갈루아 이론

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1. 개요

갈루아 이론은 프랑스 수학자 에바리스트 갈루아가 제창한 이론으로, 방정식의 해들이 서로 어떻게 대응되는지를 치환군을 이용하여 기술하고 군의 개념을 도입했다. 이 이론은 리하르트 데데킨트, 에밀 아르틴 등에 의해 추상화되었고, 알렉산더 그로텐디크에 의해 대수기하학을 사용하여 일반화되었다. 갈루아 이론은 체의 갈루아 확대를 다루며, 갈루아 군과 부분 확대들의 격자 간의 관계를 기본 정리로 설명한다. 또한, 방정식의 대수적 해의 존재 여부, 자와 컴퍼스 작도 문제, 그리고 역 갈루아 문제 등 다양한 수학적 문제에 응용된다.

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갈루아 이론 - 갈루아 군
갈루아 군은 체의 확대에 대한 자기 동형군으로, 갈루아 이론의 기본 정리에 따라 체론과 군론을 연결하며, 사유한군 구조를 가지고 갈루아 코호몰로지와 관련된다.
갈루아 이론 - 프로베니우스 사상
표수가 소수 p인 가환환 R에서 프로베니우스 사상은 r을 r^p로 보내는 환 준동형으로, 환의 표수가 p인 환의 범주에 대한 항등 함자에서 자체로의 자연 변환을 나타내며, 체 K가 표수가 0이거나 양의 표수를 갖고 프로베니우스 사상이 자기 동형 사상인 경우 완전체라고 한다.

갈루아 이론
개요
갈루아 확대체의 구성
학문 분야
분야	수학
하위 분야	추상대수학 체론 군론
역사적 배경
기원	다항식의 근에 대한 연구
창시자	에바리스트 갈루아
주요 개념
핵심 개념	갈루아 군 갈루아 대응 분해체 정규 확대체 분리 확대체
응용
응용 분야	방정식론 기하학 (작도 가능성 문제) 암호학
관련 이론
관련 이론	체론 군론 환론 대수적 수론
주요 정리
주요 정리	대수학의 기본 정리

2. 역사

갈루아 이론은 프랑스의 수학자 에바리스트 갈루아가 제창하였다. 갈루아는 방정식의 해들이 서로 어떻게 대응되는가를 치환군을 이용해서 설명했고, 이 과정에서 군의 개념을 만들었다.^[3]

갈루아 이전에는 대칭 함수에 대한 연구가 진행되었는데, 단항 다항식의 계수는 근의 기본 대칭 다항식과 같다는 사실에서 출발한다(부호는 제외). 18세기 영국 수학자 찰스 허튼^[1]은 다항식의 계수를 근으로 표현한 것은(양의 근 뿐만 아니라) 17세기 프랑스 수학자 알베르 지라르가 처음 이해했다고 보았다. 판별식은 근의 성질을 반영하는 근에 대한 대칭 함수이다.

1832년 갈루아가 결투 전날, 친구 오귀스트 슈발리에에게 갈루아 이론과 타원 함수론에 관한 수학적 업적을 요약한 편지를 썼고, 1846년에 리우빌이 갈루아의 논문집을 게재하면서^[13] 많은 수학자들이 영향을 받았다.

이후 갈루아 이론은 리하르트 데데킨트, 레오폴트 크로네커, 에밀 아르틴 등에 의해 추상화되었고, 무한 차수 갈루아 확대의 경우는 사유한군 이론의 도입으로 완성되었다. 알렉산더 그로텐디크는 갈루아 이론을 대수기하학을 사용하여 임의의 스킴의 에탈 기본군에 대한 이론으로 일반화시켰다.^[6]

2. 1. 갈루아 이전

갈루아 이론은 대칭 함수 연구에서 시작되었는데, 단항 다항식의 계수는 근의 기본 대칭 다항식과 같다는 사실에서 출발한다(부호는 제외). 예를 들어, (''x'' – ''a'')(''x'' – ''b'') = ''x''² – (''a'' + ''b'')''x'' + ''ab''에서 1, ''a'' + ''b'', ''ab''는 두 변수에 대한 0, 1, 2차 기본 다항식이다.

이것은 16세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트에 의해 처음 공식화되었으며, 비에트의 공식에서 양의 실수 근의 경우를 다루었다. 18세기 영국 수학자 찰스 허튼^[1]은 다항식의 계수를 근으로 표현한 것은(양의 근 뿐만 아니라) 17세기 프랑스 수학자 알베르 지라르가 처음 이해했다고 보았다. 허튼은 다음과 같이 썼다.

> ...[지라르]는 근의 합과 곱으로부터 거듭제곱의 계수가 형성되는 일반적인 원리를 이해한 최초의 사람이었다. 그는 임의의 방정식의 근의 거듭제곱을 합하는 규칙을 발견한 최초의 사람이었다.

판별식은 근의 성질을 반영하는 근에 대한 대칭 함수이다. 다항식이 중근을 가질 때에만 0이 되고, 2차 및 3차 다항식의 경우 모든 근이 실수이고 서로 다를 때에만 양수이며, 서로 다른 켤레 복소수 근 쌍이 있을 때에만 음수이다. 자세한 내용은 판별식: 근의 성질을 참조.

3차 방정식은 15-16세기 이탈리아 수학자 스키피오 델 페로가 처음 부분적으로 풀었지만, 그는 자신의 결과를 발표하지 않았다. 이 방법은 1535년 니콜로 폰타나 타르탈리아가 독립적으로 재발견했고, 제롤라모 카르다노와 공유하며 출판하지 않도록 요청했다. 카르다노는 이 방법을 확장했다. 델 페로의 연구를 발견한 후, 그는 타르탈리아의 방법이 더 이상 비밀이 아니라고 느껴, 1545년 그의 책 ''Ars Magna''에 해법을 출판했다.^[2] 그의 제자 로도비코 페라리는 4차 다항식을 풀었고, ''Ars Magna''에 함께 수록되었다. 카르다노는 복소수를 사용할 수 없었고, 일반적인 3차 방정식을 설명할 대수적 표기법도 없었기에, 3차 방정식의 "일반 공식"을 제공하지 않았다. 현대 표기법과 복소수를 사용하면 책의 공식들이 일반적인 경우에도 작동하지만, 카르다노는 알지 못했다. 모든 형태의 3차 방정식을 풀기 위해 복소수를 사용한 사람은 라파엘 봄벨리였다.

1770년 프랑스-이탈리아 수학자 조제프루이 라그랑주는 ''방정식의 대수적 해법에 대한 성찰'' 논문에서 라그랑주 레졸번트 방식을 사용하여 3차 및 4차 방정식에 대한 카르다노와 페라리의 해법을 근의 ''순열'' 관점에서 분석하여, 낮은 차수의 보조 다항식을 산출해 해법에 대한 통일된 이해를 제공하고, 군론과 갈루아 이론의 토대를 마련했다. 그러나 순열의 ''합성''은 고려하지 않았다. 라그랑주의 방법은 5차 방정식 이상으로는 확장되지 않았는데, 레졸번트의 차수가 더 높았기 때문이다.

5차 방정식은 1799년 파올로 루피니가 일반적인 해가 존재하지 않는다는 것을 증명하려 했고, 순열 ''군''을 사용하는 핵심 통찰력을 보였다. 그의 해법에는 공백이 있었지만, 닐스 헨리크 아벨의 연구로 수정되어 1824년 아벨-루피니 정리가 확립되었다.

루피니와 아벨이 ''일반적인'' 5차 방정식은 풀 수 없다는 것을 증명했지만, ''x''⁵ - 1 = 0과 같은 ''특정한'' 5차 방정식은 풀 수 있다. ''주어진'' 5차 이상 다항식이 풀 수 있는지 여부를 결정하는 정확한 기준은 에바리스트 갈루아가 제시했는데, 다항식이 풀 수 있는지 여부는 근의 순열군, 즉 갈루아 군이 가해군을 갖는지 여부와 같다는 것을 보여주었다. 이 군은 4차 이하에서는 항상 가해군이지만, 5차 이상에서는 항상 그렇지 않으며, 이는 고차 방정식에 일반적인 해가 없는 이유를 설명한다.

2. 2. 아벨과 루피니

추상대수학#초기 군론 참고

2. 3. 갈루아

에바리스트 갈루아는 프랑스의 수학자로, 유한 차수 갈루아 확대에서 치환군을 이용하여 방정식의 해들이 서로 어떻게 대응되는지 기술하고, 군 개념을 도입하였다.^[3]

1830년, 갈루아(18세)는 파리 과학 아카데미에 근호를 사용한 방정식의 해를 구하는 자신의 이론에 대한 논문을 제출했다. 그러나 1831년, 그의 논문은 너무 개략적이고 방정식의 계수가 아닌 근을 기준으로 조건을 제시했다는 이유로 거부되었다. 1832년 결투에서 사망한 갈루아의 논문 "근을 이용한 방정식의 가해성 조건에 관한 보고서"는 조제프 리우빌이 자신의 설명을 덧붙여 출판한 1846년까지 출판되지 않았다.^[3] 리우빌은 이 출판 전인 1843년 7월 4일, 갈루아의 결과를 아카데미에 발표했다.^[4] 앨런 클라크는 갈루아의 특징을 "아벨과 루피니의 업적을 획기적으로 뛰어넘는 것"이라고 평가했다.^[5]

갈루아 이론은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 가능한 수의 범주에서 대수 방정식을 다룬다. 예를 들어 유리수나 복소수 범위에서 다항식으로 표현되는 방정식의 해를 생각하거나, 정수 계수를 가진 다항식에서 소수를 법으로 하는 해를 고려한다.

대수 방정식이 "대수적으로 풀리는지", 즉 계수에 대한 사칙 연산과 근호의 유한한 조합으로 해를 나타낼 수 있는지가 중요한 문제이다.

일반적으로 주어진 다항식의 근이 계수의 사칙 연산과 멱근으로 표현될 수 있는지 여부는, 계수가 만드는 체의 적절한 멱근 확대에 근이 포함되는지, 또는 다르게 표현하면 주어진 다항식의 모든 근을 추가하여 다항식이 일차식의 곱으로 분해되도록 하는 체(다항식의 '''분해체''')가 체의 멱근 확대가 되는지로 형식화할 수 있다.

다항식을 형식적으로 근의 일차식 곱으로 나타내면, 다항식의 계수는 근의 기본 대칭식임을 알 수 있다(근과 계수의 관계). 확대체의 자기 동형이 근을 교환할 때, 이 자기 동형 아래에서 다항식의 계수나 체의 원소는 변하지 않는다.

한편, 체의 원소를 변하지 않게 하는 체의 자기 동형은 다항식의 근을 교환한다. 이러한 변환 전체의 집합은 변환 합성이라는 이항 연산에 대해 군 구조를 가지며, 이를 체의 갈루아 군, 또는 다항식의 갈루아 군이라고 한다.

만약 다항식의 근이 계수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 또는 멱근으로 나타낼 수 있다면, 그 식의 일부분으로 표시되는 수로부터 생성되는 체를 생각할 수 있다. 이렇게 얻어지는 체는 원래 체를 포함하고, 또 다른 체에 포함되는 체(체의 부분 확대)가 된다. 이때 갈루아 이론의 주 정리에 의해 이 부분 확대를 정확히 불변체로 하는 갈루아 군의 부분군이 존재한다. 체의 원소의 제곱근은 여러 개 있지만, 그것들 모두로 생성되는 체의 부분체는 중요한 역할을 한다. 일반적으로 체의 확대에서 어떤 체 위에서 기약 다항식의 분해체가 되는 성질을 정규성이라 하며, 중간체의 정규성은 갈루아 군의 부분군이 정규 부분군인 것에 대응한다.

예를 들어, 체의 정규 부분 확대 중 체의 특정 원소의 멱근으로 생성되는 것의 대칭성을 나타내는 군은 순환군이 된다.

체의 멱근 확대 여부는 군이 가해군인지 여부와 같다. 이처럼 분해체의 자기 동형을 조사하여 방정식의 해를 구할 수 있는지에 대해 고찰할 수 있다.

2. 4. 갈루아 이후

에바리스트 갈루아가 제창한 갈루아 이론은 리하르트 데데킨트, 레오폴트 크로네커, 에밀 아르틴 등에 의해 추상화되었다. 무한 차수 갈루아 확대의 경우는 사유한군 이론의 도입으로 완성되었다. 알렉산더 그로텐디크는 갈루아 이론을 대수기하학을 사용하여 임의의 스킴의 에탈 기본군에 대한 이론으로 일반화시켰다.^[6]

갈루아 이론은 동시대인들이 이해하기 매우 어려웠고, 특히 이를 확장할 수 있을 정도로는 더욱 어려웠다. 1866년 조제프 알프레드 세레는 교과서 《고등 대수학 강의》에 갈루아 이론을 포함시켰으며, 그의 제자인 카미유 조르당은 1870년 저서 《대치와 대수 방정식에 관한 논문》에서 더 나은 이해를 보여주었다. 프랑스 외 지역에서는 갈루아 이론이 더 오랫동안 모호하게 남아 있었다. 영국에서는 아서 케일리가 그 깊이를 파악하지 못했고, 독일에서는 크로네커의 저술이 아벨의 결과에 더 집중되었다. 리하르트 데데킨트는 1858년 괴팅겐에서 강의했으며 매우 훌륭한 이해를 보여주었다.^[7] 오이겐 네토의 1880년대 저서들은 조르당의 《논문》을 기반으로 하였으며, 하인리히 마르틴 베버의 1895년 대수학 교과서와 함께 갈루아 이론을 더 넓은 독일과 미국 독자들에게 접근 가능하게 만들었다.^[8]

1832년 갈루아는 결투 전날, 친구 오귀스트 슈발리에에게 갈루아 이론과 타원 함수론에 관한 수학적 업적을 요약한 편지를 썼다. 1846년에 리우빌이 갈루아의 논문집을 게재하면서^[13] 많은 수학자들이 자극을 받았다. 1855년부터 1857년에 걸쳐 리하르트 데데킨트는 괴팅겐 대학교에서 갈루아 이론에 관한 첫 강의를 했다.^[14] 그 때 데데킨트는 갈루아의 이론을 "갈루아 이론"(Galois-Theorie)이라고 명명했다.^[15] 1871년에 데데킨트는 사칙 연산으로 닫힌 (수의) 집합을 "체]"(Körper)라고 명명했다. 또한,

3. 전개

갈루아 이론은 체의 갈루아 확대를 다루며, 이를 통해 체의 구조와 그 안에서 정의된 방정식의 해 사이의 관계를 탐구한다. 갈루아 이론의 전개 과정은 다음과 같이 요약할 수 있다.

갈루아 확대 $L/K$ 에 대하여, 그 부분 확대들의 격자 $\operatorname{Sub}(L/K)$ 및 갈루아 부분 확대들의 격자 $\operatorname{Sub_{Gal}}(L/K)\subset\operatorname{Sub}(L/K)$ 를 정의할 수 있다.

갈루아 이론은 체와 군 이론을 연결하는 중요한 다리 역할을 한다. 특히, 갈루아 이론의 기본 정리는 체 확대와 갈루아 군 사이의 깊은 관계를 보여준다.

3. 1. 갈루아 확대

체 K의 가장 큰 갈루아 확대는 분해 가능 폐포

K^{\operatorname{sep}}

이며, 모든 갈루아 확대는

K^{\operatorname{sep}}

의 부분 확대이다.

갈루아 확대

L/K

에 대하여, 갈루아 군

\operatorname{Gal}(L/K)

는 사유한군

:

\operatorname{Gal}(L/K)=\varprojlim_{M\in\operatorname{Sub_{Gal}}(L/K)}^{[M:K]<\aleph_0}\operatorname{Gal}(M/K)

이므로, 사유한 위상을 주어 위상군으로 만들 수 있다. 갈루아 군의 사유한 위상을 '''크룰 위상'''(Krull topology^영어)이라고 한다.

'''갈루아 이론의 기본 정리'''(fundamental theorem of Galois theory^영어)에 따르면, 갈루아 접속은 다음과 같이 주어진다.

:

\operatorname{Aut}(L/\cdot)\colon\operatorname{Sub}(L/K)\to\left(\operatorname{Sub}(\operatorname{Gal}(L/K)\right)^{\operatorname{op}}

:

M\mapsto\operatorname{Aut}(L/M)

또한, 모든

K\subset M'\subset M\subset L

에 대하여

:

[M:M']=|\operatorname{Aut}(L/M'):\operatorname{Aut}(L/M)|

이다.

추상대수학에서는 방정식과 그 분해체라는 구체적인 대상을 일단 포기하고 추상적으로 정의된 체의 대수적 확대를 다룬다. 확대체의 자기동형과 부분군의 대응이 잘 이루어지도록 분리성과 정규성이라고 불리는 두 가지 조건이 요구된다. 이 두 가지를 만족하는 확대를 '''갈루아 확대'''(Galois extension^영어)라고 부른다.

일반적으로 체 K의 유한 차수 분리 확대의 "합"으로서 K의 분리 폐포

K^{\operatorname{sep}}

을 생각할 수 있다.

K^{\operatorname{sep}}

의 정규 부분 확대 L의 자기동형으로 K의 원소를 고정하고 있는 전체

\operatorname{Gal}(L/K)

는 L에 포함된 K의 유한 차수 분리 확대의 갈루아 군의 사영 극한이 된다.

\operatorname{Gal}(L/K)

는 각 점 수렴의 위상에 대해 위상군이 되며, L의 중간체가 이루는 계와

\operatorname{Gal}(L/K)

의 닫힌 부분군들이 이루는 계 사이에 동치성이 성립한다.

그로텐디크의 갈루아 이론에서 고전적인 갈루아 이론은 다음과 같이 이해된다. ''K'' 위의 에탈 대수는 아핀 스키마 Spec(''K'') 위의 에탈 층을 나타내며, 임베딩

K \rarr K^{\operatorname{sep}}

에 대응하는 사상

\operatorname{Spec}(K^{\operatorname{sep}}) \rarr \operatorname{Spec}(K)

가 나타내는 "점"에서의 파이버를 취하는 것에 대응하는 관자

F_{K^{\operatorname{sep}}}: A \rarr \operatorname{Hom}_K(A, K^{\operatorname{sep}})

가, 범주 동치: Spec(''K'') 위의 에탈 층의 범주

\operatorname{Et}_K \equiv G

가 연속적으로 작용하는 집합의 범주 BG를 일으키고 있다. 또한, 절대 갈루아 군은 이 파이버 관자의 자기동형군으로 실현되어 있으며, 특정 공리를 만족하고 있는 관자

\operatorname{F}_{K^\mathrm{sep}}: \operatorname{Et}_K \to (\mathrm{Sets})

로부터 갈루아 군을 복원할 수 있음을 알 수 있다. 또한, 위의 범주 동치에 의해 체 K 위의 갈루아 코호몰로지는 Spec(''K'') 위의 에탈 코호몰로지 이론과 동치가 된다.

3. 2. 갈루아 군

Galois theory^영어에서, 주어진 다항식에 대해 일부 근들은 다양한 대수 방정식에 의해 연결될 수 있다. 예를 들어, 두 근

A

와

B

에 대해

A^2 + 5B^3 = 7

이 성립할 수 있다. 갈루아 이론의 핵심은 근들이 만족하는 '모든' 대수 방정식이 근들을 순열한 후에도 '계속 만족'되도록 하는 순열을 고려하는 것이다. 이러한 순열들은 순열군을 형성하며, 이를 다항식의 갈루아 군이라고 한다.^[9]

현대적인 접근 방식에서는 체 확대

L/K

( "

K

위의

L

"이라고 읽음)로 시작하여,

K

를 고정하는

L

의 자기 동형 사상 군을 조사한다.

두 접근 방식 간의 연결은 다음과 같다. 문제의 다항식의 계수는 밑체

K

에서 선택해야 한다. 최상위 체

L

은 문제의 다항식의 근을 밑체

K

에 추가하여 얻은 체여야 한다. 위에 설명된 대로 대수 방정식을 존중하는 근의 모든 순열은

L/K

의 자기 동형 사상을 발생시키며, 그 반대도 성립한다.

갈루아 확대

L/K

에 대하여, 갈루아 군

\operatorname{Gal}(L/K)

는 사유한군

:

\operatorname{Gal}(L/K)=\varprojlim_{M\in\operatorname{Sub_{Gal}}(L/K)}^{[M:K]<\aleph_0}\operatorname{Gal}(M/K)

이므로, 사유한 위상을 주어 위상군으로 만들 수 있다. 갈루아 군의 사유한 위상을 '''크룰 위상'''(Krull topology^영어)이라고 한다.

체

K

에 대해 그 '''절대 갈루아 군'''

G_K = \operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)

가 추이적이고 연속적으로 작용하는 유한 이산 공간

X

가 주어졌다고 하자. 이 때

X

에서

K^{\operatorname{sep}}

로의 사상의 공간

(K^{\operatorname{sep}})^X

에 대한

G_K

의 작용

:

(g,f)[x] = f(g^{-1}x)

이 생각된다. 이 작용 하에서 고정된 사상들의 이루는 부분 대수는

X

의 임의의 한 점의 고정 부분군에 관한

K^{\operatorname{sep}}

의 불변 부분체와 동형이 된다(

X

의 점의 교체는

K^{\operatorname{sep}}

에서의 켤레 부분체의 교체에 대응한다).

3. 3. 갈루아 이론의 기본 정리

갈루아 군의 사유한 위상을 '''크룰 위상'''(Krull topology^영어)이라고 한다.

'''갈루아 이론의 기본 정리'''(fundamental theorem of Galois theory^영어)에 따르면, 체

L/K

의 부분 확대들의 격자와 갈루아 군

\operatorname{Gal}(L/K)

의 닫힌 부분군들의 격자는 서로 동형이다.

:

\operatorname{Sub}(L/K)\cong\left(\operatorname{Sub}(\operatorname{Gal}(L/K)\right)^{\operatorname{op}}

:

\operatorname{Sub_{Gal}}(L/K)\cong\left(\operatorname{Sub}_{\vartriangleleft}(\operatorname{Gal}(L/K)\right)^{\operatorname{op}}

이때, 둘째 동형사상은 첫째 동형사상의 국한이다. 이 동형사상을 '''갈루아 접속'''(Galois connection^영어)이라고 한다.

체

L

을 체

K

의 유한 차수 갈루아 확대라고 하고,

M

을

L

과

K

의 중간체,

H

를

\operatorname{Gal}(L/K)

의 부분군이라고 하면, 다음 식이 성립한다.

:

M = L^{\operatorname{Gal}(L/M)},~~ H = \operatorname{Gal}(L/L^H).

여기서

\operatorname{Gal}(L/M)

는 확대

L/M

의 갈루아 군이며,

L^H

는

H

의 작용에 의해 불변인

L

의 원소를 모은

L

의 부분체이다.

따라서, "

L

과

K

의 중간체

M

"과 "갈루아 군

\operatorname{Gal}(L/K)

의 부분군

H

" 사이에는 서로 역관계인 전단사 대응이 존재한다.

3. 4. 절대 갈루아 이론

갈루아 이론에서 모든 갈루아 군은 분해 가능 폐포의 갈루아 군의 부분군이다. 분해 가능 폐포의 갈루아 군

\operatorname{Gal}(K)=\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)

을 '''절대 갈루아 군'''(absolute Galois group^영어)이라고 한다. 현대적인 접근 방식에서는 체 확대

L/K

에서 시작하여,

K

를 고정하는

L

의 자기 동형 사상 군을 조사한다.

절대 갈루아 군은 체

K

에 대해 그 '''절대 갈루아 군'''

G_K = Gal(K^{\operatorname{sep}}/K)

가 추이적이고 연속적으로 작용하는 유한 이산 공간

X

가 주어졌을 때 정의된다.

4. 응용

갈루아 이론은 방정식을 거듭제곱근만으로 풀 수 있는지 판별하는 데 사용된다. 역사적으로 이 이론은 이 문제를 해결하기 위해 도입되었다.

일반적인(해가 겹치지 않는) $n$ 차 다항식의 분해체의 갈루아 군은 $n$ 차 대칭군 $\operatorname{Sym}(n)$ 이다. $n\le 4$ 일 경우 $\operatorname{Sym}(n)$ 은 가해군이지만, $n\ge5$ 일 경우 $\operatorname{Sym}(n)$ 은 가해군이 아니다. 즉, 일반적인 5차 이상의 방정식의 근은 거듭제곱근만으로 나타낼 수 없다. 이를 '''아벨-루피니 정리'''(Abel–Ruffini theorem^영어)라고 한다. 그러나 특수한 5차 이상 방정식의 경우 그 분해체의 갈루아 군이 가해군일 수 있으며, 이 경우 거듭제곱근으로 풀 수 있다.

갈루아 이론은 자(컴퍼스)와 자 작도 문제에 대한 통찰력도 제공한다. 작도 가능한 길이 비율에 대한 설명을 통해, 고전 기하학 문제에 대한 답을 제시한다.

4. 1. 방정식의 대수적 해의 존재

갈루아 이론을 통해, 방정식을 거듭 제곱근만을 사용하여 풀 수 있는지 결정할 수 있다. 역사적으로, 갈루아 이론은 이 문제를 해결하기 위해 도입되었다.

유리수체에 대한 다항식

p\in\mathbb Q[x]

을 풀 수 있는지 여부는 그 분해체

\mathbb Q[x]/(p)

의 구조를 분석하여 알 수 있다. 체

K

에 거듭 제곱근

\sqrt[p]a

를 추가하여 확장시키는 경우, 그 갈루아 군은 순환군

\mathbb Z/(p)

이다. 즉, 거듭 제곱근을 계속하여 추가하여 얻는 체의 확대는 그 갈루아 군을 일련의 아벨 군들로 분해할 수 있는 경우다. 이렇게, 아벨 군들로 분해할 수 있는 군을 가해군이라고 하며, 다항식의 근을 거듭 제곱근으로 나타낼 수 있는지 여부는 그 다항식이 가해군인지와 동치이다.

유리수체에 대하여, 일반적인 (즉, 해가 겹치지 않는)

n

차 다항식의 분해체의 갈루아 군은

n

차 대칭군

\operatorname{Sym}(n)

이다.

n\le 4

일 경우

\operatorname{Sym}(n)

은 가해군이지만,

n\ge5

일 경우

\operatorname{Sym}(n)

은 가해군이 아니다. 즉, 일반적인 5차 이상의 방정식의 근은 거듭제곱근만으로 나타낼 수 없다. 이를 '''아벨-루피니 정리'''(Abel–Ruffini theorem^영어)라고 한다. 그러나 특수한 5차 이상 방정식의 경우 그 분해체의 갈루아 군이 가해군일 수 있으며, 이 경우 거듭제곱근으로 풀 수 있다.

군론에서의 가해군 개념은 다항식이 근으로 풀릴 수 있는지 여부를 결정할 수 있게 해주는데, 이는 해당 다항식의 갈루아 군이 가해성의 성질을 갖는지에 달려있다. 본질적으로, 각 체 확대는 갈루아 군의 합성열에서 몫군에 해당한다. 만약 합성열의 몫군이 순환군이고, 대응하는 체 확대에서 체가 이미 원시 단위근을 포함하고 있다면, 이는 근 확장이 되며 대응하는 체의 원소들은 어떤 원소의 근을 사용하여 표현될 수 있다.

만약 합성열의 모든 몫군이 순환군이라면, 갈루아 군은 ''가해군''이라고 불리며, 대응하는 체의 모든 원소들은 기저 체(보통

\mathbb Q

)의 원소의 근, 곱, 합을 반복적으로 취하여 찾을 수 있다.

갈루아 이론의 가장 위대한 업적 중 하나는 모든

n>4

에 대해 근으로 풀리지 않는

n

차 다항식이 존재한다는 것을 증명한 것이며 (이는 몇 년 전에 닐스 헨리크 아벨에 의해 유사한 방법으로 독립적으로 증명되었으며, 이는 아벨-루피니 정리이다), 특정 다항식이 근으로 풀리는지 여부를 테스트하는 체계적인 방법을 제시한 것이다. 아벨-루피니 정리는

n>4

에 대해 대칭군

S_n

가 단순군, 비순환, 정규 부분군인 교대군

A_n

을 포함한다는 사실에서 비롯된다.

4. 2. 아벨-루피니 정리

갈루아 이론을 통해, 방정식을 거듭제곱근만으로 풀 수 있는지 결정할 수 있다. 역사적으로 갈루아 이론은 이 문제를 해결하기 위해 도입되었다. 일반적인 5차 이상의 방정식의 근은 거듭제곱근만으로 나타낼 수 없다. 이를 '''아벨-루피니 정리'''(Abel–Ruffini theorem^영어)라고 한다.^[10] 그러나 특수한 5차 이상의 방정식의 경우 거듭제곱근으로 풀 수 있다.

아벨-루피니 정리는 그러한 공식이 존재할 수 없는 다항식 방정식이 있다는 것을 증명하는 반례를 제공한다. 갈루아 이론은 차수가 4 이하인 모든 방정식을 포함하여 일부 방정식을 풀 수 있고, 차수가 5 이상인 대부분의 방정식에 대해 불가능한 이유를 설명함으로써 이 질문에 대해 훨씬 더 완전한 답변을 제공한다. 또한, 특정 방정식을 풀 수 있는지 여부를 결정하는 방법을 제공하며, 이는 개념적으로 명확하고 알고리즘으로 쉽게 표현될 수 있다.

갈루아 이론에서 모든 $n>4$에 대해 근으로 풀리지 않는 $n$차 다항식이 존재한다는 것을 증명한 것은 가장 위대한 업적 중 하나이다 (이는 몇 년 전에 닐스 헨리크 아벨에 의해 유사한 방법으로 독립적으로 증명되었으며, 이는 아벨-루피니 정리이다). 또한 특정 다항식이 근으로 풀리는지 여부를 테스트하는 체계적인 방법을 제시한다. 아벨-루피니 정리는 $n>4$에 대해 대칭군 $S_n$가 단순군이자 비순환 정규 부분군인 교대군 $A_n$을 포함한다는 사실에서 비롯된다.

예를 들어 다항식 $f(x) = x^5 - x - 1$을 생각해 보자.^[10] 유리근 정리에 따르면 이 다항식은 유리수 근을 갖지 않는다. 또한, 이 다항식은 2 또는 3을 법으로 하는 일차 인수를 갖지 않는다. 법 2로 한 갈루아 군은 6차 순환군이고, 법 3으로 하면 일차 또는 이차 인수를 갖지 않으므로 기약다항식이다. 따라서 법 3 갈루아 군은 5차 원소를 포함한다. 소수를 법으로 한 갈루아 군은 유리수 체에 대한 갈루아 군의 부분군과 동형임이 알려져 있다.^[11] 6차 및 5차 원소를 가진 5개 객체에 대한 치환군은 대칭군 $S_5$이어야 하며, 따라서 $f(x)$의 갈루아 군이다. 이것은 비가해 5차 다항식의 가장 간단한 예 중 하나이다. 세르주 랭에 따르면, 에밀 아르틴은 이 예시를 좋아했다고 한다.^[12]

4. 3. 작도 문제

아벨-루피니 정리는 5차 이상의 다항식 방정식에서 일반적인 대수 연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)과 근호(제곱근, 세제곱근 등)만을 사용하여 해를 나타내는 공식이 존재하지 않는 경우가 있음을 보여준다. 갈루아 이론은 차수가 4 이하인 방정식은 모두 이러한 방식으로 풀 수 있지만, 5차 이상에서는 왜 대부분 풀 수 없는지를 설명한다. 또한, 특정 방정식의 해를 구할 수 있는지 판별하는 명확한 방법을 제공하며, 이는 알고리즘으로 쉽게 표현 가능하다.

갈루아 이론은 자(컴퍼스)와 자 작도 문제에도 중요한 통찰력을 제공한다. 작도 가능한 길이 비율에 대한 명확한 설명을 통해, 다음과 같은 고전 기하학 문제에 대한 답을 제시한다.

어떤 정다각형이 작도 가능한가?
왜 각의 삼등분은 자(컴퍼스)와 자 작도로 불가능한가?
왜 정육면체 배적은 같은 방법으로 불가능한가?

5. 역 갈루아 문제

역 갈루아 문제는 주어진 갈루아 군을 갖는 체 확대를 찾는 문제이다.

기저 체를 특정하지 않으면, 이 문제는 비교적 쉽고 모든 유한군이 갈루아 군으로 나타난다. 케일리 정리에 따르면, 유한군 G는 G의 원소에 대한 대칭군 S_G의 부분군과 동형이다. 각 G의 원소 α에 대해 미지수 x_α를 선택하고 이를 체 K에 추가하여 체 F = K(x_α)를 만든다. F 안에는 x_α의 대칭 유리 함수로 이루어진 체 L이 존재한다. 에밀 아르틴의 결과에 따르면, F/L의 갈루아 군은 S_G이다. G는 S_G의 작용을 제한하여 F에 작용하고, 이 작용의 고정 체가 M이라면, 갈루아 이론의 기본 정리에 의해 F/M의 갈루아 군은 G가 된다.

하지만 모든 유한군이 유리수 체 '''Q'''의 체 확장의 갈루아 군인지는 아직 해결되지 않았다. 이고르 샤파레비치는 모든 가해 유한군이 '''Q'''의 어떤 확대의 갈루아 군임을 증명했다. 여러 학자들이 특정 비가환 단순군에 대해 역 갈루아 문제를 해결했으며, 26개의 산발적 단순군 중 마티외 군 M₂₃을 제외한 모든 군에 대해 해가 존재함이 밝혀졌다. 심지어 몬스터 군을 갈루아 군으로 갖는 정수 계수 다항식도 존재한다.

주어진 방정식(또는 체의 갈루아 확대)의 갈루아 군을 구하는 문제를 "갈루아의 순문제", 주어진 군을 갈루아 군으로 갖는 방정식(또는 체의 확대)을 구체적으로 구성하는 문제를 "갈루아의 역문제"라고 부르기도 한다.

5. 1. 유한체 위의 갈루아 군

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5. 2. 비가분 확대

비분리 확대를 고려할 수 있다는 점은 고전적인 틀에서는 발생하지 않는 장점이다. 고전적인 틀에서는 산술 연산이 항상 표수 0에서 이루어진다고 암묵적으로 가정했기 때문이다. 그러나 0이 아닌 표수는 수론과 대수 기하학에서 자주 발생한다.

위에서 언급한 형식, 특히 갈루아 이론의 기본 정리를 포함하여, 이 이론은 갈루아 확대만을 고려하며, 이는 특별히 가분적이다. 일반적인 체 확대는 가분적인 부분과 그 뒤에 오는 순수 비가분 확대로 분해될 수 있다. 순수 비가분 확대 ''F'' / ''K''의 경우, 갈루아 군을 미분의 벡터 공간

Der_K(F, F)

, 즉, 라이프니츠 규칙을 만족하는 ''F''의 ''K''-선형 자기 사상으로 대체하는 갈루아 이론이 존재한다. 이 대응에서 중간 체 ''E''는

Der_E(F, F) \subset Der_K(F, F)

에 할당된다. 반대로, 적절한 추가 조건을 만족하는 부분 공간

V \subset Der_K(F, F)

는

\{x \in F, f(x)=0\ \forall f \in V\}

에 매핑된다.

F^p \subset K

라는 가정 하에, 이것이 일대일 대응을 확립한다는 것을 보였다. Jacobson이 부과한 조건은 유도된 대수 기하학의 개념을 사용하여 대응을 제공함으로써 제거되었다.

5. 3. 그로텐디크의 갈루아 이론

추상대수학에서는 방정식과 그 분해체라는 구체적인 대상을 일단 포기하고 추상적으로 정의된 체의 대수적 확대를 다룬다. 확대체의 자기동형과 부분군의 대응이 잘 이루어지도록 분리성과 정규성이라고 불리는 두 가지 조건이 요구된다. 이 두 가지를 만족하는 확대를 '''갈루아 확대'''(Galois extension^영어)라고 부른다.

일반적으로 체 K의 유한 차수 분리 확대의 "합"으로서 K의 분리 폐포 K^sep을 생각할 수 있다. K^sep의 정규 부분 확대 L의 자기동형으로 K의 원소를 고정하고 있는 전체 Gal(L/K)는 L에 포함된 K의 유한 차수 분리 확대의 갈루아 군의 사영 극한이 된다. Gal(L/K)는 각 점 수렴의 위상에 대해 위상군이 되며, L의 중간체가 이루는 계와 Gal(L/K)의 닫힌 부분군들이 이루는 계 사이에 동치성이 성립한다.

체 K에 대해 그 '''절대 갈루아 군''' G_K = Gal(K^sep/K)가 추이적이고 연속적으로 작용하는 유한 이산 공간 X가 주어졌다고 하자. 이 때 X에서 K^sep로의 사상의 공간 (K^sep)^X에 대한 G_K의 작용

:

(g,f)[x] = f(g^{-1}x)

이 생각된다. 이 작용 하에서 고정된 사상들이 이루는 부분 대수는 X의 임의의 한 점의 고정 부분군에 관한 K^sep의 불변 부분체와 동형이 된다(X의 점의 교체는 K^sep에서의 켤레 부분체의 교체에 대응한다). X에 대한 작용의 추이성을 없애는 것은 K의 유한 차수 분리 확대체 대신 K 위의 유한 에탈 대수를 생각하는 것에 대응하며, 이와 같이 K 위의 유한 에탈 대수가 이루는 범주와 G_K가 연속적으로 작용하는 이산 유한 공간이 이루는 범주 사이의 반변 범주 동치를 얻는다. 이를 출발점으로 하여 알렉산더 그로텐디크에 의한 갈루아 이론의 범주론적 정식이 얻어진다.

그로텐디크의 갈루아 이론에서 고전적인 갈루아 이론은 다음과 같이 이해된다. ''K'' 위의 에탈 대수는 아핀 스키마 Spec(''K'') 위의 에탈 층을 나타내며, 임베딩 K → K^sep에 대응하는 사상 Spec(K^sep) → Spec(K)가 나타내는 "점"에서의 파이버를 취하는 것에 대응하는 관자 F_K^sep: A → Hom_K(A, K^sep)가, 범주 동치: Spec(K) 위의 에탈 층의 범주 Et_K ≡ G가 연속적으로 작용하는 집합의 범주 BG를 일으키고 있다. 또한, 절대 갈루아 군은 이 파이버 관자의 자기동형군으로 실현되어 있으며, 특정 공리를 만족하고 있는 관자 F_K^sep: Et_K → (Sets)로부터 갈루아 군을 복원할 수 있음을 알 수 있다. 또한, 위의 범주 동치에 의해 체 K 위의 갈루아 코호몰로지는 Spec(K) 위의 에탈 코호몰로지 이론과 동치가 된다.

6. 예시

갈루아 이론의 예시로는 아벨 갈루아 군과 비아벨 갈루아 군을 들 수 있다.

아벨 갈루아 군의 예시는 하위 섹션을 참고한다.

비아벨 갈루아 군의 예시로, $\theta^3=2$ 이며 $\omega^3=1$ 인 경우를 들 수 있다. 갈루아 확대 $\mathbb Q(\theta,\omega)$ 의 갈루아 군은 3차 대칭군과 동형이며, 다음과 같다.

: $\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\theta,\omega)/\mathbb Q)=\{1,f,f^2,g,gf,gf^2\}\cong\operatorname{Sym}(3)$

이때, 두 생성원 $f$ , $g$ 의 작용은 다음과 같다.

: $f\colon\theta\mapsto\omega\theta,\quad\omega\mapsto\omega$

: $g\colon\theta\mapsto\theta,\quad\omega\mapsto\omega^2$

부분 확대들의 격자와 갈루아 군의 부분군의 반대 격자는 아래 그림과 같으며, 서로 동형이다.

여기서 갈루아 확대들은

\mathbb Q

,

\mathbb Q(\omega)

,

\mathbb Q(\theta,\omega)

이며, 이들은 갈루아 군의 정규 부분군에 대응한다. 나머지 확대들은 분해 가능 확대이지만 정규 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니며, 이에 대응하는 부분군들은 정규 부분군이 아닌 부분군이다.

6. 1. 아벨 갈루아 군의 예

유리수체의 갈루아 확대

\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)

을 생각해 보자. 이 확대의 갈루아 군은 클라인 4원군이다.

:

\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb Q)\cong\mathbb Z/2\oplus\mathbb Z/2\cong\langle f,g|[f,g],f^2,g^2\rangle

이 경우, 두 생성원

f,g

는

\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)

에 다음과 같이 작용한다.

:

f\colon a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6\mapsto  a-b\sqrt2+c\sqrt3-d\sqrt2\sqrt3

:

g\colon a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6\mapsto  a+b\sqrt2-c\sqrt3-d\sqrt2\sqrt3

이때, 부분 확대들의 격자와 갈루아 군의 부분군의 반대 격자는 서로 동형이다.

다음 이차 방정식을 보자.

:

x^2 - 4x + 1 = 0.

이차 공식으로 두 근을 구하면 다음과 같다.

:

\begin{align}A &= 2 + \sqrt{3},\\B &= 2 - \sqrt{3}.\end{align}

A

와

B

가 만족하는 대수 방정식의 예는 다음과 같다.

:

A + B = 4,

:

AB = 1.

위 두 방정식에서

A

와

B

를 교환하면 또 다른 참인 명제가 된다. 예를 들어, 방정식

A + B = 4

는

B + A = 4

가 된다. 이는

A

와

B

사이의 모든 가능한 대수 관계에서 계수가 유리수인 경우 항상 성립한다. 즉, 이러한 관계에서

A

와

B

를 바꾸면 또 다른 참인 관계가 만들어진다. 이는 대칭 다항식 이론에서 비롯된 것이며, 이 경우 이항 정리 관련 공식으로 대체할 수 있다.

A

와

B

는

A - B - 2\sqrt{3} = 0

이라는 대수 방정식으로도 관련되지만,

A

와

B

를 교환하면 참이 아니게 된다. 그러나 이 관계는 계수

-2\sqrt{3}

이 유리수가 아니기 때문에 고려하지 않는다.

따라서, 다항식

x^2 - 4x + 1

의 갈루아 군은 두 개의 순열, 즉

A

와

B

를 변경하지 않는 항등 순열과

A

와

B

를 교환하는 전치 순열로 구성된다. 두 개의 원소를 가진 모든 군은 동형이므로, 이 갈루아 군은 곱셈 군

\{1, -1\}

과 동형이다.

유사한 논의가

a

,

b

,

c

가 유리수인 모든 이차 다항식

ax^2 + bx + c

에 적용된다.

다항식이 유리수를 근으로 가지는 경우(예: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ 또는 $x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$ ), 갈루아 군은 항등 순열만 포함하는 자명군이다.
두 개의 무리수 근을 가지는 경우(예: $x^2 - 2$ ), 갈루아 군은 위 예시처럼 두 개의 순열을 포함한다.

6. 2. 비아벨 갈루아 군의 예

갈루아 군이 아벨 군이 아닌 가장 단순한 경우는 다음과 같다.

\theta^3=2

이며

\omega^3=1

이라고 하자. 그렇다면 갈루아 확대

\mathbb Q(\theta,\omega)

의 갈루아 군은 3차 대칭군과 동형이며, 다음과 같다.

:

\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\theta,\omega)/\mathbb Q)=\{1,f,f^2,g,gf,gf^2\}\cong\operatorname{Sym}(3)

이 경우, 두 생성원의 작용은 다음과 같다.

:

f\colon\theta\mapsto\omega\theta,\quad\omega\mapsto\omega

:

g\colon\theta\mapsto\theta,\quad\omega\mapsto\omega^2

이 경우, 부분 확대들의 격자와 갈루아 군의 부분군의 반대 격자는 다음과 같다.

:

여기서 갈루아 확대들은

\mathbb Q

,

\mathbb Q(\omega)

,

\mathbb Q(\theta,\omega)

이며, 이들은 갈루아 군의 정규 부분군에 대응한다. 나머지 확대들은 분해 가능 확대이지만 정규 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니며, 이에 대응하는 부분군들은 정규 부분군이 아닌 부분군이다.

다항식

x^4 - 10x^2 + 1

을 고려해 보자. 특이한 방법으로 제곱 완성을 하면, 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

(x^2-1)^2-8x^2 = (x^2-1-2x\sqrt2 )(x^2-1+2x\sqrt 2).

각 인수에 이차 방정식의 근의 공식을 적용하면, 네 개의 근은 다음과 같다.

:

\begin{align}A &= \sqrt{2} + \sqrt{3},\\B &= \sqrt{2} - \sqrt{3},\\C &= -\sqrt{2} + \sqrt{3},\\D &= -\sqrt{2} - \sqrt{3}.\end{align}

이 네 개의 근의 24가지 가능한 순열 중에서, 0개, 1개 또는 2개의 제곱근의 부호 변경으로 구성된 네 개는 특히 간단하다. 이들은 클라인 네 그룹과 동형인 그룹을 형성한다.

갈루아 이론에 따르면, 다항식이 기약다항식이므로 갈루아 군은 최소한 네 개의 원소를 갖는다. 갈루아 군이 이 네 개의 순열로 구성되어 있음을 증명하기 위해, 갈루아 군의 모든 원소가 A의 이미지에 의해 결정된다는 것을 보여주는 것으로 충분하며, 이는 다음과 같이 보일 수 있다.

갈루아 군의 구성원은 A, B, C 및 D를 포함하는 유리수 계수를 갖는 모든 대수 방정식을 보존해야 한다.

이러한 방정식 중에서, 우리는 다음을 갖는다.

:

\begin{align}AB&=-1 \\ AC&=1 \\ A+D&=0\end{align}

따라서, φ가 갈루아 군에 속하는 순열이면, 우리는 다음을 가져야 한다.

:

\begin{align}\varphi(B)&=\frac{-1}{\varphi(A)}, \\ \varphi(C)&=\frac{1}{\varphi(A)}, \\ \varphi(D)&=-\varphi(A).\end{align}

이는 순열이 A의 이미지에 의해 잘 정의되며, 갈루아 군이 4개의 원소를 갖는다는 것을 의미하며, 이들은 다음과 같다.

(A, B, C, D) → (A, B, C, D) (항등원)
(A, B, C, D) → (B, A, D, C) ( $\sqrt3$ 의 부호 변경)
(A, B, C, D) → (C, D, A, B) ( $\sqrt2$ 의 부호 변경)
(A, B, C, D) → (D, C, B, A) (두 제곱근의 부호 변경)

이는 갈루아 군이 클라인 네 그룹과 동형임을 의미한다.

참조

_[1] 문헌
_[2] 문헌
_[3] 서적 Galois' Theory of Algebraic Equations https://archive.org/[...] World Scientific
_[4] 문서
_[5] 서적 Elements of Abstract Algebra Courier
_[6] 서적 The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory Courier
_[7] 서적 Richard Dedekind 1831–1981; eine Würdigung zu seinem 150. Geburtstag http://www.gbv.de/dm[...] Vieweg
_[8] 서적 The Mathematical Writings of Évariste Galois European Mathematical Society
_[9] 웹사이트 Lecture Notes on Galois Theory https://www.math.ucd[...]
_[10] 서적 Modern Algebra
_[11] 서적 Polynomials Springer
_[12] 서적 Algebraic Number Theory https://books.google[...] Springer
_[13] 학술지 Œuvres mathématiques d'Évariste Galois http://gallica.bnf.f[...]
_[14] 서적 解説「ガロア理論」について
_[15] 서적
_[16] 서적
_[17] 서적

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