주다발

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1. 개요

주다발은 위상 공간 X와 위상군 G가 주어졌을 때, 올이 G이고 밑이 X인 올다발의 일종이다. 주다발은 올다발과 군의 오른쪽 작용으로 구성되며, 각 올은 G의 작용에 의해 자유롭고 추이적으로 작용한다. 주다발 사상은 두 주다발 사이의 연속 함수와 군 준동형으로 정의되며, 구조군 축소는 주다발의 구조군을 부분군으로 줄이는 것을 의미한다. 주다발은 자명한 다발이거나, 틀 다발, 덮개 공간, 호프 다발과 같은 다양한 예시를 가지며, 위상수학, 미분기하학, 그리고 물리학의 게이지 이론 등 다양한 분야에서 활용된다.

주다발

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올다발 - 단면 (올다발)
단면은 올다발의 정의를 만족하는 함수로, 함수의 그래프를 일반화한 개념이며, 매끄러운 올다발에서는 매끄러운 단면을 정의할 수 있고, 전역 단면의 존재 여부는 호모토피 이론에서 중요한 연구 대상이다.
올다발 - 분류 공간
분류 공간은 위상군 <math>G</math>에 대한 <math>G</math>-주다발 <math>\pi\colon\mathrm EG\to\mathrm BG</math>에서, 임의의 위상 공간 <math>X</math> 위의 <math>G</math>-주다발 <math>E\to X</math>이 연속 함수 <math>\phi\colon X\to\mathrm BG</math>의 호모토피류 <math>[\phi]</math>들과 일대일 대응하는 경우의 <math>\mathrm BG</math>를 지칭하며, <math>\mathrm BG</math>는 <math>G</math>의 분류 공간, <math>\mathrm EG</math>는 <math>G</math>의 전체 분류 공간이라고 한다.
미분기하학 - 가우스 곡률
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미분기하학 - 가우스의 빼어난 정리
가우스의 빼어난 정리는 곡면의 가우스 곡률이 외부 공간이 아닌 곡면 자체의 리만 계량만으로 결정된다는 정리로, 곡면의 변형 시 가우스 곡률이 보존됨을 의미하며, 지도 제작의 불가능성 증명과 고차원 리만 다양체 일반화에 응용되어 미분기하학과 일반 상대성 이론의 기초가 된다.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 대역적 자명화와 단면
- 3.2. 분류 공간
4. 예
5. 응용

2. 정의

주다발은 다음 데이터로 정의된다.

* 위상 공간 $X$
* 위상군 $G$

이 데이터가 주어졌을 때, 올이 $G$ 이고 밑이 $X$ 인 주다발은 다음과 같은 추가 데이터로 구성된다.

* 올이 $G$ 인 올다발 $\pi\colon P\twoheadrightarrow X$
* 연속 오른쪽 작용 $P\times G\to P$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

* 모든 $g\in G$ , $p\in P$ 에 대하여, $\pi(p\cdot g)=\pi(p)$ . 즉, 각 $x\in X$ 에 대하여, $G$ 는 올 $P_x$ 위에 작용한다.
* 임의의 $p,p'\in G$ 에 대하여, 만약 $\pi(p)=\pi(p')$ 이라면, $p\cdot g=p'$ 인 $g\in G$ 가 유일하게 존재한다. 즉, 임의의 $x\in X$ 에 대하여, 오른쪽 작용 $P_x\times G\to P_x$ 는 정추이적 작용이다. 여기서 $P_x=\pi^{-1}(\{x\})$ 는 $x$ 위의 $P$ 의 올이다.

간단히 말해, 주 $G$ 다발은 올다발 $\pi:P \to X$ 와 위상군 $G$ 에 의한 연속적인 오른쪽 작용 $P \times G \to P$ 를 결합한 개념으로, $G$ 가 $P$ 의 올을 보존하고 그 위에 자유롭고 추이적으로 작용하는 것이다. 추상적인 올은 $G$ 자체이다.

만약

* $G$ 가 리 군이며,
* $P$ 와 $X$ 가 매끄러운 다양체이며,
* $\pi\colon P\to X$ 가 매끄러운 함수이며,
* $G$ 의 작용 $P\times G\to P$ 역시 매끄러운 함수라면

$(X,G,P,\pi)$ 를 매끄러운 주다발이라고 한다.

2.1. 주다발 사상

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 두 위상 공간 $X$ , $Y$
* 위상군 $G$ 와 $H$
* $G$ -주다발 $\pi_P\colon P\twoheadrightarrow X$ , $\pi_Q\colon Q\twoheadrightarrow Y$

이 두 주다발 사이의 주다발 사상(principal bundle morphism^영어) $(f,\phi)$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* 연속 함수 $f\colon X\to Y$
* 연속 함수 $\Phi\colon P\to Q$
* 연속 군 준동형 $\phi\colon G\to H$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

: $\Phi(p\cdot g)=\Phi(p)\cdot\phi(g)\qquad\forall (p,g)\in P\times G$
: $f\circ\pi_P=\pi_Q\circ\Phi$

즉, 다음 가환 그림이 성립해야 한다.

: $\begin{matrix}P\times G&\xrightarrow{(\Phi,\phi)}&Q\times H\\{\scriptstyle\cdot}\downarrow{\scriptstyle\color{White}\cdot}&&{\scriptstyle\color{White}\cdot}\downarrow\scriptstyle\cdot\\P&\xrightarrow\Phi&Q\\{\scriptstyle\pi_P}\downarrow{\scriptstyle\color{White}{\pi_P}}&&{\scriptstyle\color{White}{\pi_Q}}\downarrow{\scriptstyle\pi_Q}\\X&\xrightarrow[f]{}&Y\end{matrix}$

주다발 사상 $(f,\Phi,\phi)$ 에서, 만약 $X=Y$ 이며, $f=\operatorname{id}_X$ 가 항등 함수이며, $\phi$ 가 단사 함수라면 (즉, 부분군의 포함 사상이라면) $(\Phi,\phi)$ 를 구조군 축소(構造群縮小, reduction of structure group^영어)라고 한다.

2.2. 구조군 축소

주어진 `G`의 부분군 `H`에 대해, 잉여류 공간 `G/H`와 위상동형인 올을 갖는 번들 `P/H`를 고려할 수 있다. 만약 새로운 번들이 전역 단면을 허용한다면, 해당 단면을 `G`에서 `H`로 구조군을 축소라고 한다. 이러한 명칭을 사용하는 이유는 이 단면의 값들의 (섬유별) 역상이 주 `H`-번들인 `P`의 부분 번들을 형성하기 때문이다. 만약 `H`가 항등원이라면, `P` 자체의 단면은 구조군을 항등원으로 축소하는 것이다. 일반적으로 구조군의 축소는 존재하지 않는다.

주 `G`-번들과 관련된 다양체의 구조 또는 그 위에 정의된 번들의 구조에 대한 많은 위상학적 질문들은 구조군의 축소(`G`에서 `H`로)의 허용성에 대한 질문으로 다시 표현될 수 있다. 예를 들어:

* `2n`차원 실수 다양체가 개복소 구조를 갖는 것은, 다양체 상의 틀 번들(그 올은 `GL(2n,ℝ)`)이 `GL(n,ℂ) ⊆ GL(2n,ℝ)`로 축소될 수 있을 때이다.
* `n`차원 실수 다양체가 `k`-평면장을 갖는 것은, 틀 번들이 구조군 `GL(k,ℝ) ⊆ GL(n,ℝ)`로 축소될 수 있을 때이다.
* 다양체가 가향 가능한 것은 틀 번들이 특수 직교군 `SO(n) ⊆ GL(n,ℝ)`으로 축소될 수 있을 때이다.
* 다양체가 스핀 구조를 갖는 것은, 틀 번들이 `SO(n)`에서 `Spin(n)`(스핀 군), 즉 `SO(n)`으로 이중 덮개로 사상되는 군으로 더 축소될 수 있을 때이다.

또한, `n`차원 다양체가 각 점에서 선형 독립인 `n`개의 벡터장을 갖는 것은, 그 틀 번들이 전역 단면을 허용할 때이다. 이 경우, 해당 다양체를 평행화 가능하다고 한다.

2.3. 주연장

principal prolongation^영어이라고 불리는 $(p,q)$ 차 주연장은 $P$ 의 $M$ 위의 올다발로, 다음과 같이 정의된다.

: $\mathrm W^{p,q}P=\mathrm F^pM\times_M\mathrm J^qP$

여기서
* $\mathrm F^pM$ 은 $M$ 위의 $p$ 차 틀다발이며, 그 올군은 $p$ 차 $n$ 차원 제트 군 $\operatorname{Jet}(p,n)$ 이다.
* $\mathrm J^qP$ 는 $P$ 위의 $q$ 차 제트 다발이다.
* $\times_M$ 은 $M$ 위의 두 올다발의 곱이다.

국소적으로 $\mathrm W^{p,q}P$ 의 점은 다음과 같은 꼴이다.

: $(\mathrm j_0^pf,\mathrm j_x^hg)$

여기서
* $f\colon U\to V$ 는 단사 매끄러운 함수이며, $0\in U\subseteq\mathbb R^n$ 은 열린집합이며, $x\in V\subseteq M$ 역시 열린집합이다.
* $\mathrm j_0^pf$ 는 $f$ 의, $0\in U$ 에서의 $p$ 차 제트이다.
* $s\colon V\to P$ 는 $P\restriction V$ 의 단면이다.

이는 $P$ 위의 주다발을 이룬다. 그 올군은
: $\operatorname{Jet}(n,p)\rtimes\mathrm T^qG$
이다. 여기서
: $\mathrm T^qG=\{\mathrm j_0^qg\colon g\colon\mathbb R^n\to G\}$
이며, 그 군 연산은 다음과 같다.

: $(\mathrm j^p_0f,\mathrm j^q_0g)(\mathrm j^p_0f',\mathrm j^q_0g')=\left(\mathrm j^p_0(f\circ f'),\mathrm j^q_0\left(\left(\mathrm g\circ f'\right)g'\right)\right)$

이 군은 $\mathrm W^{p,q}P$ 위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.

: $(\mathrm j^p_0f,\mathrm j^q_xs)(\mathrm j^p_0f',\mathrm j^q_xg)=\left(\mathrm j^p_0(f\circ f'),\mathrm j^q_0\left(\sigma\cdot(g\cdot f'^{-1}\cdot f^{-1})\right)\right)$

3. 성질

주다발은 전역 단면을 허용하는 경우에만 자명하다는 특징을 갖는다.

위상군 $G$ 에 대한 분류 공간 $BG$ 는 $X$ 위의 $G$ -주다발들의 동형류를 분류하는 데 사용된다. 이는 연속 함수 $X \to BG$ 들의 호모토피류와 일대일 대응한다. $f \colon X \to BG$ 에 대응하는 $G$ 주다발은 $f^* EG$ 이다.

3.1. 대역적 자명화와 단면

위상 공간 $X$ 위의 주다발 $P$ 에 대하여, 대역적 자명화(주다발의 동형 $P\cong X\times G$ )가 존재할 필요충분조건은 대역적 단면 $s\in\Gamma(P)$ 가 존재하는 것이다. (이는 $s\colon x\mapsto(x,1_G)$ 로 여길 수 있다.)

주다발은 전역 단면을 허용하는 경우에만 자명하다는 편리한 특징을 갖는다.

3.2. 분류 공간

위상군 $G$ 에 대한 분류 공간 $BG$ 는 $X$ 위의 $G$ -주다발들의 동형류를 분류하는 데 사용된다. 이는 연속 함수 $X \to BG$ 들의 호모토피류와 일대일 대응한다. 구체적으로, 연속 함수 $f \colon X \to BG$ 에 대응하는 $G$ 주다발은 $f^* EG$ 이다.

4. 예

위상 공간 $X$ 와 위상군 $G$ 에 대하여, $X\times G$ 에 군 작용과 사영 사상을 부여하여 주다발을 만들 수 있는데, 이를 자명 주다발이라 한다. 열린 공 $U \subset \mathbb{R}^n$ 또는 $\mathbb{R}^n$ 위에서 유도된 좌표를 갖는 모든 주 $G$ -다발은 자명한 다발과 동형이다. 예를 들어, $G=U(2)$ (2x2 유니타리 행렬의 리 군)인 경우, 단면은 네 개의 실수 값을 갖는 함수를 통해 구성할 수 있다.

틀다발은 위상 공간 $X$ 위의 $k$ 차원 벡터 다발 $E$ 가 주어졌을 때 정의할 수 있는 표준적인 $\operatorname{GL}(k;\mathbb R)$ -주다발이다. 매끄러운 다양체 $M$ 의 틀 다발은 $FM$ 또는 $GL(M)$ 으로 표시되며, 점 $x \in M$ 위의 올은 $T_xM$ 접선 공간에 대한 모든 틀의 집합이다. 일반 선형 군 $GL(n,\mathbb{R})$ 은 이러한 틀에 자유롭고 추이적으로 작용하여 $M$ 위의 주 $GL(n,\mathbb{R})$ -다발을 얻는다. 리만 다양체의 정규 직교 틀 다발은 구조군이 직교 군 $O(n)$ 인 틀다발의 변형이다.

정규 덮개 공간 $p:C \to X$ 는 구조군 $G = \pi_1(X)/p_{*}(\pi_1(C))$ 를 갖는 주다발로 볼 수 있으며, 이 구조군은 모노드로미 작용을 통해 $p$ 의 올에 작용한다. 특히, $X$ 의 보편 덮개는 구조군 $\pi_1(X)$ 를 가진 $X$ 위의 주다발이다.

호프 다발은 구면을 밑공간으로 하는 주다발의 예시이다. 각 양의 정수 $n$ 에 대해 다음과 같은 일련의 주다발이 존재한다.

* $\mbox{O}(1) \to S(\mathbb{R}^{n+1}) \to \mathbb{RP}^n$
* $\mbox{U}(1) \to S(\mathbb{C}^{n+1}) \to \mathbb{CP}^n$
* $\mbox{Sp}(1) \to S(\mathbb{H}^{n+1}) \to \mathbb{HP}^n$

여기서 $S(V)$ 는 $V$ 의 단위 구를 나타낸다. 이러한 모든 예에서 $n = 1$ 인 경우가 호프 다발에 해당한다.

4.1. 자명 주다발

임의의 위상 공간 $X$ 와 위상군 $G$ 에 대하여, $X\times G$ 에 다음과 같은 군 작용과 사영 사상을 부여하면 주다발을 이룬다.

: $(x,h)\cdot g=(x,h\cdot g)$

: $(x,h)\mapsto x$

이를 자명 주다발(trivial principal bundle^영어)이라고 한다.

열린 공 $U \subset \mathbb{R}^n$ 또는 $\mathbb{R}^n$ 위에서 유도된 좌표 $x_1,\ldots,x_n$ 을 갖는 모든 주 $G$ -다발은 다음과 같은 자명한 다발과 동형이다.

$\pi:U\times G \to U$

이때 매끄러운 단면

s \in \Gamma(\pi)

은 매끄러운 함수

\hat{s}: U \to G

에 의해 다음과 같이 표현된다.

$s(u) = (u,\hat{s}(u)) \in U\times G$

예를 들어,

G=U(2)

, 즉

2\times 2

유니타리 행렬의 리 군인 경우, 단면은 네 개의 실수 값을 갖는 함수

$\phi(x),\psi(x),\Delta(x),\theta(x) : U \to \mathbb{R}$

를 고려하고 다음과 같은 파라미터화를 적용하여 구성할 수 있다.

\hat{s}(x) = e^{i\phi(x)}\begin{bmatrix}e^{i\psi(x)} & 0 \\0 & e^{-i\psi(x)}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos \theta(x)  & \sin \theta(x) \\-\sin \theta(x) & \cos \theta(x) \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e^{i\Delta(x)} & 0 \\0 & e^{-i\Delta(x)}\end{bmatrix}.

이와 같은 절차는 리 군

G

를 정의하는 행렬 모음에 대한 파라미터화를 취하고, 밑 공간

U\subset X

의 패치에서

\mathbb{R}

로의 함수 집합을 고려한 다음 파라미터화에 삽입함으로써 가능하다.

4.2. 틀다발

위상 공간 $X$ 위의 $k$ 차원 벡터 다발 $E$ 가 주어졌을 때, 어떤 표준적인 $\operatorname{GL}(k;\mathbb R)$ -주다발을 정의할 수 있으며, 이를 틀다발이라고 한다.

매끄러운 다양체 $M$ 의 틀 다발은 매끄러운 주다발의 전형적인 예시이며, $FM$ 또는 $GL(M)$ 으로 표시된다. 여기서 점 $x \in M$ 위의 올은 $T_xM$ 접선 공간에 대한 모든 틀(즉, 순서가 지정된 기저)의 집합이다. 일반 선형 군 $GL(n,\mathbb{R})$ 은 이러한 틀에 자유롭고 추이적으로 작용한다. 이러한 올은 자연스러운 방식으로 함께 붙여서 $M$ 위의 주 $GL(n,\mathbb{R})$ -다발을 얻을 수 있다.

리만 다양체의 정규 직교 틀 다발은 틀이 계량에 대해 정규 직교해야 하는 틀다발의 변형 예시이다. 이 경우 구조군은 직교 군 $O(n)$ 이다.

$E$ 가 $M$ 위의 랭크 $k$ 인 임의의 벡터 다발인 경우, $E$ 의 틀 다발은 주 $GL(k,\mathbb{R})$ -다발이며, 때로는 $F(E)$ 로 표시된다.

4.3. 덮개 공간

정규 덮개 공간 $p:C \to X$ 는 구조군 $G = \pi_1(X)/p_{*}(\pi_1(C))$ 를 갖는 주다발로 볼 수 있으며, 이 구조군은 모노드로미 작용을 통해 $p$ 의 올에 작용한다. 특히, $X$ 의 보편 덮개는 구조군 $\pi_1(X)$ 를 가진 $X$ 위의 주다발이다. (보편 덮개는 단일 연결되어 있으므로 $\pi_1(C)$ 는 자명하다.)

4.4. 호프 다발

호프 다발(Hopf fibration)은 구면을 밑공간으로 하는 주다발의 예시이다. 각 양의 정수 $n$ 에 대해 다음과 같은 일련의 주다발이 존재한다.

* $\mbox{O}(1) \to S(\mathbb{R}^{n+1}) \to \mathbb{RP}^n$
* $\mbox{U}(1) \to S(\mathbb{C}^{n+1}) \to \mathbb{CP}^n$
* $\mbox{Sp}(1) \to S(\mathbb{H}^{n+1}) \to \mathbb{HP}^n$

여기서 $S(V)$ 는 $V$ 의 단위 구를 나타낸다 (유클리드 메트릭을 갖춤). 이러한 모든 예에서 $n = 1$ 인 경우가 호프 다발에 해당한다.

* $O(1)$ 의 $S^n$ 위의 자연스러운 작용에 의해, $S^n$ 은 $\mathbb{RP}^n$ 위의 주 $O(1)$ -다발이 된다.
* $S^{2n+1}$ 은 복소 사영 공간 $\mathbb{CP}^n$ 위의 주 $U(1)$ -다발이다.
* $S^{4n+3}$ 은 사원수 사영 공간 $\mathbb{HP}^n$ 위의 주 $Sp(1)$ -다발이다.

5. 응용

주다발은 위상수학 및 미분기하학에서 다양체의 구조를 연구하는 데 중요한 도구로 사용된다. 물리학에서, 특히 게이지 이론에서 주다발은 기본적인 개념이다. 예를 들어, 필바인의 국소적 로런츠 대칭은 올이 SO(1,3)인 주다발로 나타낼 수 있다.