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로런츠 인자

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목차

1. 개요

로런츠 인자는 특수 상대성 이론에서 시간 팽창, 길이 수축, 상대론적 질량과 같은 현상을 설명하는 데 사용되는 중요한 요소이다. 이는 관성계 사이의 상대 속도, 빛의 속력, 고유 시간, 좌표 시간 등을 사용하여 정의되며, 다양한 형태로 표현될 수 있다. 로런츠 인자는 특수 상대성 이론의 로렌츠 변환, 시간 팽창, 길이 수축, 상대론적 질량, 상대론적 운동량, 상대론적 운동 에너지 등 다양한 현상을 설명하는 데 활용된다. 또한, 운동량, 속도 래피디티, 급수 전개 등을 사용하여 표현할 수 있으며, 천문학 분야에서 감마선 폭발 및 뮤온의 시간 팽창 현상을 설명하는 데 응용된다.

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로런츠 인자

2. 정의

로런츠 인자(\gamma)는 다음과 같이 정의된다.[19][3][12]

:\gamma=\frac{1}{\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{dt}{d\tau}

여기서,


  • ''v''는 관성계 사이의 상대 속도이다.
  • β는 광속 ''c''에 대한 ''v''의 비율이다.
  • ''τ''는 관찰자의 관성계에서 측정한 고유 시간이다.
  • ''t''는 좌표 시간이다.
  • ''c''는 진공에서의 빛의 속력이다.


이 공식은 가장 자주 사용되는 형태이나, 다른 형태로도 나타낼 수 있다.

일부 저자는 다음과 같이 역수를 정의하기도 한다.[4][13]

:\alpha = \frac{1}{\gamma} = \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}} \ = \sqrt{1- {\beta}^2}

속도 덧셈 공식을 참조.

3. 특수 상대성 이론에서의 활용

특수 상대성 이론에서 로런츠 인자(Lorentz factor영어)는 다양한 공식에 사용된다.[3][5]


  • '''로렌츠 변환''': x 방향으로의 가장 간단한 로렌츠 부스트(임의의 방향과 회전을 포함하는 더 일반적인 형태는 여기에 나열되지 않음)는 시공간 좌표가 좌표 (x, y, z, t)를 사용하는 하나의 관성 좌표계에서 상대 속도 v를 가진 다른 좌표계 (x', y', z', t')로 어떻게 변하는지를 설명한다.

::t' = \gamma \left( t - \tfrac{vx}{c^2} \right ),

::x' = \gamma \left( x - vt \right ).

  • '''시간 팽창''': 시계가 움직이는 좌표계에서 측정한 두 틱 사이의 시간 (Δt')은 시계의 정지 좌표계에서 측정한 두 틱 사이의 시간 (Δt)보다 길다.

::\Delta t' = \gamma \Delta t.

  • '''길이 수축''': 물체가 움직이는 좌표계에서 측정한 물체의 길이 (Δx')는 자체 정지 좌표계에서의 길이 (Δx)보다 짧다.

::\Delta x' = \Delta x/\gamma.

에너지와 운동량의 보존을 적용하면 다음과 같은 결과가 나온다.

  • '''상대론적 질량''': 움직이는 물체의 질량 (m)은 \gamma 및 정지 질량 (m0)에 의존한다.

::m = \gamma m_0.

  • '''상대론적 운동량''': 상대론적 운동량 관계는 위의 상대론적 질량을 사용하여 고전적 운동량과 동일한 형태를 취한다.

::\vec p = m \vec v = \gamma m_0 \vec v.

  • '''상대론적 운동 에너지''': 상대론적 운동 에너지 관계는 약간 수정된 형태를 취한다.

::E_k = E - E_0 = (\gamma - 1) m_0 c^2

:\gamma는 \tfrac{v}{c}의 함수이므로 비상대론적 극한은 뉴턴의 고려에서 예상되는 바와 같이 \lim_{v/c\to 0}E_k=\tfrac{1}{2}m_0v^2을 제공한다.

4. 다양한 표현

로런츠 인자는 주로 사용되는 다음 공식 외에도 다양하게 표현할 수 있다.[3]

:\gamma=\frac{1}{\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{dt}{d\tau}


  • ''v''는 관성계 사이의 상대 속도이다.
  • β는 광속 ''c''에 대한 ''v''의 비율이다.
  • ''τ''는 관찰자의 관성계에서 측정한 고유 시간이다.
  • ''t''는 좌표 시간이다.
  • ''c''는 진공에서의 빛의 속력이다.


일부 저자들은 다음과 같이 역수를 정의하기도 한다.[4]

:\alpha = \frac{1}{\gamma} = \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}} \ = \sqrt{1- {\beta}^2}

속도 덧셈 공식을 참조하면 된다.

로런츠 인자는 운동량이나 속도 래피디티와 같은 관련 물리량을 사용하여 표현할 수도 있다.

4. 1. 운동량

이전 상대론적 운동량 방정식을 \gamma에 대해 풀면 다음과 같다.

:\gamma = \sqrt{1+\left ( \frac{p}{m_0 c} \right )^2 } \,.

이 형태는 드물게 사용되지만, 맥스웰-쥐트너 분포에서 나타난다.[6][15]

4. 2. 래피디티(Rapidity)

속도 신속도의 정의를 쌍곡선 각도 \varphi로 적용하면:[7]

: \tanh \varphi = \beta

로런츠 인자(\gamma)도 얻을 수 있다([쌍곡선 함수#유용한 관계|쌍곡선 항등식]] 사용):

: \gamma = \cosh \varphi = \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2 \varphi}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}.

로렌츠 변환의 속성을 사용하면 속도 신속도가 가산적이라는 것을 알 수 있는데, 이는 속도가 갖지 못하는 유용한 속성이다. 따라서 신속도 매개변수는 일변수 군을 형성하며, 이는 물리 모델의 기초가 된다.

4. 3. 급수 전개

로런츠 인자는 다음과 같은 매클로린 급수로 전개할 수 있다.[8] 이는 이항 급수의 특수한 경우이다.

:\begin{align}

\gamma & = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \\[1ex]

& = \sum_{n=0}^{\infty} \beta^{2n}\prod_{k=1}^n \left(\dfrac{2k - 1}{2k}\right) \\[1ex]

& = 1 + \tfrac12 \beta^2 + \tfrac38 \beta^4 + \tfrac{5}{16} \beta^6 + \tfrac{35}{128} \beta^8 + \tfrac{63}{256} \beta^{10} + \cdots ,

\end{align}

낮은 속도에서 상대론적 효과를 계산할 때는 근사식 \gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2를 사용할 수 있다. 이 근사식은 v < 0.4 c ( v < 120,000 km/s)에서 1% 오차 이내, v < 0.22 c ( v < 66,000 km/s)에서 0.1% 오차 이내로 유효하다.

이 급수의 잘린 버전은 특수 상대성 이론이 낮은 속도에서 뉴턴 역학으로 축소된다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다. 예를 들어 특수 상대성 이론에서 다음 두 방정식

\begin{align}

\mathbf p & = \gamma m \mathbf v, \\

E & = \gamma m c^2.

\end{align}

은 \gamma \approx 1 및 \gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2를 대입하면 각각 뉴턴 역학의 방정식

\begin{align}

\mathbf p & = m \mathbf v, \\

E & = m c^2 + \tfrac12 m v^2.

\end{align}

으로 축소된다.

로런츠 인자 방정식은 다음과 같이 역으로 변환할 수 있다.

:\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} .

이것은 다음과 같은 점근적 형태를 갖는다.

:\beta = 1 - \tfrac12 \gamma^{-2} - \tfrac18 \gamma^{-4} - \tfrac{1}{16} \gamma^{-6} - \tfrac{5}{128} \gamma^{-8} + \cdots\,.

처음 두 항 (\beta \approx 1 - \frac{1}{2}\gamma^{-2})은 큰 \gamma 값에서 속도를 빠르게 계산하는 데 가끔 사용된다. 이 근사식은 \gamma > 2 에서 1% 허용 오차 이내, \gamma > 3.5 에서 0.1% 허용 오차 이내로 유효하다.

5. 로런츠 인자 값 (표)

속도가 0일 때 로런츠 인자값은 1이다. 속도가 빛의 속력에 이르면, 로런츠 인자값은 무한대가 된다.


아래 표는 광속의 다양한 비율로 나타낸 속도, 해당 로런츠 인자, 그리고 그 역수를 나타낸다. 굵은 글씨로 표시된 값은 정확한 값이다.

속도 (단위 c)로런츠 인자로런츠 인자의 역수
0.0001.0001.000
0.0501.0010.999
0.1001.0050.995
0.1501.0110.989
0.2001.0210.980
0.2501.0330.968
0.3001.0480.954
0.4001.0910.917
0.5001.1550.866
0.6001.2500.800
0.7001.4000.714
0.7501.5120.661
0.8001.6670.600
0.8662.0000.500
0.9002.2940.436
0.9907.0890.141
0.99922.3660.045
0.99995100.000.010


6. 천문학에서의 응용

뮤온은 아원자 입자로, 비교적 높은 로렌츠 인자를 가지고 극심한 시간 팽창을 경험할 정도로 빠른 속도로 이동한다. 뮤온은 평균 수명이 단지 2.2 μs이므로, 지구 대기 10km 상공에서 우주선 충돌로 생성된 뮤온은 붕괴율 때문에 지상에서 감지할 수 없어야 한다. 그러나 이러한 충돌에서 발생한 뮤온의 약 10%가 표면에서 여전히 감지될 수 있으며, 이는 붕괴율에 대한 시간 팽창의 효과를 보여준다.[10]

장수명 감마선 폭발의 표준 모델에서는 이 현상이 소위 "콤팩트성" 문제를 설명하기 위해 초상대론적 폭발(초기값이 대략 100 이상)이라고 가정한다. 즉, 초상대론적 확장이 없으면 방출물은 쌍생성을 일으킬 정도로 광학적으로 두꺼워질 것이고, 초기 방출은 열적 에너지 스펙트럼이 아니라 전형적으로 정도에 피크가 있는 스펙트럼을 가질 것이다.[17]

참조

[1] 웹사이트 The Gamma Factor https://webs.morning[...] 2024-01-14
[2] 웹사이트 The Special Theory of Relativity http://www.nap.edu/h[...] National Academies of Sciences, Engineering, and Medicine 2024-01-06
[3] 서적 Dynamics and Relativity https://books.google[...] John Wiley & Sons 2014
[4] 서적 Physical Applications of Homogeneous Balls Birkhäuser, Boston
[5] 서적 Sears' and Zemansky's University Physics Pearson Ed. & Addison-Wesley 2008
[6] 서적 The Relativistic Gas North-Holland 1957
[7] 웹사이트 Kinematics http://pdg.lbl.gov/2[...]
[8] 간행물 Class. Quantum Grav. 2023
[9] 논문 iPTF14yb: The First Discovery of a Gamma-Ray Burst Afterglow Independent of a High-Energy Trigger 2015
[10] 웹사이트 Muon Experiment in Relativity http://hyperphysics.[...] 2024-01-06
[11] 웹사이트 One universe http://www.nap.edu/h[...]
[12] 서적 Dynamics and Relativity https://books.google[...] John Wiley & Sons
[13] 서적 Physical Applications of Homogeneous Balls Birkhäuser, Boston
[14] 서적 Sears' and Zemansky's University Physics Pearson Ed. & Addison-Wesley
[15] 문서
[16] 웹사이트 Kinematics http://pdg.lbl.gov/2[...]
[17] 논문 iPTF14yb: The First Discovery of a Gamma-Ray Burst Afterglow Independent of a High-Energy Trigger
[18] 웹사이트 One universe http://www.nap.edu/h[...]
[19] 서적 Dynamics and Relativity Wiley


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