국소체

3. 위상적 성질

주어진 체 ''K''에 대한 절댓값이 주어지면, ''K''에 다음과 같은 위상을 정의할 수 있다. 양의 실수 ''m''에 대해, ''K''의 부분 집합 ''B''_m을 다음과 같이 정의한다.

:$B\_m:=\backslash \{\; a\backslash in\; K:|a|\backslash leq\; m\backslash \}.$

그러면, ''b+B''_m은 ''K''에서 b의 근방 기저를 구성한다.

반대로, 이산적이지 않고 국소적으로 콤팩트한 위상을 가진 위상 체는 그 위상을 정의하는 절댓값을 갖는다. 이는 체의 덧셈 군의 하르 측도를 사용하여 구성할 수 있다.

국소체를 특징짓는 위상적 성질은 다음과 같다.

• 국소체 ''K''의 부치환은 콤팩트하며, ''K''의 콤팩트한 부분환은 부치환의 부분환이다.
• 부치환의 임의의 아이디얼은 콤팩트한 열린 집합이다.
• 승법군 $\backslash scriptstyle\; K^\{\backslash times\}$는 연결되어 있지 않은 국소 콤팩트한 위상군이다.
• 승법군 $\backslash scriptstyle\; K^\{\backslash times\}$에 대하여, ''n'' 차 주단위군은 콤팩트한 열린 집합이며, $\backslash scriptstyle\; K^\{\backslash times\}$의 콤팩트한 부분군은 단위군 ''U''의 부분군이다.

4. 비아르키메데스 국소체

비아르키메데스 국소체 $F$ (절댓값은 |·|로 표시)에 대해 다음 객체들이 중요하다.^[1]

• 그 '''정수환''' $\backslash mathcal\{O\}\; =\; \backslash \{a\backslash in\; F:\; |a|\backslash leq\; 1\backslash \}$은 이산 값 매김 환이며, $F$의 닫힌 단위 공이고, 콤팩트 공간이다.
• 정수환 내의 '''단위''' $\backslash mathcal\{O\}^\backslash times\; =\; \backslash \{a\backslash in\; F:\; |a|=\; 1\backslash \}$는 군을 형성하며, $F$의 단위 구이다.
• 정수환 내의 유일한 비영 소 아이디얼 $\backslash mathfrak\{m\}$은 열린 단위 공 이다.
• $\backslash mathfrak\{m\}$의 생성원 $\backslash varpi$는 $F$의 '''균일원'''이라고 불린다.
• 유한한 잉여류체 $k=\backslash mathcal\{O\}/\backslash mathfrak\{m\}$ (콤팩트하고 이산 공간이므로).

5. 가역원군의 구조

국소체 ''K''의 가역원군(multiplicative group)의 구조는 다음과 같다.

:$K^\backslash times\backslash cong(\backslash varpi)\backslash times\backslash mu\_\{q-1\}\backslash times\; U^\{(1)\}$

여기서 $(\backslash varpi)$는 ''K''의 정수환의 유일 극대 아이디얼이며, $\backslash mu\_\{q-1\}$은 ''K''의 정수환의 잉여류체 $\backslash mathcal\; O\_K/(\backslash varpi)$의 1의 거듭제곱근들의 군이며, $U^\{(1)\}$는 1차 가역원군이다.

좀 더 구체적으로 살펴보면 다음과 같다.

• '''K'''가 아르키메데스 체일 경우,

• '''K'''가 비아르키메데스 체일 경우,

• ''F''가 양의 표수 ''p''를 가지면,

• ''F''가 표수 0을 가지면 (즉, '''Q'''_''p''의 차수 ''d''인 유한 확대체이면),

6. 정규 부치

$\backslash scriptstyle(K,\backslash \; |\backslash cdot|)$를 국소체, ''F''를 $|\backslash cdot|$의 잉여체, π를 $|\backslash cdot|$의 소원이라 할 때, $|\backslash cdot|$와 동치인 비 아르키메데스 부치 $|\backslash cdot|\_K$ 가운데

:$$

|\pi|_K = (\#F)^{-1}



를 만족하는 것은 유일하게 존재한다. 이 $|\backslash cdot|\_K$를 ''K''의 '''정규 부치'''라고 한다.

$\backslash scriptstyle(K,\backslash \; |\backslash cdot|)$를 완비한 아르키메데스 부치체라고 할 때, ''K''는 실수체 또는 복소수체와 동형이지만, ''K''의 '''정규 부치'''는 ''K''가 실수체와 동형일 때는 $\backslash scriptstyle\; |\backslash cdot|\_K\; =\; |\backslash cdot|\_\{\backslash infty\}$, ''K''가 복소수체와 동형일 때는 $\backslash scriptstyle\; |\backslash cdot|\_K\; =\; |\backslash cdot|\_\{\backslash infty\}^2$로 정한다. 여기서 $\backslash scriptstyle\; |\backslash cdot|\_\{\backslash infty\}$는 실수 또는 복소수 상의 절댓값이다.

7. 국소체 상의 지표군

1-dimensional^영어 토러스 $\backslash scriptstyle\backslash \{x\backslash in\backslash mathbb\{C\}|\backslash \; |x|\_\{\backslash infty\}\; =\; 1\; \backslash \}$를 ''T''라 하고, 가법군 $\backslash scriptstyle\backslash mathbb\{R\}/\backslash mathbb\{Z\}$에서 승법군 ''T''로의 연속인 동형 사상을 다음과 같이 정의한다.

:$$

\begin{array}{rccc}

e: &\mathbb{R} &\to & T \\

& z &\mapsto & \exp(2\pi\sqrt{-1}z)

\end{array}



국소체 ''K''는 덧셈에 대해 국소 콤팩트한 위상군으로 간주할 수 있으므로, ''K''에서 ''T''로의 연속인 준동형 사상, 즉 ''K''의 연속인 지표가 존재한다. 연속인 지표 전체로 이루어진 군, 즉 지표군을 $\backslash hat\{K\}$라고 둔다.

국소체 ''K''의 '''정규 지표''' $\backslash chi\_K$는 다음과 같이 정의한다.

(1) ''K''가 p진체일 때

''p''진체의 0이 아닌 원소 ''x''를 ''p'' 진 전개하면 다음과 같다.

:$$

x = \sum_{i=r}^{\infty}c_ip^i\ \ \ \ (c_i = 0,1,\ldots,p-1,\ r\le -1)



이때, 정규 지표는 다음과 같다.

:$$

\chi_K(x) = e(c_rp^r + \cdots + c_{-1}p^{-1})



(2) ''K''가 ''p''진체의 유한 차 확대체일 때

(1)에서 얻은 $\backslash chi\_\{\backslash mathbb\{Q\}\_p\}(x)$와, $\backslash scriptstyle\; K/\backslash mathbb\{Q\}\_p$에 대한 트레이스를 이용하여 정규 지표를 다음과 같이 정의한다.

:$$

\chi_K(x) = \chi_{\mathbb{Q}_p}(\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}_p}(x))



(3) ''K''가 유한체 계수의 1변수 베이시스 급수체 $F((t))$일 때

''F''의 표수를 ''p''라고 하고, ''K''상의 점 ''x''를 다음과 같이 나타낸다.

:$$

x = \sum_{i=r}^{\infty}c_it^i\ \ \ \ (c_i\in F,\ r<0)



이때, ''K''상의 정규 지표 $\backslash chi\_K$는 다음과 같다.

:$$

\chi_K(x) = e(-\operatorname{Tr}_{F/\mathbb{F}_p}(c_{-1}^{*}))



여기서, $\backslash scriptstyle\; c\_\{-1\}^\{*\}\backslash in\backslash \{0,1,\backslash ldots,p-1\backslash \}$를 $\backslash scriptstyle\; c\_\{-1\}\backslash equiv\; c\_\{-1\}^\{*\}$를 만족하도록 한다.

''K''가 어느 경우에나, ''K''의 임의의 원소 ''a''를 하나 골라 고정했을 때,

:$$

\begin{array}{rccc}

\varphi_a:& K &\to & T \\

& x &\mapsto & \chi_K(xa)

\end{array}



는 ''K''의 연속인 지표가 된다. 이로부터 ''K''의 원소 ''a''에 대해, 지표군 $\backslash hat\{K\}$의 원소로서 $\backslash varphi\_a$를 대응시킴으로써, ''K''와 $\backslash hat\{K\}$는 동일시된다.

위에 서술한 ''K''와 $\backslash hat\{K\}$가 동일시될 수 있는 것은, ''K''가 실수체 또는 복소수체에서도 성립한다.

실수체의 경우에는, 임의의 실수 ''a''에 대해, $\backslash scriptstyle\; \backslash varphi\_a(x)\; =\; e(xa)$로 하면, 실수체와 $\backslash hat\{\backslash mathbb\{R\}\}$는 동일시되며, 복소수체의 경우에는, 임의의 복소수 ''a''에 대해, $\backslash scriptstyle\; \backslash varphi\_a(x)\; =\; e(xa\; +\; \backslash bar\{xa\})$로 하면, 복소수체와 $\backslash hat\{\backslash mathbb\{C\}\}$는 동일시된다.

8. 국소체 상의 하르 측도

국소체 ''K''의 값 매김환을 ''R''이라고 하면, ''R''은 콤팩트하므로, ''K''를 덧셈에 대한 위상군으로 간주함으로써, ''K'' 위의 하르 측도 μ로, $\backslash mu(R)=1$로 정규화된 것이 유일하게 존재한다.

다음으로, $\backslash scriptstyle\; K^\{\backslash times\}$를 곱셈에 대한 위상군으로 간주함으로써, 단수군 ''U''에 대해, $\backslash scriptstyle\; \backslash mu^\{\backslash times\}(U)=1$로 정규화된 하르 측도 $\backslash scriptstyle\backslash mu^\{\backslash times\}$가 유일하게 존재한다. 이 때 $\backslash scriptstyle\; \backslash mu^\{\backslash times\}$는 μ를 사용하여 다음과 같이 나타낸다.

(1) ''K''가 ''p''진체의 유한 차수 확대와 동형일 때

$|\backslash cdot|\_K$를 ''K''의 정규 값 매김으로 했을 때,

:$$

\mu^{\times}(x) = (1-q^{-1})^{-1}|x|_K^{-1}\mu(x)



가 성립한다. 여기서, ''q''는 잉여체의 원소 개수이다.

(2) ''K''가 $\backslash scriptstyle\backslash mathbb\{F\}\_q((t))$와 동형일 때

$|\backslash cdot|\_K$를 ''K''의 정규 값 매김으로 했을 때,

:$$

\mu^{\times}(x) = (1-q^{-1})^{-1}|x|_K^{-1}\mu(x)



가 성립한다.

여기서, 실수체 또는 복소수체에 대해서도 고찰한다. 이러한 절댓값에 대해서 값 매김환은 정의할 수 없으므로, 하르 측도로서 1차원 또는 2차원의 실수 공간 위의 르베그 측도를 생각한다.^[3] $\backslash scriptstyle\; K=\backslash mathbb\{R\},\backslash \; \backslash mathbb\{C\}$에 대해, ''K''의 가법군으로서의 하르 측도를 $\backslash scriptstyle\backslash mu\_\{K\}$, 곱셈군 $\backslash scriptstyle\; K^\{\backslash times\}$의 하르 측도를 $\backslash scriptstyle\backslash mu^\{\backslash times\}\_\{K\}$라고 하고, $|\backslash cdot|\_K$를 ''K''의 정규 값 매김이라고 하면

:$$

\mu^{\times}_{K}(x) = |x|_{K}^{-1}\mu_{K}(x)



가 성립한다.

국소체의 경우의 관계식과 비교해 보면, 실수체 또는 복소수체의 결과는 $\backslash scriptstyle\; q\backslash to\backslash infty$에 대응한다는 것을 알 수 있다. 이 점에서도 절댓값을 $|\backslash cdot|\_\{\backslash infty\}$라고 쓰는 타당성의 일단이 나타난다.

9. 국소체의 대수적 확대

국소체 ''K''의 유한 차수 대수 확대체 ''L''은 국소체이며, ''K''의 이산 부치는 ''L''에 동치인 것을 제외하고 유일하게 연장된다. 따라서 ''K''의 이산 부치는 ''K''의 대수적 폐포 $\backslash scriptstyle\backslash bar\{K\}$까지 유일하게 연장된다. 그러나 $\backslash scriptstyle\backslash bar\{K\}$는 완비가 아니므로 국소체가 아니지만, $\backslash scriptstyle\backslash bar\{K\}$의 완비화 $\backslash scriptstyle\backslash hat\{\backslash bar\{K\}\}$를 생각하면 국소체가 된다.

국소체 ''K''와 임의의 양의 정수 ''n''에 대해, ''K''의 ''n''차 대수 확대체 ''L'' 중 ''K''의 비분기 확대는 동형을 제외하고 유일하게 존재한다. 또한 $\backslash scriptstyle\; F\_K,\backslash \; F\_L$를 각각 ''K'', ''L''의 부치환이라고 하면, 다음이 성립한다.

:$\backslash operatorname\{Gal\}(L/K)\backslash simeq\backslash operatorname\{Gal\}(F\_L/F\_K)$

이때 $\backslash scriptstyle\backslash operatorname\{Gal\}(L/K)$는 위수 ''n''의 순환군이 된다.

$\backslash scriptstyle\backslash operatorname\{Gal\}(L/K)$는 다음 성질을 만족하는 ''L''의 자기동형 사상 $\backslash varphi$로 생성된다.

:$\backslash varphi(x)\backslash equiv\; x^q\backslash \; \backslash \; \backslash pmod\{\backslash mathfrak\{p\}\_L\}\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; (x\backslash in\backslash mathcal\{O\}\_L)$

여기서 $\backslash scriptstyle\backslash mathcal\{O\}\_L$는 $|\backslash cdot|\_L$의 부치환, $\backslash mathfrak\{p\}\_L$는 그 부치 아이디얼, ''q''는 ''K''의 잉여체 $F\_K$의 원소 개수이다.

이 $\backslash varphi$를 $L/K$의 '''프로베니우스 자기동형 사상''' 또는 '''프로베니우스 치환'''이라고 한다.

$L/K$의 최대 비분기 부분 확대체를 ''T''라고 하면, 확대 차수 $[T:K]$는 ''L''의 ''K''에 대한 잉여 차수와 같고, $L/T$는 완전 분기이며, 확대 차수 $[L:T]$는 ''L''의 ''K''에 대한 분기 지수와 같다.

예를 들어 $\backslash mathbb\{Q\}\_3$의 2차 대수 확대체는 동형을 제외하면 $\backslash scriptstyle\backslash mathbb\{Q\}\_3(\backslash sqrt\{-1\}),\backslash \; \backslash mathbb\{Q\}\_3(\backslash sqrt\{3\}),\backslash \; \backslash mathbb\{Q\}\_3(\backslash sqrt\{-3\})$뿐이지만, 이 중 $\backslash scriptstyle\backslash mathbb\{Q\}\_3(\backslash sqrt\{-1\})$이 비분기 확대이다.

특히 $L/K$가 유한 차수 갈루아 확대이면, $L/T$의 갈루아 군이 가해군이므로(부치체 참조) $L/K$의 갈루아 군도 그렇다. 즉, 국소체 ''K'' 위의 임의의 대수 방정식에 대해 유한 번의 사칙 연산과 근호를 사용하여 대수적으로 근을 얻을 수 있다.

10. 고차원 국소체

음이 아닌 정수 ''n''에 대해, ''n''차원 국소체는 잉여류체가 (''n'' − 1)차원 국소체인 완비 이산 값매김체이다. ''0''차원 국소체는 유한체이거나 양의 표수를 갖는 완전체이다.

기하학적 관점에서, 마지막 잉여류체가 유한체인 ''n''차원 국소체는 ''n''차원 산술 scheme의 부분 scheme의 완전한 flag와 자연스럽게 연관된다.

11. 이론

국소체 이론은 다음 내용을 포함한다.

• 국소체의 유형
• 헨젤의 보조정리를 사용한 국소체의 확대
• 국소체의 갈루아 확대
• 국소체의 갈루아 군의 분지군 여과
• 국소체에서의 노름 사상의 거동
• 국소류체론에서의 국소 상호성 준동형 사상 및 존재 정리
• 국소 랭글랜즈 대응
• 호지-테이트 이론 (또는 ''p''-진 호지 이론)
• 국소류체론에서 힐베르트 기호에 대한 명시적 공식

참조

_[1] 문서 付値体 K1, |⋅|1 , K2, |⋅|2 が付値体として同型であるとは、K1 と K2 は体として同型で、|⋅|1 と |⋅|2 が付値#付値の同値性|同値であるときである。
_[2] 문서 このとき、K の標数は剰余体の標数と等しく、p に等しい。
_[3] 문서 実数体や複素数体は加法群や乗法群に対して局所コンパクトであるので、ハール測度自体を考えることは可能で、得られたハール測度はルベーグ測度の定数倍であるので、単位区間または単位正方形で正規化したハール測度といってもよい。