라이프니츠 대수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 리 대수와의 관계
4. 역사
- 4.1. 알렉산드르 블로흐의 초기 연구 (1965)
- 4.2. 장루이 로데의 재발견과 대수적 K이론과의 연관성 (1993)
참조

1. 개요

라이프니츠 대수는 가환환 K에 대해 정의되는 대수 구조로, 왼쪽 및 오른쪽 라이프니츠 대수로 구분된다. 왼쪽 라이프니츠 대수는 K-가군 L과 K-가군 준동형 [-,-]: L⊗K L → L을 포함하며, 야코비 항등식을 만족한다. 오른쪽 라이프니츠 대수는 연산 순서만 다를 뿐 왼쪽 라이프니츠 대수와 동치이다. 모든 리 대수는 라이프니츠 대수이며, 라이프니츠 대수가 리 대수가 되기 위한 필요충분조건은 [a, a] = 0을 만족하는 것이다. 1965년 알렉산드르 블로흐에 의해 "D-대수"로 처음 도입되었고, 1993년 장루이 로데가 대수적 K이론 연구 중 재발견하여 라이프니츠의 이름을 따 명명했다.

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라이프니츠 대수
라이프니츠 대수
분야
수학 분야	선형대수학, 추상대수학
연구	대수적 구조
참고	리 대수
역사적 배경
창시자	장루이 로데이
성질
정의
곱셈	쌍선형 연산 x, y
관련 개념	리 대수, 결합 대수
참고 문헌
학술 논문	Barnes (2011a) Barnes (2011b) Patsourakos (2007) Ayupov, Omirov (1998)

2. 정의

가환환 K 위의 왼쪽 및 오른쪽 라이프니츠 대수는 야코비 항등식을 사용하여 정의되며, 이항 연산의 표기 순서를 바꾸면 서로 동치가 된다.

왼쪽 라이프니츠 대수는 $[a,[b,c]] = a,b],c] + [b,[a,c$ 를 만족하고, 오른쪽 라이프니츠 대수는 $a,b],c] = [a,[c,b + (A,[-,-]) 가 왼쪽 라이프니츠 대수라면, [x,y]^{\operatorname{op}} = [y,x] 를 정의하여 (A,[-,-]^{\operatorname{op}}) 오른쪽 라이프니츠 대수를 얻을 수 있다.$

2. 1. 왼쪽 라이프니츠 대수

가환환

K

가 주어졌다고 하자.

K

위의 '''왼쪽 라이프니츠 대수'''

(K,[-,-])

는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$K$ -가군 $L$
$K$ -가군 준동형 $[-,-]\colon L\otimes_KL\to L$ . 편의상 $[-,-]\colon a\otimes_Kb\mapsto [a,b]$ 로 표기하자.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

:(야코비 항등식) 임의의

a,b,c\in L

에 대하여,

[a,[b,c]] = a,b],c] + [b,[a,c

즉, 만약

:

\operatorname{ad}_xy = [x,y]

를 정의하면, 야코비 항등식은 다음과 같다.

:

[\operatorname{ad}_a,\operatorname{ad}_b]c = \operatorname{ad}_{[a,b]}c

2. 2. 오른쪽 라이프니츠 대수

가환환

K

위의 '''오른쪽 라이프니츠 대수'''는 다음을 만족한다.

임의의 $a,b,c\in L$ 에 대하여, $a,b],c] = [a,[c,b +$

이는 야코비 항등식을 만족한다.

$[\operatorname{ad}_a,\operatorname{ad}_b]c = \operatorname{ad}_{[a,b]}c$ (여기서 $\operatorname{ad}_xy = [y,x]$ 이다.)

2. 3. 동치 관계

가환환

K

위의 왼쪽 라이프니츠 대수와 오른쪽 라이프니츠 대수는 사실상 동치이며, 이항 연산의 표기에서 두 항의 순서를 바꾼 것에 불과하다. 즉,

(A,[-,-])

가 왼쪽 라이프니츠 대수라면, 다음과 같이 정의한다.

:

[x,y]^{\operatorname{op}} = [y,x]

그러면

(A,[-,-]^{\operatorname{op}})

은 오른쪽 라이프니츠 대수가 된다.

3. 성질

임의의 가환환 $K$ 에 대하여, 모든 $K$ -리 대수는 항상 $K$ -라이프니츠 대수이다. 반대로, $K$ -라이프니츠 대수 $L$ 이 리 대수가 될 필요충분조건은 다음과 같다.

: $[a,a]=0\qquad\forall a\in L$

3. 1. 리 대수와의 관계

임의의 가환환

K

에 대하여, 모든

K

-리 대수는 항상

K

-라이프니츠 대수이다. 반대로,

K

-라이프니츠 대수

L

이 리 대수가 될 필요충분조건은 다음과 같다.

:

[a,a]=0\qquad\forall a\in L

4. 역사

라이프니츠 대수는 1965년 알렉산드르 블로흐(Alexandr M. Bloch)가 "D-대수"(''D''-алгебра^ru)라는 이름으로 처음 도입하였다.^[5] 1993년 장루이 로데가 대수적 K이론을 연구하던 중 이 개념을 재발견하였으며, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 이름을 따 “라이프니츠 대수”(algèbre de Leibniz^프랑스어)라는 용어를 사용하기 시작했다.^[6]

4. 1. 알렉산드르 블로흐의 초기 연구 (1965)

1965년에 알렉산드르 블로흐(Алекса́ндр М. Блох^ru)가 "D-대수"(''D''-алгебра^ru)라는 이름으로 도입하였다.^[5]

4. 2. 장루이 로데의 재발견과 대수적 K이론과의 연관성 (1993)

1965년에 알렉산드르 블로흐가 도입하였으며, 블로흐는 이를 “D-대수”(''D''-алгебра^ru)라고 불렀다.^[5] 이 개념은 한동안 잊혀져 있다가, 1993년에 장루이 로데가 대수적 K이론을 연구하던 도중 이 개념을 재발견하였으며, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 이름을 딴 “라이프니츠 대수”(algèbre de Leibniz^프랑스어)라는 용어를 도입하였다.^[6]

참조

_[1] 논문 Some Theorems on Leibniz Algebras 2011-07
_[2] 논문 On Nilpotent Properties of Leibniz Algebras 2007-11-26
_[3] 서적 Algebra and Operator Theory Proceedings of the Colloquium in Tashkent, 1997 Springer 1998
_[4] 논문 On Levi's theorem for Leibniz algebras 2011-11-30
_[5] 저널 http://mi.mathnet.ru[...]
_[6] 저널

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