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경험적 누적 분포 함수

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목차

1. 개요

경험적 누적 분포 함수는 확률 공간에서 정의된, 표본 데이터를 기반으로 누적 분포 함수를 추정하는 방법이다. 표본의 원소 수를 통해 계산되며, 지시 함수를 사용하여 정의할 수 있다. 경험적 누적 분포 함수는 강한 대수의 법칙과 글리벤코-칸텔리 정리에 의해 참 누적 분포 함수로 수렴하며, 중심 극한 정리를 따른다. 또한, 드보레츠키-키퍼-울로위츠 부등식을 통해 경험적 누적 분포 함수와 참 누적 분포 함수 사이의 차이에 대한 확률 경계를 제공한다. 다양한 통계 소프트웨어에서 구현되어 시각화 및 분석에 활용되며, 글리벤코-칸텔리의 이름을 따서 명명되었다.

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경험적 누적 분포 함수
개요
유형통계
분야수학 통계학
정의
정의표본의 경험적 측정과 관련된 분포 함수
속성
속성비모수적
수렴글리벤코-칸텔리 정리
계산
계산식1/n
표본 크기n
관련 항목
관련 항목빈도 분포

2. 정의

확률 공간 $(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})$ 위의 $n$개의 동일 분포 확률 변수 $X_1, X_2, \dots, X_n\colon\Omega\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$의 '''경험적 누적 분포 함수'''는 다음과 같이 정의된다.

:$F_n\colon\Omega\times\mathbb R\to[0,1]$

:$F_n\colon(\omega,x)\mapsto n^{-1}\sum_{k=1}^n1_{(-\infty,x]}(X_k(\omega))$

''X''1, …, ''X''''n''영어를 공통 누적 분포 함수 $F(t)$를 갖는 독립적이고 동일하게 분포된 실수형 확률 변수라고 할 때, '''경험적 분포 함수'''는 다음과 같이 정의된다.[2]

:$\widehat F_n(t) = \frac{\mbox{표본의 원소 수} \leq t}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{X_i \le t}$

여기서 $\mathbf{1}_{A}$는 지시 함수이며 사건 $A$에 대한 지시 함수이다. 고정된 $t$에 대해, 지시 함수 $\mathbf{1}_{X_i \le t}$는 모수 $p = F(t)$를 갖는 베르누이 분포 확률 변수이므로, $n \widehat F_n(t)$는 평균 $nF(t)$ 및 분산 $nF(t)(1 - F(t))$를 갖는 이항 분포 확률 변수이다. 이는 $\widehat F_n(t)$가 $F(t)$에 대한 비편향 추정량임을 의미한다.

일부 교과서에서는 다음과 같이 정의하기도 한다.

:$\widehat F_n(t) = \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{X_i \le t}$[3][4]

3. 성질

강한 대수의 법칙에 의해, 추정량 \scriptstyle\widehat{F}_n(t)은 모든 t 값에 대해 F(t)로 n이 무한대로 갈 때 거의 확실히 수렴한다.[2] 따라서 \scriptstyle\widehat{F}_n(t)는 일치추정량이다.

글리벤코-칸텔리 정리는 경험적 분포 함수가 참 누적 분포 함수로 점별 수렴할 뿐만 아니라, t에 대해 균일하게 수렴한다고 설명한다.[5]

반복 로그 법칙에 따른 결과는 다음과 같다.[6]

:

\limsup_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}\|\widehat{F}_n-F\|_\infty}{\sqrt{2\ln\ln n}} \leq \frac12, \quad \text{a.s.}



:

\liminf_{n\to\infty} \sqrt{2n\ln\ln n} \|\widehat{F}_n-F\|_\infty = \frac{\pi}{2}, \quad \text{a.s.}


3. 1. 점근적 성질

글리벤코-칸텔리 정리에 따르면, 경험적 누적 분포 함수는 표본 크기가 무한대로 갈 때 모집단의 누적 분포 함수로 균등 수렴한다.[8][9] 이는 거의 확실하게 수렴함을 의미한다.

큰 수의 강법칙에 의해, 경험적 누적 분포 함수 \scriptstyle\widehat{F}_n(t)는 모든 t 값에 대해 실제 누적 분포 함수 F(t)로 거의 확실히 수렴하며, 이는 일치추정량임을 나타낸다.[2]

콜모고로프-스미르노프 검정은 경험적 분포 함수와 실제 누적 분포 함수 간의 적합도를 평가하는 데 사용되며, 크라메르-폰 미제스 기준은 L2-노름을 사용하여 유사한 측정을 제공한다.

중심 극한 정리에 따르면, 경험적 누적 분포 함수는 점별로 정규 분포로 수렴하며, 이 때 수렴 속도는 \sqrt{n}이다.[2]

동스커의 정리는 경험적 과정이 스코로호드 공간에서 평균이 0인 가우시안 과정으로 분포 수렴함을 보여준다.[5] 이 가우시안 과정의 공분산은 다음과 같이 주어진다.

:

\operatorname{E}[\,G_F(t_1)G_F(t_2)\,] = F(t_1\wedge t_2) - F(t_1)F(t_2).



드보레츠키-키퍼-울로위츠 부등식은 경험적 누적 분포 함수와 모집단 누적 분포 함수 사이의 차이에 대한 확률 경계를 제공한다.[6]

:

\Pr\!\Big( \sqrt{n}\|\widehat{F}_n-F\|_\infty > z \Big) \leq 2e^{-2z^2}.


4. 신뢰 구간

다양한 표본 크기의 정규 분포에 대한 경험적 CDF, CDF 및 신뢰 구간 그래프


다양한 표본 크기의 코시 분포에 대한 경험적 CDF, CDF 및 신뢰 구간 그래프


다양한 표본 크기의 삼각 분포에 대한 경험적 CDF, CDF 및 신뢰 구간 그래프


드보레츠키-키퍼-볼포위츠 부등식에 따르면, 참 CDF F(x)를 포함하는 구간은 확률 1-\alpha로 다음과 같이 주어진다.

:F_n(x) - \varepsilon \le F(x) \le F_n(x) + \varepsilon \; \text{ 여기서 } \varepsilon = \sqrt{\frac{\ln{\frac{2}{\alpha}}}{2n}}.

위의 경계에 따라, 여러 통계 프로그램들을 사용하여 다양한 분포에 대한 경험적 CDF, CDF 및 신뢰 구간을 도식화할 수 있다.

5. 통계적 구현

경험적 누적 분포 함수 구현 소프트웨어
소프트웨어설명
R 소프트웨어"ecdf" 객체를 사용하여 플로팅, 인쇄 및 계산[7]
MATLAB경험적 누적 분포 함수(CDF) 플롯 사용[7]
SAS의 JMPCDF 플롯 생성[7]
Minitab경험적 CDF 생성[7]
Scipyscipy.stats.ecdf 사용[7]
Statsmodelsstatsmodels.distributions.empirical_distribution.ECDF 사용[7]
Matplotlibmatplotlib.pyplot.ecdf 함수 사용 (버전 3.8.0부터)[7]
Seabornseaborn.ecdfplot 함수 사용[7]
Plotlyplotly.express.ecdf 함수 사용[7]
Excel경험적 CDF 플롯 생성[7]


6. 역사

글리벤코-칸텔리 정리는 Вале́рий Ива́нович Гливе́нко|발레리 이바노비치 글리벤코ru와 Francesco Paolo Cantelli|프란체스코 파올로 칸텔리it의 이름을 땄다.

참조

[1] 서적 A modern introduction to probability and statistics: Understanding why and how https://www.worldcat[...] Springer 2005
[2] 서적 Asymptotic statistics https://archive.org/[...] Cambridge University Press
[3] 서적 An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values Springer 2001
[4] 서적 Methods of Structural Safety Dover Publications 2006
[5] 서적 Asymptotic statistics https://archive.org/[...] Cambridge University Press
[6] 서적 Asymptotic statistics https://archive.org/[...] Cambridge University Press
[7] 웹사이트 What's new in Matplotlib 3.8.0 (Sept 13, 2023) — Matplotlib 3.8.3 documentation https://matplotlib.o[...]
[8] 간행물 A Generalization of the Glivenko-Cantelli Theorem https://archive.org/[...] 1959-09
[9] 서적 Probability: Theory and Examples https://services.mat[...] Cambridge University Press 2019


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