LC 회로

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1. 개요
2. 용어
3. 작동 원리
4. 공진 현상
- 4.1. 직렬 공진
- 4.2. 병렬 공진
5. 응용 분야
6. 회로 분석
7. 역사
8. 선택성
참조

1. 개요

LC 회로는 인덕터(L)와 커패시터(C)로 구성된 회로로, 전기 에너지를 저장하고 특정 주파수에서 공진하는 특성을 갖는다. 이러한 특성을 이용하여 라디오 튜닝, 증폭, 유도 가열 등 다양한 전자 기기에 활용되며, 직렬 및 병렬 공진 회로 구성에 따라 필터 역할을 수행하기도 한다. LC 회로의 공진 현상은 펠릭스 사바리에 의해 처음 발견되었고, 윌리엄 톰슨에 의해 수학적으로 증명되었으며, 올리버 로지, 하인리히 헤르츠, 굴리엘모 마르코니 등에 의해 무선 통신 등 다양한 분야에 응용되었다.

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LC 회로
기본 정보
명칭	LC 회로 (LC hoe-ro)
종류	전자 회로
구성 요소	인덕터 (L) 커패시터 (C)
특징	저항 성분이 없는 이상적인 공진 회로
동작 원리
에너지 교환	인덕터와 커패시터 사이의 에너지 교환을 통해 전기 진동 발생
공진 주파수	f = 1/(2π√(LC))
활용 분야
라디오	라디오 수신기 라디오 송신기
발진기	발진 회로
필터	필터 회로
공진 회로	공진기
유도 가열	유도 가열 장치

2. 용어

LC 회로는 인덕터(L)와 커패시터(C)로 구성된 회로를 지칭하며, 가장 간단한 형태의 LC 회로는 '2차 LC 회로'라고도 불린다.^[1]^[2] 2차 LC 회로는 하나의 공진 주파수를 갖지만, 더 복잡한 LC 네트워크는 여러 개의 공진 주파수를 가질 수 있다.

3. 작동 원리

LC 회로는 특정 공진 주파수에서 전기 에너지를 저장하고 진동할 수 있습니다. 충전된 커패시터를 인덕터에 연결하면, 커패시터의 전압으로 인해 인덕터를 통해 전류가 흐르면서 그 주위에 자기장이 형성됩니다. 이 과정에서 커패시터의 전압은 0으로 떨어지게 됩니다.

이때, 코일의 자기장에 저장된 에너지는 인덕터가 전류 변화에 저항하는 성질 때문에 코일에 전압을 유도합니다. 이 유도된 전압은 커패시터를 원래와 반대 극성으로 다시 충전하는 전류를 발생시킵니다. 패러데이 유도 법칙에 따르면, 이 전류를 흐르게 하는 EMF는 자기장의 감소로 인해 발생하며, 커패시터를 충전하는 데 필요한 에너지는 자기장에서 얻어집니다. 자기장이 완전히 사라지면 전류는 멈추고, 전하는 이전과 반대 극성으로 커패시터에 다시 저장됩니다. 이후 이 과정이 반복되면서 전류는 인덕터를 통해 반대 방향으로 흐르게 됩니다.

전하는 커패시터의 플레이트 사이에서 인덕터를 통해 앞뒤로 흐르며, 에너지는 커패시터와 인덕터 사이에서 진동합니다. 외부에서 에너지가 보충되지 않으면 내부 전기 저항 때문에 진동은 점차 사라집니다. 이러한 동조 회로의 작동은 수학적으로 조화 진동자와 유사하며, 이는 앞뒤로 흔들리는 진자나 탱크에서 앞뒤로 찰랑거리는 물과 비슷합니다. 이러한 이유로 LC 회로는 ''탱크 회로''라고도 불립니다.^[3]

고유 주파수(다른 시스템과 격리되었을 때 진동하는 주파수)는 정전 용량 및 인덕턴스 값에 의해 결정됩니다. 대부분의 응용 분야에서 동조 회로는 교류를 가하여 지속적인 진동을 유발하는 더 큰 회로의 일부입니다. 가해지는 전류의 주파수가 회로의 고유 공진 주파수( $f_0\,$ )와 같으면 공진이 발생하고, 작은 구동 전류로도 큰 진폭의 진동 전압 및 전류를 발생시킬 수 있습니다. 전자 장비의 일반적인 동조 회로에서 진동은 매우 빠르며, 초당 수천에서 수십억 번에 달합니다.

4. 공진 현상

LC 회로의 공진은 외부에서 특정 주파수의 신호가 가해졌을 때, 유도 리액턴스와 용량 리액턴스가 같아지면서 발생하는 현상이다. 이때 LC 회로는 특정 주파수, 즉 공진 주파수에서 가장 큰 진폭으로 진동하게 된다. LC 회로는 AC 전원이나 전파와 같은 공급원이 있어야 공진하며, 저절로 공진하지는 않는다.^[4]

각주파수 ω₀ (단위: 라디안/초)로 표현되는 공진 주파수는 인덕턴스(L)와 커패시턴스(C) 값에 의해 결정되며, 다음 식으로 계산된다.

: $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

여기서 L은 인덕턴스를 헨리로, C는 커패시턴스를 패럿으로 나타낸 것이다.

헤르츠(Hz) 단위로 환산한 공진 주파수(f₀)는 다음과 같다.

: $f_0 = \frac{\omega_0}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$

4. 1. 직렬 공진

유도 리액턴스는 주파수가 증가함에 따라 증가하고, 용량성 리액턴스는 주파수가 증가함에 따라 감소한다. 특정 주파수에서 이 두 리액턴스는 같아지는데, 이때 전압은 크기가 같고 부호가 반대가 된다. 이 주파수를 해당 회로의 공진 주파수()라고 부른다.^[4]

공진 시에는 다음 식이 성립한다.

:

\begin{align}X_\mathsf{L} &= X_\mathsf{C}\ , \\\omega L &= \frac{ 1 }{\ \omega C\ } ~.\end{align}

에 대해 풀면,

:

\omega = \omega_0 = \frac{ 1 }{\ \sqrt{ L C\;}\ }\ ,

이것을 회로의 공진 각 주파수라고 정의한다. 각 주파수(초당 라디안)를 주파수(헤르츠)로 변환하면,

:

f_0 = \frac{ \omega_0 }{\ 2 \pi\ } = \frac{ 1 }{\ 2 \pi \sqrt{ L C\;}\ }\ ,

가 된다.

직렬 구성에서 와 은 서로 상쇄된다. 실제 구성 요소에서는, 전류는 주로 코일 권선의 저항에 의해 방해받는다. 따라서, 직렬 공진 회로에 공급되는 전류는 공진 시 최대가 된다.^[4]

일 때 전류는 최대가 되고, 회로 임피던스는 최소이다. 이 상태에서 회로는 ''수용 회로''라고 불린다.^[4]
인 경우, 이므로 회로는 용량성이다.
인 경우, 이므로 회로는 유도성이다.

직렬 LC 회로의 임피던스를 고려해 보면, 총 임피던스는 유도성 및 용량성 임피던스의 합으로 주어진다.

:

Z = Z_\mathsf{L} + Z_\mathsf{C} ~.

유도성 임피던스를 로, 용량성 임피던스를 로 쓰고 대입하여 정리하면,

:

Z(\omega) = j\ L\ \left( \frac{\ \omega^2 - \omega_0^2\ }{ \omega } \right) =  j\ \omega_0 L\ \left( \frac{ \omega }{\ \omega_0\ } - \frac{ \omega_0\ }{ \omega } \right) =  j\ \frac{ 1 }{\ \omega_0 C\ } \left( \frac{ \omega }{\ \omega_0\ } - \frac{ \omega_0\ }{ \omega } \right)\ ,

와 같다. 여기서

\, \omega_0 L\ \,

은 공진 시 인덕터의 리액턴스를 나타낸다.

분자는 의 극한에서 총 임피던스 가 0이 되고 그렇지 않으면 0이 아닌 것을 의미한다. 따라서 직렬 LC 회로는 부하와 직렬로 연결되면 LC 회로의 공진 주파수에서 임피던스가 0인 대역 통과 필터 역할을 한다.

4. 2. 병렬 공진

Inductor, 인덕터^영어()와 Capacitor, 커패시터^영어()가 교류 전원에 병렬로 연결된 회로를 생각해보자. 코일의 내부 저항은 R^영어이라고 가정한다. 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 같을 때, 두 분기 전류는 크기는 같고 위상은 반대가 되어 서로 상쇄된다. 따라서 주 회로에 흐르는 전류가 최소가 된다. 결과적으로 전체 전류는 최소가 되고, 임피던스는 최대가 된다.^[5]

공진 주파수는 직렬 LC 회로와 마찬가지로 다음과 같이 주어진다.

:

f_0 = {1 \over {2 \pi \sqrt{LC}}}

공진 상태에서 각 분기(코일과 콘덴서)에 흐르는 전류는 최소가 아니다. 각 리액턴스를 , 인가된 전압을 라고 하면, 옴의 법칙에 따라 각 분기에 흐르는 전류는 가 된다.

병렬 LC 회로의 특성은 다음과 같다.^[5]

에서, 선 전류는 최소가 되고 총 임피던스는 최대가 된다. 이 상태의 회로를 리젝터 회로(rejector circuit)라고 부른다.
보다 낮은 주파수에서는 회로가 유도성(inductive)이 된다.
보다 높은 주파수에서는 회로가 용량성(capacitive)이 된다.

병렬 LC 회로의 전체 임피던스()는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

Z=\frac{Z_{L}Z_{C}}{Z_{L}+Z_{C}}

여기서 (Inductor, 인덕터^영어의 임피던스)이고, (Capacitor, 커패시터^영어의 임피던스)이다. 이를 대입하고 정리하면,

:

Z(\omega) = -j\ \left(\frac{1}{\ C\ } \right) \left( \frac{\omega}{\ \omega^2 - \omega_0^2\ } \right) = + j\ \frac{ 1 }{\ \omega_0 C \left( \tfrac{\omega_0}{\omega} - \tfrac{\omega}{\omega_0} \right)\ }  = + j\ \frac{ \omega_0 L }{\ \left( \tfrac{\omega_0}{\omega} - \tfrac{\omega}{\omega_0} \right)\ } ~.

여기서

\omega_0 = \frac{1}{\ \sqrt{ L C\;}\ }\

(공진 각주파수)이다.

위 식에서

\lim_{\omega \to \omega_0} Z(\omega) = \infty\

이지만, 그 외의 값에서는 임피던스가 유한하다.

따라서 부하와 직렬로 연결된 병렬 LC 회로는 LC 회로의 공진 주파수에서 무한 임피던스를 갖는 대역 저지 필터로 동작하고, 부하와 병렬로 연결된 병렬 LC 회로는 대역 통과 필터로 동작한다.

5. 응용 분야

LC 회로는 공진 현상을 이용하여 다양한 전자기기에 활용된다.

'''튜닝''': 라디오 송수신기의 튜너는 특정 방송 반송파 주파수에 공진시켜 원하는 신호를 선택한다.
'''전압 증폭''': 직렬 공진 회로는 특정 주파수의 전압을 증폭한다.
'''전류 증폭''': 병렬 공진 회로는 특정 주파수의 전류를 증폭한다.
'''필터''': 특정 주파수 대역의 신호만 통과시키거나 차단하는 필터 회로로 사용된다.
'''발진기''': 특정 주파수의 신호를 생성하는 발진 회로에 사용된다.
'''유도 가열''': 병렬 공진 회로를 사용하여 금속 등을 가열하는 데 사용된다.
'''기타''': 비접촉식 카드, 펜 태블릿, 전자식 상품 감시(보안 태그) 등에도 활용된다.

6. 회로 분석

LC 회로는 공진 주파수에서 진동하는 전력을 저장할 수 있다. 콘덴서가 전극판 사이의 전장에 저장하는 전력은 전압에 따라, 코일이 자기장에 저장하는 전력은 전류에 따라 변한다. 콘덴서와 코일이 연결되면 전류가 코일에 흘러 자기장이 형성되고 콘덴서 전압은 낮아진다. 콘덴서 전력이 모두 방출되어도 코일 특성 때문에 전류는 계속 흘러 콘덴서를 반대 극성으로 충전시키고, 자기장이 사라지면 이 과정이 반복된다.

전하는 코일을 통해 콘덴서 전극 사이를 왕복한다. 실제로는 내부 저항 때문에 외부 에너지 공급이 없으면 진동은 점차 감소한다. 이 동작은 조화 진동자와 유사하며, LC 병렬 공진 회로는 '탱크 회로'라고도 불린다.

하위 섹션인 "키르히호프의 법칙", "미분 방정식", "라플라스 변환"에서 회로 분석과 관련된 내용이 상세하게 다루어지므로, 여기서는 회로의 기본 동작과 특징만 간략하게 설명한다.

6. 1. 키르히호프의 법칙

키르히호프의 전압 법칙에 따르면, 커패시터 양단의 전압 와 인덕터 양단의 전압 의 합은 0과 같아야 한다.

:

V_C + V_L = 0.

마찬가지로, 키르히호프의 전류 법칙에 따르면 커패시터를 통과하는 전류는 인덕터를 통과하는 전류와 같다.

:

I_C = I_L.

회로 소자에 대한 구성 관계로부터 다음을 알 수 있다.

:

\begin{align}V_L(t) &= L \frac{\mathrm{d}I_L}{\mathrm{d}t}, \\I_C(t) &= C \frac{\mathrm{d}V_C}{\mathrm{d}t}.\end{align}

LC 회로는 공진 주파수에서 진동하는 전력을 저장할 수 있다. 콘덴서가 전극판 사이의 전장에 저장하는 전력은 거기에 걸리는 전압에 따라 변화한다. 코일이 자기장에 저장하는 전력은 그곳을 흐르는 전류에 따라 변화한다. 전력을 저장한 콘덴서와 코일이 연결되어 있으면, 전류가 코일에 흐르기 시작하여 거기에 자기장이 형성되고, 콘덴서에 걸리는 전압이 낮아진다. 최종적으로 콘덴서에 축적된 전력은 모두 방출된다. 그러나 전류는 계속 흐른다. 이것은 코일이 전류의 변화를 저지하도록 작용하여, 자기장에서 에너지를 꺼내어 전류를 일정하게 흐르게 하려고 하기 때문이다. 그 전류는 콘덴서에 서서히 축적되어, 전과는 반대 극성으로 전압이 걸리게 된다. 자기장이 사라지면 전류는 정지하고, 콘덴서에 역 극성으로 전압이 걸린 상태가 되어, 최초 상태로 돌아간다. 이번에는 반대 방향으로 전류가 흐르기 시작한다.

전하는 코일을 경유하여 콘덴서의 전극 사이를 왕복한다. 실제로는 내부 저항이 있기 때문에, 외부에서 에너지가 공급되지 않는 한, 콘덴서와 코일 사이의 에너지 진동은 감쇠해 간다. 이러한 동작을 수학적으로는 조화 진동자라고 부르며, 추의 진동과 마찬가지이다. 추와 마찬가지로 에너지를 저장하므로, 특히 LC 병렬 공진 회로를 '''탱크 회로'''라고도 부른다.

6. 2. 미분 방정식

재배열하고 대입하면 다음과 같은 2차 미분 방정식을 얻을 수 있다.

:

\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}I(t) + \frac{1}{LC} I(t) = 0.

공진 각 주파수 (

\omega_0

)는 다음과 같이 정의된다.

:

\omega_0 = \frac{1}\sqrt{LC}.

이를 사용하면 미분 방정식을 단순화할 수 있다.

:

\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}I(t) + \omega_0^2 I(t) = 0.

관련된 라플라스 변환은 다음과 같다.

:

s^2 + \omega_0^2 = 0,

따라서

:

s = \pm j \omega_0,

여기서

j

는 허수 단위이다.

키르히호프의 전압 법칙에 따르면, 콘덴서에 걸리는 전압

V_C

와 코일에 걸리는 전압

V_L

은 같아야 한다.

:

V_C = V_L

마찬가지로 키르히호프의 전류 법칙에 따르면, 콘덴서에 흐르는 전류와 코일에 흐르는 전류의 총합은 0이 되어야 한다.

:

i_C + i_L = 0

또한, 회로 소자의 성질로부터 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

:

V_L(t) = L \frac{di_L}{dt}

:

i_C(t) = C \frac{dV_C}{dt}

이들을 조합하면, 다음의 2차 미분 방정식을 얻을 수 있다.

:

\frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0

여기서

\omega

를 다음과 같이 정의한다.

:

\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}

그러면, 미분 방정식을 다음과 같이 단순화할 수 있다.

:

\frac{d^2i(t)}{dt^2} + \omega^2 i(t) = 0

이것은 다항식

s^2 + \omega^2 = 0

과 같은 형식이며,

:

s = +j\omega

또는

:

s = -j\omega

가 된다. 여기서

j

는 허수 단위이다. 따라서, 이 미분 방정식의 완전한 해는 다음과 같은 형식이 된다.

:

i(t) = Ae^{+j\omega t} + Be^{-j\omega t}

그리고 초기 조건을 부여하면

A

와

B

를 구할 수 있다.

이 지수는 복소수이므로, 이 해는 정현파의 교류를 나타낸다.

초기 조건이

A = B

가 되는 것이었다면, 오일러 공식에 의해, 진폭

2A

에서 각 주파수

\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}

의 실정현파를 얻을 수 있다.

따라서 해는 다음과 같다.

:

i(t) = 2A\cos\omega t

이 결과를 만족하는 초기 조건은 다음과 같다.

:

i(t=0) = 2A

:

\frac{di(t=0)}{dt} = 0

6. 3. 라플라스 변환

라플라스 변환을 사용하여 LC 회로의 미분 방정식을 대수 방정식으로 변환하여 해석할 수 있다.

LC 회로는 라플라스 변환을 사용하여 풀 수 있다. 커패시터와 인덕터 양단의 전류와 전압 사이의 관계는 다음과 같이 정의된다.

:

v_\mathrm{C}(t) = v(t)\ , ~

i(t) = C\ \frac{\mathrm{d}\ v_\mathrm{C}}{\mathrm{d}t}\ , ~

and

~ v_\mathrm{L}(t) = L\ \frac{\mathrm{d}\ i}{\mathrm{d}t} \;.

키르히호프 법칙을 적용하면 시스템의 지배 미분 방정식을 얻을 수 있다.

:

v_{in} (t) = v_\mathrm{L} (t) + v_\mathrm{C}(t) = L\ \frac{ \mathrm{d}\ i }{\mathrm{d}t} + v = L\ C\ \frac{\mathrm{d}^2\ v}{\mathrm{d}t^2} + v \;.

초기 조건은

\ v(0) = v_0\

and

\ i(0) = i_0 = C \cdot v'(0) = C \cdot v'_0 \;.

이다.

\omega_0 \equiv \frac{1}{\ \sqrt{L\ C\ } }

and

~ f(t) \equiv \omega_0^2\ v_\mathrm{in} (t)

로 정의하면,

:

f(t) = \frac{\ \mathrm{d}^2\ v\ }{\mathrm{d}t^2} + \omega_0^2\ v \;.

와 같이 나타낼 수 있다.

이제 라플라스 변환을 적용하면 다음과 같다.

:

\operatorname\mathcal{L} \left[\ f(t)\ \right] = \operatorname\mathcal{L} \left[\ \frac{\ \mathrm{d}^2\ v\ }{ \mathrm{d}t^2 } + \omega_0^2\ v\ \right] \,,

:

F(s) = s^2\ V(s) - s\ v_0 - v'_0 + \omega_0^2\ V(s) \;.

라플라스 변환은 미분 방정식을 대수 방정식으로 바꾸었다. s 영역(주파수 영역)에서 V(s)를 푸는 것이 훨씬 간단하다.

:

V(s) = \frac{\ s\ v_0 + v'_0 + F(s)\ }{ s^2 + \omega_0^2 }

:

V(s) = \frac{\ s\ v_0 }{ s^2 + \omega_0^2 } +\frac{v'_0}{ s^2 + \omega_0^2 } +\frac{F(s)\ }{ s^2 + \omega_0^2 } \,,

이것은 역 라플라스 변환을 통해 시간 영역으로 다시 변환될 수 있다.

:

v(t) = \operatorname\mathcal{L}^{-1} \left[\ V(s) \ \right]

:

v(t) = \operatorname\mathcal{L}^{-1} \left[\ \frac{\ s\ v_0 }{ s^2 + \omega_0^2 } +\frac{v'_0}{ s^2 + \omega_0^2 } +\frac{F(s)\ }{ s^2 + \omega_0^2 }\ \right],

두 번째 합을 위해,

\omega_0

의 등가 분수가 필요하다.

:

v(t) = v_0 \operatorname\mathcal{L}^{-1} \left[\ \frac{ s }{ s^2 + \omega_0^2 }\ \right] +\frac{v'_0}{\omega_0} \operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\ \frac{ \omega_0 }{ ( s^2 + \omega_0^2 )}\ \right] +\operatorname\mathcal{L}^{-1} \left[\ \frac{F(s)\ }{ s^2 + \omega_0^2 }\ \right],

:

v(t) = v_0\cos(\omega_0\ t)+ \frac{ v'_0 }{\ \omega_0\ }\ \sin(\omega_0\ t) + \operatorname\mathcal{L}^{-1} \left[\ \frac{ F(s) }{\ s^2 + \omega_0^2\ }\ \right]

마지막 항은 입력 전압의 정확한 형태에 따라 달라진다. 두 가지 일반적인 경우는 헤비사이드 계단 함수와 사인파이다. 헤비사이드 계단 함수의 경우 다음과 같다.

:

v_\mathrm{in}(t) = M\ u(t) \,,

:

\operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\ \omega_0^2 \frac{ V_\mathrm{in}(s) }{\ s^2 + \omega_0^2\ }\ \right] ~=~ \operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\ \omega_0^2\ M\ \frac{1}{\ s\ (s^2 + \omega_0^2)\ }\ \right] ~=~ M\ \Bigl( 1 - \cos(\omega_0\ t) \Bigr) \,,

:

v(t) = v_0 \ \cos(\omega_0\ t)+ \frac{ v'_0 }{ \omega_0 }\ \sin(\omega_0\ t) + M\ \Bigl(1-\cos(\omega_0\ t)\Bigr) \;.

입력으로 정현파 함수를 사용하는 경우 다음을 얻는다.

:

v_\mathrm{in}(t) = U\ \sin(\omega_\mathrm{f}\ t) \Rightarrow V_\mathrm{in}(s)= \frac{\ U\ \omega_\mathrm{f}\ }{\ s^2 + \omega_\mathrm{f}^2 \ } \,

여기서

U

는 진폭이고

\omega_f

는 적용된 함수의 주파수이다.

:

\operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\ \omega_0^2\ \frac{1}{\ s^2 + \omega_0^2\ }\ \frac{U\ \omega_\mathrm{f}}{\ s^2+\omega_\mathrm{f}^2\ }\ \right]

부분 분수 방법을 사용한다.

:

\operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\ \omega_0^2\ U\ \omega_\mathrm{f} \frac{1}{\ s^2 + \omega_0^2\ }\ \frac{1}{\ s^2+\omega_\mathrm{f}^2\ }\ \right]=\operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\ \omega_0^2\ U\ \omega_\mathrm{f} \frac{A + Bs}{\ s^2 + \omega_0^2\ }\ + \frac{C + Ds}{\ s^2+\omega_\mathrm{f}^2\ }\ \right]

양변에서 간소화하면,

:

1 = (A + Bs)( \ s^2 + \omega_\mathrm{f}^2\ ) + (C + Ds)( \ s^2 + \omega_0^2\ )

:

1 = ( A\ s^2 + \ A\ \omega_\mathrm{f}^2\ + \ B\ s^3 +  \ B\ \omega_\mathrm{f}^2\ ) + \ C\ s^2 + \ C\ \omega_0^2\ + \ D\ s^3 + \ D\ s \omega_0^2\ )

:

1 = s^3 (B\ + \ D\ ) + s^2 (A\ + \ C) + s (B\ \omega_\mathrm{f}^2 + \ D\ \omega_0^2) + (A\ \omega_\mathrm{f}^2\ + \ C\ \omega_0^2)

A, B, C에 대한 방정식을 풀면,

:

A+C=0 \Rightarrow C=-A

:

A\ \omega_\mathrm{f}^2\ + \ C\ \omega_0^2 = 1\RightarrowA\ \omega_\mathrm{f}^2\ - \ A\ \omega_0^2 = 1

:

\RightarrowA\ = \frac{1}{(\omega_\mathrm{f}^2\ - \omega_0^2) }

:

\RightarrowC\ = -\frac{1}{(\omega_\mathrm{f}^2\ - \omega_0^2) }

:

B + C = 0

:

B\ \omega_\mathrm{f}^2 + \ D\ \omega_0^2 = 0\RightarrowB\ \omega_\mathrm{f}^2 - \ B\ \omega_0^2 = 0\RightarrowB\ (\omega_\mathrm{f}^2 - \omega_0^2) = 0

:

\RightarrowB = 0 , \ D = 0

A, B, C의 값을 대체한다.

:

\operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\ \omega_0^2\ U\ \omega_\mathrm{f} \frac{\frac{1}{(\omega_\mathrm{f}^2\ - \omega_0^2) }}{\ s^2 + \omega_0^2\ } + \frac{ -\frac{1}{(\omega_\mathrm{f}^2\ - \omega_0^2) }}{\ s^2+\omega_\mathrm{f}^2\ }\ \right]

상수를 분리하고 분자가 부족한 부분을 조정하기 위해 등가 분수를 사용한다.

:

\frac{\ \omega_0^2\ U\omega_\mathrm{f}\ }{\ \omega_\mathrm{f}^2-\omega_0^2\ } \operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[ \left(\frac{ \omega_0 }{ \omega_0 (s^2 + \omega_0^2)} - \frac{ \omega_f }{ \omega_f (s^2+\omega_f^2)}\right) \right] \,

각 합에 대해 역 라플라스 변환을 수행한다.

:

\frac{\ \omega_0^2\ U\omega_\mathrm{f}\ }{\ \omega_\mathrm{f}^2-\omega_0^2\ } \left(\frac{1}{\omega_0} \operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{ \omega_0 }{ (s^2 + \omega_0^2)} \right] - \frac{1}{\omega_\mathrm{f}\ } \operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{ \omega_\mathrm{f}\ }{ (s^2+\omega_f^2)} \right] \right) \,

:

v_\mathrm{in}(t) = \frac{\ \omega_0^2\ U\ \omega_\mathrm{f}\ }{ \omega_\mathrm{f}^2 - \omega_0^2 } \left( \frac{1}{\omega_0}\ \sin(\omega_0\ t) - \frac{1}{\ \omega_\mathrm{f}\ }\ \sin(\omega_\mathrm{f}\ t) \right) \;,

라플라스 해의 초기 조건을 사용한다.

:

v(t) = v_0 \cos(\omega_0\ t)+ \frac{ v'_0}{ \omega_0\ }\ \sin(\omega_0\ t) + \frac{ \omega_0^2\ U\ \omega_\mathrm{f} }{\ \omega_\mathrm{f}^2 - \omega_0^2\ }\left(\frac{1}{\omega_0}\ \sin(\omega_0\ t) - \frac{1}{\ \omega_\mathrm{f}\ }\ \sin(\omega_\mathrm{f}\ t) \right) \;.

7. 역사

1826년 프랑스 과학자 펠릭스 사바리는 라이덴 병의 방전 현상에서 전기 진동의 가능성을 처음 발견했다.^[6]^[7] 그는 라이덴 병이 철침 주위에 감긴 전선을 통해 방전될 때, 바늘이 때로는 한 방향으로, 때로는 반대 방향으로 자화되는 것을 발견했다. 사바리는 이것이 전선을 통해 흐르는 감쇠 진동 방전 전류 때문이라고 추론했다. 이 전류는 바늘의 자화를 앞뒤로 반전시키다가, 너무 약해져서 효과를 낼 수 없을 때까지 무작위 방향으로 바늘을 자화시킨다. 1842년 미국 물리학자 조셉 헨리는 사바리의 실험을 반복하고 독립적으로 같은 결론에 도달했다.^[8]^[9]

1853년 아일랜드 과학자 윌리엄 톰슨(켈빈 경)은 라이덴 병이 인덕턴스를 통해 방전될 때 진동해야 함을 수학적으로 증명하고, 공진 주파수를 도출했다.^[6]^[8]^[9] 영국의 라디오 연구자 올리버 로지는 긴 전선을 통해 대량의 라이덴 병 배터리를 방전시켜 오디오 범위의 공진 주파수를 가진 튜닝 회로를 만들었고, 방전 시 스파크에서 음악적 음조가 생성되었다.^[8] 1857년, 독일 물리학자 베렌트 빌헬름 페더슨은 회전하는 거울을 이용하여 공진 라이덴 병 회로에서 생성된 스파크를 촬영하여 진동에 대한 가시적인 증거를 제공했다.^[6]^[8]^[9] 1868년, 스코틀랜드 물리학자 제임스 클러크 맥스웰은 교류 전류를 인덕턴스와 커패시턴스가 있는 회로에 적용했을 때, 공진 주파수에서 응답이 최대가 됨을 계산했다.^[6] 1887년 독일 물리학자 하인리히 헤르츠는 라디오파 발견에 대한 선구적인 논문에서 전기 공진 곡선의 첫 번째 예를 발표했다. 그는 스파크 갭 LC 공진기 검출기에서 얻을 수 있는 스파크 길이를 주파수의 함수로 보여주었다.^[6]

1889년경 로지의 "신토닉 자" 실험은 튜닝된 회로 간의 공진을 처음으로 시연한 사례 중 하나이다.^[6]^[8] 그는 각각 조정 가능한 1회전 코일과 스파크 갭에 연결된 라이덴 병으로 구성된 두 개의 공진 회로를 나란히 배치했다. 한 튜닝된 회로에 유도 코일에서 나온 고전압을 가해 스파크를 생성하여 진동 전류를 발생시키면, 두 회로가 공진 상태로 조정되었을 때만 다른 튜닝된 회로에서 스파크가 유발되었다. 로지와 일부 영국 과학자들은 이 효과를 "신토니"라고 불렀지만, 결국 "공진"이라는 용어가 널리 사용되었다.^[6] LC 회로의 첫 번째 실용적인 사용은 1890년대 스파크 갭 라디오 송신기에서 수신기와 송신기를 동일한 주파수로 튜닝하는 것이었다. 1897년 로지가 튜닝을 허용하는 라디오 시스템에 대한 최초의 특허를 출원했지만, 최초의 실용적인 시스템은 1900년 이탈리아 라디오 선구자 굴리엘모 마르코니에 의해 발명되었다.^[6]

8. 선택성

LC 회로는 필터 회로로 자주 사용된다. L/C 비율은 필터의 선택성을 결정한다. 직렬 공진 회로에서는 인덕턴스(L)를 높이고 커패시턴스(C)를 낮추면 필터의 통과 대역폭을 좁힐 수 있다. 병렬 공진 회로에서는 그 반대가 된다.

참조

_[1] 서적 Practical Electrical Engineering https://books.google[...] Springer 2016
_[2] 서적 Introduction to Electric Circuits, 8th Ed. https://books.google[...] John Wiley and Sons 2010
_[3] 서적 Electronic Circuit Analysis https://books.google[...] Pearson Education India 2012
_[4] 웹사이트 What is an acceptor circuit? http://www.qsstudy.c[...]
_[5] 웹사이트 rejector circuit https://en.oxforddic[...] 2018-09-20
_[6] 간행물 The History of Electrical Resonance https://archive.org/[...] American Telephone & Telegraph Co. 1941-10
_[7] 간행물 Memoirs sur l'Aimentation Masson
_[8] 서적 A College Text-book of Physics https://archive.org/[...] Henry Hold
_[9] 서적 The Worldwide History of Telecommunications https://books.google[...] Wiley-IEEE

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