디오판토스
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1. 개요
디오판토스는 200년/214년에서 284년/298년 사이에 로마 시대 이집트의 알렉산드리아에서 활동한 그리스 수학자이다. 그는 고대 그리스 수학의 대수학 저서인 《산술》의 저자로, 결정 방정식과 부정 방정식의 수치 해를 제시했다. 《산술》은 13권으로 구성되었으나 현재 6권만 남아 있으며, 페르마의 마지막 정리에 영감을 주기도 했다. 디오판토스는 대수학에서 미지수를 문자로 사용하는 등 수학적 표기법에 기여했으며, "대수학의 아버지"로 불린다.
디오판토스는 그리스 가문에서 태어났으며, 서기 200년에서 214년에서 284년 또는 298년 사이에 로마 시대의 알렉산드리아에 살았던 것으로 알려져 있다.[6][8][9] 디오판토스의 삶에 대한 대부분의 지식은 5세기의 그리스어 선집인 메트로도로스가 만든 수수께끼와 퍼즐에서 파생되었다. 그의 묘비라고 불리는 문제 중 하나는 다음과 같다.
《산술》(Arithmetica)은 디오판토스의 주요 저작이자, 고대 그리스 수학에서 가장 뛰어난 대수학 저서이다. 원래 13권으로 구성되었으나, 현재는 그리스어판 6권과 1968년에 발견된 아랍어판 4권이 남아있다.[14]
디오판토스는 정수론에 큰 공헌을 했으며, 대수학에서 미지수를 문자로 쓰기 시작했다. '디오판토스 해석'이라는 일종의 부정방정식 해법을 연구하고 《산술》 13권에서는 수사, 미지수, 계산 기호 등을 사용하여 대수식을 만들었다.[14]
2. 생애
"여기 경이로운 디오판토스가 잠들다. 대수학적 기술을 통해 돌은 그의 나이를 말해준다. '신은 그에게 인생의 6분의 1을 소년 시절로 주셨고, 12분의 1은 청년 시절로, 수염이 무성하게 자랄 때였다. 그리고 결혼하기 전 7분의 1을 더하였고, 5년 후에는 귀여운 아들이 태어났다. 아아, 스승이자 현자의 사랑스러운 아이는 아버지의 삶의 절반에 도달한 후에 차가운 운명이 그를 데려갔다. 그의 운명을 숫자의 과학으로 위로한 후 4년 만에 그는 삶을 마쳤다.'"[12][13]
이 퍼즐은 디오판토스의 나이 x를 다음과 같은 일차 방정식으로 표현할 수 있음을 암시한다.
: x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
이것을 풀면 x의 값은 84세가 된다. 그러나 이 정보의 정확성은 확인할 수 없다.
"디오판토스의 묘비명"으로 알려진 이 문제는 그리스 시가집에 수록되어 있다.
3. 《산술(Arithmetica)》
헤르만 행켈은 디오판토스에 대해 "우리 저자(디오판토스)는 일반적이고 포괄적인 방법의 흔적을 전혀 찾아볼 수 없다. 각 문제는 가장 밀접하게 관련된 문제에도 적용될 수 없는 특별한 방법을 요구한다. 이러한 이유로 현대 학자는 디오판토스의 100가지 해법을 연구한 후에도 101번째 문제를 풀기가 어렵다."라고 언급했다.[15]
디오판토스는 정수론에 공헌이 컸으며, 대수학에서 미지수를 문자로 쓰기 시작했다. 디오판토스 해석이라는 일종의 부정방정식 해법을 연구하고《산수론》13권에서는 수사, 미지수, 계산 기호 등을 사용하여 대수식을 만들었다. 1차·2차 방정식 또는 연립 방정식에 대한 문제와 해법이 다루어져 있으며, 부정 방정식 중 ‘주어진 제곱수를 2개의 제곱 수로 나누어라’하는 문제는 후에 페르마에게 큰 영향을 주어 페르마의 마지막 정리의 기초가 되었다.
3. 1. 역사
다른 많은 그리스 수학 논문과 마찬가지로, 디오판토스는 암흑 시대 동안 서유럽에서 잊혀졌다. 고대 그리스 연구와 전반적인 문해력이 크게 감소했기 때문이다. 그러나 살아남은 그리스어 ''산술''의 일부는, 고대 그리스 텍스트가 초기 근대 세계로 전해진 것처럼, 중세 비잔틴 학자들에 의해 필사되었고, 따라서 그들에게 알려졌다. 비잔틴 그리스 학자 요안니스 코르타스메노스 (1370–1437)의 디오판토스 주석은 초기 그리스 학자 막시모스 플라누데스 (1260 – 1305)가 작성한 포괄적인 해설과 함께 보존되어 있는데, 플라누데스는 비잔틴 콘스탄티노폴리스의 초라 수도원 도서관에서 디오판토스 판을 만들었다.[16] 또한, ''산술''의 일부는 아랍 전통에서 살아남았을 가능성이 있다. 1463년 독일 수학자 레기오몬타누스는 다음과 같이 썼다.
> 아직 아무도 디오판토스의 13권의 책을 그리스어에서 라틴어로 번역하지 않았다. 그 책들에는 산술 전체의 정수가 숨겨져 있다.
''산술''은 1570년 봄벨리에 의해 처음으로 그리스어에서 라틴어로 번역되었지만, 그 번역은 출판되지 않았다. 그러나 봄벨리는 자신의 저서 ''대수학''에 많은 문제를 차용했다. ''산술''의 초판본은 1575년 쉴란더에 의해 출판되었다. 1621년 바셰의 라틴어 번역본은 널리 이용 가능한 최초의 라틴어판이 되었다. 피에르 드 페르마는 이 책을 소유하고 연구했으며 여백에 메모를 남겼다. 이후 1895년 폴 타네리의 라틴어 번역본은 토마스 L. 히스에 의해 개선되었다고 전해지는데, 히스는 1910년 자신의 영어 번역본 2판에 이 번역본을 사용했다.
페르마가 페르마의 마지막 정리를 포함하여 여백에 필기를 한 것은 1621년에 간행된 바셰의 라틴어판 『산술』이다. 페르마의 필기가 알려지게 된 것은 1670년에 페르마의 아들 사뮤엘이 필기를 추가한 『산술』을 출판한 이후부터이다.
3. 2. 페르마의 마지막 정리와의 관계
클로드 바셰 드 메지리악이 1621년에 편집한 《산술》은 피에르 드 페르마가 자신의 책 여백에 "마지막 정리"를 적으면서 유명해졌다.
: "정수 n영어이 2보다 크면, a = c}}은 0이 아닌 정수 a영어, b영어, c영어에서 해를 갖지 않는다. 나는 이 명제에 대한 정말 놀라운 증명을 가지고 있지만, 이 여백은 그것을 담기에 너무 좁다."
페르마의 증명은 발견되지 않았고, 이 정리에 대한 증명을 찾는 문제는 수세기 동안 풀리지 않았다. 1994년 앤드루 와일스가 7년 동안 연구한 끝에 마침내 증명이 발견되었다. 페르마는 실제로 자신이 가지고 있다고 주장한 증명을 갖고 있지 않았을 것으로 여겨진다.[16] 페르마가 이 내용을 적었던 원본은 오늘날 분실되었지만, 페르마의 아들이 1670년에 출판된 디오판토스의 다음 판을 편집했다. 비록 텍스트는 1621년 판보다 열등하지만, "마지막 정리"를 포함한 페르마의 주석은 이 판에 인쇄되었다.
페르마가 페르마의 마지막 정리를 포함하여 여백에 필기를 한 것은 1621년에 간행된 바셰의 라틴어판 『산술』이다. 페르마의 필기가 알려지게 된 것은 1670년에 페르마의 아들 사뮤엘이 필기를 추가한 『산술』을 출판한 이후부터이다.
3. 3. 디오판토스의 묘비명
다음은 디오판토스의 묘비명으로 알려진 문제이다.[6][8][9]
: 여기 경이로운 디오판토스가 잠들다. 대수학적 기술을 통해 돌은 그의 나이를 말해준다. '신은 그에게 인생의 6분의 1을 소년 시절로 주셨고, 12분의 1은 청년 시절로, 수염이 무성하게 자랄 때였다. 그리고 결혼하기 전 7분의 1을 더하였고, 5년 후에는 귀여운 아들이 태어났다. 아아, 스승이자 현자의 사랑스러운 아이는 아버지의 삶의 절반에 도달한 후에 차가운 운명이 그를 데려갔다. 그의 운명을 숫자의 과학으로 위로한 후 4년 만에 그는 삶을 마쳤다.'
이 문제는 일차 방정식을 통해 풀 수 있으며, 84세라는 해를 얻을 수 있다. 이 묘비명은 『그리스 시가집』에 수록되어 있다.
4. 업적
1차·2차 방정식 또는 연립 방정식에 대한 문제와 해법이 다루어져 있으며, 부정 방정식 중 ‘주어진 제곱수를 2개의 제곱 수로 나누어라’하는 문제는 후에 페르마에게 큰 영향을 주어 페르마의 마지막 정리의 기초가 되었다.
''산술''(Arithmetica)은 디오판토스의 주요 저작이자, 고대 그리스 수학에서 가장 뛰어난 대수학 저서이다. 이 책은 결정 방정식과 부정 방정식 모두의 수치 해를 제공하는 문제들을 모아 놓은 것이다. 원래 ''산술''은 13권으로 구성되었지만, 현재는 6권만 남아 있으며, 1968년에 발견된 4권의 아랍어 책 또한 디오판토스의 저작이라고 믿는 사람들도 있다.[14]
디오판토스의 저작은 16세기 말부터 17, 18세기에 걸쳐 유럽의 대수학 발전에 큰 영향을 미쳤으며, 아랍 수학에도 영향을 미쳐 아랍 수학자들 사이에서 큰 명성을 얻었다. 또한 그의 저작은 대수학 연구의 기초를 마련했다.[20]
디오판토스는 "대수학의 아버지"로 여겨져 왔지만, 알콰리즈미 역시 "대수학의 아버지"라는 칭호를 받았기 때문에 이는 논쟁의 대상이 된다.[2]
이집트 알렉산드리아에 살았다는 것 외에는 그의 인물에 대한 상세 정보는 불명확하다. 그가 저술한 13권에 달하는 『산술(Arithmetica)』이 유명하며, 현존하는 이 책의 그리스어판은 6권, 아랍어판은 4권 분량이다. 다각수에 관한 저서도 있다.
페르마가 페르마의 마지막 정리를 포함하여 여백에 필기를 한 것은 1621년에 간행된 바셰의 라틴어판 『산술』이다. 페르마의 필기가 알려지게 된 것은 1670년에 페르마의 아들 사뮤엘이 필기를 추가한 『산술』을 출판한 이후부터이다.
디오판토스는 수론 분야에 큰 영향을 미쳤다. 그는 해를 개별적인 숫자를 사용한 예로 제시했지만, 개별 숫자에 얽매이지 않고 문제를 더 일반적인 시각에서 연구했다.
4. 1. 디오판토스 방정식
오늘날 디오판토스 분석은 방정식의 정수(전체 숫자) 해를 찾는 연구 분야이며, 디오판토스 방정식은 정수 계수를 가지고 정수 해만 찾는 다항 방정식이다.[22] 주어진 디오판토스 방정식의 해가 존재하는지 여부를 판단하는 것은 대개 매우 어렵다.[22] 디오판토스가 푼 방정식 중 가장 잘 알려진 것은 피타고라스 정리에서 파생된 것이다. ''a''2 + ''b''2 = ''c''2를 만족하는 정수 쌍 ''a'', ''b'', ''c''를 피타고라스 수라고 하는데, 디오판토스는 가능한 모든 해를 찾아냈다.[22] 그가 제시한 방법은 임의의 정수 두 쌍에 대해, 그 제곱의 차, 그들의 곱의 2배, 그 제곱의 합을 구하는 것이다. 얻어진 세 개의 수는 항상 피타고라스 수가 된다.[22]
4. 2. 수학적 표기법
디오판토스는 대수학에서 미지수를 문자로 사용하기 시작했다. 그는 정수론에 큰 공헌을 했으며, '디오판토스 해석'이라는 부정방정식 해법을 연구했다. 《산술》 13권에서는 수사, 미지수 계산 기호 등을 사용하여 대수식을 만들었다.[14]
디오판토스는 수학적 표기법에서 중요한 발전을 이루어, 대수적 표기법과 기호를 사용한 최초의 인물로 알려져 있다. 그 이전에는 모든 사람이 방정식을 완전히 풀어썼다. 디오판토스는 자주 등장하는 연산을 위한 축약된 표기법, 미지수 및 미지수의 거듭제곱을 위한 약어를 사용한 대수적 기호를 도입했다. 수학 역사학자 쿠르트 보겔은 다음과 같이 말한다:[21]
> 디오판토스가 최초로 도입했고 의심할 여지 없이 직접 고안한 기호는 방정식을 표현하는 짧고 이해하기 쉬운 수단을 제공했다... '같음'이라는 단어에도 약어가 사용되었기 때문에, 디오판토스는 언어적 대수에서 기호적 대수로의 근본적인 발걸음을 내디뎠다.
하지만 디오판토스는 기호법에서 중요한 발전을 이루었지만, 더 일반적인 방법을 표현하는 데 필요한 표기법이 부족했다. 이로 인해 그의 작업은 일반적인 상황보다는 특정한 문제에 더 많이 관여하게 되었다. 디오판토스의 표기법의 몇 가지 한계는 단 하나의 미지수에 대해서만 표기법을 가지고 있었고, 문제가 단일 미지수 이상을 포함하는 경우, 디오판토스는 "첫 번째 미지수", "두 번째 미지수" 등을 말로 표현해야 했다. 또한 그는 일반적인 숫자에 대한 기호가 없었다.
5. 기타 저작
디오판토스는 《산술》 외에도 여러 권의 책을 저술했지만, 그 중 몇 권만이 전해지고 있다.
디오판토스는 보조정리 모음집인 ''The Porisms''(또는 ''Porismata'')이라는 저서를 언급했지만, 이 책은 완전히 유실되었다.[17]
''The Porisms''는 유실되었지만, 디오판토스가 ''산술''에서 언급했기에, 그 안에 포함된 세 개의 보조정리를 알고 있다. 한 보조정리는 두 유리수의 세제곱의 차가 다른 두 유리수의 세제곱의 합과 같다는 것이다.
디오판토스는 또한 피타고라스와 피타고라스 학파에게 매우 큰 관심사였던 다각수에 관해서도 저술한 것으로 알려져 있는데, 다각수를 다룬 책의 파편이 남아 있다.[18]
''기하학 원론 예비 지식''이라는 책은 전통적으로 알렉산드리아의 헤론에게 귀속되어 왔다. 최근 윌버 크노르는 이 책을 연구하여 헤론에게 귀속된 것이 잘못되었으며, 실제 저자는 디오판토스라고 주장했다.[19]
6. 영향
디오판토스의 저작은 역사에 큰 영향을 미쳤다. 특히 그의 저서 《산술》은 16세기 말부터 17, 18세기에 걸쳐 유럽의 대수학 발전에 심오한 영향을 미쳤다. 바셰가 1621년에 간행한 라틴어판 『산술』은 페르마가 페르마의 마지막 정리를 포함하여 여백에 필기를 한 것으로 유명하다. 페르마의 필기는 1670년 그의 아들 사뮤엘이 필기를 추가한 『산술』을 출판하면서 알려지게 되었다.[22]
디오판토스와 그의 저작은 아랍 수학에도 영향을 미쳤으며, 아랍 수학자들 사이에서 큰 명성을 얻었다. 디오판토스의 저작은 대수학 연구의 기초를 마련했으며, 실제로 고급 수학의 많은 부분이 대수학에 기반을 두고 있다.[20] 그가 인도에 얼마나 영향을 미쳤는지는 논쟁의 대상이다.
디오판토스는 수론, 수학적 표기법에 기여하고 저서 『산술』에서 축약 표기법을 최초로 사용한 것으로 알려져 "대수학의 아버지"로 여겨져 왔다.[2] 그러나 알콰리즈미 역시 "대수학의 아버지"라는 칭호를 받았기 때문에 이는 논쟁의 대상이 되기도 한다. 그럼에도 두 수학자 모두 오늘날의 대수학 발전에 기여했다.
참조
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문서
Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς
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서적
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2015
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논문
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논문
Almost Equal: The Method of [[Adequality]] from Diophantus to Fermat and Beyond
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[7]
서적
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[8]
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서적
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문서
Diophantus of Alexandria: a Text and its History
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웹사이트
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https://www.britanni[...]
2022-08-23
[21]
웹사이트
"Diophantus of Alexandria."
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Complete Dictionary of Scientific Biography
[22]
서적
イアン・スチュアートの数学物語 無限をつかむ
近代科学社
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