핸들 소거, 핸들 트레이딩, 핸들 슬라이딩의 네 단계로 이루어진다. 각 단계에 대한 자세한 설명은 하위 섹션을 참고할 수 있다.

3. 1. 증명 개요

모스 함수

f

가 주어진

(n+1)

차원 보충 경계

W

에 대해, 임계점의 순서를 조절하여 모스 지표가 오름차순이 되도록 함수

f'

를 만들 수 있다. 즉,

M

에 차원이 낮은 순서대로 손잡이를 붙여

N

을 구성할 수 있다는 것이다.

M

이

W

의 변형 수축이라는 성질을 이용하여 대수위상적 조작을 통해, 각 손잡이가 다른 손잡이의 경계가 되도록 짝지을 수 있다. (

\partial{h_i^{k+1}} = h_j^k

)

\partial{h_i^{k+1}} = h_j^k

관계를 만족하는 손잡이

h_i^{k+1}

와

h_j^k

는 Whitney embedding theorem|휘트니 매장|휘트니 임베딩 정리^영어를 이용하여 기하학적 입사점(incidence point)이 정확히 하나가 되도록 변형 가능하다.

이후 다음과 같은 과정을 거친다.

$2 \le k \le n-2$ 인 경우: 서로 매끄럽게 상쇄시킨다.
$k = 0, n$ 인 경우: 양쪽을 동시에 매끄럽게 소멸시킨다.
$k = 1$ 인 경우: $W$ 가 단일 연결이라는 점과 휘트니 매장을 이용하여 1-손잡이를 3-손잡이로 변경한다. 이렇게 하면 2-손잡이와 3-손잡이가 짝을 이루어 상쇄 가능하다.

결과적으로

W

의 모든 손잡이가 사라져

M\times[0,1]

과 동형이 된다.

3. 2. 핸들 재배열

먼저, 모든 핸들을 순서대로 재배열하여 낮은 차수의 핸들이 먼저 부착되도록 한다. ''i''-핸들을 ''j''-핸들에서 미끄러뜨릴 수 있는 경우는 ''i'' 부착 구와 ''j'' 벨트 구가 교차하지 않는 한 방사형 아이소토피에 의해 수행될 수 있다. 따라서

(i-1)+(n-j)\leq\dim\partial W-1=n-1

을 만족해야 하며, 이는

i\leq j

와 동일하다.

그 다음,

C_k

를 ''k''-핸들에서 자유 아벨 군으로 하고,

\partial_k:C_k\to C_{k-1}

를 ''k''-핸들

h_{\alpha}^k

를

\sum_\beta \langle h_\alpha^k\mid h_\beta^{k-1}\rangle h_\beta^{k-1}

로 보내는 것으로 정의하여 핸들 체인 복합체

(C_*,\partial_*)

를 정의한다. 여기서

\langle h_\alpha^k\mid h_\beta^{k-1}\rangle

는 ''k''-부착 구와 (''k'' − 1)-벨트 구의 교차 횟수이다.

3. 3. 핸들 소거

모스 함수를 이용해 대수위상적인 조작을 가하면, 한 손잡이가 다른 손잡이의 경계가 되도록 모든 손잡이들끼리 짝지을 수 있다. (

\partial{h_i^{k+1}} = h_j^k

)

\partial{h_i^{k+1}} = h_j^k

인 손잡이

h_i^{k+1}

와

h_j^k

는 Whitney embedding theorem|휘트니 매장|휘트니 임베딩 정리^영어을 이용해서 기하학적인 입사점(incidence point)이 정확히 한 개가 되도록 변형시킬 수 있다.

\partial{h_i^{k+1}} = h_j^k

이며 서로의 입사점이 정확히 하나인

h_i^{k+1}

와

h_j^k

에 다음과 같은 작업을 가한다.

$2 \le k \le n-2$ 일 경우, 서로를 매끄럽게 상쇄시킨다.
$k = 0, n$ 일 경우, 양쪽을 한 번에 매끄럽게 소멸시킨다.
$k = 1$ 일 경우, $W$ 가 단일 연결이라는 사실과 휘트니 매장을 사용해 1-손잡이를 3-손잡이로 바꿀 수 있다. 그렇게 하면 2-손잡이와 3-손잡이의 짝이 되므로, 위에서 한 것처럼 상쇄시킨다.

이렇게 하면

W

에 있었던 모든 손잡이가 사라지므로

M\times[0,1]

과 동형이 된다.

핸들을 "소거"한다는 것은 ''k''-핸들

h_\alpha^k

을 부착하면 (''k'' + 1)-핸들

h_\beta^{k+1}

을 부착하여 채울 수 있는 구멍이 생길 수 있다는 의미이다. 이는

\partial_{k+1}h_\beta^{k+1}=\pm h_\alpha^k

를 의미하므로

\partial_{k+1}

행렬의

(\alpha,\beta)

항목은

\pm 1

이 된다. 이 조건이 참일 때 기하학적으로 핸들을 소거할 수 있는데, 해당 부착 구와 벨트 구를 제거한 후 매니폴드가 단순 연결된 상태로 유지되는 경우를 분석하고 Whitney 트릭을 사용하여 임베딩된 디스크를 찾는다. 이 분석은 ''n''이 최소 5여야 한다는 요구 사항으로 이어진다. 또한, 증명 과정에서 코보디즘에 0-, 1- ,''n''- 또는 (''n'' + 1)-핸들이 없어야 한다.^[1]

3. 4. 핸들 트레이딩

핸들 트레이딩의 아이디어는 주어진 ''k''-핸들이 (''k'' + 1)-핸들과 소거되어 (''k'' + 2)-핸들이 남도록 (''k'' + 1)- 및 (''k'' + 2)-핸들의 소거 쌍을 만드는 것이다. 이를 위해

\pi_k(W,M)

의 요소인 ''k''-핸들의 코어를 고려한다. ''W''가 ''h''-코보디즘이므로 이 그룹은 자명하다. 따라서 원하는 대로 소거 쌍으로 확대할 수 있는 디스크

D^{k+1}

이 있으며, 이 디스크를 ''W''의 경계에 임베딩할 수 있는 한 가능하다. 이 임베딩은

\dim\partial W-1=n-1\geq 2(k+1)

이면 존재한다. ''n''이 최소 5라고 가정하면 이는 ''k''가 0 또는 1임을 의미한다. 마지막으로, 주어진 모스 함수 −''f''의 음수를 고려하여 핸들 분해를 뒤집어 원하는 대로 ''n''- 및 (''n'' + 1)-핸들도 제거할 수 있다.^[3]

3. 5. 핸들 슬라이딩

모스 함수를 조작하여 핸들을 재배열하고, 낮은 차수의 핸들이 먼저 부착되도록 할 수 있다. ''i''-핸들을 ''j''-핸들에서 미끄러뜨릴 수 있는 경우는 ''i'' 부착 구와 ''j'' 벨트 구가 교차하지 않을 때이다. 이는 방사형 아이소토피를 통해 수행될 수 있으며,

(i-1)+(n-j)\leq\dim\partial W-1=n-1

(

i\leq j

와 동치)을 만족해야 한다.^[1]

핸들 체인 복합체

(C_*,\partial_*)

에서,

C_k

는 ''k''-핸들에 대한 자유 아벨 군이고,

\partial_k:C_k\to C_{k-1}

는 ''k''-핸들

h_{\alpha}^k

를

\sum_\beta \langle h_\alpha^k\mid h_\beta^{k-1}\rangle h_\beta^{k-1}

로 보낸다. 여기서

\langle h_\alpha^k\mid h_\beta^{k-1}\rangle

는 ''k''-부착 구와 (''k'' − 1)-벨트 구의 교차 횟수이다.^[1]

''k''-핸들

h_\alpha^k

을 다른 ''k''-핸들

h_{\beta}^k

위로 미끄러뜨리면,

C_k

에 대한 기저에서

h_\alpha^k

가

h_\alpha^k\pm h_\beta^k

로 대체된다. 이는 핸들 슬라이딩이 기하학적 연산에 해당함을 보여준다.^[1]

\partial_k

는 정수 행렬이며, 기본 행 연산(핸들 슬라이딩)을 통해 대각화될 수 있는 가역 사상으로 제한된다.

\partial_k

는 가역적이므로 대각선에

\pm 1

만 있어야 한다. 따라서 모든 핸들은 단일 소거 핸들과 쌍을 이루어 핸들이 없는 분해를 생성할 수 있다.^[1]

4. 저차원 다양체

4차원 이하의 다양체에서는 휘트니 매장을 사용할 수 없다. 즉, 4차원 이하의 다양체 안에 매장된 임의의 $S^1$ 를 경계로 하며 자기 자신과 교차하지 않는 매장 $D^2 \hookrightarrow W$ 가 존재하리라는 보장이 없다. 저차원 다양체의 h-보충 경계 정리에 대해서는 다음이 알려져 있다.

{4차원 초구가 비표준 매끄러운 구조를 갖는지 여부와 동치 (일반화된 푸앵카레 추측)}

|-

| 2 || \multicolumn{3}{c|}{그리고리 페렐만이 증명한 3차원 푸앵카레 추측에 따라 참}

|-

| 1 || \multicolumn{3}{c|}{단일 연결 다양체는 항상 축약 가능하므로 참}

|-

| 0 || \multicolumn{3}{c|}{h-보충 경계는 닫힌 선분이 유일하므로 자명하게 참}

|}

3차원 이하에서는 위상 · 조각적 선형 · 매끄러운 다양체 범주가 서로 동치이므로 이러한 구분이 필요하지 않다.

스메일이 이 정리를 증명하기 전, 수학자들은 3차원 또는 4차원 다양체를 이해하는 데 어려움을 겪었고, 고차원 경우를 더 어렵다고 추정했다. h-보충 정리는 (단순 연결된) 5차원 이상의 다양체가 3차원 또는 4차원의 다양체보다 훨씬 쉽다는 것을 보여주었다. 3차원 또는 4차원 다양체가 유난히 어려운 이유는 낮은 차원에서는 휘트니 트릭이 작동하지 않기 때문이며, 낮은 차원에서는 얽힐 공간이 없다.^[1]

4. 1. 4차원 h-보충 경계 정리

4차원 h-보충 경계 정리의 경우, 캐슨 손잡이Casson handle^영어를 써서 위상적인 h-보충 경계 정리를 증명할 수 있지만, 이는 매끄러운 구조를 보존하지 못한다. 매끄러운 4차원 다양체의 경우 Akbulut cork|아크불루트의 병마개^영어와 같은 반례가 존재한다.^[1]

4차원 다양체에서는 휘트니 매장을 사용할 수 없다. 즉, 4차원 다양체 안에 매장된 임의의

S^1

를 경계로 하며 자기 자신과 교차하지 않는 매장

D^2 \hookrightarrow W

가 존재하리라는 보장이 없다.

월은 교차 형식이 같은 닫힌 방향성을 가진 단일 연결 위상적 4차원 다양체는 h-코보디즘(h-cobordant)임을 증명했다.^[1] 하지만 교차 형식이 홀수일 경우, 같은 교차 형식을 가지지만 서로 위상 동형이 아닌 4차원 다양체가 존재한다(이는 커비-지벤만 불변량으로 구별된다).

4. 2. 3차원 h-보충 경계 정리

3차원 h-보충 경계 정리는 4차원 초구가 비표준 매끄러운 구조를 갖는지 여부와 동치이며, 이는 일반화된 푸앵카레 추측(Generalized Poincaré conjecture)으로 유명한 난제이다.^[2]

4. 3. 2차원 h-보충 경계 정리

2차원 h-보충 경계 정리는

M

과

N

이 모두 구면(

S^2

)인 경우만 증명하면 충분하다. 이는 그리고리 페렐만이 증명한 3차원 푸앵카레 추측에 따라 참이다.^[2]^[3]^[4]^[5]

4. 4. 1차원 및 0차원 h-보충 경계 정리

1차원 단일 연결 다양체는 항상 축약 가능하므로 1차원 h-보충 경계 정리는 참이다.

0차원 h-보충 경계는 닫힌 선분이 유일하므로 0차원 h-보충 경계 정리는 자명하게 참이다.

5. 성질

h-보충 경계 정리는 미분 다양체의 위상수학에서 중요한 역할을 하며, 다음과 같은 주요 성질들을 갖는다.

푸앵카레 추측과의 관계: h-보충 경계 정리가 성립하면, n차원 다양체에 대한 일반화된 푸앵카레 추측을 유도할 수 있다. 이는 Mⁿ이 구 Sⁿ과 호모토피 동형이라면, 서로 동형이라는 의미이다.^[7]

s-보충 경계 정리: 단일 연결이 아닌 경우, '''s-보충 경계 정리'''(s-cobordism theorem^영어)가 성립한다. 5차원 이상의 $\mathcal C$ -다양체 $M$ , $N$ 사이의 h-보충 경계 $(W,\iota_M,\iota_N)$ 가 주어졌을 때, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
$\iota_M$ 이 단순 호모토피 동치이다. 다시 말해, 그 화이트헤드 비틀림이 0이다.
$W$ 는 $M\times[0,1]$ 과 $\mathcal C$ -동치이다.

만약 ''M''과 ''N''이 단일 연결이라는 가정을 포기한다면, ''h''-코볼디즘은 원통일 필요가 없으며, 그 장애는 포함

M \hookrightarrow W

의 정확한 화이트헤드 비틀림 τ(''W'', ''M'')이다.^[6]

5. 1. 푸앵카레 추측과의 관계

h-보충 경계 정리가 성립하면, n차원 다양체에 대한 일반화된 푸앵카레 추측을 유도할 수 있다. 이는 Mⁿ이 구 Sⁿ과 호모토피 동형이라면, 서로 동형이라는 의미이다.^[7]

스티븐 스메일은 5차원 이상의 h-보충 경계 정리를 이용하여 6차원 조각적 선형 다양체에 대한 푸앵카레 추측을 증명하였고, 몇 가지 보조정리를 추가하여 5차원 조각적 선형 다양체에 대한 푸앵카레 추측도 증명하였다.^[7]

5. 2. s-보충 경계 정리

단일 연결이 아닌 경우, '''s-보충 경계 정리'''(s-cobordism theorem^영어)가 성립한다. 5차원 이상의

\mathcal C

-다양체

M

,

N

사이의 h-보충 경계

(W,\iota_M,\iota_N)

가 주어졌을 때, s-보충 경계 정리에 따르면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$\iota_M$ 이 단순 호모토피 동치이다. 다시 말해, 그 화이트헤드 비틀림이 0이다.
$W$ 는 $M\times[0,1]$ 과 $\mathcal C$ -동치이다.

만약 ''M''과 ''N''이 단일 연결이라는 가정을 포기한다면, ''h''-코볼디즘은 원통일 필요가 없으며, 그 장애는 포함

M \hookrightarrow W

의 정확한 화이트헤드 비틀림 τ(''W'', ''M'')이다.^[6]

배리 매주어, 존 스탤링스, 데니스 바든이 독립적으로 증명한 ''s''-코볼디즘 정리(''s''는 단순-호모토피 동치를 의미)는 다음과 같다.

: ''h''-코볼디즘은 화이트헤드 비틀림 τ(''W'', ''M'')이 사라질 경우에만 원통이다.

비틀림이 사라지는 것은 포함

M \hookrightarrow W

가 호모토피 동치일 뿐만 아니라 단순 호모토피 동치일 경우에만 해당한다. 다른 포함

N \hookrightarrow W

또한 단순 호모토피 동치라고 가정할 필요는 없다. 이는 정리로부터 따른다.

범주적으로, ''h''-코볼디즘은 군체를 형성한다.

''s''-코볼디즘 정리의 더 정확한 진술은 이 군체의 동형 사상 클래스 (''h''-코볼디즘의 '''C'''-동형 사상까지)가 각각의^[6] 화이트헤드 군 Wh(π)에 대한 토르소이며, 여기서

\pi \cong \pi_1(M) \cong \pi_1(W) \cong \pi_1(N)

이다.

6. 역사

1차원과 2차원 다양체의 분류는 간단했지만, 3차원과 4차원 다양체의 분류는 매우 어렵다는 것이 밝혀졌다. 이후 수학자들은 5차원 이상의 다양체가 이보다 더 복잡할 것으로 생각하고, 3·4차원의 분류에 주력하였다.

1960년대 초, 스티븐 스메일은 h-보충 경계 정리와 개념을 발표하고, 이를 사용하여 5차원 이상의 다양체가 3차원 또는 4차원의 다양체보다 훨씬 쉽다는 것을 증명하였다. h-보충 경계 정리의 증명은 하슬러 휘트니의 휘트니 트릭에 의존하며, 이는 4차원 이상의 다양체에서 상보적인 차원의 호몰로지적으로 얽히지 않은 구를 기하학적으로 푼다. 3차원 또는 4차원 다양체가 유난히 어려운 이유는 낮은 차원에서는 얽힐 공간이 없어 휘트니 트릭이 작동하지 않기 때문이다.^[7]^[8]^[9]^[10]

6. 1. 스메일의 증명과 필즈상 수상

스티븐 스메일은 h-보충 경계 개념 및 h-보충 경계 정리를 발표하였고, 이를 사용하여 5차원 조각적 선형 다양체에 대한 Generalized Poincaré conjecture|일반화된 푸앵카레 추측^영어을 증명하였다.^[7]^[8] 이로써 5차원 이상의 다양체는 수술 이론으로 비교적 간단하게 다룰 수 있다는 것이 밝혀졌고, 다양체 이론에서는 ‘중간 차원’인 3·4차원이 가장 어렵다는 사실이 알려졌다. 이 공로로 스메일은 1966년 필즈상을 수상하였다. ‘h-보충 경계’라는 이름에서 ‘h’는 호모토피(homotopy|호모토피^영어)의 영문 머리글자이다.

6. 2. 4차원 h-보충 경계 정리 연구

1982년 마이클 프리드먼은 Casson handle|캐슨 손잡이^영어를 이용해 4차원 h-보충 경계 정리를 증명했다.^[9] 한편 사이먼 도널드슨은 h-보충 경계 정리가 4차원 매끄러운 다양체 사이에서는 성립하지 않는다는 것을 보였다.^[10]

6. 3. s-보충 경계 정리 증명

s-보충 경계 정리는 배리 메이저, 존 스톨링스, 데니스 바든이 독자적으로 증명하였다.^[7]^[8]^[9]^[10] ‘s-보충 경계 정리’라는 이름에서 ‘s’는 simple homotopy equivalence|단순 호모토피 동치^영어의 머릿글자이다.

참조

_[1] 논문 On simply-connected 4-manifolds 1964
_[2] 웹사이트 Millennium Problems {{!}} Clay Mathematics Institute http://www.claymath.[...] 2016-03-30
_[3] arXiv The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications 2002-11-11
_[4] arXiv Ricci flow with surgery on three-manifolds 2003-03-10
_[5] arXiv Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds 2003-07-17
_[6] 문서 Note that identifying the Whitehead groups of the various manifolds requires that one choose base points $m\in M, n\in N$ and a path in ''W'' connecting them.
_[7] 저널 https://archive.org/[...] 1961
_[8] 저널 https://archive.org/[...] 1962
_[9] 인용 The topology of four-dimensional manifolds http://projecteuclid[...]
_[10] 인용 An application of gauge theory to four-dimensional topology http://projecteuclid[...]

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H-보충 경계
정의
설명	미분위상수학에서, n차원 콤팩트 다양체 M과, (n + 1)차원 콤팩트 다양체 W에 대하여, M이 W의 경계이고 W가 단일 연결 공간이며 π₁(M) → π₁(W)가 동형사상일 때, (W, M)을 H-보충 경계라고 한다.
추가 정보
정리	H-보충 경계 정리는 H-보충 경계 (W, M)에 대하여 M과 W가 미분 동형이 되는 충분 조건을 제시한다.
관련 항목	코보디즘