광학 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 유도
4. 역사
참조

1. 개요

광학 정리는 파수가 k인 평면파가 산란하여 산란 진폭 f(θ, φ)를 가질 때, 총 산란 단면적과 전방 산란 진폭의 허수 성분 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 총 산란 단면적은 전방 산란 진폭의 허수 성분과 파장의 곱의 두 배와 같으며, 에너지 보존 법칙 또는 확률 보존 법칙으로부터 유도된다. 이 정리는 스칼라 파동 처리를 통해 유도될 수 있으며, 존 윌리엄 스트럿 레일리와 볼프강 젤마이어가 1871년에 독립적으로 발견했다.

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광학 정리

2. 정의

파수 $k=2\pi/\lambda$ 를 가진 평면파가 산란하여 산란 진폭 $f(\theta,\phi)$ 을 가진다고 하자. 그렇다면 그 총 산란 단면적 $\sigma$ 는 다음과 같다.

: $\sigma=\int_0^{2\pi}\phi\int_0^\pi|f(\theta,\phi)|^2\,\sin\theta\,d\theta\,d\phi$

이때, 다음 식이 성립한다.

: $\sigma=\frac{4\pi}{k}\operatorname{Im}(f(\theta=0))=2\lambda\operatorname{Im}(f(\theta=0))$ .

이를 '''광학 정리'''라고 한다. 즉, 총 산란 단면적은 전방(前方) 산란 진폭의 허수 성분과 파장의 곱의 두 배이다.

광학 정리는 에너지 보존 법칙(일반 파동의 경우) 또는 확률 보존 법칙(양자역학의 파동 함수의 경우)만으로 유도할 수 있어, 매우 일반적이다. 특히, 양자역학에서는 탄성 산란과 비탄성 산란 모두 적용할 수 있다.

입사 파동이 평면파가 아니라 좀 더 일반적인 경우에는 다음과 같은 광학 정리가 성립한다. 이는 베르너 하이젠베르크가 1943년에 증명하였다.^[5]

: $\mathrm{Im}~f(\mathbf{\hat{k}}', \mathbf{\hat{k}})=\frac{k}{4\pi}\int f(\mathbf{\hat{k}}',\mathbf{\hat{k}}'')f(\mathbf{\hat{k}}'',\mathbf{\hat{k}})~d\mathbf{\hat{k}}''$

3. 유도

파수 $k=2\pi/\lambda$ 를 가진 평면파가 물체에 양의 z축을 따라 입사하여 산란 진폭 $f(\theta,\phi)$ 을 가진다고 할 때, 산란체로부터 아주 멀리 떨어진 곳에서의 파동 산란 진폭은 대략 다음과 같이 주어진다.

: $\psi(\mathbf{r}) \approx e^{ikz}+f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r}.$

제곱될 때 모든 고차 항은 $1/r^2$ 보다 더 빠르게 사라지므로 아주 먼 거리에서는 무시할 수 있다. 큰 $z$ 값과 작은 각도의 경우, 테일러 전개를 통해 다음을 얻는다.

: $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\approx z+\frac{x^2+y^2}{2z}.$

세기가 진폭 $\psi$ 의 제곱에 비례한다는 사실을 이용하고, $1/r$ 을 $1/z$ 로 근사하면, 다음을 얻는다.

: $\begin{align}|\psi|^2 &\approx \left|e^{ikz}+\frac{f(\theta)}{z}e^{ikz}e^{ik(x^2+y^2)/2z}\right|^2 \\&= 1+\frac{f(\theta)}{z}e^{ik(x^2+y^2)/2z}+\frac{f^*(\theta)}{z}e^{-ik(x^2+y^2)/2z}+\frac$

4. 역사

존 윌리엄 스트럿 레일리와 볼프강 젤마이어(Wolfgang Sellmeier^de)가 1871년에 독자적으로 발견하였다.^[6]^[7]^[8] 레일리는 굴절 상수를 써서 충돌방향 산란진폭을 다음과 같이 나타낼 수 있다는 것을 발견하였다.:

n = 1+2\pi Nf(0)/k^2\,

레일리는 하늘의 색깔과 편극에 관한 연구 결과를 참조하였다. 이 방정식은 후일 양자 산란 이론에도 응용되어, 1939년에 출판된 논문으로부터 보어-파이얼스-플라첵 관계라고 알려지게 되었다. 한스 베테와 프레더릭 드 호프만(Frederic de Hoffmann^영어)이 1955년 저서에서 최초로 "광학 정리"(optical theorem^영어)라고 일컬었다.^[9]

참조

_[1] Youtube "Radar Cross Section, Optical Theorem, Physical Optics Approx, Radiation by Line Sources" _GDBtD6qBeg
_[2] 서적 Quantum mechanics: non-relativistic theory Elsevier
_[3] 문서
_[4] 간행물 XV. On the light from the sky, its polarization and colour.
_[5] 저널 Die „beobachtbaren Größen“ in der Theorie der Elementarteilchen
_[6] 저널 On the light from the sky, its polarization and colour
_[7] 저널 Zur Erklärung der abnormen Farbenfolge im Spectrum einiger Substanzen
_[8] 저널 Optical theorem and beyond
_[9] 서적 Mesons and Fields (vol. II) Row, Peterson and Company

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