RL 회로

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1. 개요

RL 회로는 저항(R)과 인덕터(L)를 조합한 전기 회로로, RC, LC, RLC 회로와 함께 아날로그 전자 공학의 기본이 된다. RL 회로는 로우 패스 또는 하이 패스 필터로 사용될 수 있으며, RF 증폭기의 직류 전원 공급 장치에 적용되기도 한다. 직렬 및 병렬 RL 회로의 전압, 전류, 전달 함수 등을 분석하여 주파수 및 시간 영역에서의 동작을 파악할 수 있다.

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아날로그 회로 - 밀러 효과
밀러 효과는 증폭기 회로에서 입력과 출력 사이의 커패시턴스가 증폭기의 이득에 의해 증가하는 현상으로, 입력 임피던스 감소 및 대역폭 감소를 야기하며, 집적 회로 설계에 활용되기도 하지만 캐스코드 구성 등으로 완화해야 하고, 다양한 증폭 소자에서 고려해야 한다.
아날로그 회로 - LC 회로
LC 회로는 인덕터와 커패시터로 구성되어 전기 에너지를 저장하고 특정 주파수에서 진동하는 전기 회로이며, 직렬 또는 병렬 구성에 따라 다양한 임피던스 특성을 활용하여 전자 부품 및 시스템에 응용된다.

RL 회로
개요
유형	1차 회로
소자	저항, 인덕터
시간 상수	τ = L/R
설명
RL 회로	저항과 유도자로 구성된 전기 회로

2. 기본 구성 및 동작 원리

기본적인 수동 선형 회로 소자는 저항기(R), 커패시터(C), 인덕터(L)이다. 이 회로 소자를 조합하여 네 가지 뚜렷한 방식으로 전기 회로를 구성할 수 있다. 즉, RC 회로, RL 회로, LC 회로, RLC 회로이며, 약자는 사용된 소자를 나타낸다. 이러한 회로는 아날로그 전자 공학의 기본이 되는 중요한 유형의 동작을 나타낸다. 특히 수동 필터 역할을 할 수 있다.

RC 회로와 RL 회로 모두 단극 필터를 형성한다. 반응성 소자(C 또는 L)가 부하와 직렬로 연결되어 있는지 또는 부하와 병렬로 연결되어 있는지에 따라 필터가 로우 패스인지 하이 패스인지 결정된다.

RL 회로는 RF 증폭기의 직류 전원 공급 장치로 자주 사용되며, 인덕터는 직류 바이어스 전류를 통과시키고 RF가 전원 공급 장치로 다시 유입되는 것을 차단하는 데 사용된다.

2. 1. 직렬 RL 회로

회로를 전압 분배기로 보면, 인덕터 양단의 전압은 다음과 같다.

:

V_L(s) = \frac{Ls}{R + Ls}V_\mathrm{in}(s)\,,

저항 양단의 전압은 다음과 같다.

:

V_R(s) = \frac{R}{R + Ls}V_\mathrm{in}(s)\,.

== 전압 및 전류 ==

회로의 전류는 회로가 직렬로 연결되어 있으므로 모든 지점에서 동일하다.

:

I(s) = \frac{V_\mathrm{in}(s)}{R + Ls}\,.

== 전달 함수 ==

유도자 전압에 대한 전달 함수는 다음과 같다.

:

H_L(s) = \frac{ V_L(s) }{ V_\mathrm{in}(s) } = \frac{ Ls }{ R + Ls } = G_L e^{j \phi_L} \,.

마찬가지로, 저항 전압에 대한 전달 함수는 다음과 같다.

:

H_R(s) = \frac{ V_R(s) }{ V_\mathrm{in}(s) } = \frac{ R }{ R + Ls } = G_R e^{j \phi_R} \,.

전류에 대한 전달 함수는 다음과 같다.

:

H_I(s) = \frac{ I(s) }{ V_\mathrm{in}(s) } = \frac{ 1 }{ R + Ls }  \,.

전달 함수는 다음 위치에 있는 단일 극점을 갖는다.

:

s = -\frac{R}{L} \,.

또한, 인덕터에 대한 전달 함수는 원점에 있는 영점을 갖는다.

== 이득 및 위상각 ==

두 소자에서의 이득은 위 식의 크기를 구하여 얻을 수 있다.

:

G_L = \big| H_L(\omega) \big| = \left|\frac{V_L(\omega)}{V_\mathrm{in}(\omega)}\right| = \frac{\omega L}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L\right)^2}}

그리고

:

G_R = \big| H_R(\omega) \big| = \left|\frac{V_R(\omega)}{V_\mathrm{in}(\omega)}\right| = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L\right)^2}}\,,

위상각은 다음과 같다.

:

\phi_L = \angle H_L(s) = \tan^{-1}\left(\frac{R}{\omega L}\right)

그리고

:

\phi_R = \angle H_R(s) = \tan^{-1}\left(-\frac{\omega L}{R}\right)\,.

== 페이저 표기법 ==

이러한 표현들을 함께 사용하여 출력을 나타내는 페이저에 대한 일반적인 표현식에 대입할 수 있다.^[2]

:

\begin{align}V_L &= G_{L}V_\mathrm{in} e^{j \phi_L}\\V_R &= G_{R}V_\mathrm{in}e^{j \phi_R}\end{align}

== 임펄스 응답 ==

각 전압에 대한 임펄스 응답은 해당 전달 함수의 역 라플라스 변환이다. 이는 임펄스 또는 디랙 델타 함수로 구성된 입력 전압에 대한 회로의 응답을 나타낸다.

인덕터 전압에 대한 임펄스 응답은 다음과 같다.

:

h_L(t) = \delta(t) -\frac{R}{L} e^{-t\frac{R}{L}} u(t) = \delta(t) -\frac{1}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} u(t) \,,

여기서 ''u''(''t'')는 헤비사이드 계단 함수이고 ''τ'' = ''L''/''R''는 시정수이다.

마찬가지로, 저항 전압에 대한 임펄스 응답은 다음과 같다.

:

h_R(t) = \frac{R}{L} e^{-t \frac{R}{L}} u(t) = \frac{1}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} u(t) \,.

== 영입력 응답 (ZIR) ==

'''영입력 응답''' (ZIR)은 '''고유 응답'''이라고도 하며, RL 회로가 일정 전압과 전류에 도달한 후 전원에서 분리된 후의 회로 동작을 설명한다. 이는 입력이 필요 없기 때문에 영입력 응답이라고 불린다.

RL 회로의 ZIR은 다음과 같다.

:I(t) = I(0)e^{-&frac;R;L; t} = I(0)e^-&frac;t;τ.

== 주파수 영역 분석 ==

주파수 영역 표현식을 분석하면 회로(또는 필터)가 어떤 주파수를 통과시키고 차단하는지 알 수 있다. 이 분석은 주파수가 매우 커지거나 매우 작아질 때 이득에 어떤 일이 발생하는지를 고려하여 이루어진다.

''ω'' → ∞ 일 때:

:: ''G_L'' → 1 and ''G_R'' → 0

''ω'' → 0 일 때:

:: ''G_L'' → 0 and ''G_R'' → 1

이것은 출력이 인덕터에 걸리면 고주파는 통과하고 저주파는 감쇠(차단)된다는 것을 보여준다. 따라서 회로는 ''고역 통과 필터''로 작동한다. 그러나 출력이 저항에 걸리면 고주파는 차단되고 저주파는 통과한다. 이 구성에서 회로는 ''저역 통과 필터''로 작동한다. 이것을 RC 회로에서 저항 출력의 동작과 비교해 보면 반대라는 것을 알 수 있다.

필터가 통과시키는 주파수 범위를 대역폭이라고 한다. 필터가 신호를 필터링되지 않은 전력의 절반으로 감쇠시키는 지점을 차단 주파수라고 한다. 이를 위해서는 회로의 이득이 다음과 같이 감소해야 한다.

:: ''G_L'' = ''G_R'' = 1/√2

위의 방정식을 풀면 다음을 얻는다.

:: ''ω''_c = ''R''/''L'' rad/s or ''f''_c = ''R''/(2π''L'') Hz

이것이 필터가 원래 전력의 절반으로 감쇠하는 주파수이다.

분명히 위상도 주파수에 따라 달라지지만, 이 효과는 일반적으로 이득 변화보다 덜 흥미롭다.

''ω'' → 0 일 때:

:: ''ϕ_L'' → 90° = π/2 radians and ''ϕ_R'' → 0

''ω'' → ∞ 일 때:

:: ''ϕ_L'' → 0 and ''ϕ_R'' → -90° = -π/2 radians

따라서 직류 (0 Hz)에서 저항 전압은 신호 전압과 위상이 같고 인덕터 전압은 90° 앞선다. 주파수가 증가함에 따라 저항 전압은 신호에 대해 90° 뒤지고 인덕터 전압은 신호와 위상이 같아진다.

== 시간 영역 분석 ==

이 절은 자연 로그 상수/natural logarithm^영어인 ''e''에 대한 지식을 필요로 한다.

가장 직접적인 시간 영역 동작을 도출하는 방법은 위에 주어진 V_L 및 V_R에 대한 식의 라플라스 변환을 사용하는 것이다. 이는 실제로 ''jω'' → ''s''로 변환한다. 계단 입력을 가정하면 (즉, ''t'' = 0 전에는 V_in = 0이고 ''t'' = 0 이후에는 V_in = ''V''):

:

\begin{align}V_\mathrm{in}(s) &= V\cdot\frac{1}{s} \\V_L(s) &= V\cdot\frac{sL}{R + sL}\cdot\frac{1}{s} \\V_R(s) &= V\cdot\frac{R}{R + sL}\cdot\frac{1}{s}\,.\end{align}

부분 분수 전개와 역 라플라스 변환은 다음과 같다.

:

\begin{align}V_L(t) &= Ve^{-t\frac{R}{L}} \\V_R(t) &= V\left(1 - e^{-t\frac{R}{L}}\right)\,.\end{align}

따라서 인덕터 양단의 전압은 시간이 지남에 따라 0으로 향하고, 저항 양단의 전압은 ''V''로 향한다. 이는 회로의 전류가 변화하는 동안 인덕터에만 전압이 가해진다는 직관적인 관점과 일치한다. — 회로가 정상 상태에 도달하면 더 이상 전류 변화가 없고, 궁극적으로 인덕터 전압도 없다.

이러한 방정식은 직렬 RL 회로가 시간 상수, 일반적으로 ''τ'' = ''L/R''로 표시됨을 보여주며, 이는 구성 요소 양단의 전압이 감소(인덕터 양단)하거나 증가(저항 양단)하여 최종 값의 1/''e'' 이내로 되는 데 걸리는 시간이다. 즉, ''τ''는 V_L이 V(1/''e'')에 도달하고 V_R이 V(1 − 1/''e'')에 도달하는 데 걸리는 시간이다.

변화율은 ''τ''당 ''분수'' 1 − 1/''e''이다. 따라서 ''t'' = ''Nτ''에서 ''t'' = (''N'' + 1)''τ''로 이동하면 전압은 ''t'' = ''Nτ''에서 해당 수준에서 최종 값을 향해 약 63% 이동한다. 따라서 인덕터 양단의 전압은 ''τ'' 후에 약 37%로 감소하고, 약 5''τ'' 후에 본질적으로 0(0.7%)으로 감소한다. 키르히호프의 전압 법칙은 저항 양단의 전압이 동일한 속도로 '상승'함을 의미한다. 전압원이 단락 회로로 교체되면 저항 양단의 전압은 ''t''에 따라 ''V''에서 0으로 지수적으로 감소한다. 저항은 ''τ'' 후에 약 37%로 방전되고, 약 5''τ'' 후에 본질적으로 완전히 방전(0.7%)된다. 회로의 전류 ''I''는 옴의 법칙을 통해 저항 양단의 전압처럼 동작한다.

회로의 상승 또는 하강 시간의 지연은 이 경우 인덕터의 역기전력으로 인해 발생하며, 이는 인덕터를 통과하는 전류가 변화하려고 할 때 전류(및 따라서 저항 양단의 전압)가 회로의 시간 상수보다 훨씬 빠르게 상승하거나 하강하는 것을 방지한다. 모든 전선은 어느 정도의 자기 인덕턴스와 저항을 가지고 있으므로 모든 회로는 시간 상수를 갖는다. 결과적으로 전원 공급 장치가 켜지면 전류가 즉시 정상 상태 값, ''V/R''에 도달하지 않는다. 대신 상승하는 데 여러 시간 상수가 걸린다. 그렇지 않고 전류가 즉시 정상 상태에 도달하면 자기장의 급격한 변화로 인해 매우 강력한 유도 전기장이 생성되어 회로의 공기가 파괴되고 전기 아크가 발생하여 구성 요소(및 사용자)가 손상될 수 있다.

이러한 결과는 회로를 설명하는 미분 방정식을 풀어서 얻을 수도 있다.

:

\begin{align}V_\mathrm{in} &= IR + L\frac{dI}{dt} \\V_R &= V_\mathrm{in} - V_L \,.\end{align}

첫 번째 방정식은 적분 인자를 사용하여 풀고 전류를 구하며, 이를 미분하여 V_L을 제공해야 한다. 두 번째 방정식은 간단하다. 해는 라플라스 변환을 통해 얻은 것과 정확히 같다.

== 단락 회로 방정식 ==

단락 평가를 위해 RL 회로를 고려한다. 일반적인 방정식은 다음과 같다.

:

v_{in} (t)=v_L (t)+ v_R (t)=L\frac{di}{dt} + Ri

초기 조건:

:

i(0) = i_0

라플라스 변환으로 풀 수 있다.

:

V_{in}(s)=sLI-Li_0+RI

따라서:

:

I(s)=\frac{Li_o+V_{in}}{sL+R}

그런 다음 역변환은 다음과 같이 반환한다.

:

i(t)=i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{V_{in}}{sL+R}\right]

전원 전압이 헤비사이드 계단 함수(DC)인 경우:

:

v_{in}(t)=Eu(t)

다음과 같이 반환한다.

:

i(t)=i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E}{s(sL+R)}\right] = i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+\frac{E}{R}\left( 1 - e^{-\frac{R}{L}t} \right)

전원 전압이 사인 함수 (AC)인 경우:

:

v_{in}(t)=E\sin(\omega t) \Rightarrow V_{in}(s)= \frac{E\omega}{s^2+\omega^2}

다음과 같이 반환한다.

:

i(t)=i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E\omega}{(s^2+\omega^2)(sL+R)}\right] = i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E\omega}{2j\omega}\left(\frac{1}{s-j\omega} - \frac{1}{s+j\omega}\right)\frac{1}{(sL+R)}\right]

:

= i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+ \frac{E}{2jL} \mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{1}{s+\frac{R}{L}} \left( \frac{1}{\frac{R}{L}-j\omega} - \frac{1}{\frac{R}{L}+j\omega} \right)+\frac{1}{s-j\omega}\frac{1}{\frac{R}{L}+j\omega} - \frac{1}{s+j\omega}\frac{1}{\frac{R}{L}-j\omega}\right]

:

= i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+ \frac{E}{2jL} e^{-\frac{R}{L}t} 2j \text{Im}\left( \frac{1}{\frac{R}{L}-j\omega} \right)+ \frac{E}{2jL} 2j \text{Im}\left( e^{j\omega t} \frac{1}{\frac{R}{L}+j\omega} \right)

:

= i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+ \frac{E\omega}{L \left[ \left(\frac{R}{L}\right)^2 + \omega^2 \right] } e^{-\frac{R}{L}t}+ \frac{E}{L \left[ \left(\frac{R}{L}\right)^2 + \omega^2 \right] } \left[ \frac{R}{L}\sin(\omega t) -\omega\cos(\omega t) \right]

:

i(t) = i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+ \frac{E\omega}{L \left[ \left(\frac{R}{L}\right)^2 + \omega^2 \right] } e^{-\frac{R}{L}t}+ \frac{E}{L \sqrt{ \left(\frac{R}{L}\right)^2 + \omega^2 } } \sin\left[\omega t-\tan^{-1}\left(\frac{\omega L}{R}\right)\right]

2. 1. 1. 전압 및 전류

회로의 전류는 회로가 직렬로 연결되어 있으므로 모든 지점에서 동일하다.

:

I(s) = \frac{V_\mathrm{in}(s)}{R + Ls}\,.

2. 1. 2. 전달 함수

유도자 전압에 대한 전달 함수는 다음과 같다.

:

H_L(s) = \frac{ V_L(s) }{ V_\mathrm{in}(s) } = \frac{ Ls }{ R + Ls } = G_L e^{j \phi_L} \,.

마찬가지로, 저항 전압에 대한 전달 함수는 다음과 같다.

:

H_R(s) = \frac{ V_R(s) }{ V_\mathrm{in}(s) } = \frac{ R }{ R + Ls } = G_R e^{j \phi_R} \,.

전류에 대한 전달 함수는 다음과 같다.

:

H_I(s) = \frac{ I(s) }{ V_\mathrm{in}(s) } = \frac{ 1 }{ R + Ls }  \,.

전달 함수는 다음 위치에 있는 단일 극점을 갖는다.

:

s = -\frac{R}{L} \,.

또한, 인덕터에 대한 전달 함수는 원점에 있는 영점을 갖는다.

2. 1. 3. 이득 및 위상각

두 소자에서의 이득은 위 식의 크기를 구하여 얻을 수 있다.

:

G_L = \big| H_L(\omega) \big| = \left|\frac{V_L(\omega)}{V_\mathrm{in}(\omega)}\right| = \frac{\omega L}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L\right)^2}}

그리고

:

G_R = \big| H_R(\omega) \big| = \left|\frac{V_R(\omega)}{V_\mathrm{in}(\omega)}\right| = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L\right)^2}}\,,

위상각은 다음과 같다.

:

\phi_L = \angle H_L(s) = \tan^{-1}\left(\frac{R}{\omega L}\right)

그리고

:

\phi_R = \angle H_R(s) = \tan^{-1}\left(-\frac{\omega L}{R}\right)\,.

2. 1. 4. 페이저 표기법

이러한 표현들을 함께 사용하여 출력을 나타내는 페이저에 대한 일반적인 표현식에 대입할 수 있다.^[2]

:

\begin{align}V_L &= G_{L}V_\mathrm{in} e^{j \phi_L}\\V_R &= G_{R}V_\mathrm{in}e^{j \phi_R}\end{align}

2. 1. 5. 임펄스 응답

각 전압에 대한 임펄스 응답은 해당 전달 함수의 역 라플라스 변환이다. 이는 임펄스 또는 디랙 델타 함수로 구성된 입력 전압에 대한 회로의 응답을 나타낸다.

인덕터 전압에 대한 임펄스 응답은 다음과 같다.

:

h_L(t) = \delta(t) -\frac{R}{L} e^{-t\frac{R}{L}} u(t) = \delta(t) -\frac{1}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} u(t) \,,

여기서 ''u''(''t'')는 헤비사이드 계단 함수이고 ''τ'' = ''L''/''R''는 시정수이다.

마찬가지로, 저항 전압에 대한 임펄스 응답은 다음과 같다.

:

h_R(t) = \frac{R}{L} e^{-t \frac{R}{L}} u(t) = \frac{1}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} u(t) \,.

2. 1. 6. 영입력 응답 (ZIR)

'''영입력 응답''' (ZIR)은 '''고유 응답'''이라고도 하며, RL 회로가 일정 전압과 전류에 도달한 후 전원에서 분리된 후의 회로 동작을 설명한다. 이는 입력이 필요 없기 때문에 영입력 응답이라고 불린다.

RL 회로의 ZIR은 다음과 같다.

:I(t) = I(0)e^{-&frac;R;L; t} = I(0)e^-&frac;t;τ.

2. 1. 7. 주파수 영역 분석

주파수 영역 표현식을 분석하면 회로(또는 필터)가 어떤 주파수를 통과시키고 차단하는지 알 수 있다. 이 분석은 주파수가 매우 커지거나 매우 작아질 때 이득에 어떤 일이 발생하는지를 고려하여 이루어진다.

''ω'' → ∞ 일 때:

:: ''G_L'' → 1 and ''G_R'' → 0

''ω'' → 0 일 때:

:: ''G_L'' → 0 and ''G_R'' → 1

이것은 출력이 인덕터에 걸리면 고주파는 통과하고 저주파는 감쇠(차단)된다는 것을 보여준다. 따라서 회로는 ''고역 통과 필터''로 작동한다. 그러나 출력이 저항에 걸리면 고주파는 차단되고 저주파는 통과한다. 이 구성에서 회로는 ''저역 통과 필터''로 작동한다. 이것을 RC 회로에서 저항 출력의 동작과 비교해 보면 반대라는 것을 알 수 있다.

필터가 통과시키는 주파수 범위를 대역폭이라고 한다. 필터가 신호를 필터링되지 않은 전력의 절반으로 감쇠시키는 지점을 차단 주파수라고 한다. 이를 위해서는 회로의 이득이 다음과 같이 감소해야 한다.

:: ''G_L'' = ''G_R'' = 1/√2

위의 방정식을 풀면 다음을 얻는다.

:: ''ω''_c = ''R''/''L'' rad/s or ''f''_c = ''R''/(2π''L'') Hz

이것이 필터가 원래 전력의 절반으로 감쇠하는 주파수이다.

분명히 위상도 주파수에 따라 달라지지만, 이 효과는 일반적으로 이득 변화보다 덜 흥미롭다.

''ω'' → 0 일 때:

:: ''ϕ_L'' → 90° = π/2 radians and ''ϕ_R'' → 0

''ω'' → ∞ 일 때:

:: ''ϕ_L'' → 0 and ''ϕ_R'' → -90° = -π/2 radians

따라서 직류 (0 Hz)에서 저항 전압은 신호 전압과 위상이 같고 인덕터 전압은 90° 앞선다. 주파수가 증가함에 따라 저항 전압은 신호에 대해 90° 뒤지고 인덕터 전압은 신호와 위상이 같아진다.

2. 1. 8. 시간 영역 분석

이 절은 자연 로그 상수/natural logarithm^영어인 ''e''에 대한 지식을 필요로 한다.

가장 직접적인 시간 영역 동작을 도출하는 방법은 위에 주어진 V_L 및 V_R에 대한 식의 라플라스 변환을 사용하는 것이다. 이는 실제로 ''jω'' → ''s''로 변환한다. 계단 입력을 가정하면 (즉, ''t'' = 0 전에는 V_in = 0이고 ''t'' = 0 이후에는 V_in = ''V''):

:

\begin{align}V_\mathrm{in}(s) &= V\cdot\frac{1}{s} \\V_L(s) &= V\cdot\frac{sL}{R + sL}\cdot\frac{1}{s} \\V_R(s) &= V\cdot\frac{R}{R + sL}\cdot\frac{1}{s}\,.\end{align}

부분 분수 전개와 역 라플라스 변환은 다음과 같다.

:

\begin{align}V_L(t) &= Ve^{-t\frac{R}{L}} \\V_R(t) &= V\left(1 - e^{-t\frac{R}{L}}\right)\,.\end{align}

따라서 인덕터 양단의 전압은 시간이 지남에 따라 0으로 향하고, 저항 양단의 전압은 ''V''로 향한다. 이는 회로의 전류가 변화하는 동안 인덕터에만 전압이 가해진다는 직관적인 관점과 일치한다. — 회로가 정상 상태에 도달하면 더 이상 전류 변화가 없고, 궁극적으로 인덕터 전압도 없다.

이러한 방정식은 직렬 RL 회로가 시간 상수, 일반적으로 ''τ'' = ''L/R''로 표시됨을 보여주며, 이는 구성 요소 양단의 전압이 감소(인덕터 양단)하거나 증가(저항 양단)하여 최종 값의 1/''e'' 이내로 되는 데 걸리는 시간이다. 즉, ''τ''는 V_L이 V(1/''e'')에 도달하고 V_R이 V(1 − 1/''e'')에 도달하는 데 걸리는 시간이다.

변화율은 ''τ''당 ''분수'' 1 − 1/''e''이다. 따라서 ''t'' = ''Nτ''에서 ''t'' = (''N'' + 1)''τ''로 이동하면 전압은 ''t'' = ''Nτ''에서 해당 수준에서 최종 값을 향해 약 63% 이동한다. 따라서 인덕터 양단의 전압은 ''τ'' 후에 약 37%로 감소하고, 약 5''τ'' 후에 본질적으로 0(0.7%)으로 감소한다. 키르히호프의 전압 법칙은 저항 양단의 전압이 동일한 속도로 '상승'함을 의미한다. 전압원이 단락 회로로 교체되면 저항 양단의 전압은 ''t''에 따라 ''V''에서 0으로 지수적으로 감소한다. 저항은 ''τ'' 후에 약 37%로 방전되고, 약 5''τ'' 후에 본질적으로 완전히 방전(0.7%)된다. 회로의 전류 ''I''는 옴의 법칙을 통해 저항 양단의 전압처럼 동작한다.

회로의 상승 또는 하강 시간의 지연은 이 경우 인덕터의 역기전력으로 인해 발생하며, 이는 인덕터를 통과하는 전류가 변화하려고 할 때 전류(및 따라서 저항 양단의 전압)가 회로의 시간 상수보다 훨씬 빠르게 상승하거나 하강하는 것을 방지한다. 모든 전선은 어느 정도의 자기 인덕턴스와 저항을 가지고 있으므로 모든 회로는 시간 상수를 갖는다. 결과적으로 전원 공급 장치가 켜지면 전류가 즉시 정상 상태 값, ''V/R''에 도달하지 않는다. 대신 상승하는 데 여러 시간 상수가 걸린다. 그렇지 않고 전류가 즉시 정상 상태에 도달하면 자기장의 급격한 변화로 인해 매우 강력한 유도 전기장이 생성되어 회로의 공기가 파괴되고 전기 아크가 발생하여 구성 요소(및 사용자)가 손상될 수 있다.

이러한 결과는 회로를 설명하는 미분 방정식을 풀어서 얻을 수도 있다.

:

\begin{align}V_\mathrm{in} &= IR + L\frac{dI}{dt} \\V_R &= V_\mathrm{in} - V_L \,.\end{align}

첫 번째 방정식은 적분 인자를 사용하여 풀고 전류를 구하며, 이를 미분하여 V_L을 제공해야 한다. 두 번째 방정식은 간단하다. 해는 라플라스 변환을 통해 얻은 것과 정확히 같다.

2. 1. 9. 단락 회로 방정식

단락 평가를 위해 RL 회로를 고려한다. 일반적인 방정식은 다음과 같다.

:

v_{in} (t)=v_L (t)+ v_R (t)=L\frac{di}{dt} + Ri

초기 조건:

:

i(0) = i_0

라플라스 변환으로 풀 수 있다.

:

V_{in}(s)=sLI-Li_0+RI

따라서:

:

I(s)=\frac{Li_o+V_{in}}{sL+R}

그런 다음 역변환은 다음과 같이 반환한다.

:

i(t)=i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{V_{in}}{sL+R}\right]

전원 전압이 헤비사이드 계단 함수(DC)인 경우:

:

v_{in}(t)=Eu(t)

다음과 같이 반환한다.

:

i(t)=i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E}{s(sL+R)}\right] = i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+\frac{E}{R}\left( 1 - e^{-\frac{R}{L}t} \right)

전원 전압이 사인 함수 (AC)인 경우:

:

v_{in}(t)=E\sin(\omega t) \Rightarrow V_{in}(s)= \frac{E\omega}{s^2+\omega^2}

다음과 같이 반환한다.

:

i(t)=i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E\omega}{(s^2+\omega^2)(sL+R)}\right] = i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E\omega}{2j\omega}\left(\frac{1}{s-j\omega} - \frac{1}{s+j\omega}\right)\frac{1}{(sL+R)}\right]

:

= i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+ \frac{E}{2jL} \mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{1}{s+\frac{R}{L}} \left( \frac{1}{\frac{R}{L}-j\omega} - \frac{1}{\frac{R}{L}+j\omega} \right)+\frac{1}{s-j\omega}\frac{1}{\frac{R}{L}+j\omega} - \frac{1}{s+j\omega}\frac{1}{\frac{R}{L}-j\omega}\right]

:

= i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+ \frac{E}{2jL} e^{-\frac{R}{L}t} 2j \text{Im}\left( \frac{1}{\frac{R}{L}-j\omega} \right)+ \frac{E}{2jL} 2j \text{Im}\left( e^{j\omega t} \frac{1}{\frac{R}{L}+j\omega} \right)

:

= i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+ \frac{E\omega}{L \left[ \left(\frac{R}{L}\right)^2 + \omega^2 \right] } e^{-\frac{R}{L}t}+ \frac{E}{L \left[ \left(\frac{R}{L}\right)^2 + \omega^2 \right] } \left[ \frac{R}{L}\sin(\omega t) -\omega\cos(\omega t) \right]

:

i(t) = i_0 e^{-\frac{R}{L}t}+ \frac{E\omega}{L \left[ \left(\frac{R}{L}\right)^2 + \omega^2 \right] } e^{-\frac{R}{L}t}+ \frac{E}{L \sqrt{ \left(\frac{R}{L}\right)^2 + \omega^2 } } \sin\left[\omega t-\tan^{-1}\left(\frac{\omega L}{R}\right)\right]

2. 2. 병렬 RL 회로

저항과 인덕터가 병렬로 연결되어 전압원으로 공급될 때, 이를 RL 병렬 회로라고 한다.^[2] 병렬 RL 회로는 전류원으로 공급되지 않는 한 직렬 회로보다 일반적으로 덜 중요하게 여겨진다. 이는 주로 출력 전압 (V/V^영어_out)이 입력 전압(V/V^영어_in)과 같기 때문이다. 결과적으로 이 회로는 전압 입력 신호에 대한 필터 역할을 하지 않는다.

복소 임피던스는 다음과 같다.

: I_R = V_in/R

: I_L = V_in/jωL = -jV_in/ωL

이는 인덕터가 저항(및 소스) 전류보다 90° 뒤쳐짐을 보여준다.

병렬 회로는 많은 증폭기 회로의 출력에서 볼 수 있으며, 고주파수에서 정전 용량 부하 효과로부터 증폭기를 격리하는 데 사용된다. 정전 용량으로 인해 발생하는 위상 변화 때문에 일부 증폭기는 매우 높은 주파수에서 불안정해져 발진하는 경향이 있다. 이는 특히 트랜지스터와 같은 음질 및 구성 요소 수명에 영향을 미친다.

2. 2. 1. 복소 임피던스

복소 임피던스 ''Z_L'' (옴)는 인덕턴스 ''L'' (헨리)를 갖는 인덕터의 복소 임피던스로 다음과 같이 나타낸다.

: ''Z_L'' = ''Ls''.

복소 주파수 ''s''는 복소수이며,

: ''s'' = ''σ'' + ''jω'' ,

여기서,

''j''는 허수 단위를 나타낸다: ''j''² = −1,
''σ''는 지수 감쇠 상수(단위: 라디안 매 초),
''ω''는 각주파수 (단위: 라디안 매 초)이다.

3. 교류 전압과 RL 회로

진동수가 프리퀀시/frequency^영어 $f$ 인 교류 전압이 흐르고 유도 인덕턴스가 $L$ 인 코일이 연결된 RL 회로의 유도 리액턴스 $X_L$ 는 다음과 같이 나타난다.

: $X_L=2\pi fL$

3. 1. 유도 리액턴스

진동수가

f

인 교류 전압이 흐르고 유도 인덕턴스가

L

인 코일이 연결된 RL 회로의 유도 리액턴스

X_L

는 다음과 같이 나타난다.

:

X_L=2\pi fL

4. 응용 분야

4. 1. 필터

4. 2. RF 증폭기

5. 한국의 RL 회로 연구 및 개발 동향

참조

_[1] 웹사이트 RL Circuit: Formula, Equitation & Diagram https://www.linquip.[...] 2022-03-16
_[2] 웹사이트 RL Circuit : Working, Phasor Diagram, Impedance & Its Uses https://www.elprocus[...] 2022-03-16

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