스코로호드 공간

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1. 개요

스코로호드 공간은 우크라이나 수학자 아나톨리 스코로호드의 이름을 따서 명명되었으며, 분해 가능 완비 거리 공간과 닫힌구간을 정의하는 카들라그 함수들의 집합이다. 스코로호드 공간은 L^∞ 노름을 부여했을 때 분해 가능 공간을 이루지 못하는 문제를 해결하기 위해 도입되었다. 스코로호드 공간에는 "공간과 시간을 약간 비틀 수 있는" 위상이 부여될 수 있으며, 스코로호드 메트릭을 통해 정의된다. 이 메트릭은 스코로호드 위상을 생성하며, 이 위상에서 카들라그 함수열의 수렴 조건을 정의할 수 있다. 스코로호드 공간은 폴란드 공간이며, 확률 측도의 콤팩트성을 판별하는 데 사용될 수 있다.

스코로호드 공간

정의

정의	수학에서, 오른쪽 연속 왼쪽 극한 함수 (right continuous with left limits, RCLL) 또는 꼬르드락(프랑스어: continue à droite, limite à gauche, càdlàg) 함수는 모든 점에서 오른쪽 연속이고 왼쪽 극한이 존재하는 함수이다. 꼬르드락 함수는 불연속점이 많을 수 있지만, 셀 수 없이 많지는 않다.

예시

예시	누적 분포 함수 푸아송 과정 금융 수학에서 주가 모델

성질

성질	꼬르드락 함수의 불연속점은 도약 불연속점이며, 그 수는 가산 무한 개 이하이다. 임의의 꼬르드락 함수열은 스코로호드 공간에서 꼬르드락 함수로 수렴하는 부분열을 가진다.

관련 개념	스코로호드 공간: 꼬르드락 함수들의 공간. 왼쪽 연속 오른쪽 극한 함수 (left continuous with right limits, LCRL, càglàd): 꼬르드락 함수와 반대되는 개념으로, 모든 점에서 왼쪽 연속이고 오른쪽 극한이 존재하는 함수이다.

참고 문헌	Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.

2. 정의

분해 가능하고 완비적인 거리 공간 $(X, d_X)$ 와 닫힌구간 $[a,b] \subsetneq \mathbb R$ 가 주어졌을 때, 함수 $f\colon[a,b]\to X$ 가 다음 조건을 만족하면 카들라그 함수라고 한다.

* 모든 $s\in[a,b)$ 에 대해, $f(s) = \lim_{t \to s^+} f(t)$
* 모든 $s\in(a,b]$ 에 대해, $\lim_{t \to s^-} f(t)$ 가 존재

즉, 오른쪽 극한과 왼쪽 극한이 모두 존재하며, 실제 함수 값은 오른쪽 극한과 같아야 한다.

거리 공간 $(M, d)$ 및 $E \subseteq \mathbb{R}$ 에 대해, 함수 $f:E \to M$ 가 모든 $t \in E$ 에서 다음을 만족하면 càdlàg 함수라고도 한다.

* 좌극한 $f(t-) := \lim_{s \to t^{-}}f(s)$ 이 존재하고,
* 우극한 $f(t+) := \lim_{s \to t^{+}}f(s)$ 이 존재하고 $f(t)$ 와 같다.

다시 말해, 카들라그 함수는 좌극한을 갖는 우연속 함수이다.

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2.1. 스코로호드 공간

분해 가능 완비 거리 공간 $(X,d_X)$ 와 닫힌구간 $[a,b] \subsetneq \mathbb R$ 가 주어졌을 때, 카들라그 함수 $f\colon[a,b]\to X$ 가 있다면, 카들라그 함수들의 집합 $\mathbb D([a,b],X)$ 에 다음과 같은 거리 함수를 부여할 수 있다.
: $d_{\mathbb D}(f,g) = \inf_{\theta \in \operatorname{Aut}([a,b])} \max\left\{\sup_{t\in[a,b]} d_X(f(t),g(\theta(t))),\;\sup_{a\le s< t\le b}\left|\ln\frac{\theta(t)-\theta(s)}{t-s}\right|\right\}$
여기서
* $\operatorname{Aut}([a,b])$ 는 $[a,b]\to[a,b]$ 전단사 증가 연속 함수들의 군이다.

이때, $(\mathbb D([a,b],X),d_{\mathbb D})$ 는 분해 가능 완비 거리 공간을 이룬다. 이 공간 $(\mathbb D([a,b],X),d_{\mathbb D})$ 를 스코로호드 공간이라고 한다.

$E$ 에서 $M$ 으로 가는 모든 카들라그(càdlàg) 함수의 집합은 종종 $\mathbb{D}(E:M)$ (또는 간단히 $\mathbb{D}$ )로 표기하며, 우크라이나 수학자 아나톨리 스코로호드의 이름을 따서 스코로호드 공간이라고 불린다.

스코로호드 공간에는 "시간과 공간을 약간 비틀 수 있는" 위상이 할당될 수 있다. (반면, 균등 수렴의 전통적인 위상은 "공간을 약간 비틀 수"만 있다).

간단하게 하기 위해 $E = [0, T]$ 와 $M = \mathbb{R}^n$ 을 사용한다.

연속성의 계수와 유사한 $\varpi'_{f} (\delta)$ 를 정의할 수 있다. 임의의 $F \subseteq E$ 에 대해,
: $w_{f} (F) := \sup_{s, t \in F} | f(s) - f(t) |$
로 두고, $\delta > 0$ 에 대해 càdlàg 계수를 다음과 같이 정의한다.
: $\varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i})),$
여기서 하한은 $\min_i(t_i - t_{i+1}) > \delta$ 를 만족하는 모든 분할 $\Pi = \{0 = t_0 < t_1 < \dots < t_k = T\},\; k \in E$ 에 대해 계산된다. $f$ 는 $\lim_{\delta \to 0} \varpi'_{f} (\delta) = 0$ 일 때만 càdlàg이다.

$\Lambda$ 를 $E$ 에서 자신으로 가는 모든 단조 증가 연속 전단사 함수의 집합으로 표기하고,
: $\| f \| := \sup_{t \in E} | f(t) |$
는 $E$ 상의 함수에 대한 균등 노름을 나타낸다.

스코로호드 메트릭 $\sigma$ 를 $\mathbb{D}$ 상에서 다음과 같이 정의한다.
: $\sigma (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} \max \{ \| \lambda - I \|, \| f - g \circ \lambda \| \},$
여기서 $I: E \to E$ 는 항등 함수이다.

"비틀림" 관점에서, $\| \lambda - I \|$ 는 "시간의 비틀림"의 크기를, $\| f - g \circ \lambda \|$ 는 "공간의 비틀림"의 크기를 측정한다. 스코로호드 메트릭은 실제로 메트릭이며, $\sigma$ 에 의해 생성된 위상 $\Sigma$ 는 $\mathbb{D}$ 상의 스코로호드 위상이라고 불린다.

다음과 같은 동등한 메트릭인
: $d (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} (\| \lambda - I \|+ \| f - g \circ \lambda \|),$
은 제어 이론에서 스위칭 시스템의 분석을 위해 독립적으로 도입되어 활용되었다.

3. 성질

$E$ 에서 $M$ 으로 가는 모든 카들라그 함수의 집합은 $\mathbb{D}(E:M)$ 또는 간단히 $\mathbb{D}$ 로 표기하며, 우크라이나 수학자 아나톨리 스코로호드의 이름을 따서 스코로호드 공간이라고 불린다. 스코로호드 공간에는 "공간과 시간을 약간 비틀 수 있는" 위상이 부여될 수 있다.

$\delta > 0$ 에 대해 càdlàg 계수는 다음과 같이 정의된다.
: $\varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i})),$
여기서 하한은 $\min_i(t_i - t_{i+1}) > \delta$ 를 만족하는 모든 분할 $\Pi = \{0 = t_0 < t_1 < \dots < t_k = T\},\; k \in E$ 에 대해 계산된다. $f$ 가 càdlàg이기 위한 필요충분조건은 $\lim_{\delta \to 0} \varpi'_{f} (\delta) = 0$ 이다.

$\Lambda$ 를 $E$ 에서 자신으로 가는 모든 단조 증가 연속 전단사 함수 집합으로 표기하고, $\| f \| := \sup_{t \in E} | f(t) |$ 를 $E$ 상의 함수에 대한 균등 노름으로 나타낼 때, 스코로호드 메트릭 $\sigma$ 는 $\mathbb{D}$ 상에서 다음과 같이 정의된다.
: $\sigma (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} \max \{ \| \lambda - I \|, \| f - g \circ \lambda \| \},$
여기서 $I: E \to E$ 는 항등 함수이다. "비틀림" 직관의 관점에서, $\| \lambda - I \|$ 는 "시간의 비틀림" 크기를, $\| f - g \circ \lambda \|$ 는 "공간의 비틀림" 크기를 측정한다. 스코로호드 메트릭은 실제로 메트릭이며, $\sigma$ 에 의해 생성된 위상 $\Sigma$ 는 $\mathbb{D}$ 상의 스코로호드 위상이라고 불린다.

제어 이론에서 스위칭 시스템 분석을 위해 독립적으로 도입되어 활용된, $\sigma$ 와 동등한 메트릭은 다음과 같다.
: $d (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} (\| \lambda - I \|+ \| f - g \circ \lambda \|),$

3.1. 스코로호드 거리의 변형

스코로호드 공간에는 다음과 같은 더 단순한 거리 함수를 줄 수도 있다.

: $d'_{\mathbb D}(f,g) = \inf_{\theta \in \operatorname{Aut}(E,E)} \max\left\{\sup_{t\in[a,b]} d_X(f(t),g(\theta(t))),\;\sup_{a\le s\le t\le b}|\theta(t)-s|\right\}$

이는 $d_{\mathbb D}$ 와 같은 위상을 정의하지만, 일반적으로 완비 거리 공간을 정의하지 못한다.

임의의 $\theta\in\operatorname{Aut}([a,b])$ 에 대하여,

: $(\circ\theta) \colon D([a,b],X) \to\mathbb D([a,b],X)$

는 정의에 따라 전단사 등거리 변환을 이룬다.

3.2. 연속 함수와의 관계

정의에 따라, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

: $\mathcal C^0([a,b],X) \subsetneq \mathbb D([a,b],X)$

만약 $\mathcal C^0([a,b],X)$ 에 거리 함수

: $d(f,g) = \sup_{t\in[a,b]}d_X(f(t),g(t))$

를 부여할 경우, 이 포함 사상은 연속 함수이다. 또한, 연속 함수의 스코로호드 수렴은 이 거리 함수에서의 수렴과 동치이다. 따라서, $\mathcal C^0([a,b],X)$ 는 $\mathbb D([a,b],X)$ 의 닫힌집합을 이룬다.

함수 공간 $E$ 위의 연속 함수들의 집합 $C$ 는 $\mathbb{D}$ 의 부분 공간이다. $C$ 에 상대화된 스코로호드 위상은 여기서 균등 위상과 일치한다.

3.3. 수렴

스코로호드 위상에서, 카들라그 함수열
: $(f_i)_{i=0}^\infty \subseteq\mathbb D( [a,b], X)$
이
: $f\in\mathbb D([a,b],X)$
로 수렴할 필요충분조건은 다음과 같다.
:어떤 함수열 $(\theta_i)_{i=0}^\infty \subseteq\operatorname{Aut}([a,b])$ 에 대하여, $f_i\circ\theta_i$ 가 $f$ 로 균등 수렴하며, 또한 $\theta_i$ 가 항등 함수 $\operatorname{id}_{[a,b]}$ 로 균등 수렴한다.

특히, 만약 함수열 $f_i$ 가 연속 함수만으로 구성된다면, 그 (스코호로트 위상에서의) 수렴은 $f_i$ 의 균등 수렴과 동치이다.

3.4. 위상적 성질

$\mathbb{D}$ 는 스코로호드 거리 $\sigma$ 에 대해 완비 공간은 아니지만, $\mathbb{D}$ 가 완비인 위상 동치 거리 $\sigma_0$ 가 존재한다. $\sigma$ 또는 $\sigma_0$ 에 관하여, $\mathbb{D}$ 는 가분 공간이다. 따라서, 스코로호드 공간은 폴란드 공간이다.

아르첼라-아스콜리 정리를 적용하면, 확률 측도의 스코로호드 공간 $\mathbb{D}$ 에 대한 수열 $(\mu_n)_{n=1,2,\dots}$ 가 다음 두 조건을 모두 만족하면 콤팩트함을 보일 수 있다.

: $\lim_{a \to \infty} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in \mathbb{D} \;|\; \| f \| \geq a \} \big) = 0,$
그리고
: $\lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in \mathbb{D} \;|\; \varpi'_{f} (\delta) \geq \varepsilon \} \big) = 0\text{ for all }\varepsilon > 0.$

스코로호드 위상과 함수의 점별 덧셈 하에서, $\mathbb{D}$ 는 위상군이 아니다. 예를 들어 반개구간 $E=[0,2)$ 를 고려하고, $f_n = \chi_{[1-1/n,2)} \in \mathbb{D}$ 을 일련의 지시 함수로 취하면, $f_n \rightarrow \chi_{[1,2)}$ 가 스코로호드 위상에서 수렴함에도 불구하고, 수열 $f_n - \chi_{[1,2)}$ 는 0으로 수렴하지 않는다.

4. 예시

* 실수 집합의 부분 집합에서 모든 연속 함수는 해당 부분 집합에서 카들라그 함수이다.
* 정의에 따라 모든 누적 분포 함수는 카들라그 함수이다. 예를 들어 점 $r$ 에서의 누적은 $r$ 보다 작거나 같을 확률, 즉 $\mathbb{P}[X\leq r]$ 에 해당한다. 다시 말해, 양측 꼬리 분포에 대한 고려 대상인 반 개구간 구간 $(-\infty, r]$ 은 오른쪽으로 닫혀 있다.
* 열린 구간에서 정의된 모든 볼록 함수 $f$ 의 오른쪽 도함수 $f^\prime_+$ 는 증가하는 카들라그 함수이다.
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5. 역사

"카들라그 함수"(fonction càdlàg^프랑스어)라는 용어는 프랑스어 "continue à droite, limite à gauche"(continue à droite, limite à gauche^프랑스어)의 머리글자를 딴 것이다.

스코로호드 공간은 1956년 우크라이나 수학자 아나톨리 스코로호드({{lang)에 의해 도입되었다.