논리합

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1. 개요
2. 정의 및 표기법
- 2.1. 진리표
- 2.2. 다른 연산자와의 관계
3. 성질
4. 다양한 분야에서의 응용
5. 기타
참조

1. 개요

논리합은 두 명제 중 적어도 하나가 참일 때 참이 되는 논리 연산으로, 기호 '∨'로 표기하며, 'OR'이라고도 한다. 논리합은 논리학, 컴퓨터 과학, 집합론, 자연어 처리 등 다양한 분야에서 활용되며, 참 또는 거짓의 진리값을 갖는 두 명제 P, Q에 대해 P ∨ Q는 P와 Q 중 적어도 하나가 참일 때 참이 된다. 프로그래밍 언어에서는 `|`, `||`, `or` 등으로 표현되며, 비트 연산, 조건문 등에 사용된다. 집합론에서는 합집합과 관련되며, 자연어에서는 '또는'으로 표현되지만, 문맥에 따라 배타적 논리합으로 해석될 수 있다.

2. 정의 및 표기법

논리합은 두 명제 중 적어도 하나가 참일 때 참이 되는 논리 연산이다. 일상생활에서 사용하는 "또는"이라는 단어의 의미와 유사하다. 예를 들어, "내 키는 160cm 이상이다."와 "내 몸무게는 50kg 이상이다."라는 두 명제가 있을 때, 이 두 명제의 논리합은 "내 키는 160cm 이상이거나 내 몸무게는 50kg 이상이다."가 된다.

논리합은 '∨' 기호로 표기한다. 예를 들어, 명제 P와 Q의 논리합은 P ∨ Q와 같이 나타낸다.^[1] 이 외에도 전자공학에서는 '+' 기호를 사용하기도 하며, 여러 프로그래밍 언어에서는 `|` 또는 `||`를 사용하기도 한다. 얀 우카시에비치의 폴란드 표기법에서는 "alternatywa"(대안)의 약자인 'A'를 사용하기도 한다.^[4]

여러 요소의 논리합은 $\bigvee$ (유니코드 ) 기호를 사용하여 나타낼 수 있다.^[5] 예를 들어, a₁, a₂, ..., a_n의 논리합은 다음과 같이 표현한다.

: $\bigvee_{i=1}^{n} a_i = a_1 \lor a_2 \lor \ldots a_{n-1} \lor a_{n}$

영어에서는 "or"를 사용하며, 때로는 "and/or" 구문을 사용하여 두 명제가 모두 참인 경우를 명확히 하기도 한다.

2. 1. 진리표

명제 P	명제 Q	P ∨ Q
참	참	참
참	거짓	참
거짓	참	참
거짓	거짓	거짓

^[1]

2. 2. 다른 연산자와의 관계

''P'' ∨ ''Q''는 부정과 논리곱을 사용하여 ¬(¬''P'' ∧ ¬''Q'')로 나타낼 수 있다. 따라서, 논리합은 부정과 논리곱으로 표현할 수 있다.^[6]

: ''P'' ∨ ''Q'' = ¬(¬''P'' ∧ ¬''Q'')

반대로, 논리곱은 논리합과 부정으로 나타낼 수 있다.

: ''P'' ∧ ''Q'' = ¬(¬''P'' ∨ ¬''Q'')

이 두 가지를 드 모르간의 법칙이라고 한다.

고전 논리 체계에서 논리합이 기본 연산자가 아닌 경우, 논리곱(∧)과 논리 부정(¬)을 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.^[6]

: A ∨ B = ¬(¬A ∧ ¬B)

또는 함축(→)과 ¬을 사용하여 정의할 수도 있다.^[6]

: A ∨ B = (¬A) → B

또한 → 만을 사용하여 정의할 수도 있다.

: A ∨ B = (A → B) → B

3. 성질

결합 법칙^[7]
교환 법칙
분배 법칙
* $(a \land (b \lor c)) \equiv ((a \land b) \lor (a \land c))$
* $(a \lor (b \land c)) \equiv ((a \lor b) \land (a \lor c))$
멱등성
단조성
'''진리 보존''': 모든 변수에 '참'의 진리값을 할당하는 해석은 논리합의 결과로 '참'의 진리값을 생성한다.
'''거짓 보존''': 모든 변수에 '거짓'의 진리값을 할당하는 해석은 논리합의 결과로 '거짓'의 진리값을 생성한다.

3. 1. 결합 법칙

결합 법칙^[7]: (P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R)

3. 2. 교환 법칙

교환 법칙:

a \lor b \equiv b \lor a

^[7]

3. 3. 분배 법칙

P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)

^[7]

P \lor (Q \land R) \equiv (P \lor Q) \land (P \lor R)

^[7]

3. 4. 멱등 법칙

멱등 법칙:

a \lor a \equiv a

^[7]

3. 5. 단조성

논리합은 다음과 같은 성질을 가진다.

결합 법칙: $a \lor (b \lor c) \equiv (a \lor b) \lor c$ ^[7]
교환 법칙: $a \lor b \equiv b \lor a$
멱등성: $a \lor a \equiv a$
단조성: $(a \rightarrow b) \rightarrow ((c \lor a) \rightarrow (c \lor b))$

:

(a \rightarrow b) \rightarrow ((a \lor c) \rightarrow (b \lor c))

4. 다양한 분야에서의 응용

프로그래밍 언어에서 논리합은 대부분 연산자로 표현되며,^[8]^[9] 비트 연산에 자주 활용된다. 예를 들면 다음과 같다.

0 또는 0 = 0
0 또는 1 = 1
1 또는 0 = 1
1 또는 1 = 1
1010 또는 1100 = 1110

`or` 연산자는 비트 필드에서 특정 비트를 1로 설정할 때 유용하다. 예를 들어 `x = x | 0b00000001`은 x의 마지막 비트를 1로 설정하고 나머지 비트는 그대로 유지한다.

C 계열 언어에서는 비트 단위 논리합 연산자로 단일 파이프(|)를, 논리합 연산자로 이중 파이프(||)를 사용한다. 논리합 연산은 단락 회로 평가를 따르므로, 첫 번째 피연산자가 `true`이면 두 번째 피연산자는 평가하지 않는다. 병렬 언어에서는 양쪽 피연산자를 병렬로 평가하여 하나라도 `true`이면 다른 쪽 평가를 중단하는 '병렬 or' 연산이 가능하다.

집합론에서 합집합의 원소 소속 여부는 논리합으로 정의된다. 즉, x ∈ A ∪ B는 (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)와 같다.^[11]

자연어에서 '또는'은 배타적 논리합으로 해석될 수 있어 주의해야 한다.^[1] 예를 들어 "커피 또는 홍차가 제공됩니다"는 보통 둘 중 하나만 제공됨을 의미한다.

4. 1. 컴퓨터 과학

대부분의 프로그래밍 언어에 논리합에 해당하는 연산자가 존재한다.^[8]^[9] 논리합은 종종 비트 연산에 사용된다. 예시는 다음과 같다.

0 또는 0 = 0
0 또는 1 = 1
1 또는 0 = 1
1 또는 1 = 1
1010 또는 1100 = 1110

`or` 연산자는 비트 필드의 비트를 1로 설정하는 데 사용될 수 있다. 비트를 1로 설정해야 하는 관련 비트가 있는 상수 필드와 `or` 연산을 수행하면 된다. 예를 들어, `x = x | 0b00000001`은 마지막 비트를 1로 만들고 다른 비트는 변경하지 않는다.

많은 언어는 비트 단위 논리합과 논리합을 구별하기 위해 두 개의 별개의 연산자를 제공한다. C를 따르는 언어에서, 비트 단위 논리합은 단일 파이프 연산자(|)로 수행되며, 논리합은 이중 파이프(||) 연산자로 수행된다.

논리합은 일반적으로 단락 회로 평가된다. 즉, 첫 번째(왼쪽) 피연산자가 `true`로 평가되면, 두 번째(오른쪽) 피연산자는 평가되지 않는다. 따라서 논리합 연산자는 일반적으로 시퀀스 포인트를 구성한다.

병렬(동시) 언어에서는 양쪽을 단락 회로 평가하는 것이 가능하다. 즉, 양쪽을 병렬로 평가하고, 하나가 true 값을 반환하면 다른 쪽이 중단된다. 따라서 이 연산자는 ''병렬 or''이라고 불린다.

논리합 표현식의 유형은 대부분의 언어에서 부울(Boolean)이며(따라서 `true` 또는 `false` 값만 가질 수 있음), 일부 언어(예: 파이썬 및 자바스크립트)에서는 논리합 연산자가 피연산자 중 하나를 반환한다. 즉, 첫 번째 피연산자가 참 값으로 평가되면 첫 번째 피연산자를 반환하고, 그렇지 않으면 두 번째 피연산자를 반환한다. 이를 통해 엘비스 연산자의 역할을 수행할 수 있다.

C 언어 등에서는 단순한 논리합은 `||`, 비트 단위 논리합은 `|`로 표기하며, `z = x | y;`와 같이 사용된다. (주: `2|4`의 값은 `6`이지만, `2||4`의 값은 `1`이다.)

Perl에서도 단순한 논리합은 `||`, 비트 단위 논리합은 `|`로 표기하며, `$z = $x | $y;`와 같이 사용된다. (주: `2|4`의 값은 `6`이지만, `2||4`의 값은 C 언어의 경우와는 달리 `2`이다.)

VBScript에서는 " `Or` "로 표기하며, `z = x Or y`와 같이 사용된다.

각 프로그래밍 언어에서의 논리합 표기와 의미는 단락 회로 평가와 밀접한 관련이 있다.

4. 2. 집합론

집합론에서 합집합 원소의 소속은 논리적 논리합의 관점에서 정의된다. x ∈ A ∪ B는 (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)와 같다.^[11] 이 때문에 논리적 논리합은 결합 법칙, 교환 법칙, 분배 법칙, 드 모르간의 법칙과 같은 집합론적 합집합과 동일한 항등식을 많이 만족하며, 논리곱을 집합의 교집합과, 논리 부정을 여집합과 동일시한다.^[11]

4. 3. 자연어 처리

자연어에서 '또는'은 배타적 논리합으로 해석될 수 있으므로, 문맥에 따라 주의해야 한다.^[1] 예를 들어, "커피 또는 홍차가 제공됩니다"라는 문장은 보통 커피와 홍차 중 하나만 제공된다는 의미로 해석되며, 둘 다 제공되는 경우는 포함하지 않는다.

영어에서는 'and/or'라는 구문을 사용하여 둘 다 참인 경우를 명시적으로 포함하기도 한다. 일상 대화에서 "또는"은 배타적 논리합을 의미하는 경우가 있지만, 통상적인 논리합은 "포괄적 논리합"(inclusive OR^영어)이라고 부른다.^[1]

5. 기타

폴란드 표기법에서 논리합 연산자는 'A'로 표기된다.^[4] 유니코드에서 논리합 기호(∨)는 U+2228이다.^[1]

참조

_[1] 간행물 Disjunction https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2016
_[2] 웹사이트 Disjunction {{!}} logic https://www.britanni[...] 2020-09-03
_[3] 서적 Logic: the basics Routledge 2010
_[4] 문서 A Précis of Mathematical Logic D. Reidel 1959
_[5] 웹사이트 OR https://mathworld.wo[...] 2024-09-24
_[6] 서적 Introduction to Mathematical Logic https://www.worldsci[...] WORLD SCIENTIFIC 2016
_[7] 서적 Logic with trees: an introduction to symbolic logic Routledge 1997
_[8] 웹사이트 Python 3.12.1 Documentation - The Python Language Reference - 6.11 Boolean operations https://docs.python.[...] 2023-12-25
_[9] 웹사이트 JavaScript References - Expressions & Operators - Logical AND (&&) https://developer.mo[...] 2023-12-25
_[10] 학술지 Context-Free Language Theory Formalization
_[11] 서적 Einführung in die Mengenlehre Springer 2021
_[12] 서적 論理学史岩波書店
_[13] 서적 論理学概論岩波書店

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