플라스틱 수

1. 개요

플라스틱 수는 3차 방정식 x³ - x - 1 = 0의 유일한 실수 해로, 약 1.324717957244746...으로 시작하는 값이다. 이 수는 피솟 수 중에서 가장 작은 수이며, 여러 대수 방정식의 해로도 나타난다. 플라스틱 수는 반 데어 란 수열의 극한 비율이며, 기하학적 활용, 특히 정사각형 분할과 플라스틱 나선과 관련이 있다. 네덜란드 수도사이자 건축가인 한스 반 데어 란이 정의했으며, 건축과 디자인에 적용되었다.

2. 정의

플라스틱 수는 3차 방정식 $x^3\; -\; x\; -\; 1\; =\; 0$의 유일한 실수 해이다. 소수점 전개는 1.324717957244746... (A060006)로 시작하며, 피솟 비자야라가브한 수(Pisot number) 중 가장 작은 수이다.

플라스틱 수는 반복 $x\; \backslash gets\; (2x^\{3\}+1)\; /(3x^\{2\}-1)$의 초안정 고정점이며, 반복 $x\; \backslash gets\; \backslash sqrt\{1\; +\backslash tfrac\{1\}\{x\}\}$는 연분수 제곱근 $\backslash rho\; =\backslash sqrt\{1\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash ddots\}\}\}\}\}\}$를 생성한다.

정의된 삼항식 $x^\{3\}\; -x\; -1$을 $x\; -\; \backslash rho$로 나누면 $x^\{2\}\; +\backslash rho\; x\; +1\; /\backslash rho$를 얻는다. $\backslash rho$의 켤레 원소는 $x\_\{1,2\}\; =\; \backslash frac12\backslash left(\; -\backslash rho\; \backslash pm\; i\; \backslash sqrt\{3\; \backslash rho^2\; -\; 4\}\; \backslash right)$이며, $x\_1\; +x\_2\; =-\backslash rho\; \backslash ;$ 및 $\backslash ;\; x\_1x\_2\; =1\; /\backslash rho.$이다.

2.1. 방정식의 해

플라스틱 수는 다음 대수 방정식의 실수 해이다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
x^5 &= x^4 + 1 \\
x^5 &= x^2 + x + 1 \\
x^6 &= x^2 + 2x + 1 \\
x^6 &= x^4 + x + 1 \\
x^7 &= 2x^5 - 1 \\
x^7 &= 2x^4 + 1 \\
x^8 &= x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \\
x^9 &= x^6 + x^4 + x^2 + x + 1 \\
x^{12} &= 2x^{10} - x^4 - 1 \\
x^{14} &= 4x^9 + 1
\end{align}

플라스틱 수는 피솟 비자야라가브한 수(Pisot number)이며, 피솟 수 중에서 가장 작은 수이기도 하다.

세 양수 a, b, c (a > b > c > 0)가 다음을 만족하면 플라스틱 수에 속한다.

:$\backslash frac\{a\}\{b\}\; =\; \backslash frac\{b+c\}\{a\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{c\}$

비율 a/b는 일반적으로 ρ로 표시된다. a = ρ 및 b = 1이라고 하면,

:$\backslash rho^\{2\}\; =1\; +c\; \backslash ,\backslash land\; \backslash ,\backslash rho\; =1\; /c$

$\backslash implies\backslash rho^\{2\}\; -1\; =\backslash rho^\{-1\}$

따라서 플라스틱 비율은 3차 방정식 ρ³ - ρ - 1 = 0의 유일한 실수 해로 찾아진다. 이 근의 소수점 전개는 1.324717957244746... (A060006)로 시작한다.

카르다노의 공식으로 방정식을 풀면,

:$w\_\{1,2\}\; =\; \backslash frac12\backslash left(\; 1\; \backslash pm\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{23\}\{3\}\}\; \backslash right)$
:$\backslash rho\; =\backslash sqrt[3]\{w\_1\}\; +\backslash sqrt[3]\{w\_2\}$

또는 쌍곡 코사인을 사용하여,

:$\backslash rho\; =\backslash frac\{2\}\{\; \backslash sqrt\{3\}\}\; \backslash cosh\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash operatorname\{arcosh\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{3\; \backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash right).$

ρ는 반복 x → (2x³ + 1) / (3x² - 1)의 초안정 고정점이다.

반복 x → √(1 + 1/x)는 다음과 같은 연분수 제곱근을 생성한다.

:$\backslash rho\; =\backslash sqrt\{1\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash ddots\}\}\}\}\}\}$

정의된 삼항식 x³ - x - 1을 x - ρ로 나누면 x² + ρx + 1/ρ를 얻고, ρ의 켤레 원소는

:$x\_\{1,2\}\; =\; \backslash frac12\backslash left(\; -\backslash rho\; \backslash pm\; i\; \backslash sqrt\{3\; \backslash rho^2\; -\; 4\}\; \backslash right),$

이며 x₁ + x₂ = -ρ 및 x₁x₂ = 1/ρ이다.

* 플라스틱 수는 피소-비자야라가반 수 중에서 가장 작은 수이다.
* 플라스틱 수의 제곱 ρ²는 x에 대한 방정식 (x - 1)² = 1/x을 만족하는 실수 해이다.
* ρ² = 1.754877666246692760049508896...
* 다음과 같은 다양한 표현이 알려져 있다.
* $\backslash rho\; =\backslash frac\{2\}\{\; \backslash sqrt\{3\}\}\; \backslash cosh\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash operatorname\{arcosh\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{3\; \backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash right)$
* $\backslash rho\; =\backslash sqrt\{1\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash ddots\}\}\}\}\}\}$
* $\backslash rho\; =\backslash sqrt[3]\{1\; +\backslash sqrt[3]\{1\; +\backslash sqrt[3]\{1\; +\backslash cdots\}\}\}$
* 자기 자신의 무한 기하급수로서 다음과 같은 표현이 가능하다.
* $\backslash rho\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash rho^\{-5n\}$
* $\backslash rho^2\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash rho^\{-3n\}$

2.2. 다른 표현

플라스틱 수는 피솟 비자야라가브한 수(피솟 수) 중에서 가장 작은 수이다.

플라스틱 수는 다음 대수 방정식의 실수 해이다.

플라스틱 수의 제곱 $\backslash rho^2$는 x에 대한 방정식 $(x-1)^2=\backslash frac\{1\}\{x\}$을 만족하는 실수 해이다.
:$\backslash rho^2\; =\; 1.754877666246692760049508896\backslash cdots$

플라스틱 수는 3차 방정식 $\backslash rho^\{3\}\; -\backslash rho\; -1\; =0.$의 유일한 실수 해로, 근의 소수점 전개는 $1.324\backslash ,717\backslash ,957\backslash ,244\backslash ,746...$ 로 시작한다.

카르다노의 공식으로 방정식을 풀면 다음과 같다.
:$w\_\{1,2\}\; =\; \backslash frac12\backslash left(\; 1\; \backslash pm\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{23\}\{3\}\}\; \backslash right)$
:$\backslash rho\; =\backslash sqrt[3]\{w\_1\}\; +\backslash sqrt[3]\{w\_2\}$

또한, 쌍곡 코사인을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
:$\backslash rho\; =\backslash frac\{2\}\{\; \backslash sqrt\{3\}\}\; \backslash cosh\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash operatorname\{arcosh\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{3\; \backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash right).$

이 외에도 다음과 같은 다양한 표현이 알려져 있다.
:$\backslash rho\; =\backslash sqrt\{1\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash ddots\}\}\}\}\}\}$
:$\backslash rho\; =\backslash sqrt[3]\{1\; +\backslash sqrt[3]\{1\; +\backslash sqrt[3]\{1\; +\backslash cdots\}\}\}$

자기 자신의 무한 기하급수로서 다음과 같은 표현도 가능하다.
:$\backslash rho\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash rho^\{-5n\}$ 및 $\backslash rho^2\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash rho^\{-3n\}$

3. 수학적 성질

플라스틱 수(ρ)는 황금비와 유사하게 형태수(form number)의 성질을 가지며, 무한 거듭제곱근 및 무한 등비급수로 표현될 수 있다. 또한, 특정 방정식의 해가 되며, 그 거듭제곱은 거의 정수에 가까워지는 특징을 가진다.

* 형태수: 플라스틱 수(ρ)와 황금비(φ)는 다음을 만족하는 유일한 형태수이다.
:$x\; +1\; =x^\{m\}$ 및 $x\; -1\; =x^\{-n\}$.
* 형태수는 측정 시스템의 기초로 사용될 수 있다. 플라스틱 수(ρ)의 속성(m=3 및 n=4)은 황금비(φ)의 속성(m=2 및 n=1)과 관련이 있다.

* 무한 거듭제곱근: 플라스틱 수는 다음의 무한 거듭제곱근을 만족한다.
:$\backslash rho\; =\backslash sqrt[3]\{1\; +\backslash sqrt[3]\{1\; +\backslash sqrt[3]\{1\; +\backslash cdots\}\}\}$

* 무한 등비 급수: 플라스틱 수는 무한 등비 급수로 자신을 표현할 수 있다.
:$\backslash rho\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash rho^\{-5n\}$ 및 $\backslash ,\backslash rho^2\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash rho^\{-3n\}$

* 점화식: 모든 정수 $n$에 대해 다음이 성립한다.
:$\backslash begin\{align\}$
\rho^{n} &=\rho^{n-2} +\rho^{n-3}\\
&=\rho^{n-1} +\rho^{n-5}\\
&=\rho^{n-3} +\rho^{n-4} +\rho^{n-5}.\end{align}

* 최소 다항식: 플라스틱 수의 최소 다항식 $m(x)\; =\; x^\{3\}-x-1$의 판별식은 $\backslash Delta=-23$이다.

* 데데킨트 에타 함수: 인수 $\backslash tau=(1\; +\backslash sqrt\{\backslash Delta\})/2\backslash ,$로 정의되는 수 K의 ring of integers에 대한 생성기가 있으면, 다음의 특수 값을 갖는 Dedekind eta 몫이 있다.
:$\backslash rho\; =\; \backslash frac\{\; e^\{\backslash pi\; i/24\}\backslash ,\backslash eta(\backslash tau)\}\{\; \backslash sqrt\{2\}\backslash ,\backslash eta(2\backslash tau)\}$.

* 베버 모듈러 함수: Weber-Ramanujan class invariant G_n으로 표현하면 다음과 같다.
:$\backslash rho\; =\; \backslash frac\{\; \backslash mathfrak\{f\}\; (\; \backslash sqrt\{\; \backslash Delta\}\; )\; \}\{\; \backslash sqrt\{2\}\; \}\; =\; \backslash frac\{\; G\_\{23\}\; \}\{\; \backslash sqrt[4]\{2\}\; \}$.

3.1. 켤레 원소

플라스틱 수는 아래 대수 방정식의 실수해이다.

:$x^5\; =\; x^4\; +\; 1$
:$x^5\; =\; x^2\; +\; x\; +\; 1$
:$x^6\; =\; x^2\; +\; 2x\; +\; 1$
:$x^6\; =\; x^4\; +\; x\; +\; 1$
:$x^7\; =\; 2x^5\; -\; 1$
:$x^7\; =\; 2x^4\; +\; 1$
:$x^8\; =\; x^4\; +\; x^3\; +\; x^2\; +\; x\; +\; 1$
:$x^9\; =\; x^6\; +\; x^4\; +\; x^2\; +\; x\; +\; 1$
:$x^\{12\}\; =\; 2x^\{10\}\; -\; x^4\; -\; 1$
:$x^\{14\}\; =\; 4x^9\; +\; 1$

플라스틱 수는 피솟 비자야라가브한 수(Pisot number, Pisot–Vijayaraghavan number)이며, 피솟 수 중에서 가장 작은 수이다.

3.2. 연분수 표현

플라스틱 수의 제곱 $\backslash rho^2$는 x에 대한 방정식 $(x-1)^2=\backslash frac\{1\}\{x\}$을 만족하는 실수 해이다.
:$\backslash rho^2\; =\; 1.754877666246692760049508896\backslash cdots$

플라스틱 수는 다음과 같이 다양하게 표현할 수 있다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\rho &=\frac{2}{ \sqrt{3}} \cosh \left( \frac{1}{3} \operatorname{arcosh} \left( \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right) \right) \\
&=\sqrt{1 +\cfrac{1}{\sqrt{1 +\cfrac{1}{\sqrt{1 +\cfrac{1}{\ddots}}}}}} \\
&=\sqrt[3]{1 +\sqrt[3]{1 +\sqrt[3]{1 +\cdots}}}
\end{align}

또한, 자기 자신의 무한 기하급수로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash rho\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash rho^\{-5n\}$ 및 $\backslash rho^2\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash rho^\{-3n\}$

3.3. 거의 정수

플라스틱 수는 피솟 비자야라가브한 수(Pisot number)이며, 피솟 수 중에서 가장 작은 수이기도 하다.

플라스틱 수는 다음 대수 방정식의 실수 해이다.

3.4. 모듈러 함수와의 관계

플라스틱 수는 피솟 비자야라가브한 수(피솟 수)이며, 피솟 수 중에서 가장 작은 수이다. 또한 플라스틱 수는 아래의 대수 방정식의 실수해이다.

4. 반 데어 란 수열

네덜란드 베네딕토 수도회 수도사이자 건축가인 돔 한스 반 데어 란은 두 크기 사이의 최소 차이와 최대 비율을 연구하여, 크기들이 서로 연관되어 있으면서도 뚜렷하게 인식될 수 있는 범위를 찾았다. 그의 관찰에 따르면, 그 답은 이며, 이는 단일 크기의 순서를 포괄한다. 그는 비례 연속성을 요구하며, 공비가 인 기하 급수의 8개 척도(크기의 유형)를 구성했다. 이를 유리수 형태로 표현하면, 이 건축적 척도 시스템은 그의 이름을 딴 숫자들의 부분 집합으로 구성된다.

4.1. 정의 및 성질

돔 한스 반 데어 란이 정의한 반 데어 란 수는 재귀 관계로 정의되는 수열이다. 이 수열은 다음과 같이 정의된다.

:$V\_\{n\}\; =V\_\{n-2\}\; +V\_\{n-3\}$ ($n\; >\; 2$ 일 때)

초깃값은 다음과 같다.

:$V\_\{1\}\; =0,\; V\_\{0\}\; =V\_\{2\}\; =1$

처음 몇 개의 항은 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86,... 이다. 연속된 항 사이의 극한 비율은 플라스틱 비율이다.

반 데어 란 수는 페린 수 및 파도반 수열과 밀접한 관련이 있다. 조합론에서 n을 2와 3의 부분으로 조합하는 경우의 수는 n번째 반 데어 란 수로 계산된다.

반 데어 란 수열의 생성 함수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{1\}\{1\; -x^\{2\}\; -x^\{3\}\}\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; V\_\{n\}x^\{n\}$ ( 일 때)

이 수열은 이항 계수의 합과 관련이 있다.

:$V\_\{n\}\; =\; \backslash sum\_\{k\; =\backslash lfloor\; (n\; +2)/3\; \backslash rfloor\}^\{\backslash lfloor\; n\; /2\; \backslash rfloor\}\{k\; \backslash choose\; n\; -2k\}$

재귀 관계의 특성 방정식은 $x^\{3\}\; -x\; -1=0$이다. 세 개의 해가 실수 근 와 켤레쌍 및 인 경우, 반 데어 란 수는 비네 공식을 사용하여 계산할 수 있다.

:$V\_\{n-1\}\; =a\; \backslash alpha^\{n\}\; +b\; \backslash beta^\{n\}\; +c\; \backslash gamma^\{n\}$

여기서 는 실수이고, $23x^\{3\}\; +x\; -1\; =\; 0$의 근인 켤레 및 가 있다.

이고 $\backslash alpha\; =\; \backslash rho$이므로, 수 은 $a\backslash ,\backslash rho^\{n+1\}$에 가장 가까운 정수이며, 이고 $a\; =\backslash rho\; /(3\; \backslash rho^\{2\}\; -1)\; =$ 0.3106288296404670777619027... 이다.

반 데어 란 수는 실수 고유값 를 갖는 행렬의 정수 거듭제곱 으로 얻어진다.

:

:

4.2. 생성 함수 및 다른 수열과의 관계

반 데어 란 수는 페린 수와 파도반 수열과 밀접하게 관련되어 있다. 조합론에서 n을 2와 3의 부분으로 조합하는 경우의 수는 n번째 반 데어 란 수로 계산된다.

반 데어 란 수열은 다음과 같은 3차 재귀 관계로 정의된다.
:$V\_\{n\}\; =V\_\{n-2\}\; +V\_\{n-3\}$ (단, n>2)

초깃값은 다음과 같다.
:$V\_\{1\}\; =0,\; V\_\{0\}\; =V\_\{2\}\; =1$.

처음 몇 개의 항은 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86,... 이다. 연속된 항 사이의 극한 비율은 플라스틱 비율이다.

V_n이 소수인 첫 14개의 지수 n은 n = 5, 6, 7, 9, 10, 16, 21, 32, 39, 86, 130, 471, 668, 1264 이다. 마지막 숫자는 154자리 십진수이다.

수열은 음수 지수로 확장될 수 있다.
:$V\_\{n\}\; =V\_\{n+3\}\; -V\_\{n+1\}$.

반 데어 란 수열의 생성 함수는 다음과 같다.
:$\backslash frac\{1\}\{1\; -x^\{2\}\; -x^\{3\}\}\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; V\_\{n\}x^\{n\}$ (단, )

이 수열은 이항 계수의 합과 관련이 있다.
:$V\_\{n\}\; =\; \backslash sum\_\{k\; =\backslash lfloor\; (n\; +2)/3\; \backslash rfloor\}^\{\backslash lfloor\; n\; /2\; \backslash rfloor\}\{k\; \backslash choose\; n\; -2k\}$.

재귀 관계의 특성 방정식은 $x^\{3\}\; -x\; -1=0$이다. 세 개의 해가 실수 근 $\backslash alpha$와 켤레쌍 $\backslash beta$ 및 $\backslash gamma$인 경우, 반 데어 란 수는 비네 공식을 사용하여 계산할 수 있다.
:$V\_\{n-1\}\; =a\; \backslash alpha^\{n\}\; +b\; \backslash beta^\{n\}\; +c\; \backslash gamma^\{n\}$, 여기서 a는 실수이고, b와 c는 $23x^\{3\}\; +x\; -1\; =\; 0$의 근인 켤레 복소수이다.
이고 $\backslash alpha\; =\; \backslash rho$이므로, 수 V_n은 $a\backslash ,\backslash rho^\{n+1\}$에 가장 가까운 정수이며, n > 1이고 $a\; =\backslash rho\; /(3\; \backslash rho^\{2\}\; -1)$이다.

계수 a = b = c = 1은 관련 수열 $P\_\{n\}\; =2V\_\{n\}\; +V\_\{n-3\}$에 대한 비네 공식을 생성한다.

처음 몇 개의 항은 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, 119,... 이다.

이 페린 수열은 페르마 속성을 갖는다. 즉, p가 소수이면 $P\_\{p\}\; \backslash equiv\; P\_\{1\}\; \backslash bmod\; p$이다. 그 역은 성립하지 않지만, 소수의 작은 숫자 $\backslash ,n\; \backslash mid\; P\_\{n\}$이 수열을 특별하게 만든다. 이 테스트를 통과하는 10⁸ 미만의 7개의 합성수는 n = 271441, 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291이다.

반 데어 란 수는 실수 고유값 $\backslash rho$를 갖는 행렬의 정수 거듭제곱(n>2)으로 얻어진다.
:

:

Qⁿ의 대각합은 페린 수를 제공한다.

또는, Q는 대응하는 대체 규칙을 갖는 D0L 린덴마이어 시스템에 대한 사건 행렬로 해석될 수 있다.
:$\backslash begin\{cases\}$
a \;\mapsto \;b\\
b \;\mapsto \;ac\\
c \;\mapsto \;a
\end{cases}
및 개시자 w₀=c. 대체를 반복하여 생성된 일련의 단어 w_n은 a, b, c의 개수가 연속적인 반 데어 란 수와 같다는 속성을 갖는다. 길이는 $l(w\_n)\; =V\_\{n+2\}.$이다.

이 문자열 재작성 과정과 관련된 것은 라우지 프랙탈이라고 하는 세 개의 겹치는 자기 유사 타일 집합으로, 여러 세대에 걸친 문자 시퀀스에 포함된 조합론적 정보를 시각화한다.

4.3. 행렬 표현

반 데어 란 수는 실수 고유값을 갖는 행렬의 정수 거듭제곱으로 얻어진다.

:

:

$Q^n$의 대각합은 페린 수를 제공한다.

또는, $Q$는 대응하는 대체 규칙을 갖는 D0L 린덴마이어 시스템에 대한 사건 행렬로 해석될 수 있다.

:$\backslash begin\{cases\}$
a \;\mapsto \;b\\
b \;\mapsto \;ac\\
c \;\mapsto \;a
\end{cases}

및 개시자 $w\_0\; =\; c$이다. 대체를 반복하여 생성된 일련의 단어 $w\_n$은 $c$, $b$와 $a$의 개수가 연속적인 반 데어 란 수와 같다는 속성을 갖는다. 길이는 $l(w\_n)\; =V\_\{n+2\}$이다.

이 문자열 재작성 과정과 관련된 것은 라우지 프랙탈이라고 하는 세 개의 겹치는 자기 유사 타일 집합으로, 여러 세대에 걸친 문자 시퀀스에 포함된 조합론적 정보를 시각화한다.

5. 기하학적 활용

플라스틱 수는 기하학적으로 활용된다. 특히 정사각형을 세 개의 닮은 직사각형으로 분할하는 방법과 관련이 깊다. 이와 관련된 자세한 내용은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

스너브 이십이십이면체의 단위 모서리 길이에 대한 외접반지름은 다음과 같다.
:$\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{\; \backslash frac\{2\; \backslash rho\; -1\}\{\backslash rho\; -1\}\}$.

5.1. 정사각형 분할

정사각형을 세 개의 닮은 직사각형으로 분할하는 방법은 정확히 세 가지가 있다.

세 번째 경우, 가장 큰 직사각형의 내부 긴 모서리(정사각형의 단층선)는 정사각형의 네 모서리 중 두 모서리를 각각 비율 ρ로 서로 나누는 두 개의 선분으로 나눈다. 중간 직사각형의 내부, 일치하는 짧은 모서리와 작은 직사각형의 긴 모서리는 정사각형의 다른 두 모서리 중 하나를 비율 ρ⁴로 서로 나누는 두 개의 선분으로 나눈다.

종횡비가 ρ²인 직사각형을 정사각형을 닮은 직사각형으로 분할하는 데 사용할 수 있다는 사실은 라우스-휘르비츠 정리와 관련된 수 ρ²의 대수적 속성과 동일하다. 모든 켤레 복소수는 양의 실수부를 갖는다.

5.2. 로-제곱 사각형

종횡비가 ρ²인 직사각형을 로-제곱 사각형이라고 부른다. 여기서 ρ는 플라스틱 수이다.

정사각형을 세 개의 닮은 직사각형으로 분할하는 방법은 정확히 세 가지가 있다.
# 3:1 종횡비를 가진 세 개의 합동 직사각형으로 이루어진 자명한 해.
# 세 개의 직사각형 중 두 개가 합동이고 나머지 하나는 다른 두 개의 두 배의 변 길이를 가지는 해로, 직사각형의 종횡비는 3:2이다.
# 세 개의 직사각형이 모두 다른 크기를 가지며 종횡비가 ρ²인 해. 세 직사각형의 선형 크기 비율은 ρ (큰 것:중간 것), ρ² (중간 것:작은 것), ρ³ (큰 것:작은 것)이다. 가장 큰 직사각형의 내부 긴 모서리(정사각형의 단층선)는 정사각형의 네 모서리 중 두 모서리를 각각 비율 ρ로 서로 나누는 두 개의 선분으로 나눈다. 중간 직사각형의 내부, 일치하는 짧은 모서리와 작은 직사각형의 긴 모서리는 정사각형의 다른 두 모서리 중 하나를 비율 ρ⁴로 서로 나누는 두 개의 선분으로 나눈다.

종횡비가 ρ²인 직사각형을 정사각형을 닮은 직사각형으로 분할하는 데 사용할 수 있다는 사실은 라우스-휘르비츠 정리와 관련된 수 ρ²의 대수적 속성과 동일하다. 즉, 모든 켤레 복소수는 양의 실수부를 갖는다.

높이 1, 길이 ρ², 대각선 길이 $\backslash sqrt\{\backslash rho^\{5\}\}$인 사각형이 주어졌을 때 ($1+\backslash rho^4\; =\backslash rho^5$에 따라), 대각선 상의 삼각형은 높이 $1\; /\backslash sqrt\{\backslash rho\}\backslash ,;$을 가지며, 각 수직 발은 대각선을 $\backslash rho^4$의 비율로 나눈다.

왼쪽에서 변의 길이가 1인 정사각형을 잘라내고 떨어지는 대각선과의 교차점을 표시하면, 남은 사각형은 종횡비 ρ:1을 갖는다($\backslash rho^2\; -1\; =\backslash rho^\{-1\}$에 따라). 두 번째 수평 절단을 교차점을 통과시켜 원래 사각형을 네 부분으로 나눈다.

부모 로-제곱 사각형과 대각선을 따라 있는 두 개의 축소된 사본은 $\backslash rho^\{3\}:\backslash rho:1$의 비율로 선형 크기를 갖는다. 대각선 반대쪽 사각형의 면적은 모두 $1\; /\backslash rho^3$과 같으며, 종횡비는 각각 ρ³ (아래) 및 ρ (위)이다.

다이어그램이 높이의 발을 통과하는 수직선에 의해 더 세분화되면, 대각선과 (지금까지) 7개의 별개의 부분의 길이는 $\backslash rho^6:\backslash rho^5:\backslash rho^4:\backslash rho^\{2\}\; +1:$ $\backslash ,\; \backslash rho^3:\backslash rho^2:\backslash rho:1,$의 비율을 가지며, 여기서 $\backslash rho^2\; +1$은 두 발 사이의 범위를 나타낸다.

대각선 길이가 $1\; /\backslash rho^2$ 비율인 중첩된 로-제곱 사각형은 교차점으로부터 거리 $t\; =\backslash sqrt\{\backslash rho\}\; /(\backslash rho^2\; +1)\; =0.41779130...$에서 수렴한다. 이것은 구간 [−1,1]에서 3차 라그랑주 보간법을 최적화하는 고유한 양의 노드와 같다. 최적 노드 집합 {−1,−t, t, 1}에서 르베그 함수 $\backslash lambda\_3(x)$는 임계점 $x\_c\; =\backslash rho^\{2\}\; t.$에서 최소 3차 르베그 상수 $\backslash Lambda\_3(T)$로 평가된다. $t\; +\backslash rho^\{2\}\; t\; =\backslash sqrt\{\backslash rho\}$이므로, 이것은 또한 수렴 지점에서 왼쪽 상단 꼭짓점까지의 거리이다.

5.3. 플라스틱 나선

플라스틱 나선은 4분의 1 회전마다 의 인수로 넓어지는 로그 나선이다. 이는 극좌표 방정식 r(θ) = a exp(kθ)^영어로 설명되며, 초기 반경은 이고, 매개변수는 이다. 변의 비율이 인 직사각형 위에 그려지면, 나선은 대각선 상의 삼각형의 고도 발치에 극점을 가지고, 의 종횡비를 가진 직사각형의 꼭짓점을 통과하며, 직각으로 정렬되고, 요인 에 의해 연속적으로 스케일링된다.

1838년 헨리 모즐리는 앵무조개 껍질의 소용돌이가 기하 급수적으로 진행한다는 것을 발견했다. 그는 "반경 벡터에서 측정된 임의의 두 소용돌이의 거리는 같은 반경 벡터에서 측정된 다음 두 소용돌이의 거리의 3분의 1이다"라고 언급하며, 곡선이 로그 나선임을 밝혔다. 모즐리는 4분의 1 회전에 대한 팽창 속도를 로 제시했다.

플라스틱 비율은 흔히 황금비의 3차원적인 등가물로 여겨지므로, 앵무조개 껍질을 측정하는 자연스러운 후보가 된다.

6. 역사

ρ^그리스어는 1912년 악셀 튜에에 의해 처음 연구되었고, 1919년에는 G. H. 하디에 의해 연구되었다. 1924년 프랑스 고등학생 Gérard Cordonnier^프랑스어는 이 비율을 독자적으로 발견했다. 몇 년 후 한스 판 데어 란과의 서신에서 그는 이것을 복사 수()라고 불렀다. 판 데어 란은 처음에는 그것을 기본 비율()이라고 불렀고, 1950년대부터 플라스틱 수()를 사용했다. 1944년 카를 지겔은 ρ^그리스어가 가능한 가장 작은 피소-비자야라가반 수임을 보였고, 튜에를 기리기 위해 이름을 지을 것을 제안했다.

황금비와 은비의 이름과는 달리, 판 데어 란은 플라스틱이라는 단어를 특정 물질을 지칭하기보다는 형용사적인 의미로, 즉 3차원 형태로 만들 수 있는 무언가를 의미하는 데 사용했다. 리처드 파도반에 따르면, 숫자 3/4와 1/7의 특성 비율이 인간이 하나의 물리적 크기를 다른 크기와 연관시키는 데 있어서의 지각 한계와 관련되기 때문이다. 판 데어 란은 이 플라스틱 수의 비율에 맞춰 1967년 성 베네딕투스베르크 수도원 교회를 설계했다.

플라스틱 수는 때때로 미드하트 J. 가잘레가 붙인 이름인 은수라고도 불리며, 이후 마틴 가드너가 사용했지만, 그 이름은 일반적으로 금속비의 한 종류인 은비 (1 + √2)에 더 많이 사용되며, 이는 베라 W. 데 스피나델에 의해 처음 기술되었다. 가드너는 를 "하이 파이"라고 부를 것을 제안했으며, 도널드 커누스는 이 이름을 위해 특별한 타이포그래피 기호를 만들었는데, 이는 그리스 문자 파이("φ")의 변형으로, 가운데 원이 위로 올라가 있어 조지아 문자 파리("Ⴔ")와 유사하다.