이항 급수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 이항 급수
- 2.2. 음이항 급수
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

이항 급수는 복소수 α에 대해 (1+x)^α의 매클로린 급수이며, 이항 계수, 하강 계승, 계승 등을 사용하여 표현된다. 멱지수가 자연수일 때는 유한 합이 되어 이항 정리가 유도되며, 음이항 급수는 (1-x)^-α의 매클로린 급수로, 멀티셋 계수를 이용하여 나타낼 수 있다. 이항 급수의 수렴역은 복소수 α와 x의 값에 따라 달라지며, |x|가 1보다 작을 때는 절대 수렴한다. 이항 급수는 항별 미분을 통해 상미분 방정식을 풀어서 합을 계산할 수 있으며, 아벨의 정리를 통해 |x| = 1까지 등식을 확장할 수 있다. 이항 급수는 이항 정리, 기하 급수, 멱급수 등 다양한 형태로 나타나며, 뉴턴과 아벨을 비롯한 여러 수학자에 의해 연구되었다.

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이항 급수
일반 정보
이항 급수
분야	수학, 해석학
하위 분야	급수, 멱급수
발명가 또는 발견자	아이작 뉴턴
명명	이항 정리
종류	멱급수
공식
일반적인 형식	(1 + x)^α = ∑_{k=0}^∞ (α choose k) x^k = 1 + αx + (α(α-1))/(2!) x^2 + (α(α-1)(α-2))/(3!) x^3 + ⋯
변수	α (알파): 임의의 복소수 x: \|x\| < 1을 만족하는 복소수
수렴 조건	\|x\| < 1 (절댓값 x가 1보다 작음)
관련 항목
관련 정리	이항 정리
관련 함수	이항 계수

2. 정의

복소수 $\alpha \in \mathbb{C}$ 가 주어졌을 때, '''이항 급수'''는 함수 $f(x) = (1 + x)^\alpha$ 의 매클로린 급수이다.

2. 1. 이항 급수

복소수

\alpha\in\mathbb C

가 주어졌을 때, '''이항 급수'''는 함수

f(x) = (1 + x)^{\alpha}

의 매클로린 급수이다. 이는 다음과 같이 표현된다.

:

(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty\binom\alpha kx^k = \sum_{k=0}^\infty\frac{(\alpha)_k}{k!}x^k = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots

여기서

\binom\alpha k := \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}

는 일반화된 이항 계수,

(\alpha)_k

는 하강 계승,

k!

는 계승이다.

멱지수 $\alpha$ 가 자연수 $n$ 일 때, 급수의 $k > n$ 인 항들은 이항 계수 $\binom{n}{k}$ 의 분자에 $n-n$ 인수가 포함되어 모두 0이 된다. 따라서 이 경우 급수는 유한합 $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k$ 이 되며, 이는 대수적인 이항 정리와 일치한다.
임의의 복소수 $\beta$ 에 대해, 이항 급수는 다음과 같은 형태로도 쓸 수 있다.

:

\frac{1}{(1-z)^{\beta+1}} = \sum_{k=0}^{\infty}{k+\beta \choose k}z^k

이는 특히 음의 정수 멱을 다룰 때 유용하다. 이 식은 위의 매클로린 전개 식에서

x = -z

를 대입하고, 이항 계수의 항등식

\tbinom{-\beta -1}{k} = (-1)^{k}\tbinom{k+\beta}{k}

를 적용하여 유도할 수 있다.

2. 2. 음이항 급수

'''음이항 급수'''(negative binomial series^영어)는

(1-x)^{-\alpha}

의 매클로린 급수이다. 이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

(1-x)^{-\alpha}=\sum_{k=0}^\infty\binom{\alpha+k-1}kx^k=\sum_{k=0}^\infty\frac{\alpha^{(k)}}{k!}x^k=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha+1)}2x^2+\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)}6x^3+\cdots

여기서

\alpha^{(k)}

는 상승 계승이다.

밀접하게 관련된 것은 함수

g(x)=(1-x)^{-\alpha}

에 대한 매클로린 급수로 정의되는 ''음이항 급수''이며, 여기서

\alpha \in \Complex

이고

|x| < 1

이다. 명시적으로,

:

\begin{align}\frac{1}{(1 - x)^\alpha} &= \sum_{k=0}^{\infty} \; \frac{g^{(k)}(0)}{k!} \; x^k \\&= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)}{3!} x^3 + \cdots,\end{align}

는 멀티셋 계수로 표현된다.

:

\left(\!\!{\alpha\choose k}\!\!\right) := {\alpha+k-1 \choose k} = \frac{\alpha (\alpha+1) (\alpha+2) \cdots (\alpha+k-1)}{k!}\,.

\alpha

가 양의 정수일 때, 몇 가지 흔한 수열이 나타난다.

\alpha = 1

인 경우 급수는

1 + x + x^2 + x^3 + \cdots

가 되며, 급수의 각 항의 계수는 단순히 1이다.

\alpha = 2

인 경우 급수는

1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots

가 되며, 이 급수의 계수는 자연수이다.

\alpha = 3

인 경우 급수는

1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \cdots

가 되며, 이 급수의 계수는 삼각수이다.

\alpha = 4

인 경우 급수는

1 + 4x + 10x^2 + 20x^3 + \cdots

가 되며, 이 급수의 계수는 사면체수이고,

\alpha

의 더 큰 정수 값에 대해서도 마찬가지이다.

음이항 급수는 기하 급수와 멱급수^[1]의 경우를 포함한다.

:

\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n

(이것은

\alpha=1

일 때 음이항 급수이며, 원판

|x|<1

에서 수렴한다) 그리고 일반적으로 기하 멱급수의 미분으로 얻어진 급수를 포함한다.

:

\frac{1}{(1-x)^n} = \frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\frac{1}{1-x}

여기서

\alpha=n

은 양의 정수이다.^[2]

3. 성질

이항 급수의 수렴성은 지수 $\alpha$ 와 변수 $x$ 의 값에 따라 결정된다. 일반적으로 $|x| < 1$ 이면 임의의 복소수 $\alpha$ 에 대해 절대 수렴한다. 반면, $|x| > 1$ 일 경우, $\alpha$ 가 음이 아닌 정수(이 경우 급수는 유한합)인 특별한 경우를 제외하고는 발산한다.

경계인 $|x| = 1$ 에서의 수렴성은 $\alpha$ 의 실수부 $\operatorname{Re}(\alpha)$ 값에 따라 달라진다.

$\operatorname{Re}(\alpha) > 0$ 이면 절대 수렴한다.
$-1 < \operatorname{Re}(\alpha) \le 0$ 이면, $x \neq -1$ 일 때는 조건부 수렴하고 $x = -1$ 일 때는 발산한다.
$\operatorname{Re}(\alpha) \le -1$ 이면 발산한다.

이항 급수의 합은 수렴하는 영역(

|x| < 1

) 내에서

(1 + x)^{\alpha}

와 같다. 이는 이항 급수의 합

u(x)

가 상미분 방정식

(1 + x)u'(x) = \alpha u(x)

(초기 조건

u(0) = 1

)의 유일한 해석 함수 해임을 보여 증명할 수 있다. 아벨의 정리를 이용하면, 급수가 수렴하는 경우 이 등식을 경계

|x| = 1

까지 확장할 수 있다.

3. 1. 수렴 조건

이항 급수의 수렴역은 다음과 같다. (여기서

\mathbb N

은 음이 아닌 정수의 집합이다.)

\begin{cases}\mathbb C&\alpha\in\mathbb N\\\{x\in\mathbb C\colon|x|\le1\}&\operatorname{Re}\alpha>0,\;\alpha\not\in\mathbb N\\\{x\in\mathbb C\colon|x|\le1\}\setminus\{-1\}&-1<\operatorname{Re}\alpha\le0,\;\alpha\ne0\\\{x\in\mathbb C\colon|x|<1\}&\operatorname{Re}\alpha\le-1\end{cases}

특히, 실수의 경우의 수렴역은 다음과 같다.

\begin{cases}\mathbb R&\alpha\in\mathbb N\\{}[-1,1]&\alpha>0,\;\alpha\not\in\mathbb N\\{}(-1,1]&-1<\alpha<0\\{}(-1,1)&\alpha\le-1\end{cases}

급수가 수렴하는지 여부는 복소수 α와 x의 값에 따라 달라진다. 좀 더 자세히 말하면 다음과 같다.

# 만약

|x| < 1

이면, 급수는 임의의 복소수 α에 대해 절대 수렴한다.

# 만약

|x| = 1

이면, 급수는

\operatorname{Re}(\alpha) > 0

또는

\alpha = 0

일 때에만 절대 수렴한다. 여기서

\operatorname{Re}(\alpha)

는 α의 실수 부분을 나타낸다.

# 만약

|x| = 1

이고

x \neq -1

이면, 급수는

\operatorname{Re}(\alpha) > -1

일 때에만 수렴한다.

# 만약

x = -1

이면, 급수는

\operatorname{Re}(\alpha) > 0

또는

\alpha = 0

일 때에만 수렴한다.

# 만약

|x| > 1

이면, α가 음이 아닌 정수인 경우를 제외하고 급수는 발산하며, 이 경우에는 급수가 유한 합이 된다.

특히, α가 음이 아닌 정수가 아닌 경우, 수렴 원판의 경계, 즉

|x| = 1

에서의 상황은 다음과 같이 요약된다.

만약 $\operatorname{Re}(\alpha) > 0$ 이면, 급수는 절대 수렴한다.
만약 $-1 < \operatorname{Re}(\alpha) \le 0$ 이면, 급수는 $x \neq -1$ 일 때 조건부 수렴하고 $x = -1$ 일 때 발산한다.
만약 $\operatorname{Re}(\alpha) \le -1$ 이면, 급수는 발산한다.

3. 2. 수렴성 증명에 사용되는 항등식

이항 급수

(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k

의 수렴성을 증명하는 과정에서는 이항 계수

{\alpha \choose k}

에 대한 몇 가지 항등식과 점근적 성질이 중요하게 사용된다.

임의의 복소수

\alpha

에 대해 다음 항등식들이 성립한다.

기본 정의:

{\alpha \choose 0} = 1

점화식:

{\alpha \choose k+1} = {\alpha\choose k}\,\frac{\alpha-k}{k+1} \quad (k \ge 0)

이 점화식은 이항 계수의 연속된 항 사이의 관계를 나타내며, 급수의 수렴 반경을 구하기 위해 비율 판정을 적용할 때 사용된다.

{\alpha \choose k-1} + {\alpha\choose k} = {\alpha+1 \choose k} \quad (k \ge 1)

이 항등식은 파스칼의 항등식을 일반화한 것으로, 특정 합의 공식을 유도하는 데 사용된다. 예를 들어, 이 식을 이용하면 다음과 같은 항등식을 얻을 수 있으며, 이는

x=1

또는

x=-1

에서의 수렴성을 분석하는 데 유용하다.

(1 + x) \sum_{k=0}^n \; {\alpha \choose k} \; x^k =\sum_{k=0}^n \; {\alpha+1\choose k} \; x^k + {\alpha \choose n} \;x^{n+1}

곱 형태:

위의 첫 번째 점화식을 반복적으로 적용하면 이항 계수를 다음과 같은 곱 형태로 표현할 수 있다.

{\alpha \choose k} = \prod_{j=1}^k \left (\frac {\alpha + 1} j - 1 \right ) \quad (k \ge 1)

\alpha

가 음이 아닌 정수가 아닐 경우 (즉, 이항 급수가 무한급수인 경우),

k

가 커짐에 따라 이항 계수의 크기를 분석하는 데 점근 분석이 유용하다. 란다우 표기법을 사용한 주요 점근 관계는 다음과 같다.

점근 공식:

{\alpha \choose k} = \frac{(-1)^k} {\Gamma(-\alpha)k^ {1+\alpha} } \,(1+o(1)), \quad\text{as }k\to\infty

여기서

\Gamma

는 감마 함수이다. 이 공식은

k

가 충분히 클 때 이항 계수의 거동을 보여주며, 특히

x=-1

에서의 수렴성을 판단하는 데 사용된다. 이 관계로부터 다음과 같은 좀 더 간단한 경계를 얻을 수 있다.

점근적 경계:

어떤 양의 상수

m, M

에 대해 다음 부등식이 성립한다.

\frac {m} {k^{1+\operatorname{Re}\,\alpha}}\le \left|{\alpha \choose k}\right| \le \frac {M} {k^{1+\operatorname{Re}\alpha}} \quad (\text{for large } k)

이 부등식은 이항 급수를 p-급수

\sum \frac{1}{k^p}

(여기서

p = 1 + \operatorname{Re}\alpha

)와 비교하여 절대 수렴성을 판정하는 데 사용된다.

3. 3. 이항 급수의 합

이항 급수의 합을 구하는 일반적인 방법은 다음과 같다. 먼저, 수렴 반경

|x| < 1

안에서 이항 급수를 항별로 미분한다. 이렇게 하면 이항 급수의 합

u(x)

는 해석 함수가 되며, 다음 상미분 방정식을 만족함을 알 수 있다.

(1 + x)u'(x) = \alpha u(x)

이때 초기 조건은

u(0) = 1

이다.

이 초기값 문제의 유일한 해는 함수

u(x) = (1 + x)^{\alpha}

이다. 이는 적분 인자

(1+x)^{-\alpha-1}

를 곱하거나, 식을

[(1+x)^{-\alpha}u(x)]' = 0

형태로 변형하여

(1 + x)^{-\alpha}u(x)

가 상수임을 확인함으로써 증명할 수 있다. 초기 조건

u(0)=1

을 대입하면 이 상수는 1이므로,

(1 + x)^{-\alpha}u(x) = 1

이다.

따라서

|x| < 1

일 때, 이항 급수의 합은 다음과 같다.

u(x) = (1 + x)^{\alpha}

이 등식은 아벨의 정리와 함수

(1 + x)^{\alpha}

의 연속성에 의해, 이항 급수가 수렴하는 경우에는 경계인

|x| = 1

일 때까지 확장될 수 있다. 즉, 급수가 수렴하는 한,

|x|=1

인 경우에도 위 등식이 성립한다.

4. 예

이항 급수에서 $\alpha$ 가 음이 아닌 정수 $n \in \{0, 1, 2, \dots\}$ 인 경우는 이항 정리가 되며, 다음과 같이 유한 합으로 나타난다.

: $(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkx^k=1+nx+\frac{n(n-1)}2x^2+\cdots+\frac{n(n-1)}2x^{n-2}+nx^{n-1}+x^n\qquad x\in\mathbb C$

이항 급수에서 $\alpha = -1/2$ 인 경우는 다음과 같다.

: $\frac1\sqrt{1-x}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}x^k=1+\frac12x+\frac38x^2+\frac5{16}x^3+\cdots\qquad|x|\le1,\;x\ne-1$

이항 급수에서 $\alpha = -1$ 인 경우는 다음과 같은 기하급수이다.

: $\frac1{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k=1+x+x^2+x^3+\cdots\qquad |x|<1$

이항 급수에서 $\alpha = -2$ 인 경우는 다음과 같다.

: $\frac1{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots\qquad|x|<1$

또한, 이항 급수와 밀접하게 관련된 것으로 함수 $g(x)=(1-x)^{-\alpha}$ 에 대한 매클로린 급수로 정의되는 음이항 급수가 있다. 여기서 $\alpha \in \mathbb C$ 이고 $|x| < 1$ 이다. 명시적으로 표현하면 다음과 같다.

: $\begin{align}\frac{1}{(1 - x)^\alpha} &= \sum_{k=0}^{\infty} \; \frac{g^{(k)}(0)}{k!} \; x^k \\&= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)}{3!} x^3 + \cdots,\end{align}$

이는 멀티셋 계수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

: $\left(\!\!{\alpha\choose k}\!\!\right) := {\alpha+k-1 \choose k} = \frac{\alpha (\alpha+1) (\alpha+2) \cdots (\alpha+k-1)}{k!}\,.$

$\alpha$ 가 양의 정수일 때, 음이항 급수의 계수는 몇 가지 잘 알려진 수열을 이룬다.

$\alpha = 1$ 인 경우, 급수는 $1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ 가 되며, 각 항의 계수는 모두 1이다. 이는 위의 기하급수와 같다.
$\alpha = 2$ 인 경우, 급수는 $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots$ 가 되며, 계수는 자연수이다.
$\alpha = 3$ 인 경우, 급수는 $1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \cdots$ 가 되며, 계수는 삼각수이다.
$\alpha = 4$ 인 경우, 급수는 $1 + 4x + 10x^2 + 20x^3 + \cdots$ 가 되며, 계수는 사면체수이다. 더 큰 정수 $\alpha$ 값에 대해서도 유사한 패턴이 나타난다.

음이항 급수는 기하 급수와 멱급수^[1]의 경우를 포함한다. 예를 들어,

:

\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n

는

\alpha=1

일 때의 음이항 급수이며, 원판

|x|<1

에서 수렴한다. 일반적으로 기하 멱급수를 미분하여 얻어지는 급수들도 음이항 급수에 포함된다.

:

\frac{1}{(1-x)^n} = \frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\frac{1}{1-x}

여기서

\alpha=n

은 양의 정수이다.^[2]

5. 역사

양의 정수가 아닌 지수를 갖는 이항 급수에 대한 첫 연구는 아이작 뉴턴이 특정 곡선 아래의 면적을 연구하면서 시작되었다. 존 윌리스는 이 연구를 이어받아 $y = (1 - x^2)^m$ (단, ''m''은 분수) 형태의 식을 연구했다. 그는 $(-x^2)^k$ 항의 계수 $c_k$ 를 구할 때, 바로 앞 항의 계수에 $\frac{m-(k-1)}{k}$ 을 곱하면 된다는 규칙을 발견했다. 이는 정수 지수의 경우와 동일한 방식이다. 이를 통해 윌리스는 이항 계수에 대한 일반적인 공식을 암묵적으로 제시했다. 그는 다음과 같은 구체적인 예시들을 제시했다.

: $(1-x^2)^{1/2}=1-\frac{x^2}2-\frac{x^4}8-\frac{x^6}{16}\cdots$

: $(1-x^2)^{3/2}=1-\frac{3x^2}2+\frac{3x^4}8+\frac{x^6}{16}\cdots$

: $(1-x^2)^{1/3}=1-\frac{x^2}3-\frac{x^4}9-\frac{5x^6}{81}\cdots$

이러한 이유로 이항 급수는 때때로 뉴턴의 이항 정리라고도 불린다. 뉴턴 자신은 이 결과에 대한 엄밀한 증명을 제시하지는 않았고, 급수의 수렴성에 대해서도 명확히 밝히지 않았다. 이후 닐스 헨리크 아벨이 1826년 크렐레 저널에 발표한 논문에서 이항 급수의 수렴 문제를 본격적으로 다루면서 현대적인 이론의 기초를 마련했다.

참조

_[1] 간행물 The geometric series in calculus https://maa.org/site[...]
_[2] 서적 Theory and applications of infinite series Blackie and Son

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