극한 집합

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 연속 동역학계
- 2.2. 이산 동역학계
3. 성질
4. 종류
5. 2차원 동역학계에서의 극한 집합
6. 한국의 극한 집합 연구
참조

1. 개요

극한 집합은 동역학계에서 초기 조건의 시간 경과에 따른 궤도의 거동을 나타내는 개념으로, 위상 공간에서 정의된다. ω-극한 집합과 α-극한 집합으로 구분되며, 각각 시간의 흐름에 따라 궤도가 접근하는 점들의 집합과 궤도가 과거로 갈 때 접근하는 점들의 집합을 의미한다. 극한 집합은 닫힌 집합이며, 콤팩트 공간에서는 콤팩트하고 연결된 집합이 된다. 극한 집합은 고정점, 주기 궤도, 극한 주기, 끌개 등 다양한 형태로 나타나며, 2차원 동역학계에서는 푸앵카레-벤딕손 정리에 의해 고정점, 주기 궤도, 또는 호모클리닉/헤테로클리닉 궤도의 조합으로 특징지어진다.

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안정성 이론은 미분 방정식과 동역학적 시스템의 해의 점근적 성질과 궤적을 다루며, 평형점, 주기 궤도의 안정성, 섭동과 선형화, 랴푸노프 함수 등을 사용하여 시스템의 안정성을 분석한다.
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극한 집합
정의
정의	동적 시스템에서 무한히 긴 시간 후의 상태를 나타내는 집합
관련 분야	동역학계
종류
종류	α-극한 집합 ω-극한 집합
특성
폐포	극한 집합은 항상 닫힌 집합임.
불변성	극한 집합은 불변 집합임.
극대 불변 부분집합	극한 집합은 흐름에 대한 극대 불변 부분집합을 포함함.
관련 개념
관련 개념	끌개 (동역학계) 기저역

2. 정의

위상 공간 $X$ 위에 동역학계

: $\phi\colon T\times X\to X$

가 주어졌다고 하자. 여기서 흐름(연속 시간 동역학계)의 경우 $T=\mathbb R$ 이며, 사상(이산 시간 동역학계)의 경우 $T=\mathbb Z$ 이다.

그렇다면, 초기 조건 $x\in X$ 의 ''' $\omega_+$ -극한 집합'''( $\omega_+$ -limit set^영어) 및 ''' $\omega_-$ -극한 집합'''( $\omega_-$ -limit set^영어)은 다음과 같다.

: $\lim_{\omega_+}x=\bigcap_{t\in T}\operatorname{cl}\{\phi(t',x)\colon t'>t\}$

: $\lim_{\omega_-}x=\bigcap_{t\in T}\operatorname{cl}\{\phi(t',x)\colon t'$

여기서 $\operatorname{cl}$ 은 폐포를 뜻한다.

즉, $y\in\lim_{\omega_\pm}x$ 임은 다음과 동치이다.

: $y\in\lim_{\omega_\pm}x\iff \exists (t_i)_{i\in\mathbb N}\in T^{\mathbb N}\colon\left(\lim_{i\to\infty}t_i=\pm\infty\land\lim_{i\to\infty}\phi(t_i,x)=y\right)$

일부 문헌에서는 $\omega_+$ / $\omega_-$ -극한 집합 대신 $\omega$ / $\alpha$ -극한 집합으로 표기하기도 한다.

$X$ 를 거리 공간이라고 하고, $f:X\rightarrow X$ 를 연속 함수라고 하자. $x\in X$ 의 $\omega$ -극한 집합 $\omega(x,f)$ 는 전방 궤도 $\{f^n(x)\}_{n\in \mathbb{N}}$ 의 집속점의 집합이다. 여기서 $f$ 는 반복 함수이다.^[1] 즉, $y\in \omega(x,f)$ 는 정의에 따라 엄격히 증가하는 자연수 수열 $\{n_k\}_{k\in \mathbb{N}}$ 가 존재하여 $k\rightarrow\infty$ 일 때 $f^{n_k}(x)\rightarrow y$ 임을 의미한다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\omega(x,f) = \bigcap_{n\in \mathbb{N}} \overline{\{f^k(x): k>n\}},$

여기서 $\overline{S}$ 는 집합 $S$ 의 폐포를 나타낸다. 극한 집합의 점들은 비유동적이다(하지만 재귀점이 아닐 수도 있다).

만약 $f$ 가 호모모피즘 (즉, 양방향 연속 단사 함수)이면, $\alpha$ -극한 집합은 유사한 방식으로 정의되지만, 후방 궤도에 대해 정의된다. 즉, $\alpha(x,f)=\omega(x,f^{-1})$ 이다. 두 집합 모두 $f$ 에 대해 불변이며, $X$ 가 콤팩트하면 콤팩트하고 비어 있지 않다.

주어진 실질적인 동역학적 시스템 $(T,X,\varphi)$ 에서 흐름 $\varphi:\mathbb{R}\times X\to X$ 과 점 $x$ 가 주어졌을 때, 점 ''y''가 '' $x$ ''의 $\omega$ -'''극한점'''이 되기 위해서는 다음 조건을 만족하는 시퀀스 $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 가 $\mathbb{R}$ 에 존재해야 한다.

: $\lim_{n \to \infty} t_n = \infty$

: $\lim_{n \to \infty} \varphi(t_n, x) = y$ .

궤도 $\gamma$ 에 대해, $y$ 가 궤도상의 어떤 점의 $\omega$ -극한점이면, $y$ 는 $\gamma$ 의 $\omega$ -극한점이라고 한다.

마찬가지로, '' $y$ ''가 '' $x$ ''의 $\alpha$ -'''극한점'''이 되기 위해서는 다음 조건을 만족하는 시퀀스 $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 가 $\mathbb{R}$ 에 존재해야 한다.

: $\lim_{n \to \infty} t_n = -\infty$

: $\lim_{n \to \infty} \varphi(t_n, x) = y$ .

궤도 $\gamma$ 에 대해, $y$ 가 궤도상의 어떤 점의 $\alpha$ -극한점이면, '' $y$ ''는 $\gamma$ 의 $\alpha$ -극한점이라고 한다.

주어진 궤도 $\gamma$ 에 대한 모든 $\omega$ -극한점( $\alpha$ -극한점)의 집합을 $\gamma$ 의 $\omega$ -'''극한 집합'''( $\alpha$ -'''극한 집합''')이라고 부르며, $\lim_{\omega} \gamma$ ( $\lim_{\alpha} \gamma$ )로 표기한다. 만약 $\omega$ -극한 집합( $\alpha$ -극한 집합)이 궤도 $\gamma$ 와 서로소이면, 즉 $\lim_{\omega} \gamma \cap \gamma =\varnothing$ ( $\lim_{\alpha} \gamma \cap \gamma =\varnothing$ ) 이면, $\lim_{\omega} \gamma$ ( $\lim_{\alpha} \gamma$ )를 '''ω-극한 주기''' ('''α-극한 주기''')라고 부른다.

극한 집합은 다음과 같이 정의될 수도 있다.

: $\lim_\omega \gamma := \bigcap_{s\in \mathbb{R}}\overline{\{\varphi(x,t):t>s\}}$

: $\lim_\alpha \gamma := \bigcap_{s\in \mathbb{R}}\overline{\{\varphi(x,t):t$

2. 1. 연속 동역학계

미분 방정식으로 정의되는 연속 동역학계에서 극한 집합은 다음과 같이 정의된다. 상 공간을 '''R'''^''m''으로 하고, 상 공간상의 점을 ''x''라고 할 때,

:

\dot{x} = f(x)

와 같이 벡터장이 정의된다.^[1] 이 벡터장에 대해, 초기점 ''x''₀를 지나고 시간 ''t'' ∈ '''R'''을 ''x''로 사상하는 흐름을 ''φ''_{''t ''}(''x''₀)로 나타낸다.^[2] 이때, 어떤 상 공간상의 점 ''y'' ∈ '''R'''^''m''이 ''φ''_{''t ''}(''x''₀)의 '''''ω'' 극한점'''이라는 것은, ''n'' → ∞에서 ''t_n'' → ∞가 되는 시각의 점렬에 대해,

:

\lim_{n \to \infty} \phi_{t_n}(x_0) = y

를 만족하는 것이다.^[3]^[4] 다시 말하면, ''t_n'' → ∞으로 했을 때 ''φ''_{''t_n ''}(''x''₀)이 갖는 상 공간상의 점점점이 ''ω'' 극한점이다. 그리고, ''x''₀를 지나는 흐름 ''φ''_{''t ''}(''x''₀)의 ''ω'' 극한점 전체로 이루어진 집합을 '''''ω'' 극한 집합'''이라고 한다. ''x''₀에 대한 ''ω'' 극한 집합은 기호로 ''ω''(''x''₀) 또는 ''ω ''lim(''x''₀)으로 나타낸다.

한편, 시각의 점렬 ''t_n''이 음의 무한대로 발산하는 경우도 생각할 수 있다. ''n'' → ∞에서 ''t_n'' → −∞이 되는 시각의 점렬에 대해, ''y''가

:

\lim_{n \to \infty} \phi_{t_n}(x_0) = y

를 만족할 때, ''y''를 ''φ''_{''t ''}(''x''₀)의 '''''α'' 극한점'''이라고 부른다. ''x''₀를 지나는 흐름 ''φ''_{''t ''}(''x''₀)의 ''α'' 극한점 전체로 이루어진 집합을 '''''α'' 극한 집합'''이라고 한다. ''x''₀에 대한 ''α'' 극한 집합은 기호로 ''α''(''x''₀) 또는 ''α ''lim(''x''₀)으로 나타낸다.

극한 집합을 정의할 때, ''t''가 아닌, 일부러 점렬 ''t_n''의 극한을 고려하는 이유 중 하나는, ''t'' → ∞의 극한에서는 극한 집합이 폐곡선이 되는 경우에 유효하게 정의할 수 없다는 점에 있다. 또한, 푸앵카레 단면을 이용하여 동역학계의 구조를 조사할 때는 필연적으로 시간이 점렬이 되므로, 점렬에 의한 정의가 필요하다.

2. 2. 이산 동역학계

위상 동형 사상을 ''g''(''x'')라 하고, 사상의 ''k''회 반복 적용을 ''g''^''k''(''x'')로 나타낼 때 (''k''는 정수), 다음과 같이 정의한다.

0 < ''k''₁ < ''k''₂ < … 인 시각 열 ''k_n'' 에 대해,

::

\lim_{n \to \infty} g^{k_n}(x_0) = y

:가 성립하면, ''y''를 ''x''₀의 '''ω-극한점'''이라고 한다.

0 > ''k''₁ > ''k''₂ > … 인 시각 열 ''k_n'' 에 대해,

::

\lim_{n \to \infty} g^{k_n}(x_0) = y

:가 성립하면, ''y''를 ''x''₀의 '''α-극한점'''이라고 한다.

''x''₀의 ω-극한점 전체의 집합을 '''ω-극한 집합''', α-극한점 전체의 집합을 '''α-극한 집합'''이라고 한다.^[1]

3. 성질

극한 집합은 일반적으로 닫힌집합이다.^[2] 흐름 φ_t(x₀)에 대한 극한 집합은 폐포의 교집합으로도 나타낼 수 있다.^[2]

: $\omega(x_0) = \bigcap_{0 \le \tau} \overline{ \bigcup_{\tau \le t < \infty} \phi_{t}(x_0) }$

: $\alpha(x_0) = \bigcap_{\tau \le 0} \overline{ \bigcup_{-\infty < t \le \tau} \phi_{t}(x_0) }$

극한 집합은 흐름 φ 또는 사상 g에 관해 불변이다. 즉, g(ω(x₀)) = ω(x₀)이다. 임의의 t ∈ '''R'''에 대해 y ∈ ω(x₀)이면 φ_t(y) ∈ ω(x₀)이다. 상 공간 X가 콤팩트라면, 그 위의 흐름 또는 사상의 극한 집합은 공집합이 아니다.

연속 동역학계의 궤도 O(x₀)가 유계라면, 그 극한 집합은 콤팩트하고 연결되어 있다.^[2] 랴푸노프 함수 V를 상 공간의 부분 집합 G의 폐포상에서 연속이고, t에 대해 단조 감소하는 실수 값 함수로 정의할때, G에 포함되는 양의 반 궤도 O₊(x₀)가 존재하면, ω(x₀) 상에서 V는 일정 값이 된다.

어떤 점 x가 그 ω 극한 집합 자체에 속할 때, 즉 x ∈ ω(x)일 때, x를 '''재귀점'''이라고 부른다.^[4] 재귀점은 그 점이 강한 재귀성을 갖는다는 것을 의미한다. 동역학계에서의 다른 재귀성 개념, 예를 들어 푸앵카레 재귀 정리가 보장하는 재귀성 또는 비유주 집합이 의미하는 재귀성보다 더 강한 재귀성을 보장한다. 연속 동역학계와 이산 동역학계에서, 임의의 점은 ω 극한점이면 비유주점이다.

4. 종류

극한 집합에는 다음과 같은 종류가 있다.

고정점
주기 궤도
리미트 사이클
끌개

일반적으로 극한 집합은 이상한 끌개처럼 매우 복잡할 수 있다. 하지만 2차원 동역학계에서는 푸앵카레-벤딕손 정리에 의해 유한 개의 고정점을 포함하는 모든 비어있지 않은 컴팩트한

\omega

-극한 집합은 고정점, 주기 궤도, 또는 해당 고정점을 연결하는 호모클리닉 궤도나 헤테로클리닉 궤도의 결합으로 간단하게 특징지어진다.

연속 동역학계에서 극한 집합은 미분 방정식계로 정의된다. 상 공간을 '''R'''^''m''이라 하고, 상 공간상의 점을 ''x''라고 하면,

:

\dot{x} = f(x)

에 의해 벡터장이 정의된다. 초기점 ''x''₀를 지나고 시간 ''t'' ∈ '''R'''을 ''x''로 사상하는 흐름을 ''φ''_{''t ''}(''x''₀)라 할 때, 상 공간상의 어떤 점 ''y'' ∈ '''R'''^''m''이 ''φ''_{''t ''}(''x''₀)의 '''''ω'' 극한점'''이란, ''n'' → ∞에서 ''t_n'' → ∞가 되는 시각 점렬에 대해,

:

\lim_{n \to \infty} \phi_{t_n}(x_0) = y

를 만족하는 것이다. 다시 말해, ''t_n'' → ∞일 때 ''φ''_{''t_n ''}(''x''₀)이 갖는 상 공간상의 점점점이 ''ω'' 극한점이다. ''x''₀를 지나는 흐름 ''φ''_{''t ''}(''x''₀)의 ''ω'' 극한점 전체 집합을 '''''ω'' 극한 집합'''이라 하며, ''ω''(''x''₀) 또는 ''ω ''lim(''x''₀)으로 나타낸다.

이산 역학계에서 극한 집합은 사상으로 정의되며, 연속계와 마찬가지로 정의된다. 이때, ''t_n''은 실수가 아닌 정수이다. 위상 동형 사상 ''g''(''x'')의 ''k''회 반복 적용을 ''g''^''k''(''x'') (''k'' ∈ '''Z''')라 할 때, 0 < ''k''₁ < ''k''₂ < …와 같은 ''k_n'' 시각 열에 대해

:

\lim_{n \to \infty} g^{k_n}(x_0) = y

가 되는 ''y''를 ''x''₀의 '''ω 극한점'''이라 한다. ''x''₀의 ''ω'' 극한점 전체 집합이 ''x''₀의 '''ω 극한 집합'''을 정의한다.

4. 1. 고정점 (Fixed Point)

동적 시스템에서 모든 고정점

x_0

에 대해,

\lim_{\omega} x_0 =\lim_{\alpha} x_0 =x_0

이다.

x_0

이 평형점 및 부동점이라면, 그 극한 집합 ''ω''(''x''₀) 및 ''α''(''x''₀)는

x_0

자신뿐이다.

4. 2. 주기 궤도 (Periodic Orbit)

동적 시스템에서 모든 주기 궤도 γ에 대해, ω_lim^영어 γ = α_lim^영어 γ = γ이다. 즉, 주기 궤도는 일정한 시간 간격으로 같은 궤도를 반복하는 운동을 의미하며, 그 자체로 극한 집합이 된다. ''x''₀이 주기 궤도상의 점이면, ''ω''(''x''₀) 및 ''α''(''x''₀)는 그 주기 궤도이다.

푸앵카레-벤딕손 정리에 따르면, 2차원 위상 평면에서 어떤 점의 ω 극한 집합이 될 수 있는 세 가지 경우 중 하나가 주기 궤도이다.^[1]

4. 3. 극한 주기 (Limit Cycle)

어떤 ''x''₀ ∉ ''γ'' 에 대해 주기 궤도 ''γ''가 ''ω''(''x''₀) 또는 ''α''(''x''₀)에 포함될 때, ''γ''는 리미트 사이클이라고 한다.

4. 4. 끌개 (Attractor)

끌개는 주변 궤도들을 끌어당기는 극한 집합을 의미한다.

연속 동역학계에서 극한 집합은 미분 방정식계로 정의된다. 상 공간을 '''R'''^''m''이라 하고, 상 공간상의 점을 ''x''라고 하면,

:

\dot{x} = f(x)

에 의해 벡터장이 정의된다^[4]。이 벡터장에 대해, 초기점 ''x''₀를 지나고 시간 ''t'' ∈ '''R'''을 ''x''로 사상하는 흐름을 ''φ''_{''t ''}(''x''₀)로 나타낸다。이때, 상 공간상의 어떤 점 ''y'' ∈ '''R'''^''m''이 ''φ''_{''t ''}(''x''₀)의 '''''ω'' 극한점'''이란, ''n'' → ∞에서 ''t_n'' → ∞가 되는 시각 점렬에 대해,

:

\lim_{n \to \infty} \phi_{t_n}(x_0) = y

를 만족하는 것이다^[4]。다시 말해, ''t_n'' → ∞일 때 ''φ''_{''t_n ''}(''x''₀)이 갖는 상 공간상의 점점점이 ''ω'' 극한점이다。그리고 ''x''₀를 지나는 흐름 ''φ''_{''t ''}(''x''₀)의 ''ω'' 극한점 전체 집합을 '''''ω'' 극한 집합'''이라 한다。''x''₀에 대한 ''ω'' 극한 집합은 기호로 ''ω''(''x''₀) 또는 ''ω ''lim(''x''₀)으로 나타낸다。

이산 동역학계에서 극한 집합은 사상으로 정의되며, 연속계와 마찬가지이다。이때, ''t_n''은 실수가 아닌 정수이다。

이산 동역학계를 정의하는 위상 동형 사상을 ''g''(''x'')라 하고, 사상의 ''k''회 반복 적용을 ''g''^''k''(''x'')로 나타낸다(''k'' ∈ '''Z'''). 0 < ''k''₁ < ''k''₂ < …와 같은 ''k_n'' 시각 열에 대해

:

\lim_{n \to \infty} g^{k_n}(x_0) = y

가 되는 ''y''를 ''x''₀의 '''ω 극한점'''이라 한다。연속 역학계와 마찬가지로, ''x''₀의 ''ω'' 극한점 전체 집합이 ''x''₀의 '''ω 극한 집합'''을 정의한다。

''x''₀이 부동점이면, 그 극한 집합 ''ω''(''x''₀)는 ''x''₀ 자신뿐이다。''x''₀이 주기 궤도 위 점이면, ''ω''(''x''₀)는 그 주기 궤도이다。

4. 4. 1. 이상한 끌개 (Strange Attractor)

일반적으로 극한 집합은 이상한 끌개의 경우처럼 매우 복잡할 수 있다. 하지만 2차원 동역학계의 경우 푸앵카레-벤딕손 정리에 의해 유한 개의 고정점을 포함하는 모든 비어있지 않은 컴팩트한

\omega

-극한 집합은 고정점, 주기 궤도 또는 해당 고정점을 연결하는 호모클리닉 궤도나 헤테로클리닉 궤도의 결합으로 간단하게 특징지어진다. 3차원 위상 공간의 극한 집합은 매우 복잡해질 수 있지만, 2차원 위상 공간(위상 평면)의 극한 집합은 그에 비해 간단한 것으로 제한된다.^[3]

5. 2차원 동역학계에서의 극한 집합

푸앵카레-벤딕손 정리에 따르면, 2차원 위상 공간(위상 평면)의 극한 집합은 비교적 간단한 형태로 제한된다.^[3] ''f''를 위상 평면('''R'''² 또는 ''S''²)상의 매끄러운 벡터장으로 하고, 어떤 ''x''₀에서 시작하는 전방 궤도가 유계라고 가정한다. 또한, ''f''의 평형점은 모두 고립점이거나, 유한 개라고 한다. 이때 ''ω''(''x''₀)는 다음 셋 중 하나이다.^[4]

''ω''(''x''₀)는 평형점
''ω''(''x''₀)는 주기 궤도
''ω''(''x''₀)는 호모클리닉 궤도나 헤테로클리닉 궤도와 같은, 평형점과 그들을 잇는 궤도로 이루어진 집합

6. 한국의 극한 집합 연구

한국에서는 극한 집합 개념이 카오스 이론, 비선형 동역학, 생물학적 시스템 모델링 등 다양한 분야에서 활용되고 있다. 특히, 복잡한 시스템의 장기적인 행동을 예측하고 분석하는 데 중요한 도구로 사용된다.

참조

_[1] 서적 Chaos, an introduction to dynamical systems Springer
_[2] 서적 生物リズムと力学系 https://www.kyoritsu[...] 共立出版
_[3] 서적 常微分方程式とロトカ・ヴォルテラ方程式 https://www.kyoritsu[...] 共立出版
_[4] 서적 力学系・カオス―非線形現象の幾何学的構成 https://www.kyoritsu[...] 共立出版

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