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구성주의 (수학)

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목차

1. 개요

구성주의 수학은 수학적 대상의 존재성을 증명하는 데 있어 구성적 방법을 강조하는 철학적 접근 방식이다. 이는 고전 논리의 배중률을 거부하고, 직관주의 논리를 기반으로 한다. 구성주의 수학은 존재 증명이 대상의 구성을 포함해야 한다고 주장하며, 이는 수학적 객체의 존재와 구성 가능성을 연결한다. 주요 분야로는 구성주의 논리학, 유형론, 해석학 등이 있으며, 컴퓨터 과학, 범주론 등에도 응용된다. 구성주의 수학은 전통적으로 비판을 받아왔으나, 증인 추출의 용이함과 같은 장점으로 인해 최근에는 비이데올로기적인 관점에서도 주목받고 있다.

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구성주의 (수학)
개요
분야수학 논리학 철학
하위 분야수학기초론, 구성적 유형 이론, 구성적 집합론, 구성적 해석학
주요 인물브라우어르(L. E. J. Brouwer), 에렛 비숍(Errett Bishop), 안드레이 마르코프 주니어(Andrey Markov Jr.), 페르 마틴뢰프(Per Martin-Löf)
관련 개념직관주의, 실재론, 수학적 실재론, 고전 논리, 중간 논리, 최소 논리
역사적 맥락
기원20세기 초 브라우어르(L. E. J. Brouwer)의 직관주의 프로그램
발전에렛 비숍(Errett Bishop)의 구성적 해석학, 페르 마틴뢰프(Per Martin-Löf)의 유형 이론
주요 특징증명의 구성적 성격 강조, 간접 증명 및 무한 집합에 대한 특정 추론 거부
기본 원칙
존재 증명대상을 구성하는 방법을 제시해야 함
배중률 거부모든 명제는 참 또는 거짓이라는 원칙 거부
무한에 대한 관점잠재적 무한만을 인정하고, 완결된 무한 거부
주요 아이디어
구성적 증명주어진 명제가 참임을 보이기 위해, 그 명제를 만족하는 구체적인 대상을 실제로 구성해야 함
직관주의 논리고전 논리 대신 직관주의 논리 사용 (배중률, 이중 부정 제거 법칙 제한)
수학적 대상마음의 구성물로 간주하며, 증명을 통해 구성될 때만 존재한다고 봄
구성적 수학의 예시
구성적 해석학모든 함수가 연속인 영역에서만 정의될 수 있음, 미분 불가능한 함수는 존재하지 않음
구성적 집합론CZF(Constructive Zermelo-Fraenkel set theory)와 같은 공리계를 사용하며, 고전적인 집합론과는 다른 특징을 가짐
비판
제약성고전 수학의 많은 결과를 구성적으로 증명할 수 없음
복잡성구성적 증명이 고전적 증명보다 더 복잡하고 어려울 수 있음
영향
전산학프로그램 검증 및 형식 검증 분야에 영향
수학기초론수학적 지식의 본성에 대한 새로운 관점 제시
관련 학문 분야
수학기초론수학적 개념과 추론의 기초를 탐구하는 학문
철학지식, 존재, 가치 등에 대한 근본적인 질문을 다루는 학문
논리학추론의 원리와 규칙을 연구하는 학문
참고 문헌
주요 문헌브라우어르(L. E. J. Brouwer)의 직관주의에 대한 논문들
에렛 비숍(Errett Bishop), 《Constructive Analysis》
페르 마틴뢰프(Per Martin-Löf)의 유형 이론에 대한 논문들

2. 구성주의 수학의 철학적 배경

구성주의 수학의 많은 부분은 배중률을 포함하지 않는 고전 논리인 직관주의 논리를 사용한다. 배중률은 어떤 명제가 참이거나 그 명제의 부정이 참이라는 법칙이지만, 구성주의에서는 이것이 완전히 부정되는 것은 아니다. 배중률의 특수한 경우는 증명될 수 있으며, 단지 일반적인 법칙으로 가정하지 않을 뿐이다. 무모순율(모순되는 명제가 동시에 참일 수 없다는 법칙)은 여전히 유효하다.

예를 들어, 헤이팅 산술에서 양화사를 포함하지 않는 명제 ''p''에 대해, \forall x,y,z,\ldots \in \mathbb{N} : p \vee \neg p가 정리임을 증명할 수 있다. (여기서 ''x'', ''y'', ''z'' ...는 명제 ''p''의 자유 변수이다.) 이는 유한하게 제한된 명제는 고전 수학에서처럼 참 또는 거짓으로 간주되지만, 이러한 이중성은 무한한 집합을 포함하는 명제로는 확장되지 않음을 의미한다.

브라우어는 배중률을 유한한 인식에서 추상화된 것으로 보았고, 이를 정당화 없이 무한에 적용하는 것을 비판했다. 골드바흐의 추측을 예로 들면, 2보다 큰 모든 짝수가 두 소수의 합이라는 주장이다. 특정 짝수에 대해서는 두 소수의 합인지 아닌지 확인할 수 있지만, 모든 짝수에 대한 증명이나 반증은 아직 존재하지 않는다. 브라우어는 "골드바흐의 추측이 참이거나 거짓이다"라는 주장은 정당화되지 않는다고 보았다. 그는 배중률이 모든 수학적 문제에 해가 있다고 가정하는 것과 같다고 생각했다.

배중률을 공리에서 제외하면, 논리 체계는 존재 성질을 갖게 된다. 즉, \exists_{x\in X} P(x)가 구성적으로 증명되면, P(a)를 만족하는 특정한 a\in X (증인)가 존재한다는 것이 구성적으로 증명된다. 따라서 수학적 대상의 존재 증명은 그 구성과 연결된다.

2. 1. 직관주의

많은 구성주의적 수학자들은 본질적으로 배중률을 포함하지 않는 고전 논리인 직관주의 논리를 사용한다. 배중률은 임의의 명제에 대해 그 명제가 참이거나 그 명제의 부정이 참임을 주장한다. 직관주의 논리에서는 배중률을 전면적으로 부정하는 것이 아니라 배중률의 특수한 경우를 증명 가능하게 한다. 이는 단순히 일반 법칙(배중률)을 공리로 가정하지 않는다는 것을 의미한다. 직관주의 논리에서도 (모순되는 여러 주장이 동시에 참이 될 수 없다는 것을 주장하는) 무모순율은 유효하다.

예를 들어 Heyting arithmetic|하이팅 산술영어에서는, 양화사를 포함하지 않는 임의의 명제 ''p''에 대해, \forall x,y,z,\ldots \in \mathbb{N} : p \vee \neg p가 정리임을 증명할 수 있다(여기서 ''x'', ''y'', ''z'' ...는 명제 ''p''에 있는 자유 변수이다). 이러한 의미에서 고전 논리에서는 유한하게 제한된 명제를 마찬가지로 참 또는 거짓으로 간주할 수 있지만, 이 principle of bivalence|이원성영어을 무한한 집합에 언급하는 명제로 확장할 수는 없다.

실제로, 직관주의 학파의 창시자인 브라우어는 배중률을 유한한 인식에서 추상적인 것으로 파악하고, 인식론적으로 justification (epistemology)|정당화영어하지 않고 무한히 적용했다. 예를 들어 골드바흐의 추측은 (2보다 큰) 어떤 짝수도 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다고 주장한다. 특정 짝수에 대해 두 소수의 합인지 아닌지를 확인하는 것은 가능하므로(예를 들어 무작위 탐색으로), (2보다 큰) 임의의 짝수는 두 소수의 합이거나 그렇지 않다. 그리고 지금까지 모든 짝수는 실제로 위와 같이 두 소수의 합임이 확인되었다.

그러나 모든 짝수가 골드바흐의 추측을 만족한다는 증명도, 골드바흐의 추측을 만족하지 않는 짝수가 있다는 증명도 존재하지 않는다. 더 나아가 골드바흐의 추측의 증명 또는 반증이 존재하는지조차 불명확하다(골드바흐의 추측은 기존의 ZF 집합론에서는 ''결정 불가능''일지도 모른다). 따라서 브라우어에게는 “골드바흐의 추측이 참이거나 거짓이다”라는 주장은 정당화되지 않는다. 또한 이 추측이 언젠가 해결되더라도, 이 주장을 비슷한 미해결 문제에 적용하면 같은 논의가 된다. 브라우어에게는 배중률은 모든 수학적 문제에 해가 있다고 가정하는 것과 같다.

공리로서 배중률을 제외한 경우, 남는 논리 체계는 고전 논리가 가지지 않는 existence property|존재 성질영어을 갖는다. \exists_{x\in X} P(x)가 구성적으로 증명되어 있다면 언제든지 실제로 P(a)는 (적어도) 하나의 특정한 a\in X에 대해 구성적으로 증명된다(이 ''a''를 종종 증거(witness)라고 부른다). 이와 같이 수학적 대상의 존재 증명은 그 구성과 연결되어 있다.

2. 2. 구성주의와 배중률

구성주의 수학의 많은 부분은 본질적으로 배중률이 없는 고전 논리인 직관주의 논리를 사용한다. 배중률은 어떤 명제가 참이거나 그 명제의 부정이 참이라는 법칙이다. 이것은 배중률이 완전히 부정된다는 것을 의미하지 않는다. 배중률의 특수한 경우는 증명될 수 있다. 단지 일반적인 법칙이 공리로 가정되지 않는다는 것이다. 모순율(모순되는 명제는 동시에 참일 수 없다는 법칙)은 여전히 유효하다.

예를 들어, 헤이팅 산술에서 어떤 명제 *p*가 한정사를 포함하지 않는다면, \forall x,y,z,\ldots \in \mathbb{N} : p \vee \neg p는 정리이다 (여기서 *x*, *y*, *z* ...는 명제 *p*의 자유 변수이다). 이러한 의미에서 유한한 것으로 제한된 명제는 고전 수학에서처럼 참이거나 거짓으로 간주되지만, 이러한 이중성은 무한한 집합을 참조하는 명제로 확장되지 않는다.

사실, 직관주의 학파의 창시자인 L. E. J. 브로우어는 배중률이 유한한 경험에서 추상화되어 정당성 없이 무한에 적용되었다고 보았다. 예를 들어, 골드바흐의 추측은 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합이라는 주장이다. 어떤 특정한 짝수가 두 소수의 합인지 아닌지 확인하는 것은 가능하다(예를 들어, 완전 탐색을 통해). 따라서 그들 중 어느 하나는 두 소수의 합이거나 그렇지 않다. 그리고 지금까지 시험된 모든 짝수는 실제로 두 소수의 합이었다.

그러나 그것들이 모두 그러한지에 대한 증명도, 그것들이 모두 그렇지 않다는 증명도 알려져 있지 않다. 심지어 골드바흐의 추측의 증명 또는 반증이 존재해야 하는지조차 알려져 있지 않다(이 추측은 전통적인 ZF 집합론에서 ''결정 불가능''일 수 있다). 따라서 브로우어에게는 "골드바흐의 추측이 참이거나 거짓이다"라고 주장할 정당성이 없다. 그리고 추측이 언젠가 해결될 수 있지만, 이 주장은 유사한 미해결 문제에도 적용된다. 브로우어에게 배중률은 모든 수학적 문제가 해결책을 가지고 있다고 가정하는 것과 같다.

공리로서 배중률을 생략하면, 나머지 논리 체계는 고전 논리가 가지고 있지 않은 존재성을 갖는다. \exists_{x\in X} P(x)가 구성적으로 증명될 때마다, 사실 P(a)는 (적어도) 하나의 특정한 a\in X에 대해 구성적으로 증명되며, 종종 증인이라고 불린다. 따라서 수학적 객체의 존재에 대한 증명은 그 구성의 가능성과 관련이 있다.

2. 3. 존재 증명과 구성적 방법

구성주의 수학의 많은 부분은 배중률이 없는 고전 논리인 직관주의 논리를 사용한다. 배중률은 어떤 명제가 참이거나 그 명제의 부정이 참이라는 법칙이다. 이것은 배중률이 완전히 부정된다는 것을 의미하지 않는다. 배중률의 특수한 경우는 증명될 수 있다. 단지 일반적인 법칙이 공리로 가정되지 않는다는 것이다. 모순율(모순되는 명제는 동시에 참일 수 없다는 법칙)은 여전히 유효하다.[1]

예를 들어, 헤이팅 산술에서 어떤 명제 *p*가 한정사를 포함하지 않는다면, \forall x,y,z,\ldots \in \mathbb{N} : p \vee \neg p는 정리이다 (여기서 *x*, *y*, *z* ...는 명제 *p*의 자유 변수이다). 이러한 의미에서 유한한 것으로 제한된 명제는 고전 수학에서처럼 참이거나 거짓으로 간주되지만, 이러한 이중성은 무한한 집합을 참조하는 명제로 확장되지 않는다.[1]

사실, 직관주의 학파의 창시자인 L. E. J. 브로우어는 배중률이 유한한 경험에서 추상화되어 정당성 없이 무한에 적용되었다고 보았다. 예를 들어, 골드바흐의 추측은 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합이라는 주장이다. 어떤 특정한 짝수가 두 소수의 합인지 아닌지 확인하는 것은 가능하다(예를 들어, 완전 탐색을 통해). 따라서 그들 중 어느 하나는 두 소수의 합이거나 그렇지 않다. 그리고 지금까지 시험된 모든 짝수는 실제로 두 소수의 합이었다.[1]

그러나 그것들이 모두 그러한지에 대한 증명도, 그것들이 모두 그렇지 않다는 증명도 알려져 있지 않다. 심지어 골드바흐의 추측의 증명 또는 반증이 존재해야 하는지조차 알려져 있지 않다(이 추측은 전통적인 ZF 집합론에서 ''결정 불가능''일 수 있다). 따라서 브로우어에게는 "골드바흐의 추측이 참이거나 거짓이다"라고 주장할 정당성이 없다. 그리고 추측이 언젠가 해결될 수 있지만, 이 주장은 유사한 미해결 문제에도 적용된다. 브로우어에게 배중률은 모든 수학적 문제가 해결책을 가지고 있다고 가정하는 것과 같다.[1]

공리로서 배중률을 생략하면, 나머지 논리 체계는 고전 논리가 가지고 있지 않은 존재성을 갖는다. \exists_{x\in X} P(x)가 구성적으로 증명될 때마다, 사실 P(a)는 (적어도) 하나의 특정한 a\in X에 대해 구성적으로 증명되며, 종종 증인이라고 불린다. 따라서 수학적 객체의 존재에 대한 증명은 그 구성의 가능성과 관련이 있다.[1]

3. 구성주의 수학의 주요 분야

구성주의 수학은 다음과 같은 여러 주요 분야를 포함한다.


  • 구성적 논리학
  • 구성주의 유형론
  • 구성적 집합론
  • 구성적 해석학
  • 구성적 비표준 해석학

3. 1. 구성적 논리학

많은 구성주의적 수학은 본질적으로 배중률이 없는 고전 논리인 직관주의 논리를 사용한다. 배중률은 어떤 명제에 대해서 그 명제가 참이거나 그 명제의 부정이 참이라는 법칙이다. 이것은 배중률이 완전히 부정된다는 것을 의미하지 않는다. 배중률의 특수한 경우는 증명될 수 있다. 단지 일반적인 법칙이 공리로 가정되지 않는다는 것이다. 모순율(모순되는 명제는 동시에 참일 수 없다는 법칙)은 여전히 유효하다.

예를 들어, 헤이팅 산술에서 어떤 명제 *p*가 한정사를 포함하지 않는다면, \forall x,y,z,\ldots \in \mathbb{N} : p \vee \neg p는 정리이다 (여기서 *x*, *y*, *z* ...는 명제 *p*의 자유 변수이다). 이러한 의미에서 유한한 것으로 제한된 명제는 고전 수학에서처럼 참이거나 거짓으로 간주되지만, 이러한 이중성은 무한한 집합을 참조하는 명제로 확장되지 않는다.

사실, 직관주의 학파의 창시자인 L. E. J. 브로우어는 배중률이 유한한 경험에서 추상화되어 정당성 없이 무한에 적용되었다고 보았다. 예를 들어, 골드바흐의 추측은 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합이라는 주장이다. 어떤 특정한 짝수가 두 소수의 합인지 아닌지 확인하는 것은 가능하다(예를 들어, 완전 탐색을 통해). 따라서 그들 중 어느 하나는 두 소수의 합이거나 그렇지 않다. 그리고 지금까지 시험된 모든 짝수는 실제로 두 소수의 합이었다.

그러나 그것들이 모두 그러한지에 대한 증명도, 그것들이 모두 그렇지 않다는 증명도 알려져 있지 않다. 심지어 골드바흐의 추측의 증명 또는 반증이 존재해야 하는지조차 알려져 있지 않다(이 추측은 전통적인 ZF 집합론에서 ''결정 불가능''일 수 있다). 따라서 브로우어에게는 "골드바흐의 추측이 참이거나 거짓이다"라고 주장할 정당성이 없다. 그리고 추측이 언젠가 해결될 수 있지만, 이 주장은 유사한 미해결 문제에도 적용된다. 브로우어에게 배중률은 모든 수학적 문제가 해결책을 가지고 있다고 가정하는 것과 같다.

공리로서 배중률을 생략하면, 나머지 논리 체계는 고전 논리가 가지고 있지 않은 존재성을 갖는다. \exists_{x\in X} P(x)가 구성적으로 증명될 때마다, 사실 P(a)는 (적어도) 하나의 특정한 a\in X에 대해 구성적으로 증명되며, 종종 증인이라고 불린다. 따라서 수학적 객체의 존재에 대한 증명은 그 구성의 가능성과 관련이 있다.

3. 2. 구성적 집합론

구성주의 수학에서 선택 공리의 위치는 구성주의자들의 프로그램에 따라 접근 방식이 다르고 복잡한 상황이다. “구성적”이라는 용어의 자명한 의미 중 하나는 수학자들이 비공식적으로 사용하는 “선택 공리를 제외한 ZF 집합론에서 증명 가능하다”는 것이다. 그러나 더 제한된 형태의 구성적 수학을 제안하는 사람들은 ZF 자체가 구성적 시스템이 아니라고 주장할 수도 있다.

형식 이론(특히 고계 형식 이론)의 직관적 이론에서는 다양한 형태의 선택 공리가 허용된다. 예를 들어 공리 AC11은 다음과 같이 바꿔 말할 수 있다. “실수 집합 위의 임의의 관계 ''R''에 대해, 각 실수 ''x''에 대해 ''R''(''x'',''y'')를 만족하는 실수 ''y''가 존재한다는 것이 증명되면, 실제로 모든 실수에 대해 ''R''(''x'',''F''(''x''))를 만족하는 함수 ''F''가 존재한다.” 유사한 선택 원리는 모든 유한한 형에 대해 허용된다. 이러한 외견상 비구성적인 원리를 채택하는 동기는 “각 실수 ''x''에 대해 ''R''(''x'',''y'')를 만족하는 실수 ''y''가 존재한다”는 것의 증명에 대한 직관적 이해에 있다. BHK 해석에 따르면, 이 증명은 본질적으로 요구되는 함수 ''F''라고 여겨진다. 직관주의자가 허용하는 선택 원리는 배중률을 함의하지 않는다.

그러나 구성적 집합론에 대한 특정 공리계에서는, :en:Diaconescu-Goodman-Myhill theorem이 보여주듯이, 선택 공리가 (다른 공리가 존재하는 상황에서) 배중률을 함의한다. 구성적 집합론에는 약한 형태의 선택 공리를 포함하는 것들이 있으며, 예를 들어 Myhill의 집합론에서의 종속 선택 공리와 같은 것이 있다.

3. 3. 구성적 해석학

구성주의 수학에서 실수를 구성하는 한 가지 방법은 함수를 이용하는 것이다. 양의 정수 $n$을 입력받아 유리수 $f(n)$을 출력하는 함수 $f$와, 양의 정수 $n$을 입력받아 양의 정수 $g(n)$을 출력하는 함수 $g$를 함께 사용한다. 이때, 함수 $f$와 $g$는 다음 조건을 만족해야 한다.

:\forall n\ \forall i,j \ge g(n)\quad |f(i) - f(j)| \le {1 \over n}

이 조건은 $n$이 커짐에 따라 $f(n)$의 값들이 점점 더 가까워짐을 의미한다. $f$와 $g$를 함께 사용하여, 이들이 나타내는 실수에 대해 원하는 만큼 정확한 유리수 근삿값을 계산할 수 있다.

예를 들어, 네이피어 수(e)는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:f(n) = \sum_{i=0}^n {1 \over i!}, \quad g(n) = n.

이러한 정의는 코시 수열을 사용하는 고전적인 실수 정의와 유사하지만, 구성주의적인 관점이 추가된 것이다. 고전적인 코시 수열에서는 주어진 거리에 대해, 수열에서 어떤 항 이후의 모든 항들이 그 거리보다 서로 가까워지는 항이 '존재한다'는 것을 요구한다. 반면, 구성주의적 정의에서는 주어진 거리에 대해 실제로 그러한 항을 지정할 수 있어야 한다. 즉, 구성주의적 관점에서는 수렴하는 지점을 명시적으로 제시해야 하며, 이를 수렴 계수라고도 한다.

수학적 명제

:\forall n : \exists m : \forall i,j \ge m: |f(i) - f(j)| \le {1 \over n}

에 대한 BHK 해석은 정확히 수렴 계수를 계산하는 함수의 존재를 의미한다. 따라서, 구성주의적 실수 정의와 고전적 실수 정의의 차이는 "모든 ...에 대해 ...이 존재한다"라는 명제의 해석 차이에서 비롯된다고 볼 수 있다.

그렇다면, $f$와 $g$처럼 가산 집합에서 가산 집합으로의 함수를 실제로 어떻게 구성할 수 있을까? 구성주의의 여러 분파는 이 지점에서 서로 다른 견해를 보인다. 구성은 자유 선택 수열처럼 느슨하게 정의될 수도 있고, 계산 가능 함수처럼 엄격하게 정의될 수도 있으며, 아예 명확하게 정의되지 않을 수도 있다. 예를 들어, 알고리즘적 관점을 취하면, 여기서 구성된 실수는 고전적인 계산 가능 수와 본질적으로 같아진다.

3. 4. 구성적 유형론


  • 구성주의 논리학
  • 구성주의 유형론
  • 구성적 논리학
  • 구성적 집합론
  • 구성적 형식 이론
  • 구성적 해석학
  • 구성적 비표준 해석학

4. 구성주의에 공헌한 주요 인물

인물기여
레오폴트 크로네커구성주의 초기 형태, 준직관주의
루이젠 에거투스 얀 브라우어직관주의 창시자
안드레이 마르코프 (소련 수학자)러시아 구성주의 학파의 선구자
아런트 헤이팅직관주의 논리와 이론을 형식화함
페르 마르틴뢰프구성적 타입 이론의 창시자
에럿 비숍고전 수학과 일치한다고 주장되는 구성주의의 한 형태를 제창함
폴 로렌첸구성적 해석학을 발전시킴
마틴 하일랜드실현가능성에서 유효 토포스를 발견함
에럿 비숍
파울 로렌첸
솔 크립키
에드워드 넬슨
해럴드 에드워즈


5. 비판과 논쟁

다비트 힐베르트의 비판과 에렛 비숍의 반박에도 불구하고, 구성주의 수학은 여전히 여러 논쟁에 직면해 있다. 주요 비판점 중 하나는 구성주의 수학이 지나치게 제약적이라는 것이다. 예를 들어, 배중률을 인정하지 않음으로써 전통적인 수학의 많은 부분을 사용할 수 없게 된다.[1]

하지만 구성주의 수학은 비이데올로기적인 이유로 점차 관심을 받고 있다. 해석학에서의 구성적 증명은 증인 추출을 보장하며, 이는 고전적인 방법보다 증인을 찾기 쉽게 만들 수 있다. 또한, 타입 이론, 토포스 이론, 범주 논리 등은 기초 수학과 컴퓨터 과학에서 중요한 주제로 구성주의 수학의 응용 분야이다. 대수학에서 토포스와 합 대수와 같은 구조는 구성적 이론인 내부 언어를 지원하며, 이는 외부 방법보다 더 직관적이고 유연한 추론을 가능하게 한다.

물리학자 리 스몰린은 양자 중력으로 가는 세 가지 길에서 토포스 이론이 우주론에 적합한 논리 형태이며, 초기 형태는 '직관주의 논리'라고 불렸다고 언급했다. 그는 이러한 논리에서 관찰자가 우주에 대해 할 수 있는 진술은 참, 거짓, 그리고 현재로서는 진위를 결정할 수 없는 것의 세 가지 그룹으로 나뉜다고 설명했다.

5. 1. 다비트 힐베르트의 비판

전통적으로 일부 수학자들은 구성주의 수학에 대해 의심하거나 적대적인 태도를 보였는데, 이는 구성주의가 구성적 해석에 제약을 가한다고 믿었기 때문이다.

다비트 힐베르트는 1928년 자신의 저서 ''수학의 기초''에서 "수학자에게 배중률을 금하는 것은 천문학자에게 망원경을 금하거나 권투선수에게 주먹 사용을 금하는 것과 같다"라고 강하게 표현했다.[1]

에렛 비숍은 1967년 그의 저서 ''구성적 해석의 기초''에서 구성적 틀 안에서 많은 전통적 해석을 전개함으로써 이러한 우려를 불식시키려고 노력했다.

대부분의 수학자들이 구성적 방법에 기반한 수학만이 건전하다는 구성주의자들의 주장을 받아들이지는 않지만, 구성적 방법은 비이데올로기적 이유로 점점 더 관심을 받고 있다. 예를 들어, 해석학에서의 구성적 증명은 증인 추출을 보장할 수 있으며, 구성적 방법의 제약 내에서 작업하면 고전적 방법을 사용하는 것보다 이론에 대한 증인을 찾는 것이 더 쉬울 수 있다. 구성적 수학에 대한 응용은 타입화 람다 대수, 토포스 이론 및 범주 논리에서도 발견되었는데, 이들은 기초 수학과 컴퓨터 과학에서 주목할 만한 주제이다. 대수학에서 토포스와 홉프 대수와 같은 실체의 경우, 그 구조는 구성적 이론인 내부 언어를 지원한다. 그 언어의 제약 내에서 작업하는 것이 가능한 구체적인 대수와 그 동형 사상에 대해 추론하는 것과 같은 외부 방법으로 작업하는 것보다 종종 더 직관적이고 유연하다.

물리학자 리 스몰린은 그의 저서 ''양자 중력으로 가는 세 가지 길''에서 토포스 이론이 "우주론에 적합한 논리 형태"(30페이지)이며 "초기 형태에서는 '직관주의 논리'라고 불렸다"(31페이지)라고 썼다. "이러한 종류의 논리에서 관찰자가 우주에 대해 할 수 있는 진술은 적어도 세 가지 그룹으로 나뉩니다. 즉, 참이라고 판단할 수 있는 것, 거짓이라고 판단할 수 있는 것, 그리고 현재로서는 그 진위를 결정할 수 없는 것"(28페이지)이다.

5. 2. 구성주의 수학의 수용 문제

전통적으로 일부 수학자들은 구성주의 수학에 대해 의심하거나 적대적인 태도를 보였는데, 이는 구성주의가 구성적 해석에 제약을 가한다고 믿었기 때문이다.

다비트 힐베르트는 1928년 그의 저서 ''수학의 기초''에서 "수학자에게 배중률을 금하는 것은 천문학자에게 망원경을 금하거나 권투선수에게 주먹 사용을 금하는 것과 같다"라고 강하게 표현했다.[1]

에렛 비숍은 1967년 그의 저서 ''구성적 해석의 기초''에서 구성적 틀 안에서 많은 전통적 해석을 전개함으로써 이러한 우려를 불식시키려고 노력했다.

대부분의 수학자들이 구성적 방법에 기반한 수학만이 건전하다는 구성주의자들의 주장을 받아들이지는 않지만, 구성적 방법은 비이데올로기적 이유로 점점 더 관심을 받고 있다. 예를 들어, 해석학에서의 구성적 증명은 증인 추출을 보장할 수 있으며, 구성적 방법의 제약 내에서 작업하면 고전적 방법을 사용하는 것보다 이론에 대한 증인을 찾는 것이 더 쉬울 수 있다. 구성적 수학에 대한 응용은 타입화 람다 대수, 토포스 이론 및 범주 논리에서도 발견되었는데, 이들은 기초 수학과 컴퓨터 과학에서 주목할 만한 주제이다. 대수학에서 토포스와 홉프 대수와 같은 실체의 경우, 그 구조는 구성적 이론인 내부 언어를 지원한다. 그 언어의 제약 내에서 작업하는 것이 가능한 구체적인 대수와 그 동형 사상에 대해 추론하는 것과 같은 외부 방법으로 작업하는 것보다 종종 더 직관적이고 유연하다.

물리학자 리 스몰린은 그의 저서 ''양자 중력으로 가는 세 가지 길''에서 토포스 이론이 "우주론에 적합한 논리 형태"(30페이지)이며 "초기 형태에서는 '직관주의 논리'라고 불렸다"(31페이지)라고 썼다. "이러한 종류의 논리에서 관찰자가 우주에 대해 할 수 있는 진술은 적어도 세 가지 그룹으로 나뉩니다. 즉, 참이라고 판단할 수 있는 것, 거짓이라고 판단할 수 있는 것, 그리고 현재로서는 그 진위를 결정할 수 없는 것"(28페이지)이다.

참조

[1] 웹사이트 Constructive Mathematics http://plato.stanfor[...]
[2] 웹사이트 Constructive Mathematics http://plato.stanfor[...]


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