곡률반지름

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1. 개요
2. 정의
3. 공식
- 3.1. 2차원
- 3.2. n차원
4. 예시
- 4.1. 반원과 원
- 4.2. 타원
5. 응용
참조

1. 개요

곡률반지름은 공간 곡선에서 곡률 벡터의 길이 또는 평면 곡선에서 접선 각도의 변화율에 대한 호의 길이의 변화율의 절댓값으로 정의된다. 곡률반지름은 2차원 및 n차원 공간에서 다양한 공식으로 표현되며, 반원, 원, 타원과 같은 기하학적 도형의 곡률반지름을 계산하는 예시가 있다. 곡률반지름은 미분 기하학, 지구의 곡률반지름 계산, 보의 굽힘 방정식, 광학, 박막 기술, 인쇄 전자, 철도 곡선 반경, 원자력 현미경 탐침 등 다양한 분야에 응용된다. 특히 반도체 구조의 응력 및 박막의 좌굴 현상과 관련된 연구에도 활용되며, Stoney 공식 등을 통해 응력 구조의 곡률반지름을 측정하는 데 사용된다.

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2. 정의

공간 곡선의 경우, 곡률 반경은 곡률 벡터의 길이이다.

평면 곡선의 경우, ''R''은 다음의 절댓값이다.^[3]

: $R \equiv \left|\frac{ds}{d\varphi} \right| = \frac{1}{\kappa},$

여기서 ''s''는 곡선 위의 고정된 점에서부터의 호의 길이이고, ''φ''는 접선 각도이며, ''κ''는 곡률이다.

3. 공식

곡선이 표현된 방식에 따라 곡률 반경을 구하는 공식은 달라진다.

만약 곡선이 와 같이 데카르트 좌표계로 주어지면, 즉, 함수의 그래프로 주어지면, 곡률 반지름은 (곡선이 2차까지 미분 가능하다고 가정)

: $R =\left| \frac { \left(1 + y'^{\,2}\right)^\frac32}{y''}\right|\,,$

이며, 여기서 $y' = \frac{dy}{dx}\,,$ $y'' = \frac{d^2y}{dx^2},$ 이고 는 의 절댓값을 나타낸다.

만약 곡선이 함수 와 에 의해 매개변수 방정식으로 주어지면, 곡률 반지름은

: $R = \left|\frac{ds}{d\varphi}\right| = \left|\frac {\left({\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\right)^\frac32}{\dot {x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}}\right|$

이며, 여기서 $\dot{x} = \frac{dx}{dt},$ $\ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2},$ $\dot{y} = \frac{dy}{dt},$ 그리고 $\ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}.$ ^[2]

경험적으로 이 결과는 다음과 같이 해석될 수 있다.^[2]

: $R = \frac{\left|\mathbf{v}\right|^3}{\left| \mathbf{v} \times \mathbf{ \dot v} \right|}\,,$

여기서

: $\left| \mathbf{v} \right| = \big| (\dot x, \dot y) \big| = R \frac{d\varphi}{dt}\,.$

만약 가 에서 매개변수화된 곡선이라면, 곡선의 각 지점에서의 곡률 반경 는 다음과 같이 주어진다.^[3]

: $\rho = \frac{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^3}{\sqrt{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^2 \, \left|\boldsymbol\gamma''\right|^2 - \left(\boldsymbol\gamma' \cdot \boldsymbol\gamma''\right)^2}}\,.$

특수한 경우로, 만약 가 에서 로의 함수라면, 그 그래프, ,의 곡률 반경은 다음과 같다.

: $\rho(t)=\frac{\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^\frac32}{\left|f''(t)\right|}.$

3. 1. 2차원

데카르트 좌표계에서 y=f(x)^영어로 표현된 곡선의 곡률 반경은 다음과 같다. (단, 곡선은 2차까지 미분 가능해야 한다.)

:

R =\left| \frac { \left(1 + y'^{\,2}\right)^\frac32}{y''}\right|\,

여기서

y' = \frac{dy}{dx},

y'' = \frac{d^2y}{dx^2},

이고

|z|

는 z^영어의 절댓값을 나타낸다.

매개변수 방정식 x=x(t)^영어, y=y(t)^영어로 표현된 곡선의 곡률 반경은 다음과 같다.^[2]

:

R = \left|\frac{ds}{d\varphi}\right| = \left|\frac {\left({\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\right)^\frac32}{\dot {x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}}\right|

여기서

\dot{x} = \frac{dx}{dt},

\ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2},

\dot{y} = \frac{dy}{dt},

그리고

\ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}.

3. 2. n차원

ℝ|n^한국어^''n''에서 매개변수화된 곡선 '''γ''' : ℝ → ℝ^''n''의 곡률 반경 ρ는 다음과 같이 주어진다.^[3]

\rho = \frac{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^3}{\sqrt{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^2 \, \left|\boldsymbol\gamma''\right|^2 - \left(\boldsymbol\gamma' \cdot \boldsymbol\gamma''\right)^2}}\,.

특수한 경우로, f(t)가 ℝ에서 ℝ로의 함수라면, 그 그래프 γ(t)=(t,f(t))의 곡률 반경은 다음과 같다.

\rho(t)=\frac{\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^\frac32}{\left|f''(t)\right|}.

'''γ'''를 위와 같이 두고, t를 고정하면, t에서 0차, 1차 및 2차 도함수에서 '''γ'''와 일치하는 매개변수화된 원의 반경 ρ를 찾을 수 있다. 분명히 반경은 위치 '''γ'''(t)에 의존하지 않고 속도 '''γ'''′(t) 및 가속도 '''γ'''″(t)에만 의존한다. 두 벡터 '''v'''와 '''w'''에서 얻을 수 있는 독립적인 스칼라는 '''v''' · '''v''', '''v''' · '''w''', '''w''' · '''w'''의 세 가지뿐이다. 따라서 곡률 반경은 세 개의 스칼라 |'''γ'''′(t)|², |'''γ'''″(t)|² 및 '''γ'''′(t) · '''γ'''″(t)의 함수여야 한다.^[3]

ℝ^''n''에서 매개변수화된 원에 대한 일반 방정식은 다음과 같다.

\mathbf{g}(u) = \mathbf a \cos (h(u)) + \mathbf b \sin (h(u)) + \mathbf c

여기서 '''c''' ∈ ℝ^''n''는 원의 중심이고 (도함수에서 사라지므로 관련 없음), '''a''','''b''' ∈ ℝ^''n''는 길이가 ρ인 수직 벡터이고 (즉, '''a''' · '''a''' = '''b''' · '''b''' = ''ρ''² 및 '''a''' · '''b''' = 0), h : ℝ → ℝ는 t에서 두 번 미분 가능한 임의의 함수이다.

'''g'''의 관련 도함수는 다음과 같다.

\begin{align}|\mathbf g'|^2 &= \rho^2 (h')^2 \\\mathbf g' \cdot \mathbf g'' &= \rho^2 h' h'' \\|\mathbf g''|^2 &= \rho^2 \left((h')^4 + (h'')^2 \right)\end{align}

이제 '''g'''의 이러한 도함수를 t에서 '''γ'''의 해당 도함수와 동일하게 설정하면 다음을 얻는다.

\begin{align}|\boldsymbol\gamma'(t)|^{2} &= \rho^2 h'^{\,2}(t) \\\boldsymbol\gamma'(t) \cdot \boldsymbol\gamma''(t) &= \rho^2 h'(t) h''(t) \\|\boldsymbol\gamma''(t)|^{2} &= \rho^2 \left(h'^{\,4}(t) + h''^{\,2}(t)\right)\end{align}

세 개의 미지수 (ρ, h′(t) 및 h″(t))에 대한 이 세 가지 방정식을 풀면 곡률 반경에 대한 다음 공식을 얻는다.

\rho(t) = \frac{\left|\boldsymbol\gamma'(t)\right|^{3}}{\sqrt{\left|\boldsymbol\gamma'(t)\right|^{2} \, \left|\boldsymbol\gamma''(t)\right|^{2} - \big(\boldsymbol\gamma'(t) \cdot \boldsymbol\gamma''(t)\big)^2}}\,,

가독성을 위해 매개변수 t를 생략하면 다음과 같다.

\rho = \frac{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^3}{\sqrt{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^2 \; \left|\boldsymbol\gamma''\right|^2 - \left(\boldsymbol\gamma' \cdot \boldsymbol\gamma''\right)^2}}\,.

4. 예시

반지름 인 상반평면의 반원에 대해 $R=|-a| =a$ 이다. 하반평면의 반지름 인 반원에 대해서는 $y = -\sqrt{a^2-x^2}$ 이다.

반원과 원, 타원에 대한 자세한 내용은 하위 섹션을 참고하면 된다.

4. 1. 반원과 원

반지름 $a$인 반원과 원의 곡률반지름은 $a$이다.

4. 2. 타원

장축이 2a이고 단축이 2b인 타원에서, 장축 위의 꼭짓점은 가장 작은 곡률 반지름 을 가지며, 단축 위의 꼭짓점은 가장 큰 곡률 반지름 을 갖는다.^[4]

매개변수 t (야코비 진폭)의 함수로서 타원의 곡률 반지름은 다음과 같다.

R(t)= \frac{(b^2 \cos^2t + a^2\sin^2t)^{3/2

^영어{ab}\,.|R(t)= \frac{(b^2 \cos^2t + a^2\sin^2t)^{3/2}}{ab}\,}}

여기서 θ는 다음과 같다.

θ의 함수로서 타원의 곡률 반지름은 다음과 같다.

여기서 타원의 이심률 e는 다음과 같이 주어진다.

5. 응용

곡률 반지름은 다양한 분야에서 활용된다.

미분 기하학에서 사용은 체사로 방정식을 참조.
지구의 곡률 반경 (타원체로 근사)은 호 측정 참조.
곡률 반지름은 보의 굽힘에 대한 세 부분 방정식에서도 사용됨.
곡률 반경 (광학)
박막 기술
인쇄 전자
최소 철도 곡선 반경
원자력 현미경 탐침

참조

_[1] 웹사이트 Radius of Curvature http://mathworld.wol[...] 2016-08-15
_[2] 서적 Differential Calculus https://books.google[...] Atlantic Publishers & Dist 2007
_[3] 서적 Differential and Integral Calculus MacMillan 1962
_[4] 웹사이트 Ellipse https://mathworld.wo[...] 2022-02-23
_[5] 웹사이트 Controlling Stress in Thin Films http://flipchips.com[...] 2016-04-22
_[6] 웹사이트 On the determination of film stress from substrate bending : Stoney's formula and its limits http://www.qucosa.de[...] 2016-04-22
_[7] 웹사이트 Model X http://www.zebraopti[...] Zebraoptical.com 2016-04-22

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곡률반지름
정의
곡률 반지름 (R)	곡선 위의 특정 지점에서 곡선을 가장 잘 근사하는 원의 반지름
공식
함수의 곡률 반지름 (R)	R = (1 + (dy/dx)^2)^(3/2) / \|d^2y/dx^2\|
매개변수 방정식의 곡률 반지름 (R)	R = ((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)^(3/2) / \|(dx/dt)(d^2y/dt^2) - (dy/dt)(d^2x/dt^2)\|
극좌표 방정식의 곡률 반지름 (R)	R = [r^2 + (dr/dθ)^2]^(3/2) / \|r^2 + 2(dr/dθ)^2 - r(d^2r/dθ^2)\|
특성
설명	곡률 반지름은 곡선이 얼마나 급격하게 휘어지는지를 나타내는 척도
관계	곡률의 역수와 같음 (R = 1/κ)
응용 분야	공학 물리학 기하학
참고
관련 항목	곡률 프레네-세레 공식 원 (기하학)