국소체

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1. 개요

국소체는 위상체 K가 이산 공간이 아닌 국소 콤팩트 공간이면서, 실수체 또는 복소수체이거나, 이산 값매김에 대해 완비 거리 공간을 이루고 잉여류체가 유한체인 체를 의미한다. 국소체는 아르키메데스 체인 실수체 또는 복소수체, 비아르키메데스 체인 p진수의 유한 확대, 유한체 계수의 형식적 로랑 급수체 중 하나와 동형이다. 국소체는 위상적 성질, 비아르키메데스 국소체의 특징, 가역원군의 구조, 정규 부치, 지표군, 하르 측도 등을 가지며, 국소체의 유한 차수 대수적 확대는 국소체가 된다. 또한, 잉여류체가 저차원 국소체인 완비 이산 값매김체인 고차원 국소체도 존재한다. 국소체 이론은 국소체의 유형, 확대, 갈루아 군, 노름 사상 등을 다루며, 국소류체론과 랭글랜즈 대응 등과 관련이 있다.

국소체

개요

분야	수학
하위 분야	대수학, 수론, p진수 해석학, 대수기하학
유형	체

정의

정의	국소 콤팩트한 위상체

예시

종류	실수체 (실수) 복소수체 (복소수) 유한체 p진수체 (p진수) 대역체의 완비화

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1. 개요
2. 정의
3. 위상적 성질
4. 비아르키메데스 국소체
5. 가역원군의 구조
6. 정규 부치
7. 국소체 상의 지표군
8. 국소체 상의 하르 측도
9. 국소체의 대수적 확대
10. 고차원 국소체
11. 이론

2. 정의

위상체 K에 대하여, 다음 세 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상체를 국소체라고 한다.

* 이산 공간이 아닌 국소 콤팩트 공간이다.
* 실수체 또는 복소수체이거나, 아니면 어떤 이산 값매김(discrete valuation)에 대하여 완비 거리 공간을 이루고, 또한 그 이산 값매김환의 잉여류체가 유한체이다.
* 다음 목록 가운데 하나와 동형이다.
(아르키메데스 체) 실수체 $\mathbb R$ 또는 복소수체 $\mathbb C$
(체의 표수가 0인 비아르키메데스 체) p진수 $\mathbb Q_p$ 의 유한 확대
** (체의 표수가 양수인 비아르키메데스 체) 유한체 계수의 형식적 로랑 급수체 $\mathbb F_{p^n}((x))$

3. 위상적 성질

주어진 체 K에 대한 절댓값이 주어지면, K에 다음과 같은 위상을 정의할 수 있다. 양의 실수 m에 대해, K의 부분 집합 B_m을 다음과 같이 정의한다.

: $B_m:=\{ a\in K:|a|\leq m\}.$

그러면, b+B_m은 K에서 b의 근방 기저를 구성한다.

반대로, 이산적이지 않고 국소적으로 콤팩트한 위상을 가진 위상 체는 그 위상을 정의하는 절댓값을 갖는다. 이는 체의 덧셈 군의 하르 측도를 사용하여 구성할 수 있다.

국소체를 특징짓는 위상적 성질은 다음과 같다.

* 국소체 K의 부치환은 콤팩트하며, K의 콤팩트한 부분환은 부치환의 부분환이다.
* 부치환의 임의의 아이디얼은 콤팩트한 열린 집합이다.
* 승법군 $\scriptstyle K^{\times}$ 는 연결되어 있지 않은 국소 콤팩트한 위상군이다.
* 승법군 $\scriptstyle K^{\times}$ 에 대하여, n 차 주단위군은 콤팩트한 열린 집합이며, $\scriptstyle K^{\times}$ 의 콤팩트한 부분군은 단위군 U의 부분군이다.

4. 비아르키메데스 국소체

비아르키메데스 국소체 $F$ (절댓값은 |·|로 표시)에 대해 다음 객체들이 중요하다.

* 그 정수환 $\mathcal{O} = \{a\in F: |a|\leq 1\}$ 은 이산 값 매김 환이며, $F$ 의 닫힌 단위 공이고, 콤팩트 공간이다.
* 정수환 내의 단위 $\mathcal{O}^\times = \{a\in F: |a|= 1\}$ 는 군을 형성하며, $F$ 의 단위 구이다.
* 정수환 내의 유일한 비영 소 아이디얼 $\mathfrak{m}$ 은 열린 단위 공 $\{a\in F: |a|< 1\}$ 이다.
* $\mathfrak{m}$ 의 생성원 $\varpi$ 는 $F$ 의 균일원이라고 불린다.
* 유한한 잉여류체 $k=\mathcal{O}/\mathfrak{m}$ (콤팩트하고 이산 공간이므로).

$F$ 의 모든 비영원소 $a$ 는 $a$ = ϖⁿu로 쓸 수 있으며, 여기서 $u$ 는 단위이고, $n$ 은 유일한 정수이다.
$F$ 의 정규화된 값 매김은 비영 $a$ 를 $a$ = ϖⁿu이고 $u$ 는 단위인 유일한 정수 $n$ 으로 보내고, 0을 ∞로 보내는 전사 함수 $v$ : $F$ → Z ∪ {∞}로 정의된다. $q$ 가 잉여류체의 기수이면, 국소체로서의 구조에 의해 유도된 $F$ 의 절댓값은 다음과 같다.
: $|a|=q^{-v(a)}.$

비아르키메데스 국소체의 동등하고 매우 중요한 정의는 이산 값 매김에 대해 완비되고 잉여류체가 유한한 체라는 것이다.

5. 가역원군의 구조

국소체 K의 가역원군(multiplicative group)의 구조는 다음과 같다.

: $K^\times\cong(\varpi)\times\mu_{q-1}\times U^{(1)}$

여기서 $(\varpi)$ 는 K의 정수환의 유일 극대 아이디얼이며, $\mu_{q-1}$ 은 K의 정수환의 잉여류체 $\mathcal O_K/(\varpi)$ 의 1의 거듭제곱근들의 군이며, $U^{(1)}$ 는 1차 가역원군이다.

좀 더 구체적으로 살펴보면 다음과 같다.

* K가 아르키메데스 체일 경우,
:: $\mathbb R^\times\cong(\mathbb Z/(2))\times\mathbb R$
:: $\mathbb C^\times\cong(\mathbb R/(2\pi))\times\mathbb R$
:는 매우 익숙한 아벨 군이다.

* K가 비아르키메데스 체일 경우,
:: $K^\times\cong\mathbb Z\oplus\mathbb Z/(q-1)\oplus\mathbb Z/p^a\oplus\mathbb Z_p^d$
:여기서 $q$ 는 K의 정수환의 잉여류체의 크기이다. 만약 $K=\mathbb F_{p^n}((x))$ 이라면
:: $\left(\mathbb F_{p^n}((x))\right)^\times\cong\mathbb Z\oplus\mathbb Z/(p^n-1)\oplus\mathbb Z_p^{\mathbb N}$
:이다.

값매김환F(비 아르키메데스 국소체)의 0이 아닌 원소들의 곱셈군은 다음과 같다.

: $F^\times\cong(\varpi)\times\mu_{q-1}\times U^{(1)}$

여기서 q는 잉여류체의 위수이고, μ_q−1는 (q−1)승 단위근의 군(F 내)이다. 아벨 군으로서의 구조는 표수에 따라 다르다.

* F가 양의 표수 p를 가지면,

: $F^\times\cong\mathbf{Z}\oplus\mathbf{Z}/{(q-1)}\oplus\mathbf{Z}_p^\mathbf{N}$

여기서 N은 자연수를 나타낸다.

* F가 표수 0을 가지면 (즉, Q_p의 차수 d인 유한 확대체이면),

: $F^\times\cong\mathbf{Z}\oplus\mathbf{Z}/(q-1)\oplus\mathbf{Z}/p^a\oplus\mathbf{Z}_p^d$

여기서 a ≥ 0이며, F 내의 p-거듭제곱 단위근의 군이 $\mu_{p^a}$ 가 되도록 정의된다.

좀 더 구체적으로 보면, 곱셈군 $K^{\times}$ 는 다음과 같이 분해된다.

: $K^{\times} \simeq \langle \pi \rangle \times U\simeq \langle \pi \rangle \times \mu_{q-1}\times U^{(1)}\simeq \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/(q-1)\mathbb{Z}\oplus U^{(1)}$

여기서, $\langle \pi \rangle$ 는 소원 $\pi$ 에 의해 생성되는 순환군, $q = p^f$ 는 $K$ 의 잉여체의 원소의 개수, $\mu_{q-1}$ 는 $1$ 의 $q-1$ 거듭제곱근 전체가 이루는 군, $U$ 는 단수군, $U^{(1)}$ 는 주 단수군이다.

더 나아가 단수군 $U$ 는 다음과 같이 분해된다.

(1) $K$ 의 표수가 0일 때

: $U\simeq\mu(K)\times\mathbb{Z}_p^{d} \simeq (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\oplus\mathbb{Z}_p^{d}$

:단, $\mu(K)$ 는 $K$ 에 포함된 1의 멱근 전체가 이루는 군이며, 그 위수를 $m$ 으로 한다.

(2) $K$ 의 표수가 0이 아닐 때

: $U\simeq\mu(K)\times\mathbb{Z}_p^{\mathbb{N}} \simeq (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\oplus\mathbb{Z}_p^{\mathbb{N}}$ 이다.

또한, 주 단수군 $U^{(1)}$ 는 다음과 같이 분해된다.

(1) $K$ 의 표수가 0일 때

: $U^{(1)}\simeq\mu_{p^a}\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_p^{d}$

:단, $p^a$ 는 $K$ 에 포함된 1의 $p$ 거듭제곱근 전체가 이루는 군의 위수이며, $d = [K : \mathbb{Q}_p]$ 이다.

(2) $K$ 의 표수가 0이 아닐 때

: $U^{(1)}\simeq\mathbb{Z}_p^{\mathbb{N}}$ 이다.

실수체 또는 복소수체의 경우:

(1) 실수체의 경우

:단수군 $U$ 는 $\{ \pm 1 \}$ 이며
: $\mathbb{R}^{\times} \simeq \{ \pm 1 \}\times\mathbb{R}$ 이다.

(2) 복소수체의 경우

:단수군 $U$ 는 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 와 동형이며
: $\mathbb{C}^{\times} \simeq \mathbb{R}\times\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 이다.

6. 정규 부치

$\scriptstyle(K,\ |\cdot|)$ 를 국소체, F를 $|\cdot|$ 의 잉여체, π를 $|\cdot|$ 의 소원이라 할 때, $|\cdot|$ 와 동치인 비 아르키메데스 부치 $|\cdot|_K$ 가운데
: $|\pi|_K = (\#F)^{-1}$
를 만족하는 것은 유일하게 존재한다. 이 $|\cdot|_K$ 를 K의 정규 부치라고 한다.

$\scriptstyle(K,\ |\cdot|)$ 를 완비한 아르키메데스 부치체라고 할 때, K는 실수체 또는 복소수체와 동형이지만, K의 정규 부치는 K가 실수체와 동형일 때는 $\scriptstyle |\cdot|_K = |\cdot|_{\infty}$ , K가 복소수체와 동형일 때는 $\scriptstyle |\cdot|_K = |\cdot|_{\infty}^2$ 로 정한다. 여기서 $\scriptstyle |\cdot|_{\infty}$ 는 실수 또는 복소수 상의 절댓값이다.

7. 국소체 상의 지표군

1-dimensional^영어 토러스 $\scriptstyle\{x\in\mathbb{C}|\ |x|_{\infty} = 1 \}$ 를 T라 하고, 가법군 $\scriptstyle\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 에서 승법군 T로의 연속인 동형 사상을 다음과 같이 정의한다.

: $\begin{array}{rccc}e: &\mathbb{R} &\to & T \\& z &\mapsto & \exp(2\pi\sqrt{-1}z)\end{array}$

국소체 K는 덧셈에 대해 국소 콤팩트한 위상군으로 간주할 수 있으므로, K에서 T로의 연속인 준동형 사상, 즉 K의 연속인 지표가 존재한다. 연속인 지표 전체로 이루어진 군, 즉 지표군을 $\hat{K}$ 라고 둔다.

국소체 K의 정규 지표 $\chi_K$ 는 다음과 같이 정의한다.

(1) K가 p진체일 때

p진체의 0이 아닌 원소 x를 p 진 전개하면 다음과 같다.
: $x = \sum_{i=r}^{\infty}c_ip^i\ \ \ \ (c_i = 0,1,\ldots,p-1,\ r\le -1)$

이때, 정규 지표는 다음과 같다.
: $\chi_K(x) = e(c_rp^r + \cdots + c_{-1}p^{-1})$

(2) K가 p진체의 유한 차 확대체일 때

(1)에서 얻은 $\chi_{\mathbb{Q}_p}(x)$ 와, $\scriptstyle K/\mathbb{Q}_p$ 에 대한 트레이스를 이용하여 정규 지표를 다음과 같이 정의한다.
: $\chi_K(x) = \chi_{\mathbb{Q}_p}(\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}_p}(x))$

(3) K가 유한체 계수의 1변수 베이시스 급수체 $F((t))$ 일 때

F의 표수를 p라고 하고, K상의 점 x를 다음과 같이 나타낸다.
: $x = \sum_{i=r}^{\infty}c_it^i\ \ \ \ (c_i\in F,\ r<0)$

이때, K상의 정규 지표 $\chi_K$ 는 다음과 같다.
: $\chi_K(x) = e(-\operatorname{Tr}_{F/\mathbb{F}_p}(c_{-1}^{*}))$
여기서, $\scriptstyle c_{-1}^{*}\in\{0,1,\ldots,p-1\}$ 를 $\scriptstyle c_{-1}\equiv c_{-1}^{*}$ 를 만족하도록 한다.

K가 어느 경우에나, K의 임의의 원소 a를 하나 골라 고정했을 때,
: $\begin{array}{rccc}\varphi_a:& K &\to & T \\& x &\mapsto & \chi_K(xa)\end{array}$
는 K의 연속인 지표가 된다. 이로부터 K의 원소 a에 대해, 지표군 $\hat{K}$ 의 원소로서 $\varphi_a$ 를 대응시킴으로써, K와 $\hat{K}$ 는 동일시된다.

위에 서술한 K와 $\hat{K}$ 가 동일시될 수 있는 것은, K가 실수체 또는 복소수체에서도 성립한다.

실수체의 경우에는, 임의의 실수 a에 대해, $\scriptstyle \varphi_a(x) = e(xa)$ 로 하면, 실수체와 $\hat{\mathbb{R}}$ 는 동일시되며, 복소수체의 경우에는, 임의의 복소수 a에 대해, $\scriptstyle \varphi_a(x) = e(xa + \bar{xa})$ 로 하면, 복소수체와 $\hat{\mathbb{C}}$ 는 동일시된다.

8. 국소체 상의 하르 측도

국소체 K의 값 매김환을 R이라고 하면, R은 콤팩트하므로, K를 덧셈에 대한 위상군으로 간주함으로써, K 위의 하르 측도 μ로, $\mu(R)=1$ 로 정규화된 것이 유일하게 존재한다.

다음으로, $\scriptstyle K^{\times}$ 를 곱셈에 대한 위상군으로 간주함으로써, 단수군 U에 대해, $\scriptstyle \mu^{\times}(U)=1$ 로 정규화된 하르 측도 $\scriptstyle\mu^{\times}$ 가 유일하게 존재한다. 이 때 $\scriptstyle \mu^{\times}$ 는 μ를 사용하여 다음과 같이 나타낸다.

(1) K가 p진체의 유한 차수 확대와 동형일 때
$|\cdot|_K$ 를 K의 정규 값 매김으로 했을 때,
: $\mu^{\times}(x) = (1-q^{-1})^{-1}|x|_K^{-1}\mu(x)$
가 성립한다. 여기서, q는 잉여체의 원소 개수이다.

(2) K가 $\scriptstyle\mathbb{F}_q((t))$ 와 동형일 때
$|\cdot|_K$ 를 K의 정규 값 매김으로 했을 때,
: $\mu^{\times}(x) = (1-q^{-1})^{-1}|x|_K^{-1}\mu(x)$
가 성립한다.

여기서, 실수체 또는 복소수체에 대해서도 고찰한다. 이러한 절댓값에 대해서 값 매김환은 정의할 수 없으므로, 하르 측도로서 1차원 또는 2차원의 실수 공간 위의 르베그 측도를 생각한다. $\scriptstyle K=\mathbb{R},\ \mathbb{C}$ 에 대해, K의 가법군으로서의 하르 측도를 $\scriptstyle\mu_{K}$ , 곱셈군 $\scriptstyle K^{\times}$ 의 하르 측도를 $\scriptstyle\mu^{\times}_{K}$ 라고 하고, $|\cdot|_K$ 를 K의 정규 값 매김이라고 하면
: $\mu^{\times}_{K}(x) = |x|_{K}^{-1}\mu_{K}(x)$
가 성립한다.

국소체의 경우의 관계식과 비교해 보면, 실수체 또는 복소수체의 결과는 $\scriptstyle q\to\infty$ 에 대응한다는 것을 알 수 있다. 이 점에서도 절댓값을 $|\cdot|_{\infty}$ 라고 쓰는 타당성의 일단이 나타난다.

9. 국소체의 대수적 확대

국소체 K의 유한 차수 대수 확대체 L은 국소체이며, K의 이산 부치는 L에 동치인 것을 제외하고 유일하게 연장된다. 따라서 K의 이산 부치는 K의 대수적 폐포 $\scriptstyle\bar{K}$ 까지 유일하게 연장된다. 그러나 $\scriptstyle\bar{K}$ 는 완비가 아니므로 국소체가 아니지만, $\scriptstyle\bar{K}$ 의 완비화 $\scriptstyle\hat{\bar{K}}$ 를 생각하면 국소체가 된다.

국소체 K와 임의의 양의 정수 n에 대해, K의 n차 대수 확대체 L 중 K의 비분기 확대는 동형을 제외하고 유일하게 존재한다. 또한 $\scriptstyle F_K,\ F_L$ 를 각각 K, L의 부치환이라고 하면, 다음이 성립한다.
: $\operatorname{Gal}(L/K)\simeq\operatorname{Gal}(F_L/F_K)$
이때 $\scriptstyle\operatorname{Gal}(L/K)$ 는 위수 n의 순환군이 된다.

$\scriptstyle\operatorname{Gal}(L/K)$ 는 다음 성질을 만족하는 L의 자기동형 사상 $\varphi$ 로 생성된다.
: $\varphi(x)\equiv x^q\ \ \pmod{\mathfrak{p}_L}\ \ \ \ (x\in\mathcal{O}_L)$
여기서 $\scriptstyle\mathcal{O}_L$ 는 $|\cdot|_L$ 의 부치환, $\mathfrak{p}_L$ 는 그 부치 아이디얼, q는 K의 잉여체 $F_K$ 의 원소 개수이다.

이 $\varphi$ 를 $L/K$ 의 프로베니우스 자기동형 사상 또는 프로베니우스 치환이라고 한다.

$L/K$ 의 최대 비분기 부분 확대체를 T라고 하면, 확대 차수 $[T:K]$ 는 L의 K에 대한 잉여 차수와 같고, $L/T$ 는 완전 분기이며, 확대 차수 $[L:T]$ 는 L의 K에 대한 분기 지수와 같다.

예를 들어 $\mathbb{Q}_3$ 의 2차 대수 확대체는 동형을 제외하면 $\scriptstyle\mathbb{Q}_3(\sqrt{-1}),\ \mathbb{Q}_3(\sqrt{3}),\ \mathbb{Q}_3(\sqrt{-3})$ 뿐이지만, 이 중 $\scriptstyle\mathbb{Q}_3(\sqrt{-1})$ 이 비분기 확대이다.

특히 $L/K$ 가 유한 차수 갈루아 확대이면, $L/T$ 의 갈루아 군이 가해군이므로(부치체 참조) $L/K$ 의 갈루아 군도 그렇다. 즉, 국소체 K 위의 임의의 대수 방정식에 대해 유한 번의 사칙 연산과 근호를 사용하여 대수적으로 근을 얻을 수 있다.

10. 고차원 국소체

음이 아닌 정수 n에 대해, n차원 국소체는 잉여류체가 (n − 1)차원 국소체인 완비 이산 값매김체이다. 0차원 국소체는 유한체이거나 양의 표수를 갖는 완전체이다.

기하학적 관점에서, 마지막 잉여류체가 유한체인 n차원 국소체는 n차원 산술 scheme의 부분 scheme의 완전한 flag와 자연스럽게 연관된다.

11. 이론

국소체 이론은 다음 내용을 포함한다.

* 국소체의 유형
* 헨젤의 보조정리를 사용한 국소체의 확대
* 국소체의 갈루아 확대
* 국소체의 갈루아 군의 분지군 여과
* 국소체에서의 노름 사상의 거동
* 국소류체론에서의 국소 상호성 준동형 사상 및 존재 정리
* 국소 랭글랜즈 대응
* 호지-테이트 이론 (또는 p-진 호지 이론)
* 국소류체론에서 힐베르트 기호에 대한 명시적 공식