Y-Δ 변환

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1. 개요
2. 명칭
3. 기초 변환
- 3.1. Δ 회로에서 Y 회로로의 변환
- 3.2. Y 회로에서 Δ 회로로의 변환
4. 변환 공식 유도 (증명)
5. 회로망의 간단화
6. 그래프 이론
7. 실제 발전기의 Δ-Y 변환
참조

1. 개요

Y-Δ 변환은 전기 회로에서 사용되는 변환 기법으로, 회로의 Y(와이, T, 스타) 형태와 Δ(델타, 삼각형, 파이, 메시) 형태 사이의 등가성을 나타낸다. 이 변환은 회로망의 임피던스를 변환하여 회로를 단순화하는 데 사용되며, 특히 브릿지 회로와 같이 직렬 및 병렬 연결만으로는 분석이 어려운 회로를 분석하는 데 유용하다. Y-Δ 변환은 Y 회로를 Δ 회로로, 또는 그 반대로 변환하는 공식을 제공하며, 복소 임피던스에도 적용될 수 있다. 그래프 이론에서도 Y-Δ 변환은 그래프의 Y 부분을 Δ 부분으로 대체하는 것을 의미하며, 실제 발전기의 삼상 교류 전력 시스템 분석을 단순화하기 위해 등가 단상 회로를 구성하는 데 활용된다.

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Y-Δ 변환
개요
Y-Δ 변환 회로도
유형	회로 분석 기술
Y-Δ 변환 (T-π 변환)
설명	회로망 분석 방법 중 하나로, Y형(Y, T) 회로와 Δ형(Δ, π) 회로를 등가 회로로 변환하는 기술이다. 전기 회로를 단순화하거나 해석하기 어려운 회로를 분석하는 데 사용된다.
적용 분야	3상 회로 분석 전력 시스템 분석 통신 회로 설계
관련 개념	옴의 법칙 키르히호프의 법칙 테브난의 정리 노턴의 정리
변환 공식
Y -> Δ 변환
Δ -> Y 변환
참고 사항
주의점	Y-Δ 변환은 선형 회로에만 적용 가능하다. 전원이나 종속 전원이 포함된 회로에는 직접 적용할 수 없으며, 테브난 정리나 노턴 정리를 이용하여 등가 회로로 변환한 후 적용해야 한다.
역사	A. E. Kennelly가 1899년에 처음 발표하였다.

2. 명칭

Y-Δ 변환은 회로의 두 가지 모양에서 비롯된 여러 이름으로 알려져 있다. Y는 '와이'로 표기하며, T 또는 스타라고도 부른다. Δ는 '델타'로 표기하며, 삼각형, Π(파이) 또는 메시라고도 부른다. 따라서 이 변환은 일반적으로 와이-델타, 델타-와이, 스타-델타, 스타-메시, 또는 T-Π 변환이라고 부른다.

3. 기초 변환

Y-Δ 변환은 3개의 단자를 가진 Y 회로와 Δ 회로가 서로 등가임을 보이는 변환이다.

두 회로가 등가이기 위해서는, 임의의 두 단자 사이의 임피던스가 두 회로에서 동일해야 한다. 이 변환은 3개의 선으로 연결된 서로 다른 모양의 회로망이 실제로는 같은 것임을 보여주며, 3개의 말단부 공통 노드에 전력을 공급하는 능동소자가 없을 경우 임피던스 변환을 통해 노드를 없앨 수 있다.

주어진 방정식은 복소수 임피던스뿐만 아니라 실수 임피던스에도 유효하다. 복소 임피던스는 저항을 양의 실수로, 전기 리액턴스를 양수 및 음수 허수로 나타내는 옴 단위로 측정되는 양이다.

3. 1. Δ 회로에서 Y 회로로의 변환

Y 회로의 각 단자에 연결된 임피던스(

R_y

)는 Δ 회로에서 인접한 두 저항의 곱을 Δ 회로의 모든 저항의 합으로 나눈 값으로 표현된다.

:

R_y = \frac{R'R''}{\sum R_\Delta}

여기서

R_\Delta

는 Δ 회로의 모든 임피던스의 합이고,

R'

와

R''

는 Y 회로의 해당 단자에 인접한 Δ 회로의 두 임피던스이다.

이를 통해, Δ 회로(

R_a, R_b, R_c

)를 Y 회로(

R_1, R_2, R_3

)로 변환하는 공식은 다음과 같다.

:

R_1 = \frac{R_bR_c}{R_a + R_b + R_c}

:

R_2 = \frac{R_aR_c}{R_a + R_b + R_c}

:

R_3 = \frac{R_aR_b}{R_a + R_b + R_c}

공식 유도:Δ 회로에서

N_3

가 끊어진 상태에서

N_1

과

N_2

사이의 임피던스(

R_\Delta(N_1, N_2)

)는 다음과 같이 계산된다.

:

R_\Delta(N_1, N_2) = R_c \parallel (R_a + R_b) = \frac{R_c(R_a + R_b)}{R_a + R_b + R_c}

Y 회로에서

N_1

과

N_2

사이의 임피던스는

R_1 + R_2

이므로,

:

R_1 + R_2 = \frac{R_c(R_a + R_b)}{R_a + R_b + R_c}

(1)

같은 방식으로,

:

R_2 + R_3 = \frac{R_a(R_b + R_c)}{R_a + R_b + R_c}

(2)

:

R_1 + R_3 = \frac{R_b(R_a + R_c)}{R_a + R_b + R_c}

(3)

(1), (2), (3) 식을 연립하여

R_1, R_2, R_3

를 구할 수 있다. 예를 들어, (1)식과 (3)식을 더하고 (2)식을 빼면,

:

2R_1 = \frac{2R_bR_c}{R_a + R_b + R_c}

따라서,

:

R_1 = \frac{R_bR_c}{R_a + R_b + R_c}

R_2

와

R_3

도 같은 방식으로 유도할 수 있다.

3. 2. Y 회로에서 Δ 회로로의 변환

Y 회로에서 Δ 회로로 변환하는 일반적인 공식은 다음과 같다.

:

R_\Delta = \frac{R_P}{R_\text{opposite}}

여기서

R_P = R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1

는 Y 회로의 모든 임피던스 쌍의 곱의 합이고,

R_\text{opposite}

는

R_\Delta

를 가진 변의 반대편에 있는 Y 회로 노드의 임피던스이다.

각 변에 대한 구체적인 공식은 다음과 같다.^[1]

:

\begin{align}R_\text{a} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1}  \\[3pt]R_\text{b} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2}  \\[3pt]R_\text{c} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_3}\end{align}

어드미턴스를 저항 대신 사용하는 경우, 공식은 다음과 같이 표현된다.^[2]

:

\begin{align}Y_\text{a} &= \frac{Y_3 Y_2}{\sum Y_\text{Y}} \\[3pt]Y_\text{b} &= \frac{Y_3 Y_1}{\sum Y_\text{Y}} \\[3pt]Y_\text{c} &= \frac{Y_1 Y_2}{\sum Y_\text{Y}}\end{align}

4. 변환 공식 유도 (증명)

Y-Δ 변환 공식은 회로 이론의 중첩 정리를 이용하여 증명할 수 있다. 두 회로가 동등하다는 것은 3개의 노드 ( $N_1, N_2, N_3$ )에 외부 전압 ( $V_1, V_2, V_3$ )을 가했을 때, Y 회로와 Δ 회로에서 각각 흐르는 전류 ( $I_1, I_2, I_3$ )가 정확히 같다는 것을 보이는 것이다.

증명 과정은 다음과 같다. 먼저, 노드에 주어진 외부 전류를 가정하고, 중첩 정리에 따라 전압을 전류가 있는 세 노드에 적용되는 세 가지 문제의 노드에서 발생하는 전압의 중첩으로 구한다.

# $\frac{1}{3}\left(I_1 - I_2\right), -\frac{1}{3}\left(I_1 - I_2\right), 0$

# $0,\frac{1}{3}\left(I_2 - I_3\right), -\frac{1}{3}\left(I_2 - I_3\right)$

# $-\frac{1}{3}\left(I_3 - I_1\right), 0, \frac{1}{3}\left(I_3 - I_1\right)$

키르히호프의 회로 법칙에 의해 $I_1 + I_2 + I_3 = 0$ 이 성립한다. 각 문제는 단일 이상적인 전류원만 포함하므로, 각 문제에서 노드의 전압이 동일하게 되려면 두 회로의 등가 저항이 같아야 한다. 이는 직렬 회로와 병렬 회로의 기본 규칙을 사용하여 구할 수 있다.

: $R_3 + R_1 = \frac{\left(R_\text{c} + R_\text{a}\right)R_\text{b}}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}},\quad\frac{R_3}{R_1} = \frac{R_\text{a}}{R_\text{c}}.$

이 식들을 통해 6개의 방정식을 얻을 수 있고 이를 통해, 3개의 다른 변수( $R_\text{a}, R_\text{b}, R_\text{c}$ )를 기준으로 세 변수( $R_1, R_2, R_3$ )를 표현할 수 있다.

유일성 정리는 이러한 해의 유일성을 보장한다.

일반적으로 Y 연결 회로의 특정 단자에 연결된 임피던스 Ry는 Δ 연결 회로에서 인접한 노드로의 임피던스 $R'$ 및 $R''$ 으로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $R_y = \frac{R'R''}{\sum R_\Delta}$

단, $\sum R_\Delta$ 는 Δ 연결 회로의 모든 임피던스의 합이다. 이를 통해 다음 식을 얻을 수 있다.

: $R_{a} = \frac{R_{ab}R_{ac}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ac}}$

: $R_{b} = \frac{R_{ab}R_{bc}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ac}}$

: $R_{c} = \frac{R_{bc}R_{ac}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ac}}$

위의 공식은 다음과 같이 유도한다.

1. 병렬 연결된 저항 값을 구하는 공식으로부터 다음 3개의 식을 유도한다.

: $R_{a}+R_{b} = \frac{R_{ab}(R_{bc}+R_{ac})}{R_{ab} + (R_{bc} + R_{ac})}$

: $R_{b}+R_{c} = \frac{R_{bc}(R_{ac}+R_{ab})}{R_{bc} + (R_{ac} + R_{ab})}$

: $R_{c}+R_{a} = \frac{R_{ac}(R_{ab}+R_{bc})}{R_{ca} + (R_{ab} + R_{bc})}$

2. 위 3개의 식의 양변을 더하여 다음 식을 유도한다.

: $R_{a}+R_{b}+R_{c} = \frac{R_{ab}R_{bc}+R_{bc}R_{ac}+R_{ac}R_{ab}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ac}}$

3. 원래의 3개의 식과의 차이를 구하여 임피던스를 계산하는 식을 유도한다.

예)

: $R_{b}+R_{c} = \frac{R_{bc}(R_{ac}+R_{ab})}{R_{bc} + R_{ac} + R_{ab}}$

와의 차이를 구하면,

: $R_{a} = \frac{R_{ab}R_{ac}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ac}}$

일반적으로, Δ 결선 회로의 특정 단자 사이에 연결되는 임피던스 $R_\Delta$ 는 다음 식으로 나타낸다.

: $R_\Delta = \frac{R_P}{R_\mathrm{opposite}}$

단, $R_P = R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}$ 이며, Y 결선 회로 내 임피던스 2개의 곱의 합이다. $R_\mathrm{opposite}$ 는 $R_\Delta$ 에 대응하는 변의 임피던스이다. 이를 통해 다음 식을 얻는다.

: $R_{ab} = \frac{R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}$

: $R_{bc} = \frac{R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{a}}$

: $R_{ac} = \frac{R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{b}}$

5. 회로망의 간단화

Y-Δ 변환은 복잡한 회로망을 단순화하는 데 사용될 수 있다. Y-Δ 변환은 한 번에 하나의 노드를 제거하는 방식으로 회로를 단순화한다. 예를 들어,

브릿지 저항회로에서 노드 ''D''를 없애기 위해 Y-Δ 변환을 사용하여 더 단순한 회로망으로 바꾼 모습

와 같이 브릿지 저항 회로에서 특정 노드를 제거하여 더 간단한 회로로 만들 수 있다.

Δ-Y 변환은 노드를 추가하는 방식으로 회로를 단순화하며, 직병렬 변환을 가능하게 만들어 추가적인 단순화를 할 수 있다. 예를 들어,

브릿지 저항회로에서, Δ-Y 변환을 이용하여 회로를 간단하게 바꾸는 모습

와 같이 브릿지 저항 회로에 Δ-Y 변환을 적용하여 직병렬 변환이 가능한 형태로 만들 수 있다.

하지만, 평면 그래프 형태가 아닌 일부 비평면 회로망(예: 토러스 형태의 격자, 페테르센 그래프)은 Y-Δ 변환을 사용하여 단순화할 수 없는 경우가 존재한다.^[6]

6. 그래프 이론

그래프 이론에서 Y-Δ 변환이란 한 그래프 내의 Y 부분 그래프를 등가의 Δ 부분 그래프로 변환하는 작업을 의미한다. 이 변환은 그래프의 변 수는 그대로이나, 꼭짓점의 수나 순환의 수는 달라질 수 있다. 두 그래프가 한 그래프에서 Y-Δ 변환을 통해 다른 그래프로 모양을 바꿀 수 있다면 이 두 그래프는 '''Y-Δ 등가'''라고 부른다. 예를 들어, 페테르센 족은 Y-Δ 동치관계이다.

7. 실제 발전기의 Δ-Y 변환

평형 삼상 전력 시스템을 분석할 때는 보통 등가 단상 회로를 사용하여 단순화한다. 이를 위해 발전기, 변압기, 부하 및 전동기에 등가 와이(Y) 연결을 사용한다. 다음은 델타(Δ) 결선 삼상 발전기의 고정자 권선을 등가 와이(Y) 결선 발전기로 변환하는 공식이다.

델타/삼각형/파이로 연결된 실제 발전기. 표시된 값은 위상 전압 및 복소 임피던스이다.

$Z_\text{s1Y} = \dfrac{Z_\text{s1} \, Z_\text{s3}}{Z_\text{s1} + Z_\text{s2} + Z_\text{s3}}$
$Z_\text{s2Y} = \dfrac{Z_\text{s1} \, Z_\text{s2}}{Z_\text{s1} + Z_\text{s2} + Z_\text{s3}}$
$Z_\text{s3Y} = \dfrac{Z_\text{s2} \, Z_\text{s3}}{Z_\text{s1} + Z_\text{s2} + Z_\text{s3}}$
$V_\text{s1Y} = \left( \dfrac{V_\text{s1}}{Z_\text{s1}} - \dfrac{V_\text{s3}}{Z_\text{s3}} \right) Z_\text{s1Y}$
$V_\text{s2Y} = \left( \dfrac{V_\text{s2}}{Z_\text{s2}} - \dfrac{V_\text{s1}}{Z_\text{s1}} \right) Z_\text{s2Y}$
$V_\text{s3Y} = \left( \dfrac{V_\text{s3}}{Z_\text{s3}} - \dfrac{V_\text{s2}}{Z_\text{s2}} \right) Z_\text{s3Y}$

결과 네트워크는 다음과 같다. 등가 네트워크의 중성 노드는 가상이며 선간 전압도 마찬가지이다. 변환하는 동안 선 전압과 선(또는 선간 또는 상간) 전압은 변경되지 않는다.

만약 실제 델타 발전기가 평형을 이루는 경우, 즉 내부 위상 전압의 크기가 같고 서로 120° 위상 변위가 있으며 세 개의 복소 임피던스가 동일한 경우에는 위의 공식이 다음과 같이 간단해진다.

$Z_\text{sY} = \dfrac{Z_\text{s}}{3}$
$V_\text{s1Y} = \dfrac{V_\text{s1}}{\sqrt{3} \, \angle \pm 30^\circ}$
$V_\text{s2Y} = \dfrac{V_\text{s2}}{\sqrt{3} \, \angle \pm 30^\circ}$
$V_\text{s3Y} = \dfrac{V_\text{s3}}{\sqrt{3} \, \angle \pm 30^\circ}$

마지막 세 방정식의 경우 위상 시퀀스가 양수/''abc''이면 첫 번째 부호(+)를 사용하고, 위상 시퀀스가 음수/''acb''이면 두 번째 부호(−)를 사용한다.

참조

_[1] 간행물 Equivalence of triangles and three-pointed stars in conducting networks
_[2] 간행물 Circular planar graphs and resistor networks
_[3] 간행물 On the delta-wye reduction for planar graphs
_[4] 간행물 Equivalence of triangles and three-pointed stars in conducting networks
_[5] 간행물 Circular planar graphs and resistor networks http://www.sciencedi[...]
_[6] 간행물 On the delta-wye reduction for planar graphs http://onlinelibrary[...]

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