기하학적 랭글랜즈 대응
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1. 개요
기하학적 랭글랜즈 대응은 랭글랜즈 프로그램의 기하학적 버전으로, 대수 기하학적 대상과 표현론을 연결하는 연구 분야이다. 1980년대 블라디미르 드린펠트는 대수 곡선에 대한 GL(2)의 오토모픽 표현과 갈루아 표현 사이의 관계를 증명하여 기하학적 랭글랜즈 대응의 시초를 열었으며, 이후 에드워드 위튼, 안드레이 카프라노프 등에 의해 발전되었다. 1987년 드린펠트와 제라르 라우몬은 함수체 위의 일반 선형 군에 대한 기하학적 랭글랜즈 추측을 공식화했다. 2002년 로랑 라포르그는 함수체 위의 일반 선형 군 GL(n,K)에 대한 기하학적 랭글랜즈 추측을 증명했으며, 2024년 5월에는 데니스 게이츠고리 팀이 범주적 비분기 기하학적 랭글랜즈 추측의 증명을 발표했다. 기하학적 랭글랜즈 대응은 양자장론, 랭글랜즈 프로그램 재구성 등 다양한 분야와 연관되어 연구되고 있다.
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| 기하학적 랭글랜즈 대응 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
 | |
| 분야 | 수학, 끈 이론 |
| 하위 분야 | 수론, 기하학, 표현론 |
| 관련 주제 | |
| 관련 주제 | 랭글랜즈 프로그램 기하학적 양자화 양자장론 범주화 |
| 유형 | |
| 유형 | 수학적 방법 |
2. 역사적 배경
랭글랜즈 프로그램은 1960년대 후반 로버트 랭글랜즈에 의해 시작된 정수론과 표현 이론을 잇는 광범위한 추측과 결과들의 모음이다. 이는 페르마의 마지막 정리와 관련된 타니야마-시무라 추측과 같은 중요한 문제들과 연결된다.
랭글랜즈 프로그램은 대수적 수체와 대역 함수체 모두에 대해 공식화될 수 있다. 그러나 대수적 수체에 대한 고전적인 랭글랜즈 프로그램을 증명하는 것은 매우 어려운 문제로 밝혀졌다. 이러한 어려움으로 인해 수학자들은 상대적으로 다루기 쉬운 대역 함수체에 대한 기하학적 접근법, 즉 기하학적 랭글랜즈 대응을 연구하게 되었다.
함수체 위의 일반선형군 에 대한 기하학적 랭글랜즈 추측은 1987년 블라디미르 드린펠트와 제라르 라우몬에 의해 처음으로 공식화되었다.[1]
2. 1. 랭글랜즈 프로그램
수학에서 고전적인 랭글랜즈 프로그램은 정수론과 표현 이론에 관한 결과와 추측의 모음이다. 1960년대 후반 로버트 랭글랜즈가 공식화한 이 프로그램은 페르마의 마지막 정리를 특별한 경우로 포함하는 타니야마-시무라 추측과 같은 정수론의 중요한 추측과 관련이 있다.랭글랜즈 프로그램은 대역체 및 국소체에 대해 공식화될 수 있으며, 이들은 대수적 수체 또는 대역 함수체로 분류된다. 대수적 수체에 대한 고전적인 랭글랜즈 프로그램을 증명하는 것은 매우 어려운 문제로 알려져 있다. 결과적으로 일부 수학자들은 상대적으로 다루기 쉬운 대역 함수체에 대한 기하학적 접근법을 연구하게 되었다.
함수체 ''K'' 위의 일반 선형 군 ''GL(n,K)''에 대한 기하학적 랭글랜즈 추측을 블라디미르 드린펠트와 제라르 라우몬이 1987년에 공식화했다.[1]
2. 2. 기하학적 랭글랜즈 대응의 등장
수학에서 고전적인 랭글랜즈 대응은 정수론과 표현 이론에 관한 결과와 추측의 모음이다. 1960년대 후반 로버트 랭글랜즈가 공식화한 랭글랜즈 대응은 페르마의 마지막 정리를 특별한 경우로 포함하는 타니야마-시무라 추측과 같은 정수론의 중요한 추측과 관련이 있다.랭글랜즈 대응은 대역체 및 국소체에 대해 공식화될 수 있으며, 이는 수체 또는 대역 함수체로 분류된다. 수체에 대한 고전적인 랭글랜즈 대응을 설정하는 것은 매우 어려운 것으로 입증되었다. 결과적으로 일부 수학자들은 대역 함수체에 대한 기하학적 랭글랜즈 대응을 제안했는데, 이는 어떤 의미에서 다루기가 더 쉽다는 것이 입증되었다.
함수체 위의 일반 선형 군 에 대한 기하학적 랭글랜즈 추측을 블라디미르 드린펠트와 제라르 라우몬이 1987년에 공식화했다.[1]
2. 3. 초기 추측
수학에서 수체에 대한 고전적인 랭글랜즈 대응을 설정하는 것은 매우 어려운 문제로 알려져 있다. 이러한 배경에서 일부 수학자들은 상대적으로 다루기 쉬운 것으로 여겨지는 대역 함수체에 대한 기하학적 랭글랜즈 대응을 연구하기 시작했다.함수체 위의 일반 선형 군 에 대한 기하학적 랭글랜즈 추측은 1987년 블라디미르 드린펠트와 제라르 라우몬에 의해 처음으로 공식화되었다.[1]
3. 주요 결과 및 현황
기하학적 랭글랜즈 추측은 1983년 피에르 들리뉴와 드린펠트의 초기 증명[2] 이후, 2002년 로랑 라포르그가 함수 체 위의 일반 선형 군 에 대해 증명하며 중요한 진전을 이루었다. 최근 2024년에는 데니스 게이츠고리 등이 범주적 비분기 기하학적 랭글랜즈 추측의 증명을 발표했으나[3][4], 그 복잡성으로 인해 검증이 진행 중이다.[5]
3. 1. 초기 증명
1983년에 피에르 들리뉴는 에 대해, 드린펠트는 에 대해 기하학적 랭글랜즈 추측을 각각 증명했다.[2]3. 2. 로랑 라포르그의 증명
1983년에 피에르 들리뉴가 에 대해, 드린펠트가 에 대해 기하학적인 랭글랜즈 추측을 증명했다.[2]로랑 라포르그는 2002년에 함수 체 위의 일반 선형 군 에 대한 기하학적 랭글랜즈 추측을 증명했다.
3. 3. 최근 동향
데니스 게이츠고리를 포함한 수학자 팀이 2024년 5월 6일에 범주적 비분기 기하학적 랭글랜즈 추측을 증명했다고 주장했다.[3][4] 이들이 제시한 증명은 5개의 논문에 걸쳐 1,000페이지가 넘는 방대한 분량으로 알려져 있으며, "너무 복잡해서 거의 누구도 설명할 수 없다"는 평가를 받기도 한다. 드린펠트는 이 결과의 중요성을 다른 수학자들에게 전달하는 것조차 "매우 어렵고 거의 불가능하다"고 언급했다.[5]4. 응용 및 연관 분야
기하학적 랭글랜즈 대응은 양자장론의 S-이중성과 같은 물리 이론과 깊은 연관성을 가지며[6], 랭글랜즈 자신에 의해 원래의 랭글랜즈 프로그램과 유사한 방식으로 재구성되기도 하였다.[7][8]
4. 1. 양자장론과의 연관성
2007년 발표된 논문에서 안톤 카푸스틴과 에드워드 위튼은 기하학적 랭글랜즈 대응과 특정 양자장론의 중요한 속성인 S-이중성 사이에 깊은 연관성이 있음을 설명했다.[6]4. 2. 기하학적 프로그램 재구성
2018년 아벨 상을 수상할 때, 랭글랜즈는 원래의 랭글랜즈 대응과 유사한 도구를 사용하여 기하학적 프로그램을 재구성하는 논문을 발표했다.[7][8]참조
[1]
저널
Correspondance de Langlands géométrique pour les corps de fonctions
[2]
저널
Two-dimensional ℓ–adic representations of the fundamental group of a curve over a finite field and automorphic forms on GL(2)
https://archive.org/[...]
[3]
웹인용
Proof of the geometric Langlands conjecture
https://people.mpim-[...]
2024-07-09
[4]
웹인용
Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture
https://www.quantama[...]
2024-07-19
[5]
웹인용
Incredible maths proof is so complex that almost no one can explain it
https://www.newscien[...]
2024-05-20
[6]
문서
Kapustin and Witten 2007
[7]
웹인용
The Greatest Mathematician You've Never Heard Of
https://thewalrus.ca[...]
2018-11-15
[8]
웹인용
Об аналитическом виде геометрической теории автоморфных форм1
https://publications[...]
2018-01-01
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