유한주의
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1. 개요
유한주의는 무한 객체의 존재를 거부하는 수학적 입장이다. 19세기 말 칸토어의 무한 집합론 등장 이후, 무한 개념에 대한 논쟁이 이어졌고, 유한주의는 이러한 플라톤주의적 무한 개념에 반대하는 사조 중 하나로 등장했다. 유한주의는 모든 자연수의 존재는 인정하지만, 모든 자연수의 집합과 같은 무한 영역에 대한 양화는 의미가 없다고 본다. 고전적 유한주의와 엄밀 유한주의, 초유한주의 등으로 세분되며, 직관주의, 원시 귀납적 산술, 유클리드 산술, 루트비히 비트겐슈타인의 수학 연구 등과 연관된다.
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| 유한주의 | |
|---|---|
| 철학 | |
| 분야 | 수학 철학 |
| 주요 개념 | 유한, 잠재적 무한, 실제적 무한 |
| 반대 개념 | 무한주의 |
| 주요 인물 | |
| 옹호자 | 아리스토텔레스 에밀 보렐 아브라함 프렝켈 톨레프 스콜렘 루트비히 비트겐슈타인 에드워드 넬슨 도론 제일베르거 |
| 비판자 | 게오르크 칸토어 다비트 힐베르트 |
| 특징 | |
| 설명 | 수학적 대상의 유한성만을 인정하는 수학 철학 |
2. 역사
수학사에서 칸토어의 무한 집합론과 초한수 이론이 등장한 이래 무한 개념은 논쟁의 대상이었다. 플라톤주의적 무한의 존재에 동의하지 않는 여러 사조가 등장했는데, 브라우어르의 직관주의는 "구성할 수 있는" 무한만을 인정했다.
다비트 힐베르트는 유한한 대상은 구체적이고 무한한 대상은 이상적인 것으로 보았다. 그는 이상적인 대상을 다루는 것이 유한한 대상을 다루는 데 문제를 일으키지 않으리라 믿었다. 힐베르트는 무한을 사용한 수학적 결과는 모두 유한한 방법으로도 보일 수 있다고 생각했고, 힐베르트 프로그램으로 이어졌다. 그러나 괴델의 불완전성 정리 이후 이러한 시도는 설득력을 잃었고, 오늘날 많은 수학자들이 실무한을 사용하는 집합론 공리계를 받아들여 유한주의는 비주류가 되었다.
레오폴트 크로네커는 "신은 정수를 창조했고, 그 외의 모든 것은 인간의 작품이다"라며 칸토어의 집합론에 강하게 반대했다.[1] 루벤 굿스타인도 유한주의자였으며, 유한주의적 기초에서 수학적 분석을 구축하려 했다. 루트비히 비트겐슈타인의 저술 중 상당수는 유한주의와 강한 유사성을 보인다.
아리스토텔레스는 엄격한 유한주의와 실무한 사이의 중간인 잠재적 무한을 옹호했다.
2. 1. 초기 논의
게오르크 칸토어의 무한 집합론과 초한수 이론이 등장하기 이전부터 무한이라는 개념은 수학자들 사이에서 논쟁의 대상이었다. 러셀의 역설, 베리의 역설, 부랄리-포르티 역설과 같은 역설들이 칸토어의 소박한 집합론에서 발견되면서 이 문제는 더욱 뜨거운 논쟁거리가 되었다.수학자들은 다양한 입장을 취했는데, 자연수와 같은 유한한 수학적 대상에 대해서는 모두 동의했지만, 무한 수학적 대상에 관해서는 의견이 갈렸다. L. E. J. 브라우어르가 주창한 직관주의 수학에서는 구성되기 전까지 무한한 대상의 존재를 거부했다.
반면 다비트 힐베르트는 유한 수학적 대상은 구체적인 대상, 무한 수학적 대상은 이상적인 대상으로 보았다. 그는 이상적인 수학적 대상을 받아들이는 것이 유한 수학적 대상에 관해 문제를 일으키지 않는다고 보았다. 힐베르트는 이상적인 무한 대상을 사용하여 얻을 수 있는 유한 수학적 대상에 대한 모든 정리는 이상적인 대상 없이도 얻을 수 있다고 믿었다. 이는 유한한 수단을 사용하여 집합론의 무모순성과 완전성을 모두 증명하는 힐베르트 프로그램으로 이어졌다. 힐베르트의 견해는 수학의 형식주의 철학과도 연관된다.
2. 2. 칸토어 집합론과 그 이후
19세기 말, 게오르크 칸토어는 오늘날 나이브 집합론이라고 불리는 초한수에 관한 연구를 발표하여 무한을 수학적으로 다루는 새로운 방식을 제시했다. 그러나 칸토어의 이론은 러셀의 역설, 베리의 역설, 부랄리-포르티 역설과 같은 여러 역설을 낳으며 수학자들 사이에서 뜨거운 논쟁을 불러일으켰다.레오폴트 크로네커는 칸토어의 집합론에 강력하게 반대하며, "신은 정수를 창조했고, 그 외의 모든 것은 인간의 작품이다"라고 말했다.[1]
2. 3. 브라우어르와 힐베르트의 입장
다비트 힐베르트는 유한한 대상은 구체적인 것이고 무한한 대상은 이상적인 것으로 보았다. 따라서 이상적인 대상을 다루는 것이 유한한 수학적 대상을 다루는 데에 문제를 일으키지 않을 것이라고 믿었다. 그는 무한을 사용하여 얻을 수 있는 수학적 결과는 모두 유한한 방법으로도 보일 수 있을 것이라 생각했고, 이는 산술의 일관성과 완전성을 유한주의적인 방법으로 증명하고자 한 힐베르트 프로그램으로 이어졌다. 그러나 괴델의 불완전성 정리 이후 이러한 시도는 주장은 설득력을 잃었다.L. E. J. 브라우어르가 주창한 직관주의 수학은 무한한 대상이 구성되기 전까지는 그 존재를 거부했다.[1] 힐베르트는 유한 수학적 대상은 구체적인 대상이고, 무한 수학적 대상은 이상적인 대상이며, 이상적인 수학적 대상을 받아들이는 것은 유한 수학적 대상에 관해 문제를 일으키지 않는다고 보았다.[1] 그는 이상적인 무한 대상을 사용하여 얻을 수 있는 유한 수학적 대상에 대한 모든 정리는, 이상적인 대상 없이도 얻을 수 있음을 증명할 수 있다고 믿었다.[1]
따라서 무한 수학적 대상을 허용하는 것은 유한 대상에 관해 문제를 일으키지 않을 것이기에, 유한한 수단을 사용하여 집합론의 무모순성과 완전성을 모두 증명하는 힐베르트 프로그램으로 이어졌다. 이는 이상적인 수학적 대상의 추가가 유한 부분에 대해 보존적 확장임을 의미한다.[1] 힐베르트의 견해는 수학의 형식주의 철학과도 연관된다.[1] 쿠르트 괴델의 불완전성 정리로 인해 힐베르트가 유한한 수단을 통해 집합론이나 산술의 무모순성과 완전성을 증명하려는 목표는 불가능한 과제로 판명되었다.[1]
2. 4. 현대적 상황
괴델의 불완전성 정리 이후, 수학의 무모순성과 완전성을 모두 증명할 희망이 없다는 것이 분명해졌다. 체르멜로-프렝켈 집합론과 같이 일관성이 있는 것으로 보이는 공리적 집합론이 발전하면서, 대부분의 현대 수학자들은 이 주제에 집중하지 않게 되었다. 그럼에도 불구하고, 유한주의는 현대 수학계에서 비주류적 입장으로 남아 있지만, 수리철학 등 일부 분야에서는 여전히 논의되고 있다.3. 주요 개념 및 분류
유한주의는 무한 집합과 같은 무한적인 대상의 존재를 받아들이지 않는다. 모든 자연수의 존재는 받아들여지지만, 모든 자연수의 ''집합''은 수학적 객체로 간주되지 않는다. 따라서 무한 영역에 대한 양화는 의미가 없는 것으로 간주되지 않는다. 유한주의와 종종 연관되는 수학 이론은 토랄프 쇨렘의 원시 귀납적 산술이다.[1]
이외에 유한주의보다 더욱 보수적인 입장으로 초유한주의(ultrafinitism)가 있는데, 이들은 유한하지만 "너무 큰" 수학적 대상들조차 거부되어야 한다고 주장한다.
3. 1. 고전적 유한주의와 엄밀 유한주의
타일스(Tiles)는 잠재적으로 무한한(potentially infinite) 대상의 존재를 받아들이는 입장을 고전적 유한주의, 받아들이지 않는 입장을 엄밀 유한주의로 구분한다.[1] 고전적 유한주의자는 예컨대 무한급수는 유한한 부분합들의 극한이라는 의미로서 받아들일 수 있으나 칸토어 집합론의 초한 기수와 같은 개념은 거부한다.메리 타일스(Mary Tiles)는 저서 《집합론의 철학(The Philosophy of Set Theory)》에서 잠재적으로 "무한"한 객체를 허용하는 사람들을 '''고전적 유한주의자''', 잠재적으로 무한한 객체를 허용하지 않는 사람들을 '''엄격한 유한주의자'''로 특징지었다. 예를 들어, 고전적 유한주의자는 "모든 자연수는 후속자를 갖는다"와 같은 명제를 허용하고, 유한 부분합의 극한의 의미에서 무한 급수의 의미를 받아들이는 반면, 엄격한 유한주의자는 이를 받아들이지 않는다. 역사적으로, 수학의 기록된 역사는 칸토어가 19세기 말에 초한수 기수의 계층을 만들 때까지 고전적 유한주의적이었다.
3. 2. 초유한주의
초유한주의(초직관주의라고도 함)는 유한주의보다 더욱 보수적인 입장으로, "너무 큰" 유한한 대상조차 거부한다.[1]4. 관련 철학 및 수학 이론
브라우어르가 주창한 직관주의에서는 "구성할 수 있는" 무한의 개념만을 받아들였다. 토랄프 쇨렘의 원시 귀납적 산술은 유한주의와 종종 연관되는 수학 이론이다. 존 펜 메이베리는 반복적 과정에 특별한 지위를 부여하지 않는 유한 수학 체계인 "유클리드 산술"을 개발했다. 그의 체계에서 가장 두드러진 주장은 "+1"의 반복을 통한 자연수의 구성을 포함하여 반복적 과정에 일반적으로 부여되는 특별한 기초적 지위를 완전히 그리고 엄격하게 거부한다는 것이다.[1] 루트비히 비트겐슈타인은 부인했지만, 그의 수학에 관한 저술 중 상당수는 유한주의와 강한 유사성을 보인다.[1]
4. 1. 직관주의
브라우어르가 주창한 직관주의에서는 오직 "구성할 수 있는" 무한의 개념만을 받아들였다.4. 2. 원시 귀납적 산술
토랄프 쇨렘의 원시 귀납적 산술은 유한주의와 종종 연관되는 수학 이론이다.4. 3. 유클리드 산술
20세기 말, 존 펜 메이베리는 반복적 과정에 특별한 지위를 부여하지 않는 유한 수학 체계인 "유클리드 산술"을 개발했다. 그의 체계에서 가장 두드러진 주장은 "+1"의 반복을 통한 자연수의 구성을 포함하여 반복적 과정에 일반적으로 부여되는 특별한 기초적 지위를 완전히 그리고 엄격하게 거부한다는 것이다. 결과적으로 메이베리는 유한 수학을 페아노 산술 또는 원시 귀납적 산술과 같은 그 조각들과 동일시하려는 사람들과는 확연히 다른 견해를 가지고 있다.[1]4. 4. 루트비히 비트겐슈타인
루트비히 비트겐슈타인은 부인했지만, 그의 수학에 관한 저술 중 상당수는 유한주의와 강한 유사성을 보인다.[1]
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