다각수

1. 개요

다각수는 정수 m(m≥3)과 n에 대해 정의되는 수로, n번째 m각수는 Pol(m;n)으로 표기된다. 다각수는 삼각수, 정사각수, 오각수, 육각수 등으로 분류되며, 각 수는 특정 도형의 형태로 배열될 수 있는 점의 개수를 나타낸다. 다각수는 특정 공식을 통해 계산되며, 다른 다각수와의 관계, 점화식, 생성 함수 등을 갖는다. 페르마 다각수 정리는 모든 자연수가 m개의 m각수의 합으로 나타낼 수 있다는 것을 의미한다. 다각수는 펠 방정식과 관련되어 특정 다각수 집합에 모두 속하는 수를 찾는 문제로 이어진다.

2. 정의

자연수 $m\backslash ge\; 3$ 및 $n$이 주어졌을 때, $n$번째 $m$각수($m$角數, $m$-gonal number^영어) $\backslash operatorname\{Pol\}(m;n)$은 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash operatorname\{Pol\}(m;n)=\backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}(1+(m-2)k)=\backslash frac\{n((m-2)n-(m-4))\}2$

특히,
* $\backslash operatorname\{Pol\}(3;n)=n(n+1)/2$를 삼각수라고 한다.
* $\backslash operatorname\{Pol\}(4;n)=n^2$를 정사각수라고 한다.
* $\backslash operatorname\{Pol\}(5;n)=n(3n-1)/2$를 오각수라고 한다.
* $\backslash operatorname\{Pol\}(6;n)=n(2n-1)$를 육각수라고 한다.

예를 들어 숫자 10은 삼각수로 배열될 수 있지만, 정사각형으로 배열될 수 없다. 반면에 숫자 9는 정사각수로 배열될 수 있다. 36과 같은 일부 숫자는 정사각형과 삼각형 모두로 배열될 수 있다. (제곱 삼각수 참조).

만약 $s$가 다각형의 변의 수라면, $n$번째 $s$-각수 $P(s,n)$를 구하는 공식은 다음과 같다.
:$P(s,n)\; =\; \backslash frac\{(s-2)n^2-(s-4)n\}\{2\}$
또는
:$P(s,n)\; =\; (s-2)\backslash frac\{n(n-1)\}\{2\}+n$

$n$번째 $s$-각수는 또한 삼각수 $T\_n$와 다음과 같은 관계를 가진다.
:$P(s,n)\; =\; (s-2)T\_\{n-1\}\; +\; n\; =\; (s-3)T\_\{n-1\}\; +\; T\_n\backslash ,\; .$

따라서:
:$\backslash begin\{align\}$
P(s,n+1)-P(s,n) &= (s-2)n + 1\, ,\\
P(s+1,n) - P(s,n) &= T_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}\, ,\\
P(s+k,n) - P(s,n) &= k T_{n-1} = k\frac{n(n-1)}{2}\, .
\end{align}

주어진 $s$-각수 $P(s,n)\; =\; x$에 대해, 다음 공식을 사용하여 $n$을 구할 수 있다.
:$n\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{8(s-2)x+\{(s-4)\}^2\}+(s-4)\}\{2(s-2)\}$

그리고 다음 공식을 사용하여 $s$을 구할 수 있다.
:$s\; =\; 2+\backslash frac\{2\}\{n\}\backslash cdot\backslash frac\{x-n\}\{n-1\}$.

$P(s,n)\; =\; (s-2)T\_\{n-1\}\; +\; n$에 6변의 경우($s=6$)를 적용하면 다음과 같다.
:$P(6,n)\; =\; 4T\_\{n-1\}\; +\; n$

$T\_\{n-1\}\; =\; \backslash frac\{n(n-1)\}\{2\}$이므로, 다음이 성립한다.
:$P(6,n)\; =\; \backslash frac\{4n(n-1)\}\{2\}\; +\; n\; =\; \backslash frac\{2n(2n-1)\}\{2\}\; =\; T\_\{2n-1\}$

이것은 $n$번째 육각수 $P(6,n)$가 $(2n\; -\; 1)$번째 삼각수 $T\_\{2n-1\}$이기도 하다는 것을 보여준다. 따라서, 홀수 번째 삼각수를 취함으로써 모든 육각수를 찾을 수 있다.

:1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

정수열 백과사전은 그리스어 접두사를 사용하는 용어(예: "팔각") 대신 숫자를 사용하는 용어(즉, "8각")를 사용한다.

이 표의 속성은 다음 항등식으로 표현할 수 있다.
:$2\backslash ,P(s,n)\; =\; P(s+k,n)\; +\; P(s-k,n),$ (단, $k\; =\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; ...,\; s-3$)

0번째 다각수는 모두 형식적으로 0으로 간주할 수 있다.

n번째 p각수를 P_p,n이라고 하면:
:$P\_\{p,n+1\}\; -\; P\_\{p,n\}\; =\; (p-2)n\; +\; 1\backslash ,$
이 되고, 따라서 P_p,n은 등차수열의 합
:
\\ &= \frac{1}{2} n \left[1 + \left\{ (p-2)(n-1) + 1 \right\} \right]
\\ &= \frac{(p-2)n^2 - (p-4)n}{2}
\end{align}
이 된다.

이 식으로부터, 2번째 p각수는 p이고, 3번째 p각수는 3(p − 1)이라는 것을 알 수 있다.

여기서 형식적으로 "이각수" (p = 2)를 생각하면,
:$P\_\{2,n\}\; =\; n\; \backslash ,$
이 되어 자연수열 자체가 된다. 이는 점을 직선상에 늘어놓는 것에 해당한다. 다만 고대 그리스의 수학자들이 직선수라고 부른 것은 직사각형으로 배열할 수 없기 때문이다.

3. 성질

* 임의의 자연수는 많아야 p개의 p 각수의 합으로 나타낼 수 있다. 이를 다각수 정리라고 한다.
* 1번째 다각수는 1, 2번째 p 각수는 p이다. 따라서 2 이외의 자연수는 어떤 다각수이다.
* 3번째 이후의 다각수는 합성수이다.
* n 번째 p 각수는 n이 짝수이고 p가 홀수일 때에 한하여, n의 배수가 아니다.
* n 번째 p 각수와 n + 1번째 p 각수의 차이는 (p − 2)n + 1이다.
* n 번째 p 각수와 n 번째 p + 1 각수의 차이는, p에 관계없이 n 만으로 결정되며, n − 1번째 삼각수와 같다.

3.1. 점화식

m각수 $\backslash operatorname\{Pol\}(m;n)$에 대하여, 다음과 같은 점화식이 성립한다.

:$\backslash operatorname\{Pol\}(m;n+1)=\backslash operatorname\{Pol\}(m;n)+(m-2)n+1$

3.2. 생성 함수

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash operatorname\{Pol\}(m;n)x^n=\backslash frac\{x((m-3)x+1)\}\{(1-x)^3\}$

3.3. 일반항 공식 유도

n번째 p각수 P_p,n은 등차수열의 합으로 표현 가능하다.

:
\\ &= \frac{1}{2} n \left[1 + \left\{ (p-2)(n-1) + 1 \right\} \right]
\\ &= \frac{(p-2)n^2 - (p-4)n}{2}
\end{align}

이 식에서 2번째 p각수는 p이고, 3번째 p각수는 3(p - 1)임을 알 수 있다.

형식적으로 "이각수" (p = 2)를 생각하면,

:$P\_\{2,n\}\; =\; n\; \backslash ,$

이 되어 자연수열 자체가 된다. 이는 점을 직선상에 늘어놓는 것에 해당한다. 다만 고대 그리스의 수학자들은 직사각형으로 배열할 수 없기 때문에 자연수를 직선수라고 부르지 않았다.

3.4. 다른 다각수와의 관계

n^영어번째 육각수는 (2n^영어 - 1)번째 삼각수이다. 모든 육각수는 홀수 번째 삼각수를 취함으로써 찾을 수 있다.

:1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

:$P(s,n)\; =\; (s-2)T\_\{n-1\}\; +\; n\; =\; (s-3)T\_\{n-1\}\; +\; T\_n$ (여기서 $T\_n$은 n번째 삼각수)

:$P(s,n+1)-P(s,n)\; =\; (s-2)n\; +\; 1$

:$P(s+1,n)\; -\; P(s,n)\; =\; T\_\{n-1\}\; =\; \backslash frac\{n(n-1)\}\{2\}$

:$P(s+k,n)\; -\; P(s,n)\; =\; k\; T\_\{n-1\}\; =\; k\backslash frac\{n(n-1)\}\{2\}$

:$2\backslash ,P(s,n)\; =\; P(s+k,n)\; +\; P(s-k,n)$ ($k\; =\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; ...,\; s-3$)

* 임의의 자연수는 많아야 p개의 p 각수의 합으로 나타낼 수 있다. 이를 다각수 정리라고 한다.
* 1번째 다각수는 1, 2번째 p 각수는 p이다. 따라서 2 이외의 자연수는 어떤 다각수이다.
* n 번째 p 각수와 n + 1번째 p 각수의 차이는 (p − 2) n + 1이다.
* n 번째 p 각수와 n 번째 p + 1 각수의 차이는, p에 관계없이 n 만으로 결정되며, n − 1번째 삼각수와 같다.

4. 페르마 다각수 정리

임의의 자연수는 많아도 $m$개의 $m$각수의 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 임의의 자연수 $a$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $n\_1,\backslash dots,n\_m$이 존재한다.

:$a=\backslash sum\_\{k=1\}^m\backslash operatorname\{Pol\}(m;n\_k)$

이를 페르마 다각수 정리라고 한다. (만약

5. 예

예를 들어, 숫자 10은 삼각수로 배열될 수 있지만, 정사각수로는 배열될 수 없다. 반면에 숫자 9는 정사각수로 배열될 수 있다(제곱수 참조). 36과 같은 일부 숫자는 정사각형과 삼각형 모두로 배열될 수 있다 (제곱 삼각수 참조).

관례적으로, 1은 모든 변의 개수에 대해 첫 번째 다각수이다. 다각형을 다음 크기로 확대하는 규칙은 두 개의 인접한 팔을 한 점씩 연장한 다음 해당 점 사이에 필요한 추가 변을 추가하는 것이다.

오각수 이상에서는 점을 회전대칭으로 배열하지 않는 것에 주의한다.

5.1. 평면도형수

주어진 자연수 $3\backslash le\; m\backslash le\; 30$에 대하여, $m$각수는 다음과 같다.

중심있는 평면도형수는 다음과 같다.



예를 들어 숫자 10은 삼각수로 배열될 수 있다.

그러나 10은 정사각수로 배열될 수 없다. 반면에 숫자 9는 정사각수로 배열될 수 있다(제곱수 참조).

36과 같은 일부 숫자는 정사각형과 삼각형 모두로 배열될 수 있다 (제곱 삼각수 참조).

관례적으로, 1은 모든 변의 개수에 대해 첫 번째 다각수이다. 다각형을 다음 크기로 확대하는 규칙은 두 개의 인접한 팔을 한 점씩 연장한 다음 해당 점 사이에 필요한 추가 변을 추가하는 것이다. 다음 다이어그램에서 각 추가 레이어는 빨간색으로 표시된다.

삼각수는 일련의 정삼각형 형태로 배열된 숫자들의 표현이다. 이 수들은 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 등의 수열을 이룬다.

오각수 이상에서는 점을 회전대칭으로 배열하지 않는 것에 주의한다.

5.2. 입체도형수

6. 다각수와 관련된 문제

펠 방정식을 이용하여 두 다각수 집합에 모두 속하는 숫자를 찾을 수 있다. 예를 들어, 제곱수를 삼각수로 표현하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{n(n+1)\}\{2\}\; =\; m^2$

위 식을 정리하면 다음과 같다.

:$(2n+1)^2\; =\; 8m^2\; +\; 1$

여기서 $x\; =\; 2n+1$ 이고 $y=m$ 이라면, $x^2\; -\; 8y^2\; =\; 1$ 이 되는데, 이는 펠 방정식의 한 형태이다. 이 방정식의 해는 무한히 많이 존재하며, 그 예시는 다음과 같다.

:$(x,\; y)\; =\; (3,\; 1),\; (17,\; 6),\; (99,\; 35),\; ...$

따라서, 제곱 삼각수는 다음과 같다.

:1, 36, 1225, 41616, ...

세 개 이상의 다각수 집합에 모두 속하는 숫자를 찾는 문제는 더 어렵다. 예를 들어, 오각형, 사각형, 삼각형 수의 조건을 모두 만족하는 숫자를 찾는 문제는 더욱 복잡하다.

7. 역사

일반적인 다각수는 힙시클레스(Ὑψικλῆς^grc-gre)가 기원전 2세기에 처음 정의하였다.