기번스-호킹 가설 풀이

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1. 개요
2. 정의
3. 예
- 3.1. 점근 국소 유클리드 공간 (ALE 공간)
- 3.2. 점근 국소 평탄 공간 (ALF 공간)
4. 역사
참조

1. 개요

기번스-호킹 가설 풀이는 4차원 초켈러 다양체가 U(1) 등거리 대칭군을 가질 때, 이를 3차원 공간 위의 U(1) 주다발로 나타낼 수 있다는 것을 기반으로 한다. 이 풀이는 3차원 유클리드 공간의 열린집합 U, U(1) 주다발 P, P 위의 U(1) 주접속 A, 매끄러운 함수 V를 사용하여 리만 계량을 정의한다. 이 계량은 초켈러 다양체의 리만 계량이며, 에구치-핸슨 공간과 같은 점근 국소 유클리드 공간(ALE 공간), 토브-너트 공간과 같은 점근 국소 평탄 공간(ALF 공간)을 구성하는 데 사용된다. 게리 기번스와 스티븐 호킹이 1978년에 도입했으며, 끈 이론, M이론, 양자장론 등과 연관된 연구가 진행되고 있다.

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기번스-호킹 가설 풀이
정의
유형	수학적 가설 풀이
분야	일반 상대성 이론
관련 개념	중력 블랙홀 시공간
주요 내용
설명	유클리드 공간에서 아인슈타인 방정식의 해를 구하는 방법 중력이 강한 시공간 연구에 활용
역사
개발자	게리 기번스 스티븐 호킹
개발 연도	1978년 ~ 1979년
참고 문헌	Gibbons, G. W., & Hawking, S. W. (1979). Classification of all gravitational instantons with a cosmological term. Communications in Mathematical Physics, 66(3), 291-310. Хакинг, С., & Гиббонс, Г. (1978). Евклидова квантовая гравитация. Успехи физических наук, 126(2), 279–309.

2. 정의

4차원 초켈러 다양체가 킬링 벡터장을 가져 U(1) 등거리 대칭군을 갖는 경우, 이는 3차원 공간 위의 U(1) 주다발로 나타낼 수 있다. 이러한 구조에서 필요한 데이터, 데이터가 만족시켜야 하는 조건, 그리고 이를 통해 정의되는 리만 계량은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.^[1]

2. 1. 데이터

3차원 유클리드 공간의 열린집합

U \subseteq \mathbb{R}^3

가 주어졌다고 하자. 또한, 다음 데이터들이 주어졌다고 하자.

$U$ 위의 U(1) 주다발 $\pi \colon P \twoheadrightarrow U$
$P$ 위의 U(1) 주접속 $A \in \Omega^1(P; \mathrm i \mathbb{R})$
그 주곡률은 어떤 $F \in \Omega^2(U)$ 에 대하여 $\mathrm d A = \pi^* \mathrm i F$ 의 꼴이다. 또한, $F / 2\pi = \mathrm d \omega$ 인 $\omega \in \Omega^1(U)$ 를 고르자.
매끄러운 함수 $V \colon U \to \mathbb{R}$

2. 2. 조건

위 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.^[1]

:

\star\mathrm dV = F / 2\pi

이 경우,

\mathrm d\star\mathrm dV = \mathrm dF/2\pi = 0

이므로

V

는 조화 함수이다.^[1]

2. 3. 리만 계량

위 조건 하에, 다음 계량은

P

위의 초켈러 다양체 리만 계량을 정의한다.

:

g = V(\vec r)\,\mathrm d\vec r^2 + V(\vec r)^{-1}\,(A/2\pi)^2

이를 '''기번스-호킹 가설 풀이'''라고 한다. 구체적으로

A/2\pi=\mathrm d\theta+\omega

가 되며, 여기서

\theta

는 U(1) 올다발의 올의 좌표로, 주기가

4\pi

이다.

3. 예

에구치-핸슨 공간, 점근 국소 유클리드 공간(ALE 공간), 토브-너트 공간(ALF 공간) 등은 기번스-호킹 가설 풀이를 통해 구성할 수 있다.^[1]

3. 1. 점근 국소 유클리드 공간 (ALE 공간)

ADE 분류에서 A계 공간들은 다음과 같은 꼴의 퍼텐셜로 구성된다.^[1]

:

V(\vec r) = \sum_{i=1}^k \frac1

3. 2. 점근 국소 평탄 공간 (ALF 공간)

토브-너트 공간 및 기타 점근 국소 평탄 공간(asymptotically locally flat space^영어)은 다음과 같은 퍼텐셜을 사용한다.^[1]

:

V(\vec r) = 1+\sum_{i=1}^k \frac1

^[1]

4. 역사

게리 기번스와 스티븐 호킹이 1978년에 도입하였다.^[1]

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