다중근호

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1. 개요
2. 이중근호
3. 다중근호
4. 중첩근호
5. 다중근호의 계산 (단일화)
6. 고차방정식의 해
7. 중첩근호와 일반식
- 7.1. 제곱근의 경우
- 7.2. 세제곱근의 경우
8. 라마누잔의 항등식
9. 란다우의 알고리즘
10. 삼각함수에서의 활용
11. 기타
참조

1. 개요

다중근호는 루트 안에 둘 이상의 루트가 중첩된 형태를 의미하며, 중첩근호, 고차방정식의 해, 라마누잔의 항등식 등 다양한 수학적 개념과 관련된다. 일부 다중근호는 덴스팅(denesting)이라고 불리는 과정을 통해 중첩되지 않은 형태로 변환될 수 있으며, 특히 이중근호의 경우 특정 조건 하에 단일화가 가능하다. 다중근호는 3차 이상의 고차방정식의 해를 구하는 과정에서 나타나며, 무한히 중첩된 근호는 일반식으로 표현될 수 있다. 스리니바사 라마누잔은 다중근호를 포함하는 다양한 항등식을 발견했으며, 란다우의 알고리즘은 중첩근호를 벗길 수 있는지 결정하는 알고리즘을 제공한다. 삼각함수의 사인과 코사인 값, 그리고 비에트의 공식과 같은 수식에서도 다중근호가 활용된다.

2. 이중근호

루트 안에 하나의 루트를 포함하는 형태이다.^[2]

: $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$

두 개의 이중 근호의 경우, 다음 정리는 중첩 해소 문제를 완전히 해결한다.^[2]

와 가 유리수이고 가 유리수의 제곱이 아닌 경우, 다음과 같은 두 개의 유리수 와 가 존재한다.

: $\sqrt{a+\sqrt{c}} = \sqrt{x}\pm\sqrt{y}$

이는 $a^2-c$ 가 유리수 의 제곱일 경우에만 해당된다.

중첩된 근호가 실수인 경우, 와 는 다음 두 수이다.

: $\frac{a+d}2$ 그리고 $\frac{a-d}2$ (여기서 $d=\sqrt{a^2-c}$ 는 유리수)

특히, 와 가 정수이면 와 는 정수이다.

이 결과에는 다음과 같은 형태의 중첩 해소가 포함된다.

: $\sqrt{a+\sqrt{c}}=z\pm\sqrt{y}$

는 항상 $z=\pm\sqrt{z^2}$ 로 쓸 수 있으며, 항 중 적어도 하나는 양수여야 한다(방정식의 왼쪽이 양수이기 때문이다).

더 일반적인 중첩 해소 공식은 다음과 같은 형식을 가질 수 있다.

: $\sqrt{a+\sqrt{c}} = \alpha+ \beta\sqrt{x}+\gamma\sqrt{y}+\delta\sqrt x\sqrt y$

그러나 갈루아 이론에 따르면 왼쪽은 $\mathbb Q(\sqrt c)$ 에 속하거나 $\sqrt x$ , $\sqrt y$ , 또는 둘 다의 부호를 변경하여 얻어야 한다. 첫 번째 경우에는 와 $\gamma=\delta=0$ 으로 할 수 있다. 두 번째 경우에는 $\alpha$ 와 다른 계수가 0이어야 한다. $\beta=0$ 이면 를 로 이름을 바꿔 $\delta = 0$ 을 얻을 수 있다. $\alpha=0$ 이면 유사하게 진행하면 $\alpha = \delta = 0$ 으로 가정할 수 있다. 이는 겉보기에는 더 일반적인 중첩 해소가 항상 위의 식으로 축소될 수 있음을 보여준다.
증명:다음 방정식의 양변을 제곱하면,

: $\sqrt{a+\sqrt{c}} = \sqrt{x}\pm\sqrt{y}$

다음 방정식과 동치가 된다.

: $a+\sqrt{c}=x+y\pm 2\sqrt{xy}$

그리고 오른쪽 항에 마이너스가 있는 경우,

:

(제곱근은 표기법의 정의에 따라 음수가 아니다). 부등식은 와 를 교환하여 항상 만족할 수 있으므로, 와 에 대한 첫 번째 방정식의 해는 다음과 같은 방정식의 해와 같다.

: $a+\sqrt{c}=x+y\pm 2\sqrt{xy}$

이 등식은 $\sqrt{xy}$ 가 이차 체 $\mathbb Q(\sqrt c)$ 에 속함을 의미한다. 이 체에서 모든 요소는 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 유리수인 $\alpha +\beta\sqrt c$ 로 유일하게 작성될 수 있다. 이는 $\pm 2\sqrt{xy}$ 가 유리수가 아님을 의미한다(그렇지 않으면 방정식의 오른쪽이 유리수가 되지만 왼쪽은 무리수이다). 와 는 유리수여야 하므로 $\pm 2\sqrt{xy}$ 의 제곱은 유리수여야 한다. 이는 $\pm 2\sqrt{xy}$ 의 $\alpha +\beta\sqrt c$ 표현에서 $\alpha=0$ 임을 의미한다. 따라서,

: $a+\sqrt{c}=x+y +\beta\sqrt{c}$

는 어떤 유리수 $\beta$ 에 대해 성립한다.

과 $\sqrt c$ 에 대한 분해의 유일성은 고려된 방정식이 다음 방정식과 동일하다는 것을 의미한다.

: $a= x+y$ 그리고 $\pm 2\sqrt{xy} = \sqrt c$

비에타의 공식에 의해 와 는 이차 방정식의 근이어야 한다.

: $z^2-az+\frac c4 = 0$

이차방정식의 판별식은 $\Delta = a^2-c = d^2 > 0$ 이다. (, 그렇지 않으면 가 의 제곱이 됨) 따라서 와 는

: $\frac{a+\sqrt{a^2-c}}{2}$ 그리고 $\frac{a-\sqrt{a^2-c}}{2}$

이다. 따라서 와 는 $d=\sqrt{a^2-c}$ 가 유리수일 경우에만 유리수이다.

다양한 부호를 명시적으로 선택하려면 양의 실수 제곱근만 고려해야 하므로 을 가정한다. 방정식 $a^2=c+d^2$ 은 임을 보여준다. 따라서 중첩된 근호가 실수이고 중첩 해소가 가능한 경우 이다. 그러면 해는 다음과 같다.

: $\begin{align}\sqrt{a+\sqrt{c}}&=\sqrt{\frac{a+d}2}+\sqrt{\frac{a-d}2},\\[6pt]\sqrt{a-\sqrt{c}}&=\sqrt{\frac{a+d}2}-\sqrt{\frac{a-d}2}.\end{align}$

3. 다중근호

루트 근호 안에 둘 이상의 루트 근호를 포함하는 형태이다.^[1]

nested radical^영어

: $\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} , \sqrt{(\sqrt a)^2+(\sqrt b)^2+2\sqrt{ab}}$

다중근호의 식 중에는, 일중근호의 식으로 고쳐 쓸 수 있는 것도 있다. 예를 들어,^[1]

: $\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2},$

: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}.$

이러한 고쳐 쓰기는 '''일중화'''(denesting^영어; 탈다중화)라고 한다(바깥쪽의 근호가 사라지므로 "다중근호를 없앤다"라는 표현도 사용한다). 일중화의 과정은 일반적으로 어려운 문제로 여겨진다.^[1]

4. 중첩근호

루트 안에 루트를 포함하는 수식이 반복적으로 내재된 형태이다.

: $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1...}}}}}$

: $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+ \cdots} }}} } }$

일부 중첩 근호는 중첩되지 않은 형태로 다시 쓸 수 있다. 예를 들어,

: $\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}\,,$

left=1.6|1= $\sqrt2+\sqrt{5-2\sqrt{6$ ^영어 = \sqrt{3},\quad}}^[1]

: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}} \,.$

또 다른 간단한 예시로,

: $\sqrt[3]{\sqrt{2}} = \sqrt[6]{2}$

이러한 방식으로 중첩 근호를 다시 쓰는 것을 '''덴스팅'''(denesting; 탈다중화)이라고 한다. 이는 항상 가능한 것은 아니며, 가능하다 하더라도 종종 어렵다.^[2]

두 개의 이중 근호의 경우, 다음 정리는 중첩 해소 문제를 완전히 해결한다.

와 가 유리수이고 가 유리수의 제곱이 아닌 경우, 다음과 같은 두 개의 유리수 와 가 존재한다.

: $\sqrt{a+\sqrt{c}} = \sqrt{x}\pm\sqrt{y}$

는 $a^2-c~$ 가 유리수 의 제곱일 경우에만 해당된다.

중첩된 근호가 실수인 경우, 와 는 두 개의 숫자이다.

: $\frac{a+d}2~$ 그리고 $~\frac{a-d}2~,~$ 여기서 $~d=\sqrt{a^2-c}~$ 는 유리수이다.

특히, 와 가 정수이면 와 는 정수이다.

이 결과에는 다음과 같은 형태의 중첩 해소가 포함된다.

: $\sqrt{a+\sqrt{c}}=z\pm\sqrt{y}~,$

는 항상 $z=\pm\sqrt{z^2},$ 로 쓸 수 있으며, 항 중 적어도 하나는 양수여야 한다(방정식의 왼쪽이 양수이기 때문).

더 일반적인 중첩 해소 공식은 다음과 같은 형식을 가질 수 있다.

: $\sqrt{a+\sqrt{c}} = \alpha+ \beta\sqrt{x}+\gamma\sqrt{y}+\delta\sqrt x\sqrt y~.$

그러나 갈루아 이론에 따르면 왼쪽은 $\mathbb Q(\sqrt c),$ 에 속하거나 $\sqrt x,$ , $\sqrt y,$ 또는 둘 다의 부호를 변경하여 얻어야 한다. 첫 번째 경우에는 와 $\gamma=\delta=0.$ 으로 할 수 있다. 두 번째 경우에는 $\alpha$ 와 다른 계수가 0이어야 한다. $\beta=0,$ 이면 를 로 이름을 바꿔 $\delta = 0.$ 을 얻을 수 있다. $\alpha=0,$ 이면 유사하게 진행하면 $\alpha = \delta = 0.$ 으로 가정할 수 있다. 이는 겉보기에는 더 일반적인 중첩 해소가 항상 위의 식으로 축소될 수 있음을 보여준다.

'''증명''': 제곱을 통해 방정식

: $\sqrt{a+\sqrt{c}} = \sqrt{x}\pm\sqrt{y}$

는 다음 방정식과 동일하다.

: $a+\sqrt{c}=x+y\pm 2\sqrt{xy},$

그리고 오른쪽 항에 마이너스가 있는 경우,

(제곱근은 표기법의 정의에 따라 음수가 아니다). 부등식은 와 를 교환하여 항상 만족할 수 있으므로 와 에 대한 첫 번째 방정식의 해결은 다음과 같은 방정식의 해결과 동일하다.

: $a+\sqrt{c}=x+y\pm 2\sqrt{xy}.$

이 등식은 $\sqrt{xy}$ 가 이차 체 $\mathbb Q(\sqrt c).$ 에 속함을 의미한다. 이 체에서 모든 요소는 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 유리수인 $\alpha +\beta\sqrt c,$ 로 고유하게 작성될 수 있다. 이는 $\pm 2\sqrt{xy}$ 가 유리수가 아님을 의미한다(그렇지 않으면 방정식의 오른쪽이 유리수가 되지만 왼쪽은 무리수입니다). 와 는 유리수여야 하므로 $\pm 2\sqrt{xy}$ 의 제곱은 유리수여야 한다. 이는 $\pm 2\sqrt{xy}$ 의 $\alpha +\beta\sqrt c.$ 의 표현에서 $\alpha=0$ 임을 의미한다. 따라서

: $a+\sqrt{c}=x+y +\beta\sqrt{c}$

는 어떤 유리수 $\beta.$ 에 대해 성립한다.

과 $\sqrt c$ 에 대한 분해의 고유성은 고려된 방정식이 다음 방정식과 동일하다는 것을 의미한다.

: $a= x+y\quad \text{and}\quad \pm 2\sqrt{xy} = \sqrt c.$

비에타의 공식에 의해 와 는 이차 방정식의 근이어야 한다.

: $z^2-az+\frac c4 = 0~;$

그것의 $~\Delta = a^2-c = d^2 > 0~$ (, 그렇지 않으면 가 의 제곱이 됨), 따라서 와 는

: $\frac{a+\sqrt{a^2-c}}{2}~$ 그리고 $~\frac{a-\sqrt{a^2-c}}{2}~.$

이어야 한다. 따라서 와 는 $d=\sqrt{a^2-c}~$ 가 유리수일 경우에만 유리수이다.

다양한 부호를 명시적으로 선택하려면 양의 실수 제곱근만 고려해야 하므로 을 가정한다. 방정식 $a^2=c+d^2$ 은 .임을 보여준다. 따라서 중첩된 근호가 실수이고 중첩 해소가 가능한 경우 이다. 그러면 해는 다음과 같다.

: $\begin{align}\sqrt{a+\sqrt{c}}&=\sqrt{\frac{a+d}2}+\sqrt{\frac{a-d}2},\\[6pt]\sqrt{a-\sqrt{c}}&=\sqrt{\frac{a+d}2}-\sqrt{\frac{a-d}2}.\end{align}$

스리니바사 라마누잔은 중첩 근호를 포함하는 여러 가지 흥미로운 항등식을 증명했다. 그중 다음이 있다:^[3]

: $\sqrt[4]{\frac{3 + 2 \sqrt[4]{5}}{3 - 2 \sqrt[4]{5}}} = \frac{ \sqrt[4]{5} + 1}{\sqrt[4]{5} - 1}=\tfrac12\left(3+\sqrt[4]5+\sqrt5+\sqrt[4]{125}\right),$

: $\sqrt{ \sqrt[3]{28} - \sqrt[3]{27}} = \tfrac13\left(\sqrt[3]{98} - \sqrt[3]{28} -1\right),$

: $\sqrt[3]{ \sqrt[5]{\frac{32}{5}} - \sqrt[5]{\frac{27}{5}} } = \sqrt[5]{\frac{1}{25}} + \sqrt[5]{\frac{3}{25}} - \sqrt[5]{\frac{9}{25}},$

그리고

\sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}.\quad}}^[4]

다중근호의 식 중에는, 일중근호의 식으로 고쳐 쓸 수 있는 것도 있다. 예를 들어,

:

\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2},

:

\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}.

이러한 고쳐 쓰기는 '''일중화'''(denesting; 탈다중화)라고 한다. 일중화의 과정은 일반적으로 어려운 문제로 여겨진다.

5. 다중근호의 계산 (단일화)

다중근호는 루트 안에 루트가 포함된 형태를 말한다. 특정한 형태의 다중근호는 더 간단한 형태(단일 근호 또는 유리수)로 변환할 수 있는데, 이를 "단일화"라고 한다.

일부 중첩 근호는 중첩되지 않은 형태로 다시 쓸 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

: $\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}$ ^[1]

: $\sqrt[3]{\sqrt{2}} = \sqrt[6]{2}$

이러한 방식으로 중첩 근호를 다시 쓰는 것을 '덴스팅(denesting)'이라고 한다. 모든 다중근호를 덴스팅할 수 있는 것은 아니며, 가능한 경우에도 종종 어렵다.

다중근호의 식 중에는, 일중근호의 식으로 고쳐 쓸 수 있는 것이 있다. 이러한 과정을 일중화(denesting)라고 하며, 바깥쪽 근호가 사라지므로 "다중근호를 없앤다"라고도 표현한다.

일반적으로, $a>0, b>0$ 일 때 다음 등식이 성립한다.

: $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

$a>b>0$ 일 때는 다음과 같다.

: $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

경우에 따라 다중 근식을 단일화하기 위해 고차의 멱근이 필요할 수도 있다.

5. 1. 두 개의 제곱근으로 이루어진 이중근호

\sqrt{a+\sqrt{c}} = \sqrt{x}\pm\sqrt{y}

형태의 이중근호는

a^2-c

가 유리수의 제곱일 때 단일화 가능하다. 이때,

x

와

y

는

\frac{a+d}2

와

\frac{a-d}2

(단,

d=\sqrt{a^2-c}

는 유리수)이다.^[2]

a^영어와 c^영어가 유리수이고 c^영어가 유리수의 제곱이 아닌 경우, 다음과 같은 두 개의 유리수 x^영어와 y^영어가 존재한다.

:

\sqrt{a+\sqrt{c}} = \sqrt{x}\pm\sqrt{y}

이는

a^2-c

가 유리수 d^영어의 제곱일 경우에만 해당된다.

중첩된 근호가 실수인 경우, x^영어와 y^영어는 두 개의 숫자이다.

:

\frac{a+d}2

그리고

\frac{a-d}2

, 여기서

d=\sqrt{a^2-c}

는 유리수이다.

특히, a^영어와 c^영어가 정수이면

2x

와

2y

는 정수이다.

이 결과에는 다음과 같은 형태의 중첩 해소가 포함된다.

:

\sqrt{a+\sqrt{c}}=z\pm\sqrt{y}

z^영어는 항상

z=\pm\sqrt{z^2}

로 쓸 수 있으며, 항 중 적어도 하나는 양수여야 한다(방정식의 왼쪽이 양수이기 때문).

\sqrt{a+b \sqrt{c}\ }

형태의 다중 근식을 홑근호화하기 위한 필요충분 조건은

\sqrt{a^2 - b^2c}

가 유리수가 되는 것, 즉

a^2-b^2c

가 제곱수가 되는 것이다. 이때, 다중 근식의 홑근호화는 두 제곱근의 합이 된다.

;예시 1:

\sqrt{3+2\sqrt{2}}

:

a=3,b=c=2

이므로,

a^2-b^2c=3^2-2^2\cdot 2=1

는 제곱수가 된다. 따라서

d=\frac{3+1}{2}=2,e=\frac{3-1}{2}=1

이므로,

\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}

이다.

;예시 2:

\sqrt{6+\sqrt{35}}

:

a=6,b=1,c=35

이므로,

a^2-b^2c=6^2-1^2\cdot 35=1

는 제곱수가 된다. 따라서

d=\frac{6+1}{2}=\frac{7}{2},e=\frac{6-1}{2}=\frac{5}{2}

이므로,

:

\sqrt{6+\sqrt{35}}=\sqrt{\frac{7}{2}}+\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}

이다.

5. 2. 초등적인 예시

mathematical symbol|수학 기호^영어

\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}

(

a>0,b>0

)이다.

mathematical symbol|수학 기호^영어

\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}

(

a>b>0

)이다.

; 예시 1

:

\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}

; 예시 2

:

\sqrt{6+\sqrt{35}}=\frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}

5. 3. 일반적인 다중 근호의 단일화

모든 다중 근호를 단일화할 수 있는 것은 아니며, 가능한 경우에도 복잡한 과정을 거칠 수 있다.^[2]

두 개의 이중 근호의 경우, 다음 정리는 중첩 해소 문제를 완전히 해결한다.^[2]

와 가 유리수이고 가 유리수의 제곱이 아닌 경우, 다음과 같은 두 개의 유리수 와 가 존재한다.

:

\sqrt{a+\sqrt{c}} = \sqrt{x}\pm\sqrt{y}

는

a^2-c~

가 유리수 의 제곱일 경우에만 해당된다.

중첩된 근호가 실수인 경우, 와 는 두 개의 숫자이다.

:

\frac{a+d}2~

그리고

~\frac{a-d}2~,~

여기서

~d=\sqrt{a^2-c}~

는 유리수이다.

특히, 와 가 정수이면 와 는 정수이다.

이 결과에는 다음과 같은 형태의 중첩 해소가 포함된다.

:

\sqrt{a+\sqrt{c}}=z\pm\sqrt{y}~,

는 항상

z=\pm\sqrt{z^2},

로 쓸 수 있으며, 항 중 적어도 하나는 양수여야 한다(방정식의 왼쪽이 양수이기 때문).

더 일반적인 중첩 해소 공식은 다음과 같은 형식을 가질 수 있다.

:

\sqrt{a+\sqrt{c}} = \alpha+ \beta\sqrt{x}+\gamma\sqrt{y}+\delta\sqrt x\sqrt y~.

그러나 갈루아 이론에 따르면 왼쪽은

\mathbb Q(\sqrt c),

에 속하거나

\sqrt x,

,

\sqrt y,

또는 둘 다의 부호를 변경하여 얻어야 한다. 첫 번째 경우에는 와

\gamma=\delta=0.

으로 할 수 있다. 두 번째 경우에는

\alpha

와 다른 계수가 0이어야 한다.

\beta=0,

이면 를 로 이름을 바꿔

\delta = 0.

을 얻을 수 있다.

\alpha=0,

이면 유사하게 진행하면

\alpha = \delta = 0.

으로 가정할 수 있다. 이는 겉보기에는 더 일반적인 중첩 해소가 항상 위의 식으로 축소될 수 있음을 보여준다.

'''증명''': 제곱을 통해 방정식

:

\sqrt{a+\sqrt{c}} = \sqrt{x}\pm\sqrt{y}

는 다음 방정식과 동일하다.

:

a+\sqrt{c}=x+y\pm 2\sqrt{xy},

그리고 오른쪽 항에 마이너스가 있는 경우,

(제곱근은 표기법의 정의에 따라 음수가 아니다). 부등식은 와 를 교환하여 항상 만족할 수 있으므로 와 에 대한 첫 번째 방정식의 해결은 다음과 같은 방정식의 해결과 동일하다.

:

a+\sqrt{c}=x+y\pm 2\sqrt{xy}.

이 등식은

\sqrt{xy}

가 이차 체

\mathbb Q(\sqrt c).

에 속함을 의미한다. 이 체에서 모든 요소는

\alpha

와

\beta

가 유리수인

\alpha +\beta\sqrt c,

로 고유하게 작성될 수 있다. 이는

\pm 2\sqrt{xy}

가 유리수가 아님을 의미한다(그렇지 않으면 방정식의 오른쪽이 유리수가 되지만 왼쪽은 무리수입니다). 와 는 유리수여야 하므로

\pm 2\sqrt{xy}

의 제곱은 유리수여야 한다. 이는

\pm 2\sqrt{xy}

의

\alpha +\beta\sqrt c.

의 표현에서

\alpha=0

임을 의미한다. 따라서

:

a+\sqrt{c}=x+y +\beta\sqrt{c}

는 어떤 유리수

\beta.

에 대해 성립한다.

과

\sqrt c

에 대한 분해의 고유성은 고려된 방정식이 다음 방정식과 동일하다는 것을 의미한다.

:

a= x+y\quad \text{and}\quad \pm 2\sqrt{xy} = \sqrt c.

비에타의 공식에 의해 와 는 이차 방정식의 근이어야 한다.

:

z^2-az+\frac c4 = 0~;

그것의

~\Delta = a^2-c = d^2 > 0~

(, 그렇지 않으면 가 의 제곱이 됨), 따라서 와 는

:

\frac{a+\sqrt{a^2-c}}{2}~

그리고

~\frac{a-\sqrt{a^2-c}}{2}~.

이어야 한다. 따라서 와 는

d=\sqrt{a^2-c}~

가 유리수일 경우에만 유리수이다.

다양한 부호를 명시적으로 선택하려면 양의 실수 제곱근만 고려해야 하므로 을 가정한다. 방정식

a^2=c+d^2

은 .임을 보여준다. 따라서 중첩된 근호가 실수이고 중첩 해소가 가능한 경우 이다. 그러면 해는 다음과 같다.

:

\begin{align}\sqrt{a+\sqrt{c}}&=\sqrt{\frac{a+d}2}+\sqrt{\frac{a-d}2},\\[6pt]\sqrt{a-\sqrt{c}}&=\sqrt{\frac{a+d}2}-\sqrt{\frac{a-d}2}.\end{align}

다중근호의 식 중에는, 일중근호의 식으로 고쳐 쓸 수 있는 것도 있다. 예를 들어,

:

\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2},

:

\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}.

이러한 고쳐 쓰기는 '''일중화'''(denesting; 탈다중화)라고 한다(바깥쪽의 근호가 사라지므로 "다중근호를 없앤다"라는 표현도 사용한다). 일중화의 과정은 일반적으로 어려운 문제로 여겨진다.

특정 종류의 다중근호는 초등적인 계산을 통해 근호를 풀 수 있다. 다음 좌변의 형태를 가진 이중근호 식이 우변처럼 두 제곱근의 합으로 분해될 수 있는 조건을 알아보자. 즉, 다음 등식

:

\sqrt{a\pm b \sqrt{c}\ } = \sqrt{d} \pm \sqrt{e}

(단,

c

는 제곱수가 아님)이 성립한다고 가정한다. 양변을 제곱하면

:

a\pm b \sqrt{c} = (d + e) \pm 2\sqrt{de}

에 대해 양변의 Equating coefficients|계수 비교^영어 (양변의 유리 성분끼리, 무리 성분끼리 각각 같다고 놓음)를 통해 문제는 "합이

a

와 같고, 곱이

\frac{b^2 c}{4}

와 같은 두 수

d,e

를 구하는 것"으로 귀결된다. 이는 근과 계수의 관계에 따라 특정 이차 방정식을 푸는 문제로 해결할 수 있다.

{2}

를 얻는다.

}}

또는 다음과 같이 해도 동일한 결과를 얻을 수 있다.

{2}

이므로, 두 해 는 서로 Conjugate (algebra)|대수 공액^영어이므로,

:

d=\frac{a + \sqrt {a^2-b^2c}}{2}

:

e=\frac{a - \sqrt {a^2-b^2c}}{2}

로 결정된다.

}}

이 방법으로

\sqrt{a+b \sqrt{c}\ }

형태의 다중 근식을 홑근호화하기 위한 필요충분 조건은

\sqrt{a^2 - b^2c}

가 유리수가 되는 것, 즉

a^2-b^2c

가 제곱수가 되는 것이다 (이때, 다중 근식의 홑근호화는 위에서 본 바와 같이 두 제곱근의 합이 된다).

;예시 1

\sqrt{3+2\sqrt{2}}

:

a=3,b=c=2

이므로,

a^2-b^2c=3^2-2^2\cdot 2=1

는 제곱수가 된다. 따라서

d=\frac{3+1}{2}=2,e=\frac{3-1}{2}=1

이므로,

\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}

;예시 2

\sqrt{6+\sqrt{35}}

:

a=6,b=1,c=35

이므로,

a^2-b^2c=6^2-1^2\cdot 35=1

는 제곱수가 된다. 따라서

d=\frac{6+1}{2}=\frac{7}{2},e=\frac{6-1}{2}=\frac{5}{2}

이므로,

:

\sqrt{6+\sqrt{35}}=\sqrt{\frac{7}{2}}+\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}

또한, 일반적으로 다음 등식이 성립한다.

;

a>0,b>0

일 때

:

\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}+\sqrt{b}

;

a>b>0

일 때

:

\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}-\sqrt{b}

경우에 따라 다중 근식의 홑근호화에 고차의 멱근이 필요할 수 있다. 예를 들어,

:

\sqrt{4 + 3 \sqrt{2}} =\sqrt{(\sqrt{2}+2\sqrt{2})+2\sqrt{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2} } }=\sqrt{(\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8})^2} =\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{8}

과 같이 억지로 근호를 없애는 형태가 필요하다. 그 외에도,

:

\sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} = \frac{1}{2}(\sqrt[4]{12} + \sqrt[4]{108})

:

\sqrt[3]{10+7\sqrt{2}}=\sqrt[6]{2}+\sqrt[3]{4}

:

\sqrt[3]{5+3\sqrt{3}}=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{4}+\sqrt[6]{432})

6. 고차방정식의 해

: $, -{b \over 4a} - \left( \sqrt{p +2t_1} +\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over \sqrt{p +2t_1}}} \over {2a} \right), -{b \over 4a} - \left( \sqrt{p +2t_1} -\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over \sqrt{p +2t_1}}} \over {2a} \right)$

세제곱 방정식의 대수적 해에도 다중 근호가 나타난다. 임의의 세제곱 방정식은 이차항이 없는 단순한 형태로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$x^3+px+q=0,$

이 방정식의 근 중 하나의 일반해는 다음과 같다.

$x=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt} +\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt}.$

세제곱 방정식이 단 하나의 실근만 가질 경우, 이 실근은 세제곱근의 피제곱수가 실수이고 세제곱근이 실수 세제곱근인 상태로 위의 식으로 주어진다. 세 개의 실근을 갖는 경우, 제곱근 표현식은 허수가 된다. 이때 임의의 실근은 첫 번째 세제곱근을 복소 피제곱수의 특정 복소 세제곱근으로 정의하고, 두 번째 세제곱근을 첫 번째 세제곱근의 켤레 복소수로 정의하여 표현된다. 이 해에 있는 다중 근호는 세제곱 방정식이 적어도 하나의 유리수 해를 가질 경우에만 일반적으로 단순화될 수 있다. 실제로, 세제곱 방정식이 세 개의 무리수이지만 실수를 해로 갖는 경우, 우리는 세 개의 실근 모두가 복소수의 세제곱근으로 표현되는 ''환원 불가능한 경우''(casus irreducibilis)를 갖는다. 반면에, 다음 방정식을 고려해 보자.

$x^3-7x+6=0,$

이 방정식은 1, 2, 그리고 −3의 유리수 해를 갖는다. 위에 주어진 일반해 공식은 다음과 같은 해를 제공한다.

$x=\sqrt[3]{-3+\frac{10\sqrt{3}i}{9}} + \sqrt[3]{-3-\frac{10\sqrt{3}i}{9}} .$

세제곱근과 그 켤레 복소수를 임의로 선택하면, 이것은 복소수를 포함하는 다중 근호를 포함하지만, 1, 2, 또는 –3의 해 중 하나로 축약될 수 있다(비록 명백하지는 않지만).

7. 중첩근호와 일반식

루트 근호 안에 루트 근호를 갖는 수식이 반복해서 중첩되는 것을 무한 중첩근호라고 하며, 이는 일반식으로 표현될 수 있다.

: $\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n...}}}}}=$

예를 들어 다음과 같은 식이 있다.

: $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+ \cdots} }}} } }$

: $x^2-x-1=0$ 을 근의 공식을 통해 풀어보면 다음과 같다.

: $\over{2a}}$

: $\over{2}}$

: $\over{2}}$

: $\over{2}}$

따라서,

: $\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c...}}}}}$

: $=$

: $x^2-x-c=0$ 이다.

라마누잔은 ''인도 수학 학회 저널''에 다음과 같은 문제를 제시했다.

: $? = \sqrt{1+2\sqrt{1+3 \sqrt{1+\cdots}}}.$

이 문제는 더 일반적인 공식으로 해결할 수 있다.

: $? = \sqrt{ax+(n+a)^2 +x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2+(x+n) \sqrt{\mathrm{\cdots}}}}.$

이것을 $F(x)$ 로 놓고 양변을 제곱하면 다음과 같다.

: $F(x)^2 = ax+(n+a)^2 +x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2+(x+n) \sqrt{\mathrm{\cdots}}},$

이를 다음과 같이 단순화할 수 있다.

: $F(x)^2 = ax + (n+a)^2 + x F(x+n) .$

다음을 증명할 수 있다.

: $F(x) = {x + n + a}$

따라서, $a = 0$ , $n = 1$ , $x = 2$ 로 설정하면 다음을 얻는다.

: $3 = \sqrt{1+2\sqrt{1+3 \sqrt{1+\cdots}}}.$

라마누잔은 그의 잃어버린 노트에서 다음과 같은 무한 근호를 제시했다.

: $\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\cdots}}}}}}}=\frac{2+\sqrt{5}+\sqrt{15-6\sqrt{5}}}{2}.$

부호의 반복 패턴은 $(+,+,-,+)$ 이다.

7. 1. 제곱근의 경우

\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n...}}}}}=

이다. 예를 들어 황금비 (

\varphi

)는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1...}}}}}==\varphi

일반적으로

n>0

인 경우,

:

\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\cdots}}}} = \tfrac{1}{2}\left(1 + \sqrt {1+4n}\right)

이며, 이는 방정식

x^2 - x - n = 0

의 양의 근이다.

특정 조건 하에서 다음과 같은 무한히 중첩된 제곱근은

:

x= \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}

유리수를 나타낸다. 이 유리수는 ''x''가 근호 아래에도 나타난다는 것을 통해 알 수 있으며, 이는 다음과 같은 방정식을 제공한다.

:

x = \sqrt{2+x}

이 방정식을 풀면

x = 2

를 찾을 수 있다.

7. 2. 세제곱근의 경우

\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n+\cdots}}}}

는 방정식 의 양의 실수 근이다. 예를 들어 인 경우, 이 근은 플라스틱 수 ''ρ''이며, 약 1.3247이다.

8. 라마누잔의 항등식

스리니바사 라마누잔은 중첩 근호를 포함하는 여러 가지 흥미로운 항등식을 증명했다.^[3] 다음은 그 예시이다.

$\sqrt[4]{\frac{3 + 2 \sqrt[4]{5}}{3 - 2 \sqrt[4]{5}}} = \frac{ \sqrt[4]{5} + 1}{\sqrt[4]{5} - 1}=\tfrac12\left(3+\sqrt[4]5+\sqrt5+\sqrt[4]{125}\right),$
$\sqrt{ \sqrt[3]{28} - \sqrt[3]{27}} = \tfrac13\left(\sqrt[3]{98} - \sqrt[3]{28} -1\right),$
$\sqrt[3]{ \sqrt[5]{\frac{32}{5}} - \sqrt[5]{\frac{27}{5}} } = \sqrt[5]{\frac{1}{25}} + \sqrt[5]{\frac{3}{25}} - \sqrt[5]{\frac{9}{25}},$
$\sqrt[3]{\ \sqrt[3]{2}\ - 1}= \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}.$ ^[4]

그 외에도, 라마누잔은 다음과 같은 특이한 등식을 발견했다.

$\sqrt[4]{49 + 20\sqrt{6}} + \sqrt[4]{49 - 20\sqrt{6}} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt[3]{(\sqrt{2}+ \sqrt{3})(5 - \sqrt{6}) + 3(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})} = \sqrt{10 - \frac{13 - 5\sqrt{6}}{5 + \sqrt{6}}}$

라마누잔은 잡지 『Journal of Indian Mathematical Society』에 다음 문제를 제시했다.

? = \sqrt{1+2\sqrt{1+3 \sqrt{1+\cdots}}}.

이는 보다 일반적인 공식을 통해 풀 수 있다.

? = \sqrt{ax+(n+a)^2 +x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2+(x+n) \sqrt{\mathrm{\cdots}}}}

이를 ''F''(''x'')로 설정하고 양변을 제곱하면 다음 식이 나온다.

F(x)^2 = ax+(n+a)^2 +x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2+(x+n) \sqrt{\mathrm{\cdots}}}

이는 다음과 같이 간략하게 나타낼 수 있다.

F(x)^2 = ax+(n+a)^2 +xF(x+n)

따라서, 좌변과 우변의 ''x''의 차수를 비교하면 ''F''(''x'')는 ''x''의 1차식임을 알 수 있으며, ''F''(0)의 값으로부터 다음 식으로 표현할 수 있다.

F(x) = x + n + a \

따라서

a = 0, n = 1, x = 2

를 위 식에 대입하면,

3 = \sqrt{1+2\sqrt{1+3 \sqrt{1+\cdots}}}.

라마누잔은 그의 노트(현존하지 않음)에서 다음과 같은 무한 다중 제곱근의 근호를 제거한 식을 언급했다.

\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\cdots}}}}}}}=\frac{2+\sqrt{5}+\sqrt{15-6\sqrt{5}}}{2}

(위 식의 부호 패턴은 +, +, -, + 의 반복이다)

9. 란다우의 알고리즘

1989년 수잔 란다우는 다중 근호를 단일화할 수 있는지 판별하는 알고리즘을 발표했다.^[13] 이전 알고리즘은 일부 경우에만 작동하고 모든 경우에 적용되지는 않았다.

10. 삼각함수에서의 활용

삼각법에서, 많은 각도의 사인과 코사인은 중첩된 근호를 사용하여 표현할 수 있다. 예를 들어 다음과 같다.^[2]

: $\sin\frac{\pi}{60}=\sin 3^\circ=\frac{1}{16} \left[2(1-\sqrt3)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt5-1)(\sqrt3+1)\right]$

: $\sin\frac{\pi}{24}=\sin 7.5^\circ=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt3}} = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \frac{1 + \sqrt3}{\sqrt2}} .$

마지막 등식은 두 개의 중첩된 제곱근의 결과에서 직접적으로 유도된다. 비에타의 공식은 다음과 같다.^[2]

: $\frac2\pi=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\cdots.$

11. 기타

루트 근호 안에 루트 근호를 갖는 수식이 반복해서 중첩되게 내재하는 경우가 있다.

: $\sqrt{x}= \sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\dots}}}}$ ^[15]

이것을 확장하면 다음과 같다.^[15]

: $x^= \sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\dots}}}}$

자연수와 중첩근호를 살펴보면 다음과 같다.

: $x = \sqrt{(x \cdot (x-1))+\sqrt{(x \cdot (x-1))+\sqrt{(x \cdot (x-1))+\sqrt{(x \cdot (x-1))+\dots}}}} \qquad (x > 1, x$ 는 정수 $)$

: $x = \sqrt{(x^2-x)+\sqrt{(x^2-x)+\sqrt{(x^2-x)+\sqrt{(x^2-x)+\dots}}}}$

이것을 일반식으로 표현하면 다음과 같다.

: $\left(x\right)^2 - \left(x\right)$ 에서 $x$ 이고,

: $\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n...}}}}}=\frac{2}$ 이므로,

: $x= \sqrt{\left(x\right)^2 - \left(x\right)+\sqrt{\left(x\right)^2 - \left(x\right)+\sqrt{\left(x\right)^2 - \left(x\right)+\sqrt{\left(x\right)^2 - \left(x\right)+\sqrt{\left(x\right)^2 - \left(x\right)...}}}}}$

: $=\frac{2}$

: $=\frac{2}$

: $=\frac{2}$

: $=\frac{2}= x$ 이다.

비에트의 공식은 원의 둘레와 지름의 비율인 π에 대한 공식으로, 다음과 같다.

: $\frac{2}\pi=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\cdots.$

무한히 중첩된 근호 $\sqrt{a_1 + \sqrt{a_2 + \dotsb}}$ (여기서 모든 $a_i$ 는 음이 아닌 수)는 모든 $n$ 에 대해 $M \geq a_n^{2^{-n}}$ 을 만족하는 $M \in \mathbb R$ 이 존재할 경우에만 수렴하며,^[9] 즉 $\sup a_n^{2^{-n}} <+\infty$ 이다.

참조

_[1] 논문 When close enough is close enough
_[2] 서적 Elements of algebra Springer Science & Business Media
_[3] 웹사이트 A note on 'Zippel Denesting' https://citeseerx.is[...] 1993-07-16
_[4] 간행물 Radicals and units in Ramanujan's work https://faculty.math[...] 1998
_[5] 서적 30th Annual Symposium on Foundations of Computer Science SIAM
_[6] 간행물 On the denesting of nested square roots https://www.tandfonl[...] 2017-08-18
_[7] 간행물 Nested Square Roots of 2 https://www.tandfonl[...] 2003-04
_[8] 간행물 More Nested Square Roots of 2 https://www.tandfonl[...] 2005-11
_[9] 간행물 On Infinite Radicals 1935
_[10] 문서 무리식
_[11] 문서 "A note on 'Zippel Denesting'" http://citeseerx.ist[...]
_[12] 문서 "RADICALS AND UNITS IN RAMANUJAN’S WORK" http://www.math.uiuc[...]
_[13] 간행물 Simplification of Nested Radicals SIAM
_[14] 저널 인용 RADICALS AND UNITS IN RAMANUJAN’S WORK http://www.math.uiuc[...]
_[15] 문서 J. R. Fielding, pers. comm., Oct. 8, 2002
_[16] 문서 Ramanujan 1911, Ramanujan 2000, p. 323; Pickover 2002, p. 310

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