대수 (환론)

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 엄밀한 정의 (일본어 위키백과 참고)
3. 결합 대수
4. 예시
- 4.1. 결합 대수
- 4.2. 비결합 대수
참조

1. 개요

대수 (환론)는 가환 유사환 R 위의 대수 구조로, R의 가군이며 쌍선형 이항 연산을 갖는다. 결합 법칙을 만족하면 결합 대수, 교환 법칙을 만족하면 가환 대수라고 한다. 결합 대수는 환의 개념을 일반화한 것이며, 호프 대수, 행렬 대수, 사원수 대수, 클리퍼드 대수 등이 있다. 팔원수, 십육원수, 리 대수는 결합 법칙을 따르지 않으며, 요르단 대수는 비결합 가환대수이다.

더 읽어볼만한 페이지

대수 - 미분 등급 대수
미분 등급 대수는 체 위의 등급 대수와 미분의 순서쌍으로, 대수적 위상수학 및 호모토피 이론에서 활용되며, 등급 대수에 차수, 라이프니츠 규칙, 멱영성을 만족하는 미분을 추가하여 정의됩니다.
대수 - C* 대수
C* 대수는 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조를 결합한 복소수 벡터 공간으로, 겔판트-나이마르크 정리에 따라 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 선형 연산자 대수로 표현될 수 있으며, 함수해석학, 수리물리학, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용된다.

대수 (환론)
개요
분야	환론
하위 분야	대수학
관련 개념	환 가군 대수 텐서곱 결합 법칙 단위원을 갖는 가환환 나눗셈환 정역 체 준동형 사상 아이디얼 몫환 자유 가군 기저 차원 표수 다항식환 멱급수환
정의
정의	환 위의 가군과 환 준동형 사상의 짝으로 정의된다.
조건	가군은 환의 작용을 받는다. 환 준동형 사상은 환의 곱셈을 가군의 작용으로 변환한다.
예시
예시	행렬환 군환 다항식환 클리포드 대수 보편 包絡代數
성질
성질	환 위의 가군과 환 준동형 사상에 따라 다양한 성질을 갖는다.
역사
역사	환론과 대수학의 발전과 함께 연구되었다.
활용
활용	다양한 대수적 구조 연구에 활용된다.

2. 정의

가환 유사환 ''R'' 위의 대수는 가군과 쌍선형 이항 연산의 성질을 만족시키는 대수 구조이다. 결합 법칙을 만족시키는 대수는 결합 대수(associative algebra^영어), 교환 법칙을 만족시키는 대수는 가환 대수(commutative algebra^영어)라고 한다.

2. 1. 엄밀한 정의 (일본어 위키백과 참고)

가환 유사환 R 위의 대수

(A,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)

는 다음 공리들을 만족시키는 대수 구조이다.

$(A,+,\{r\cdot\}_{r\in R})$ 는 R의 가군이다.
$*\colon A\times A\to A$ 는 쌍선형 이항 연산이다.
* (분배 법칙) 임의의 $a,b,c,d\in A$ 에 대하여, $(a+b)*(c+d)=a*c+a*d+b*c+b*d$
* 임의의 $r\in R$ 및 $a,b\in A$ 에 대하여, $r\cdot(a*b)=(r\cdot a)*b=a*(r\cdot b)$

결합 법칙을 만족시키는 대수를 '''결합 대수'''(associative algebra^영어), 교환 법칙을 만족시키는 대수를 '''가환 대수'''(commutative algebra^영어)라고 한다.

R을 가환환으로 할 때, R 위의 '''가환 대수'''(R-algebra)란, R-가군 A에 A의 곱셈이라고 불리는 쌍선형 이항 연산

:

[\bullet,\,\bull]\colon A\times A\to A

을 갖춘 것이다. 즉, A의 곱셈은 임의의 스칼라 a, b ∈ R과 임의의 원소 x, y, z ∈ A에 대해

쌍선형성: $[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]$

를 만족한다.

3. 결합 대수

다원환 ''A''가 ''A''의 곱셈에 관해 (단위적) 반군을 이루는, 즉 곱셈이 결합 법칙을 만족하고 단위원을 갖는다면, ''R''-다원환 ''A''는 ''R''-결합 다원환이라고 한다. 결합 다원환은 그 자체가 (환 위의) 환을 이루며, 환의 개념을 일반화한 것이다. ''R'' 위의 결합 다원환은 환 준동형 ''f'': ''R'' → ''A''가 존재하고 ''f''의 상이 ''A''의 중심에 포함되는 환 ''A''로 정의할 수도 있다.

4. 예시

대수는 크게 결합 대수와 비결합 대수로 나뉜다.

결합 대수: 호프 대수, 환에 대한 행렬 대수, 사원수 대수, 클리퍼드 대수 등이 있다.
비결합 대수: 팔원수와 십육원수, 리 대수, 요르단 대수 등이 있다. 리 대수는 결합 법칙을 따르지 않지만 야코비 항등식을 따르며, 리 대수의 보편 포락 대수는 결합 법칙을 따른다. 요르단 대수는 비결합 가환대수이다.

4. 1. 결합 대수

결합 대수는 곱셈에 대해 단위적 반군을 이루는 환이다. 즉, 곱셈이 결합적이고 단위원을 갖는 환이다. 이는 환의 개념을 일반화한 것이다. 환 준동형 ''f'': ''R'' → ''A''가 존재하고 ''f''의 상이 ''A''의 중심에 포함되는 환 ''A''로 정의할 수도 있다.

비교적 자주 접하는 결합 대수는 다음이 있다.

호프 대수
환에 대한 행렬 대수
사원수 대수
클리퍼드 대수

4. 2. 비결합 대수

리 대수는 결합 법칙을 따르지 않지만, 야코비 항등식이라는 법칙을 따른다. 리 대수의 보편 포락 대수는 결합 법칙을 따른다. 팔원수와 십육원수는 리 대수에 해당한다. 요르단 대수는 비결합 가환대수다.

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com