맨위로가기

꼬임 부분군

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

꼬임 부분군은 아벨 군 G에서 유한한 위수를 갖는 원소들의 집합으로 정의된다. G가 아벨 군일 때 꼬임 부분군은 부분군이 되지만, 비가환 군에서는 일반적으로 부분군이 아니다. 모든 유한 생성 아벨 군은 꼬임 부분군과 꼬임이 없는 부분군의 직합으로 나타낼 수 있으며, 유한 아벨 군의 경우 꼬임 부분군은 군 전체이다. 임의의 아벨 군 A와 소수 p에 대해, 위수가 p의 거듭제곱인 A의 원소들의 집합은 p-꼬임 부분군이며, 꼬임 부분군은 모든 소수 p에 대한 p-꼬임 부분군의 직합과 동형이다. 무한 이면체군과 같은 비가환 군의 꼬임 부분 집합은 일반적으로 부분군이 아니며, 모든 유한 아벨 군은 꼬임 군이지만, 모든 꼬임 군이 유한한 것은 아니다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 아벨 군론 - 클라인 4원군
    클라인 4원군은 4개의 원소로 이루어진 아벨 군으로, 항등원을 제외한 모든 원소의 차수가 2이며, 유한체 \mathbb F_4의 덧셈군과 동형이고, 자기 동형군은 3차 대칭군과 동형이며, 다양한 분야에 응용된다.
  • 아벨 군론 - 프뤼퍼 군
    프뤼퍼 군은 소수 p에 대해 정의되는 아벨 군으로, 1의 거듭제곱근의 곱셈군, 몫군 Q/Z의 실로우 p-부분군 등으로 정의되며, 부분직접곱 기약군이자 국소 순환군인 유일한 무한 p-군이다.
꼬임 부분군
정의
설명아벨 군의 모든 유한 차수 원소로 구성된 부분군이다.
영어 명칭Torsion subgroup (꼬임 부분군)
성질
부분군 여부꼬임 부분군은 항상 부분군이다.
꼬임 없는 군모든 원소가 항등원 이외에 유한 차수를 가지지 않는 군을 꼬임 없는 군(torsion-free group)이라고 한다.
완전 꼬임 군군의 모든 원소가 유한 차수를 가지면 완전 꼬임 군(bounded torsion group)이라고 한다.

2. 정의

G가 아벨 군이라고 하자. G의 '''꼬임 부분군''' G_T는 다음과 같다.

:G_T=\{g\in G|\exists n\in\mathbb Z^+\colon ng=0\}

이는 군의 연산에 대하여 닫혀 있다. 다만, G가 아벨 군이 아닌 일반적인 군일 경우 이는 부분군을 이루지 않는다.

비가환군의 꼬임 부분 집합은 일반적으로 부분군이 아니다. 예를 들어, 무한 이면체군은 표현을 갖는다.

:\langle x,y \mid x^2=y^2=1 \rangle

여기서 원소 ''xy''는 두 개의 꼬임 원소의 곱이지만 무한한 차수를 갖는다.[2]

3. 성질

모든 유한 생성 아벨 군은 꼬임 부분군과 꼬임이 없는 부분군의 직합으로 나타낼 수 있다. 유한 아벨 군의 경우 꼬임 부분군은 군 전체이다. 반면 \mathbb Z^n과 같은 경우 꼬임 부분군은 자명군이다.

아벨 군 ''A''가 꼬임이 없는 것은 '''Z'''-가군으로서 평탄할 필요충분조건이며, 이는 ''C''가 어떤 아벨 군 ''B''의 부분군일 때, 텐서곱 ''C'' ⊗ ''A''에서 ''B'' ⊗ ''A''로의 자연 사상이 단사임을 의미한다. 아벨 군 ''A''를 '''Q'''(또는 임의의 가분군)와 텐서곱하면 꼬임이 제거된다. 즉, ''T''가 꼬임군이면 ''T'' ⊗ '''Q''' = 0이다. 꼬임 부분군 ''T''를 가진 일반적인 아벨 군 ''A''에 대해 ''A'' ⊗ '''Q''' ≅ ''A''/''T'' ⊗ '''Q'''를 갖는다.[2]

4. ''p''-꼬임 부분군

임의의 아벨 군 (A, +)와 소수 ''p''에 대해, 위수가 ''p''의 거듭제곱인 ''A''의 원소들의 집합 A_{T_p}는 ''' ''p''-꼬임 부분군'''이라고 불리는 부분군이다.

:A_{T_p}=\{a\in A \;|\; \exists n\in \mathbb{N}\;, p^n a = 0\}.\;

꼬임 부분군 A_T는 모든 소수 ''p''에 대한 ''p''-꼬임 부분군의 직합과 동형이다.

:A_T \cong \bigoplus_{p\in P} A_{T_p}.\;

''A''가 유한 아벨 군일 때, A_{T_p}는 ''A''의 유일한 Sylow ''p''-부분군과 일치한다.

''A''의 각 ''p''-꼬임 부분군은 전체 특성 부분군이다. 더욱 강력하게는, 아벨 군 사이의 모든 준동형 사상은 각 ''p''-꼬임 부분군을 해당 ''p''-꼬임 부분군으로 보낸다.

각 소수 ''p''에 대해, 이는 모든 군을 해당 ''p''-꼬임 부분군으로 보내고, 모든 준동형 사상을 ''p''-꼬임 부분군으로 제한하는 아벨 군 범주에서 ''p''-꼬임 군 범주로의 함자를 제공한다. 이러한 함자들의 모든 소수의 집합에 대한 제한을 꼬임 군 범주로 곱한 것은, 꼬임 군 범주에서 모든 소수에 대한 ''p''-꼬임 군 범주의 곱으로 가는 충실한 함자이다. 어떤 의미에서, 이는 ''p''-꼬임 군을 개별적으로 연구하는 것이 일반적인 꼬임 군에 대한 모든 것을 알려준다는 것을 의미한다.

5. 예시 및 추가 정보


  • 비가환군의 꼬임 부분 집합은 일반적으로 부분군이 아니다. 예를 들어, 무한 이면체군은 다음과 같은 표현을 갖는다.


:\langle x,y \mid x^2=y^2=1 \rangle

:여기서 원소 ''xy''는 두 개의 꼬임 원소의 곱이지만 무한한 차수를 갖는다.

  • 멱영군의 꼬임 원소는 정규 부분군을 형성한다.[2]
  • 모든 유한 아벨군은 꼬임군이다. 그러나 모든 꼬임군이 유한한 것은 아니다. 가산 개의 '''C'''2 순환군의 직접 합을 고려해 보라. 이것은 모든 원소가 2차수를 가지므로 꼬임군이다. 또한, 꼬임군이 유한 생성되지 않으면 원소의 차수에 대한 상한이 있을 필요는 없다. '''Q'''/'''Z'''의 몫군이 그 예시이다.
  • 모든 자유 아벨군은 비꼬임군이지만, 유리수 '''Q'''의 덧셈군의 경우처럼 그 역은 성립하지 않는다.
  • 꼬임 부분군을 취하는 것은 꼬임 아벨 군을 아벨 군의 공반사 부분 범주로 만들고, 꼬임 부분군으로 몫을 취하는 것은 비꼬임 아벨 군을 반사 부분 범주로 만든다.

참조

[1] 서적 Algebra Addison-Wesley
[2] 서적 https://books.google[...]
[3] 서적 https://books.google[...]


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com