매케이 화살집

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
- 4.1. SU(2)의 부분군
5. 응용
6. 역사
참조

1. 개요

매케이 화살집은 유한군 G와 체 K가 주어졌을 때, G의 기약 표현과 임의의 유한 차원 표현 V 사이의 텐서곱을 기약 표현들의 직합으로 나타내는 관계를 시각적으로 표현한 화살집이다. 특히, SL(2, ℂ)의 유한 부분군의 경우, 정의 표현을 사용하여 매케이 그래프를 정의할 수 있으며, 이는 ADE형 확장 딘킨 도표와 일대일 대응된다. 매케이 화살집은 유한군으로 정의된 오비폴드, D-막, 화살집 게이지 이론 등 다양한 분야에 응용되며, 존 매케이에 의해 도입되었다.

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매케이 화살집
개요
유형	그래프
분야	표현론
고안자	존 매케이
정의
꼭짓점	군 G의 기약 표현
변	기약 표현 V와 G의 표준 2차원 표현의 텐서 곱에 나타나는 기약 표현 사이를 연결함. 변의 수는 텐서 곱에 기약 표현이 나타나는 횟수임.
추가 정보
관련 개념	매케이 대응

2. 정의

유한군 ''G''와 체 ''K''가 주어졌을 때, 마슈케 정리에 의해 모든 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합으로 유일하게 분해된다. 이 때, ''G''의 기약 표현들과 임의의 유한 차원 표현 ''V'' 사이의 텐서곱을 다시 기약 표현들의 직합으로 나타낼 수 있다. 이 관계를 나타내는 화살집이 매케이 화살집이다.

구체적으로, ''G''의 ''K''-계수 기약 표현들을 (''W''_i)_i∈''I''라고 할 때, 임의의 유한 차원 표현 ''V''에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $V \otimes W_i = \bigoplus_{i\in I}n_{ij}V_j$

''V''에 대응되는 매케이 화살집 Γ는 다음과 같이 정의된다.

Γ의 꼭짓점은 ''G''의 기약 표현이다.
''i'',''j''∈''I''에 대하여, 만약 ''n_ij'' > 0이라면 ''i''→''j'' 변이 존재하며, 그 변의 수는 ''n_ij''이다.

SL(2, ℂ)의 유한 부분군의 경우, 정의 표현(defining representation)을 이용해 매케이 그래프를 정의할 수 있으며, 이 그래프는 ADE형 확장 딘킨 도표와 일대일 대응된다.

3. 성질

유한군 ''G''의 표현 ρ의 쌍대 표현 ρ^*의 매케이 화살집은 ρ의 매케이 화살집의 반대 화살집(변의 방향을 모두 뒤집은 화살집)이다. 만약 ρ가 스스로의 쌍대 표현과 동형이라면, 그 매케이 화살집은 스스로의 반대 화살집과 동형이다. ''G''의 자명한 표현 1에 대한 매케이 화살집은 모든 꼭짓점에 각각 고리(self-loop^영어)가 하나씩 달리며 다른 변은 존재하지 않는 화살집이다.

표현 ''V''가 충실하면 모든 기약 표현은 어떤 텐서 거듭제곱 $V^{\otimes k}$ 에 포함되며, ''V''의 매케이 그래프는 연결되어 있다.
SL(2, ℂ)의 유한 부분군의 매케이 그래프는 자기 루프가 없으며, 즉 모든 ''i''에 대해 $n_{ii}=0$ 이다.
SL(2, ℂ)의 유한 부분군의 매케이 그래프의 화살표는 모두 가중치가 1이다.
유한군 ''G''의 표현 ''V''가 충실 표현인 것은, ''V''의 매케이 그래프가 연결될 때, 그리고 그 때에만 해당한다.

4. 예시

만약 $G$ 가 $\operatorname{SL}(2;\mathbb C)$ 의 유한 부분군이고, $V=\mathbb C^2$ 가 2차원 복소수 정의(定義) 표현이라면, 다음이 성립한다.

$n_{ij} = n_{ji} \in \{0,1\}$ 이며, $n_{ii}=0$ 이다. 즉, 이 경우 매케이 화살집은 단순히 그래프이며, 이 경우를 '''매케이 그래프'''라고 한다.
이 그래프는 ADE형의 확장 딘킨 도표의 하나이다.

SU(3)의 정의 표현 '''3'''을 사용하여 SU(3)의 유한 부분군에 대하여도 마찬가지로 매케이 화살집을 정의할 수 있다.^[3] G₂의 부분군의 경우에도 매케이 화살집들이 분류되었다.^[4]

4. 1. SU(2)의 부분군

펠릭스 클라인은 SU^영어(2)의 유한 부분군이 이진 다면체군이며, 모두 SU^영어(2)의 부분군과 공액 관계에 있다는 것을 증명했다. 매케이 대응은 이러한 이진 다면체군의 매케이 그래프와 확장된 딘킨 도표 사이에 일대일 대응이 있음을 보여준다.

이들은 다음과 같다.

ADE 표기	이름	SO^영어(3) 부분군	SO^영어(3) 부분군의 콕서터 군 기호	크기	다면체	기약 표현의 수	매케이 그래프
A_n	순환군 $\operatorname{Cyc}(n+1)$	(없음)		n+1	정 $n+1$ 각뿔	$n+1$
D_n	쌍순환군 $\operatorname{Dic}(n-2)$	정이면체군	(2,2,n−2)	4(n−2)	정 $n-2$ 각형	$n+1$	$\underset1\bullet-\overset\underset2\bullet-\underset2\bullet-\cdots-\underset2\bullet-\overset\underset2\bullet-\underset1\bullet$
E₆	이진 정사면체군	정사면체군	(2,3,3)	24	정사면체	7
E₇	이진 정팔면체군	정팔면체군	(2,3,4)	48	정육면체 · 정팔면체	8	$\underset1\bullet-\underset2\bullet-\underset3\bullet-\overset\underset4\bullet-\underset3\bullet-\underset2\bullet-\underset1\bullet$
E₈	이진 정이십면체군	정이십면체군	(2,3,5)	120	정십이면체 · 정이십면체	9	$\underset2\bullet-\underset4\bullet-\overset\underset6\bullet-\underset5\bullet-\underset4\bullet-\underset3\bullet-\underset2\bullet-\underset1\bullet$

매케이 그래프에서 각 꼭짓점에 붙어 있는 정수는 해당 표현의 크기를 나타낸다.

5. 응용

오비폴드에 D-막을 배치하면, 그 위에는 화살집 게이지 이론이 존재하며, 이 경우 사용되는 화살집은 유한군의 매케이 화살집이다.^[1] 이 경우 사용되는 표현은 (각 초다중항에 대하여) R대칭의 표현이다.^[1]

매케이 대응에 의해, SL(2, ℂ)의 유한 부분군과 확장 코세터-딘킨 도형 사이에는 A-D-E형의 일대일 대응 관계가 있다.^[1]

6. 역사

존 매케이(John McKay)가 도입하였다.^[5]^[6]

참조

_[1] 간행물 Subgroups of $SU_2$ , Dynkin diagrams and affine Coxeter elements
_[2] 서적 "The Geometric Vein", Coxeter Festschrift Springer-Verlag
_[3] 논문 Non-Abelian finite gauge theories 2003
_[4] 논문 G₂ quivers
_[5] 서적 The Santa Cruz Conference on Finite Groups American Mathematical Society
_[6] 서적 The geometric vein. The Coxeter Festschrift Springer-Verlag

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