르장드르 연관 함수

3. 성질

연관 르장드르 다항식은 모든 경우에 서로 직교하지는 않는다. 예를 들어, $P\_1^1$는 $P\_2^2$와 직교하지 않는다. 그러나 일부 부분 집합에 대해서는 직교성을 만족한다.

3. 1. 직교성

3. 2. 음의 m 및/또는 음의 ℓ

3. 3. 홀짝성 (Parity)

4. 처음 몇 개의 연관 르장드르 함수

5. 재귀 공식 (Recurrence formula)

연관 르장드르 다항식은 다음과 같은 다양한 재귀 관계를 만족한다.

:$$(\backslash ell-m-1)(\backslash ell-m)P\_\{\backslash ell\}^\{m\}(x)\; =\; -P\_\{\backslash ell\}^\{m+2\}(x)\; +\; P\_\{\backslash ell-2\}^\{m+2\}(x)\; +\; (\backslash ell+m)(\backslash ell+m-1)P\_\{\backslash ell-2\}^\{m\}(x)$$

:$$(\backslash ell-m+1)P\_\{\backslash ell+1\}^\{m\}(x)\; =\; (2\backslash ell+1)xP\_\{\backslash ell\}^\{m\}(x)\; -\; (\backslash ell+m)P\_\{\backslash ell-1\}^\{m\}(x)$$

:$$2mxP\_\{\backslash ell\}^\{m\}(x)=-\backslash sqrt\{1-x^2\}\backslash left[P\_\{\backslash ell\}^\{m+1\}(x)+(\backslash ell+m)(\backslash ell-m+1)P\_\{\backslash ell\}^\{m-1\}(x)\backslash right]$$

:$$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-x^2\}\}P\_\backslash ell^m(x)\; =\; \backslash frac\{-1\}\{2m\}\; \backslash left[\; P\_\{\backslash ell-1\}^\{m+1\}(x)\; +\; (\backslash ell+m-1)(\backslash ell+m)P\_\{\backslash ell-1\}^\{m-1\}(x)\; \backslash right]$$

:$$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-x^2\}\}P\_\backslash ell^m(x)\; =\; \backslash frac\{-1\}\{2m\}\; \backslash left[\; P\_\{\backslash ell+1\}^\{m+1\}(x)\; +\; (\backslash ell-m+1)(\backslash ell-m+2)P\_\{\backslash ell+1\}^\{m-1\}(x)\; \backslash right]$$

:$$\backslash sqrt\{1-x^2\}P\_\backslash ell^m(x)\; =\; \backslash frac1\{2\backslash ell+1\}\; \backslash left[\; (\backslash ell-m+1)(\backslash ell-m+2)\; P\_\{\backslash ell+1\}^\{m-1\}(x)\; -\; (\backslash ell+m-1)(\backslash ell+m)\; P\_\{\backslash ell-1\}^\{m-1\}(x)\; \backslash right]$$

:$$\backslash sqrt\{1-x^2\}P\_\backslash ell^m(x)\; =\; \backslash frac\{-1\}\{2\backslash ell+1\}\; \backslash left[\; P\_\{\backslash ell+1\}^\{m+1\}(x)\; -\; P\_\{\backslash ell-1\}^\{m+1\}(x)\; \backslash right]$$

:$$\backslash sqrt\{1-x^2\}P\_\backslash ell^\{m+1\}(x)\; =\; (\backslash ell-m)xP\_\{\backslash ell\}^\{m\}(x)\; -\; (\backslash ell+m)P\_\{\backslash ell-1\}^\{m\}(x)$$

:$$\backslash sqrt\{1-x^2\}P\_\backslash ell^\{m+1\}(x)\; =\; (\backslash ell-m+1)P\_\{\backslash ell+1\}^m(x)\; -\; (\backslash ell+m+1)xP\_\backslash ell^m(x)$$

:$$\backslash sqrt\{1-x^2\}\backslash frac\{d\}\{dx\}\{P\_\backslash ell^m\}(x)\; =\; \backslash frac12\; \backslash left[\; (\backslash ell+m)(\backslash ell-m+1)P\_\backslash ell^\{m-1\}(x)\; -\; P\_\backslash ell^\{m+1\}(x)\; \backslash right]$$

:$$(1-x^2)\backslash frac\{d\}\{dx\}\{P\_\backslash ell^m\}(x)\; =\; \backslash frac1\{2\backslash ell+1\}\; \backslash left[\; (\backslash ell+1)(\backslash ell+m)P\_\{\backslash ell-1\}^m(x)\; -\; \backslash ell(\backslash ell-m+1)P\_\{\backslash ell+1\}^m(x)\; \backslash right]$$

:$$(x^2-1)\backslash frac\{d\}\{dx\}\{P\_\{\backslash ell\}^\{m\}\}(x)\; =\; \{\backslash ell\}xP\_\{\backslash ell\}^\{m\}(x)\; -\; (\backslash ell+m)P\_\{\backslash ell-1\}^\{m\}(x)$$

:$$(x^2-1)\backslash frac\{d\}\{dx\}\{P\_\{\backslash ell\}^\{m\}\}(x)\; =\; -(\backslash ell+1)xP\_\{\backslash ell\}^\{m\}(x)\; +\; (\backslash ell-m+1)P\_\{\backslash ell+1\}^\{m\}(x)$$

:$$(x^2-1)\backslash frac\{d\}\{dx\}\{P\_\{\backslash ell\}^\{m\}\}(x)\; =\; \backslash sqrt\{1-x^2\}P\_\{\backslash ell\}^\{m+1\}(x)\; +\; mxP\_\{\backslash ell\}^\{m\}(x)$$

:$$(x^2-1)\backslash frac\{d\}\{dx\}\{P\_\{\backslash ell\}^\{m\}\}(x)\; =\; -(\backslash ell+m)(\backslash ell-m+1)\backslash sqrt\{1-x^2\}P\_\{\backslash ell\}^\{m-1\}(x)\; -\; mxP\_\{\backslash ell\}^\{m\}(x)$$

유용한 항등식 (첫 번째 재귀 관계의 초기값)

:$$P\_\{\backslash ell\; +1\}^\{\backslash ell\; +1\}(x)\; =\; -\; (2\backslash ell+1)\; \backslash sqrt\{1-x^2\}\; P\_\{\backslash ell\}^\{\backslash ell\}(x)$$

:$$P\_\{\backslash ell\}^\{\backslash ell\}(x)\; =\; (-1)^\backslash ell\; (2\backslash ell-1)!!\; (1-\; x^2)^\{(\backslash ell/2)\}$$

:$$P\_\{\backslash ell\; +1\}^\{\backslash ell\}(x)\; =\; x\; (2\backslash ell+1)\; P\_\{\backslash ell\}^\{\backslash ell\}(x)$$

여기서 !!는 이중 계승이다.

6. 가운트 공식 (Gaunt's formula)

세 개의 연관 르장드르 다항식(차수가 일치)의 곱에 대한 적분은 르장드르 다항식의 곱을 르장드르 다항식에 선형인 급수로 전개할 때 필요한 요소이다. 예를 들어, 이는 하트리-폭 방법과 같은 원자 계산을 수행할 때 쿨롱 연산자의 행렬 요소가 필요할 때 필요하다. 이를 위해 가운트 공식이 있다.^[3]

:$\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash int\_\{-1\}^1\; P\_l^u(x)\; P\_m^v(x)\; P\_n^w(x)\; dx$

={}&{}(-1)^{s-m-w}\frac{(m+v)!(n+w)!(2s-2n)!s!}{(m-v)!(s-l)!(s-m)!(s-n)!(2s+1)!}

\times \ \sum_{t=p}^q (-1)^t \frac{(l+u+t)!(m+n-u-t)!}{t!(l-u-t)!(m-n+u+t)!(n-w-t)!}

이 공식은 다음 가정을 적용하여 사용된다.

• 차수는 음이 아닌 정수 $l,m,n\backslash ge0$
• 세 개의 차수는 모두 음이 아닌 정수 $u,v,w\backslash ge\; 0$
• $u$는 세 개의 차수 중 가장 크다.
• 차수는 $u=v+w$로 합산된다.
• 차수는 $m\backslash ge\; n$을 따른다.

• 차수의 합이 짝수이므로 $s$는 정수이다.
• 삼각 조건 $m+n\backslash ge\; l\; \backslash ge\; m-n$이 만족한다.

7. 초기하 함수를 통한 일반화 (Generalization via hypergeometric functions)

연관 르장드르 다항식은 초기하 함수를 사용하여 일반적인 복소수 매개변수와 인수에 대해 정의할 수 있다.^[1]

:$P\_\{\backslash lambda\}^\{\backslash mu\}(z)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash Gamma(1-\backslash mu)\}\; \backslash left[\backslash frac\{1+z\}\{1-z\}\backslash right]^\{\backslash mu/2\}\; \backslash ,\_2F\_1\; (-\backslash lambda,\; \backslash lambda+1;\; 1-\backslash mu;\; \backslash frac\{1-z\}\{2\})$

여기서 $\backslash Gamma$는 감마 함수이고 $\_2F\_1$는 초기하 함수이다.

:$\backslash ,\_2F\_1\; (\backslash alpha,\; \backslash beta;\; \backslash gamma;\; z)\; =\; \backslash frac\{\backslash Gamma(\backslash gamma)\}\{\backslash Gamma(\backslash alpha)\backslash Gamma(\backslash beta)\}\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{\backslash Gamma(n+\backslash alpha)\backslash Gamma(n+\backslash beta)\}\{\backslash Gamma(n+\backslash gamma)\backslash \; n!\}z^n,$

이 함수들은 이러한 보다 일반적인 방식으로 정의될 때 르장드르 함수라고 불린다. 이 함수들은 이전과 동일한 미분 방정식을 만족한다.

:$(1-z^2)\backslash ,y\text{'}\text{'}\; -2zy\text{'}\; +\; \backslash left(\backslash lambda[\backslash lambda+1]\; -\; \backslash frac\{\backslash mu^2\}\{1-z^2\}\backslash right)\backslash ,y\; =\; 0.\backslash ,$

이는 2차 미분 방정식이므로, 다음과 같이 정의되는 두 번째 해 $Q\_\backslash lambda^\{\backslash mu\}(z)$를 갖는다.

:$Q\_\{\backslash lambda\}^\{\backslash mu\}(z)\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{\backslash pi\}\backslash \; \backslash Gamma(\backslash lambda+\backslash mu+1)\}\{2^\{\backslash lambda+1\}\backslash Gamma(\backslash lambda+3/2)\}\backslash frac\{1\}\{z^\{\backslash lambda+\backslash mu+1\}\}(1-z^2)^\{\backslash mu/2\}\; \backslash ,\_2F\_1\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash lambda+\backslash mu+1\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash lambda+\backslash mu+2\}\{2\};\; \backslash lambda+\backslash frac\{3\}\{2\};\; \backslash frac\{1\}\{z^2\}\backslash right)$

$P\_\backslash lambda^\{\backslash mu\}(z)$와 $Q\_\backslash lambda^\{\backslash mu\}(z)$는 모두 이전에 주어진 다양한 재귀 공식을 따른다.

8. 각도에 대한 재매개변수화 (Reparameterization in terms of angles)

이 함수들은 인수가 각도로 재매개변수화될 때 가장 유용하며, $x\; =\; \backslash cos\backslash theta$로 둔다.

$$P\_\backslash ell^\{m\}(\backslash cos\backslash theta)\; =\; (-1)^m\; (\backslash sin\; \backslash theta)^m\backslash \; \backslash frac\{d^m\}\{d(\backslash cos\backslash theta)^m\}\backslash left(P\_\backslash ell(\backslash cos\backslash theta)\backslash right)$$

관계식 $(1\; -\; x^2)^\{1\; /\; 2\}\; =\; \backslash sin\backslash theta$를 사용하여, 위에 주어진 목록은 다음과 같이 재매개변수화된 처음 몇 개의 다항식을 생성한다.

$$\backslash begin\{align\}$$

P_0^0(\cos\theta) & = 1 \\[8pt]

P_1^0(\cos\theta) & = \cos\theta \\[8pt]

P_1^1(\cos\theta) & = -\sin\theta \\[8pt]

P_2^0(\cos\theta) & = \tfrac{1}{2} (3\cos^2\theta-1) \\[8pt]

P_2^1(\cos\theta) & = -3\cos\theta\sin\theta \\[8pt]

P_2^2(\cos\theta) & = 3\sin^2\theta \\[8pt]

P_3^0(\cos\theta) & = \tfrac{1}{2} (5\cos^3\theta-3\cos\theta) \\[8pt]

P_3^1(\cos\theta) & = -\tfrac{3}{2} (5\cos^2\theta-1)\sin\theta \\[8pt]

P_3^2(\cos\theta) & = 15\cos\theta\sin^2\theta \\[8pt]

P_3^3(\cos\theta) & = -15\sin^3\theta \\[8pt]

P_4^0(\cos\theta) & = \tfrac{1}{8} (35\cos^4\theta-30\cos^2\theta+3) \\[8pt]

P_4^1(\cos\theta) & = - \tfrac{5}{2} (7\cos^3\theta-3\cos\theta)\sin\theta \\[8pt]

P_4^2(\cos\theta) & = \tfrac{15}{2} (7\cos^2\theta-1)\sin^2\theta \\[8pt]

P_4^3(\cos\theta) & = -105\cos\theta\sin^3\theta \\[8pt]

P_4^4(\cos\theta) & = 105\sin^4\theta

\end{align}

위에 주어진 직교 관계는 이 공식에서 다음과 같다. 고정된 ''m''에 대해, $P\_\backslash ell^m(\backslash cos\backslash theta)$는 가중치 $\backslash sin\; \backslash theta$를 사용하여 $[0,\; \backslash pi]$에서 θ로 매개변수화된 직교 함수이다.

$$\backslash int\_0^\backslash pi\; P\_k^\{m\}(\backslash cos\backslash theta)\; P\_\backslash ell^\{m\}(\backslash cos\backslash theta)\backslash ,\backslash sin\backslash theta\backslash ,d\backslash theta\; =\; \backslash frac\{2\; (\backslash ell+m)!\}\{(2\backslash ell+1)(\backslash ell-m)!\}\backslash \; \backslash delta\; \_\{k,\backslash ell\}$$

또한, 고정된 ''ℓ''에 대해:



θ로 표현하면 $P\_\backslash ell^\{m\}(\backslash cos\; \backslash theta)$는 다음의 해이다.

$$\backslash frac\{d^\{2\}y\}\{d\backslash theta^2\}\; +\; \backslash cot\; \backslash theta\; \backslash frac\{dy\}\{d\backslash theta\}\; +\; \backslash left[\backslash lambda\; -\; \backslash frac\{m^2\}\{\backslash sin^2\backslash theta\}\backslash right]\backslash ,y\; =\; 0\backslash ,$$

더 정확하게는, 정수 ''m''$\backslash ge$0이 주어지면, 위의 방정식은 ''ℓ''이 정수 ≥ ''m''이고, 해당 해가 $P\_\backslash ell^\{m\}(\backslash cos\; \backslash theta)$에 비례할 때, $\backslash lambda\; =\; \backslash ell(\backslash ell+1)\backslash ,$일 때만 특이점이 없는 해를 갖는다.

9. 물리학에서의 응용: 구면 조화 함수 (Applications in physics: spherical harmonics)

물리학에서 구면 좌표계를 사용하는 많은 문제들은 구면 대칭을 가지고 있으며, 이러한 경우 각도에 관한 연관 르장드르 다항식이 자주 등장한다. 구면 좌표계에서 극각은 위에 사용된 각도 $\backslash theta$와 같고, 경도 각 $\backslash phi$는 곱셈 인자로 나타난다. 이 두 각도를 함께 사용하여 구면 조화 함수라고 불리는 함수 집합을 만들 수 있다. 이 함수는 리만 구의 리 군 SO(3)의 작용에 대한 대칭성을 나타낸다.^[5]

이 함수들이 유용한 이유는 구 표면에서 다음과 같은 방정식의 해를 구하는 데 중요하기 때문이다.

$\backslash nabla^2\backslash psi\; +\; \backslash lambda\backslash psi\; =\; 0$

구면 좌표계 θ (극각) 및 φ (경도)에서 라플라시안은 다음과 같이 표현된다.

$$\backslash nabla^2\backslash psi\; =\; \backslash frac\{\backslash partial^2\backslash psi\}\{\backslash partial\backslash theta^2\}\; +\; \backslash cot\; \backslash theta\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; \backslash theta\}\; +\; \backslash csc^2\; \backslash theta\backslash frac\{\backslash partial^2\backslash psi\}\{\backslash partial\backslash phi^2\}.$$

다음의 편미분 방정식

$$\backslash frac\{\backslash partial^2\backslash psi\}\{\backslash partial\backslash theta^2\}\; +\; \backslash cot\; \backslash theta\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; \backslash theta\}\; +\; \backslash csc^2\; \backslash theta\backslash frac\{\backslash partial^2\backslash psi\}\{\backslash partial\backslash phi^2\}\; +\; \backslash lambda\; \backslash psi\; =\; 0$$

을 변수 분리 방법으로 풀면, 정수 m≥0에 대해 φ에 의존하는 부분 $\backslash sin(m\backslash phi)$ 또는 $\backslash cos(m\backslash phi)$를 얻을 수 있다. θ에 의존하는 부분에 대한 방정식은 다음과 같다.

$$\backslash frac\{d^\{2\}y\}\{d\backslash theta^2\}\; +\; \backslash cot\; \backslash theta\; \backslash frac\{dy\}\{d\backslash theta\}\; +\; \backslash left[\backslash lambda\; -\; \backslash frac\{m^2\}\{\backslash sin^2\backslash theta\}\backslash right]\backslash ,y\; =\; 0\backslash ,$$

이 방정식의 해는 $\backslash ell\{\backslash ge\}m$이고 $\backslash lambda\; =\; \backslash ell(\backslash ell+1)$인 $P\_\backslash ell^\{m\}(\backslash cos\; \backslash theta)$이다.

따라서,

$$\backslash nabla^2\backslash psi\; +\; \backslash lambda\backslash psi\; =\; 0$$

방정식은 $\backslash lambda\; =\; \backslash ell(\backslash ell+1)$일 때만 특이점이 없는 분리된 해를 가지며, 이 해는 다음과 비례한다.

$$P\_\backslash ell^\{m\}(\backslash cos\; \backslash theta)\backslash \; \backslash cos\; (m\backslash phi)\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 0\; \backslash le\; m\; \backslash le\; \backslash ell$$

및



각 ''ℓ''에 대해, 다양한 ''m'' 값과 사인 및 코사인의 선택에 대해 2''ℓ'' + 1 개의 함수가 존재한다. 이 함수들은 구의 표면에서 적분할 때 ''ℓ''과 ''m'' 모두에서 직교한다.

일반적으로 해는 복소 지수를 사용하여 다음과 같이 나타낸다.

$$Y\_\{\backslash ell,\; m\}(\backslash theta,\; \backslash phi)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(2\backslash ell+1)(\backslash ell-m)!\}\{4\backslash pi(\backslash ell+m)!\}\}\backslash \; P\_\backslash ell^\{m\}(\backslash cos\; \backslash theta)\backslash \; e^\{im\backslash phi\}\backslash qquad\; -\backslash ell\; \backslash le\; m\; \backslash le\; \backslash ell.$$



여기서 $Y\_\{\backslash ell,\; m\}(\backslash theta,\; \backslash phi)$는 구면 조화 함수이며, 제곱근 안의 값은 정규화 인자이다. 양수 및 음수 ''m''에 대한 연관 르장드르 함수 간의 관계를 통해, 구면 조화 함수는 다음 항등식을 만족함을 알 수 있다.^[5]

$$Y\_\{\backslash ell,\; m\}^*(\backslash theta,\; \backslash phi)\; =\; (-1)^m\; Y\_\{\backslash ell,\; -m\}(\backslash theta,\; \backslash phi).$$

구면 조화 함수는 푸리에 급수의 의미에서 완전한 정규 직교 함수 집합을 형성한다. 측지학, 지구 자기학 및 스펙트럼 분석 분야에서는 다른 위상 및 정규화 인자를 사용하기도 한다. (구면 조화 함수 참조)

3차원 구형 대칭 편미분 방정식이 구면 좌표에서 변수 분리 방법을 통해 풀리면, 반경 부분을 제거한 후 남는 부분은 일반적으로 다음 형태를 갖는다.

$$\backslash nabla^2\backslash psi(\backslash theta,\; \backslash phi)\; +\; \backslash lambda\backslash psi(\backslash theta,\; \backslash phi)\; =\; 0,$$

따라서 이 방정식의 해는 구면 조화 함수가 된다.

10. 일반화 (Generalizations)

르장드르 다항식은 초기하 급수와 밀접하게 연관되어 있다. 이는 구면 조화 함수의 형태로, 리만 구의 대칭성을 리 군(Lie group) SO(3)의 작용으로 표현한다. SO(3) 외에도 다른 많은 리 군이 존재하며, 르장드르 다항식과 유사하게 반 단순 리 군과 리만 대칭 공간의 대칭성을 표현하도록 일반화할 수 있다. 대략적으로 설명하면, 대칭 공간에서 라플라시안을 정의할 수 있고, 라플라시안의 고유 함수는 구면 조화 함수를 일반화한 것으로 볼 수 있다.^[1]

참조

_[1] 서적 1953
_[2] 서적
_[3] 서적 Quantum Theory of Atomic Structure McGraw-Hill 1960
_[4] 논문 The overlap integral of three associated Legendre polynomials http://www.sciencedi[...] 2002
_[5] 문서
_[6] 서적 工学における特殊関数 共立出版
_[7] 웹사이트 Legendre Differential Equation http://mathworld.wol[...]