구면 조화 함수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 유클리드 공간 조화 다항식을 통한 유도
3. 성질
4. 응용
- 4.1. 확률 밀도
5. 역사
6. 예
- 6.1. 2차원 구면 조화 함수
7. Conventions
8. Spherical harmonics in Cartesian form
- 8.1. The Herglotz generating function
- 8.2. Separated Cartesian form
  - 8.2.1. Examples
  - 8.2.2. Real forms
9. Special cases and values
10. Symmetry properties
- 10.1. Parity
- 10.2. Rotations
11. Spherical harmonics expansion
12. Spectrum analysis
- 12.1. Power spectrum in signal processing
- 12.2. Differentiability properties
13. Algebraic properties
14. Visualization of the spherical harmonics
15. List of spherical harmonics
16. Higher dimensions
17. Connection with representation theory
18. Connection with hemispherical harmonics
- 18.1. Generalizations
참조

1. 개요

구면 조화 함수는 구면 좌표계에서 라플라스 방정식을 변수 분리하여 얻는 해의 곱으로 표현되는 함수이다. 이 함수는 음이 아닌 정수 l과 -l ≤ m ≤ l을 만족하는 정수 m에 대해 정의되며, 르장드르 연관 함수와 정규화 상수를 포함한다. 구면 조화 함수는 유클리드 공간 조화 다항식을 통해 유도될 수 있으며, 정규 직교성, 라플라스-벨트라미 연산자의 고유 함수, 운죌트 정리 등의 성질을 갖는다.

구면 조화 함수는 양자역학의 각운동량 연산자의 고유 함수로, 각운동량의 양자화된 원자 궤도를 나타내는 데 사용된다. 또한, 확률 밀도 함수를 구면 대칭으로 나타내며, 18세기 라플라스와 르장드르에 의해 처음 연구되었고, 20세기 양자역학의 발전과 함께 중요성이 부각되었다.

구면 조화 함수는 음향학, 양자역학, 측지학, 자기학 등 다양한 분야에서 사용되며, 여러 가지 정규화 방법이 존재한다. 3차원 공간의 구면 조화 함수는 궤도 각운동량 연산자의 고유 함수이며, 1차원 구에서는 삼각 함수, 2차원 유클리드 공간에서는 조화 다항식으로 나타낼 수 있다. 또한, 구면 조화 함수는 공간 반전 및 회전에 대한 대칭성을 가지며, 구면 조화 함수 전개를 통해 임의의 함수를 표현할 수 있다. 구면 조화 함수의 전력 스펙트럼은 함수의 미분 가능성을 이해하는 데 사용되며, 더 높은 차원의 유클리드 공간으로 일반화될 수 있다.

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구면 조화 함수
개요
구면 조화 함수의 실수부와 허수부의 몇 가지 처음 몇 가지 모드. 색상은 값의 위상을 나타냄
유형	특수 함수
분야	수학, 물리학
관련 함수	르장드르 다항식 베셀 함수 쿨롱 함수
정의
수식	Math\|(θ, φ)
설명	구면 좌표계 (r, θ, φ)에서 정의되는 특수한 수학 함수
성질
직교성	구면 위에서 서로 직교함
완전성	구면 위의 임의의 함수를 구면 조화 함수로 전개 가능
활용
분야	양자 역학 전자기학 중력장 계산 지구과학 우주 배경 복사 분석 컴퓨터 그래픽스
명칭
영어	spherical harmonics
일본어	球面調和関数 (Kyūmen chōwa kansū)
한국어	구면 조화 함수

2. 정의

구면 좌표계 $(r,\theta,\phi)$ 에서 라플라스 방정식은 다음과 같다.

: $\nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right)+ {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right)+ {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0$

변수분리법을 써서, 함수 ''f''가 $f(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi)$ 와 같이 표현된다고 가정하면, 라플라스 방정식은 다음과 같이 분리된다.

: $\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d\varphi^2} = -m^2$

: $l(l+1)\sin ^2(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left [ \sin(\theta) \frac{d\Theta}{d\theta} \right ] = m^2$

여기서 $m$ 과 $l$ 은 어떤 상수를 뜻한다.

따라서 각도 부분의 해는 다음과 같이 두 방정식의 해의 곱으로 표현된다.

: $Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = N\exp(im\varphi)P_l^m (\cos{\theta} ),$

이들 함수 $Y_l^m$ 를 '''구면 조화 함수'''라 부른다. 함수가 연속적이므로, $l$ 은 음이 아닌 정수이고, $m$ 은 $-l\le m\le l$ 을 만족하는 정수다. 여기서 $P_\ell^m$ 은 르장드르 연관 함수이고, $N$ 은 정규화 상수다. $N$ 은 보통 $\int_{4\pi}d\Omega\;|Y_l^m|^2=1$ 이 되게 다음과 같이 정의한다.

: $N=\sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}}$ .

2. 1. 유클리드 공간 조화 다항식을 통한 유도

구면 조화 함수는 유클리드 공간

\mathbb R^n

위의 다항식 함수 가운데 조화 함수인 것들을 초구

\mathbb S^{n-1}

위에 제한하여 유도할 수 있다.

A = \left\{p \in \mathbb R[x_1,\dotsc,x_n] \colon \sum_{i=1}^n\frac{\partial^2p}{\partial x_i^2} = 0 \right\}

는 동차 다항식의 차수에 따라서 실수 등급 벡터 공간을 이룬다.

:

A = \bigoplus_{l=0}^\infty A_l

:

\forall p\in A_l\colon \deg p = l

이를

n-1

차원 초구

:

\mathbb S^{n-1} = \left\{(x_1,\dotsc,x_n)\in \mathbb R^n \colon \sum_{i=1}^nx_i^2 = 1\right\}

위에 제한하면

:

P = \bigoplus_{l=0}^\infty P_l = \{p\restriction \mathbb S^{n-1}\colon p \in A\}

:

P_l = \{p \restriction \mathbb S^{n-1}\colon p\in A_l\}

가 되고,

:

\Delta_{\mathbb S^{n-1}}f = -\nabla^2_{\mathbb S^{n-1}}f = l(l+n-2)f\qquad\forall f\in P_l

이 된다.

이때 구면 조화 함수

Y_{l,m_1,\dotsc,m_{n-2}}

들은

P_l

의 정규 직교 기저를 이룬다.

A_l

의 원소

:

p(x_1,\dotsc,x_n) = \sum_{i_1=1}^n\dotso\sum_{i_l=1}^np_{i_1\dotso i_l}x_{i_1}\dotsm x_{i_l}

에 대하여,

p

가 조화 함수일 조건은 텐서

p_{i_1\dotso i_l}

이 대칭이며 완전 무(無)대각합인 것이다. 이는

\operatorname{SO}(n)

의 완전 무대각합 대칭

l

차 텐서 표현에 대응하며,

l

개의 상자로 구성된 하나의 행만을 갖는 영 타블로에 해당한다.

SO(3)의 경우, 표현은 정수 스핀으로 분류되며, 이 경우

l

은 이 스핀에 해당한다. SO(4)의 경우, 표현은 두 개의 정수 또는 두 개의 반(半)정수 스핀

(j_L,j_R)

으로 분류되며, 이 경우 완전 무대각합 대칭

l

차 텐서 표현은 스핀

(l/2,l/2)

에 해당한다.

예를 들어,

\ell=1

일 때,

\mathbf{A}_1

은 모든 선형 함수

\R^3 \to \Complex

의 3차원 공간이다.

\ell = 2

일 때는 5차원 공간을 갖는다.

:

\mathbf{A}_2 = \operatorname{span}_{\Complex}(x_1 x_2,\, x_1 x_3,\, x_2 x_3,\, x_1^2-x_2^2,\, x_1^2-x_3^2).

어떤

\ell

에 대해서든지, 차수

\ell

의 구면 조화 함수의 공간

\mathbf{H}_{\ell}

은

\mathbf{A}_\ell

의 요소의 구

S^2

에 대한 제한의 공간이다.

3. 성질

$n=3$ 일 때, 정의에 따라, 음의 $m$ 값은 양의 $m$ 값과 다음과 같은 관계를 가진다.

: $Y_l^{-m}=(-1)^m(Y_l^m)^*$ .

(다만, 이 식은 정규화 상수를 다르게 잡을 경우 달라질 수 있다.)

==== 정규 직교성 ====

단위 초구는 유클리드 공간의 부분 다양체이며, 리만 다양체를 이루므로 부피 형식 및 르베그 공간

:

\operatorname L^2(\mathbb S^{n-1};\mathbb C)

을 정의할 수 있다. 이는 분해 가능 무한 차원 복소수 힐베르트 공간이다(

n\ge2

).

Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2}}

는 그 위의 정규 직교 기저를 이루며 다음이 성립한다.

:

\int_{\mathbb S^{n-1}}\bar Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2}}Y_{l'}^{m'_1,\dotsc,m'_{n-2}}=\delta_{ll'}\delta_{m_1m_1'}\dotsm \delta_{m_{n-2}m'_{n-2}}

구면 조화 함수

S^2 \to \Complex

에 대해 여러 가지 다른 정규화가 일반적으로 사용된다.

음향학에서^[8], 라플라스 구면 조화 함수는 일반적으로 다음과 같이 정의된다.

Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt{\frac{(2\ell+1)}{4\pi} \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }

반면 양자역학에서는:^[9]^[10]

Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = (-1)^m \sqrt{\frac{(2\ell+1)}{4\pi}\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_{\ell}^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }

여기서

P_{\ell}^{m}

은 콘돈-쇼틀리 위상 없이 연관 르장드르 다항식이다.

두 정의 모두에서 구면 조화 함수는 직교 정규화된다.

\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'}{}^* \, d\Omega=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'},

여기서 ''δ''_''ij''는 크로네커 델타이고 ''d''Ω = sin(''θ'') ''dφ'' ''dθ''이다. 이 정규화는 양자역학에서 사용된다.

측지학^[11] 및 스펙트럼 분석 분야에서는 다음을 사용한다.

Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt \, P_\ell^m ( \cos{\theta} )\, e^{i m \varphi }

자기학^[11] 커뮤니티에서는 슈미트 반정규화 조화 함수를 사용한다.

Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt{\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }

양자역학에서는 이 정규화가 때때로 사용되기도 하며, 줄리오 라카의 이름을 따서 라카의 정규화라고 한다.

위의 모든 정규화된 구면 조화 함수는 다음을 만족한다.

Y_\ell^{m}{}^* (\theta, \varphi) = (-1)^{-m} Y_\ell^{-m} (\theta, \varphi),

여기서 위첨자 *는 복소 켤레를 나타낸다.

n 차원 공간 '''R'''^''n''의 단위 구면 ''S''^{''n'' − 1}을 정의하고, 두 구면 조화 함수 ''f'', ''g''의 내적을 다음과 같이 정의한다.

\langle f \mid g \rangle_{S^{n-1}}:= \int_{S^{n-1}}f(\mathbf{x})g(\mathbf{x})\,\mathrm{d}S

''k''차 구면 조화 함수 전체가 이루는 벡터 공간을 ''ℋ''_k라고 하면, 위와 같이 정의된 내적에 대해, 임의의 ''f'' ∈ ''ℋ''_k, ''g'' ∈ ''ℋ''_j에 대해, ''f''!''g''_{''S''^''n''−1} = 0이 성립한다

특히 3차원 공간에서는 다음이 성립한다.

\langle Y_k^m \mid Y_j^s \rangle_{S^{n-1}} =\begin{cases}1&\text{if }k=j,\, m=s,\\0&\text{otherwise.}\end{cases}

''ℋ''_k가 더욱 강한 성질을 만족한다는 것을 증명하는 것도 가능하다.

임의의 ''f'' ∈ ''L''²(''S''^{''n'' − 1})에 대해, 적분 가능한 함수의 족 ''Y_k''_{''k''= 0}^∞으로 ''Y_k''가 ''k''차 구면 조화 함수가 되는 것이 존재하며, 다음이 성립한다:

:

f(\mathbf{x})=\sum_{k=0}^{\infty}Y_k(\mathbf{x}).

==== 라플라스-벨트라미 연산자 ====

단위 초구는 유클리드 공간의 부분 다양체이며, 리만 다양체를 이룬다. 초구 위의 매끄러운 함수에 대하여 라플라스-벨트라미 연산자를 정의할 수 있다.

n

차원 구면 조화 함수는 라플라스-벨트라미 연산자의 고유 함수이며, 그 고윳값은

l(l+n-2)

이다.

:

\Delta Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2}}(\theta,\varphi)=l(l+n-2)Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2}}(\theta,\varphi_1,\dotsc,\varphi_{n-2})/r^2

==== 운죌트 정리 ====

같은 l 값을 갖는 구면 조화 함수들의 제곱 합은 상수가 되며, 이를 '''운죌트 정리'''(Unsöld’s theorem^영어)라고 한다.

:

\sum_{m=-l}^l \left| Y_l^m (\theta, \phi) \right|^2 = {2l + 1 \over 4\pi}

즉, 아래지표 ''l''이 같은 구면 조화 함수를 절댓값을 취한 후 제곱해

-l

부터

l

까지 더하면 상수를 얻는다.

3. 1. 정규 직교성

단위 초구는 유클리드 공간의 부분 다양체이며, 리만 다양체를 이루므로 부피 형식 및 르베그 공간

:

\operatorname L^2(\mathbb S^{n-1};\mathbb C)

을 정의할 수 있다. 이는 분해 가능 무한 차원 복소수 힐베르트 공간이다(

n\ge2

).

Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2}}

는 그 위의 정규 직교 기저를 이루며 다음이 성립한다.

:

\int_{\mathbb S^{n-1}}\bar Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2}}Y_{l'}^{m'_1,\dotsc,m'_{n-2}}=\delta_{ll'}\delta_{m_1m_1'}\dotsm \delta_{m_{n-2}m'_{n-2}}

구면 조화 함수

S^2 \to \Complex

에 대해 여러 가지 다른 정규화가 일반적으로 사용된다.

음향학에서^[8], 라플라스 구면 조화 함수는 일반적으로 다음과 같이 정의된다.

Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt{\frac{(2\ell+1)}{4\pi} \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }

반면 양자역학에서는:^[9]^[10]

Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = (-1)^m \sqrt{\frac{(2\ell+1)}{4\pi}\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_{\ell}^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }

여기서

P_{\ell}^{m}

은 콘돈-쇼틀리 위상 없이 연관 르장드르 다항식이다.

두 정의 모두에서 구면 조화 함수는 직교 정규화된다.

\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'}{}^* \, d\Omega=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'},

여기서 는 크로네커 델타이고 이다. 이 정규화는 양자역학에서 사용된다.

측지학^[11] 및 스펙트럼 분석 분야에서는 다음을 사용한다.

Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt \, P_\ell^m ( \cos{\theta} )\, e^{i m \varphi }

자기학^[11] 커뮤니티에서는 슈미트 반정규화 조화 함수를 사용한다.

Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt{\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }

양자역학에서는 이 정규화가 때때로 사용되기도 하며, 줄리오 라카의 이름을 따서 라카의 정규화라고 한다.

위의 모든 정규화된 구면 조화 함수는 다음을 만족한다.

Y_\ell^{m}{}^* (\theta, \varphi) = (-1)^{-m} Y_\ell^{-m} (\theta, \varphi),

여기서 위첨자 는 복소 켤레를 나타낸다.

차원 공간 }}의 단위 구면 }}을 정의하고, 두 구면 조화 함수 의 내적을 다음과 같이 정의한다.

:= \int_{S^{n-1}}f(\mathbf{x})g(\mathbf{x})\,\mathrm{d}S |}}

차 구면 조화 함수 전체가 이루는 벡터 공간을 ''}}''라고 하면, 위와 같이 정의된 내적에 대해, 임의의 '', ''g'' ∈ ''''}}에 대해, ''f''''g''}} = 0}}이 성립한다

특히 차원 공간에서는 다음이 성립한다.

{{math theorem|

\langle Y_k^m \mid Y_j^s \rangle_{S^{n-1}} =\begin{cases}1&\text{if }k=j,\, m=s,\\0&\text{otherwise.}\end{cases}

}}

''''가 더욱 강한 성질을 만족한다는 것을 증명하는 것도 가능하다.

임의의 (''S'')}}에 대해, 적분 가능한 함수의 족 ''}}}}으로 }}가 차 구면 조화 함수가 되는 것이 존재하며, 다음이 성립한다:

:

f(\mathbf{x})=\sum_{k=0}^{\infty}Y_k(\mathbf{x}).

3. 2. 라플라스-벨트라미 연산자

단위 초구는 유클리드 공간의 부분 다양체이며, 리만 다양체를 이룬다. 초구 위의 매끄러운 함수에 대하여 라플라스-벨트라미 연산자를 정의할 수 있다.

n

차원 구면 조화 함수는 라플라스-벨트라미 연산자의 고유 함수이며, 그 고윳값은

l(l+n-2)

이다.

:

\Delta Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2}}(\theta,\varphi)=l(l+n-2)Y_l^{m_1,\dotsc,m_{n-2}}(\theta,\varphi_1,\dotsc,\varphi_{n-2})/r^2

3. 3. 운죌트 정리

같은 l 값을 갖는 구면 조화 함수들의 제곱 합은 상수가 되며, 이를 '''운죌트 정리'''(Unsöld’s theorem^영어)라고 한다.

:

\sum_{m=-l}^l \left| Y_l^m (\theta, \phi) \right|^2 = {2l + 1 \over 4\pi}

즉, 아래지표 ''l''이 같은 구면 조화 함수를 절댓값을 취한 후 제곱해

-l

부터

l

까지 더하면 상수를 얻는다.

4. 응용

양자역학에서 구면 조화 함수는 궤도 각운동량의 고유 함수로 나타난다. 궤도 각운동량 연산자는 다음과 같다.

: $\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p=-i\hbar\mathbf r\times\mathbf\nabla$ .

따라서 그 제곱은 다음과 같다.

: $\mathbf L^2=-\hbar^2\left(\frac1{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac1{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right)$ .

또한, 궤도 각운동량의 $z$ 성분은 다음과 같다.

: $L_z=\hat{\mathbf z}\cdot\mathbf L=-i\hbar\frac\partial{\partial\varphi}$ .

구면 조화 함수 $Y_l^m$ 은 $\mathbf L^2$ 와 $L_z$ 의 고유함수이며, 그 고윳값은 다음과 같다.

: $\mathbf L^2Y_l^m=l(l+1)\hbar^2Y_l^m$

: $L_zY_l^m=m\hbar Y_l^m$ .

3차원 공간 }}의 경우, }}을 구면 좌표 로 나타내면, 아래의 (''θ'', ''φ'')}}가 구면 조화 함수가 된다.

: $Y_{k}^{m}(\theta, \phi)=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{ \frac{2k+1}{4\pi}\frac{(k-|m|)!}{(k+|m|)!} \,}\,P_k^$

(\cos\theta)\,e^{im\phi}.

여기서 은 정수이며, }}이고, (''t'')}}는

양자역학에서 구대칭인 포텐셜 에 대한 1입자 슈뢰딩거 방정식 (대표적인 것은 수소 원자의 슈뢰딩거 방정식)을 풀 때, 구면 조화 함수가 나타난다.

:

\left\{ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)\right\}\psi(\boldsymbol{r})=E\psi(\boldsymbol{r})

양자역학에서는 }}의 을 양자수라고 부르며, 각각 을 '''방위 양자수''', 을 '''자기 양자수'''라고 한다.

구면 조화 함수는 궤도 각운동량 과 밀접한 관계가 있다. 구면 조화 함수는 }}과 }}의 동시 고유 함수가 되며, 그 고유값은 각각 ''ℓ''(''ℓ'' + 1), ''mħ''}}이다.

:

\boldsymbol{\ell}^2Y_\ell^m=\hbar^2\ell(\ell+1)Y_\ell^m

:

\ell_z Y_\ell^m=m\hbar Y_\ell^m

4. 1. 확률 밀도

구면 대칭 파동 함수

\psi_{nlm} (r, \theta, \phi) = R_{nl} (r) Y_l^m (\theta, \phi)

의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

:

P (r, \theta, \phi) = |\psi_{nlm} (r, \theta, \phi)|^2 = |R_{nl} (r)|^2  |Y_l^m (\theta, \phi)|^2

에너지는 ''l''과 ''m''에 전혀 무관하고 오로지 ''n''에만 관련이 있는 값으로, ''n''은 같고 ''l''과 ''m''이 다른 상태들은 모두 축퇴되어 있다. 같은 에너지를 갖는 상태에서 확률 밀도를 구하면 다음과 같다.

:

P (r, \theta, \phi) dV = |\sum_{l,m} \psi_{nlm} (r, \theta, \phi)|^2 dV = \sum_l |R_{nl} (r)|^2 \sum_{m=-l}^{l} |Y_l^m (\theta, \phi)|^2 dV = \sum_l C_l |R_{nl} (r)|^2 dV

여기서 C_''l''는 상수이며, 적분시 0이 되는 수직인 항들은 전부 무시하였다. 즉, 운죌트 정리에 따라서, 확률 밀도는 구면 대칭을 따른다.

5. 역사

구면 조화 함수는 18세기 피에르시몽 라플라스와 아드리앙마리 르장드르에 의해 처음 연구되었다. 이들은 뉴턴의 만유인력 법칙에 따른 뉴턴 퍼텐셜과 관련하여 구면 조화 함수를 연구하였으며, 중력 퍼텐셜 및 천체 역학 문제 해결에 응용하였다. 라플라스는 그의 저서 ''천체역학(Mécanique Céleste)''에서 점 질량 집합과 관련된 중력 퍼텐셜을 연구하였고, 르장드르는 뉴턴 퍼텐셜을 전개하여 르장드르 다항식을 유도하였는데, 이는 구면 조화 함수의 특수한 경우이다.

19세기 윌리엄 톰슨(켈빈 경)과 피터 거스리 테이트는 고체 구면 조화 함수를 도입하고 "구면 조화 함수"라는 용어를 처음 사용하였다. 이들은 라플라스 방정식의 동차 함수 다항식 해를 연구하면서 구면 조화 함수를 사용하였다.

20세기 양자역학의 발전과 함께 구면 조화 함수의 중요성이 더욱 부각되었다. 구면 조화 함수는 궤도 각운동량 연산자의 제곱의 고유 함수이므로, 다양한 각운동량 양자화된 원자 궤도의 구성을 나타내는데, 이는 원자 궤도와 각운동량 양자화를 설명하는 데 핵심적인 도구로 사용되고 있음을 의미한다.

6. 예

낮은 차수의 구면 조화 함수는 다음과 같다. 여기서는 입자 데이터 그룹(위의 식]]을 통해 양의 $m$ 으로부터 계산할 수 있다.)

: $Y_0^0(\theta,\varphi)=\frac12\sqrt{1\over \pi}$

: $Y_1^0(\theta,\varphi)=\frac12\sqrt{3\over \pi}\cos\theta$

: $Y_1^1(\theta,\varphi)=-\frac12\sqrt{3\over 2\pi}\sin\theta\exp(i\varphi)$

: $Y_2^0(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{5\over \pi}(3\cos^2\theta-1)$

: $Y_2^1(\theta,\varphi)=-\frac12\sqrt{15\over 2\pi}\sin\theta\cos\theta\exp(i\varphi)$

: $Y_2^2(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{15\over 2\pi}\sin^2\theta\exp(2i\varphi)$

: $Y_3^0(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{7\over \pi}(5\cos^3\theta-3\cos\theta)$

: $Y_3^1(\theta,\varphi)=-\frac18\sqrt{21\over \pi}\sin\theta(5\cos^2\theta-1)\exp(i\varphi)$

: $Y_3^2(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{105\over 2\pi}\sin^2\theta\cos\theta\exp(2i\varphi)$

: $Y_3^3(\theta,\varphi)=-\frac18\sqrt{35\over \pi}\sin^3\theta\exp(3i\varphi)$

몇몇 구면 조화 함수의 구체적인 식은 다음과 같다.

: $\begin{align}Y_{0}^{0}&=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\\Y_{1}^{0}&=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\,\cos\theta\\Y_{1}^{\pm1}&=\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\,\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}\\Y_{2}^{0}&=\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\,(3\cos^2\theta-1)\\Y_{2}^{\pm1}&=\mp\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\cos\theta\,e^{\pm i\varphi}\\Y_{2}^{\pm2}&=\sqrt{\frac{15}{32\pi}}\,\sin^2\theta\,e^{\pm2i\varphi}\\Y_{3}^{0}&=\sqrt{\frac{7}{16\pi}}\,(5\cos^{3}\theta-3\cos\theta)\\Y_{3}^{\pm1}&=\mp\sqrt{\frac{21}{64\pi}}\,\sin\theta\,(5\cos^{2}\theta-1)\,e^{\pm i\varphi}\\Y_{3}^{\pm2}&=\sqrt{\frac{105}{32\pi}}\,\sin^{2}\theta\cos\theta\,e^{\pm2i\varphi}\\Y_{3}^{\pm3}&=\mp\sqrt{\frac{35}{64\pi/Particle Data Group}}) 관례를 따랐다.$ ^[44] (음수 $m$ 의 경우는

\end{align}

6. 1. 2차원 구면 조화 함수

1차원 구는 원이며, 이 경우 구면 조화 함수는 단순히 삼각 함수이다.

:''Y''_m(''θ'') = 1/√(2π)exp(im''θ'')

이 경우

:Δ_S¹ ''Y''_m = -''m''²''Y''_m

:∫₀^2π ''Y''_m^*(''θ'')''Y''_m'(''θ'') d''θ'' = δ_ij

가 된다.

2차원 유클리드 공간의 조화 다항식은

:1

:''x'',''y''

:''x''²-''y''², ''xy''

등이 있는데, 이들을 원에 제한하고 ''y''/''x''=tan''θ''로 놓으면

:1

:sin''θ'', cos''θ''

:-2cos(2''θ''), sin²''θ''-cos²''θ'', 1/2sin2''θ''

를 얻는다. 즉, 각 ''l''=|''m''|에 대하여 이들은 ''Y''_m과 같은 2차원 함수 공간을 정의한다.

7. Conventions

7. 1. Orthogonality and normalization

구면 조화 함수는 여러 정규화 방법이 존재하며, 분야에 따라 다르게 사용된다.^[8]^[9]^[10]^[11]

음향학에서는 다음과 같이 정의되는 라플라스 구면 조화 함수를 일반적으로 사용한다.^[8]

Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt{\frac{(2\ell+1)}{4\pi} \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }

양자역학에서는 다음과 같이 정의한다.^[9]^[10]

Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = (-1)^m \sqrt{\frac{(2\ell+1)}{4\pi}\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_{\ell}^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }

여기서

P_{\ell}^{m}

은 콘돈-쇼틀리 위상 없이 연관 르장드르 다항식이다.

두 정의 모두에서 구면 조화 함수는 다음 직교 정규성을 만족한다.

\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'}{}^* \, d\Omega=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'},

여기서 는 크로네커 델타이고 이다.

측지학^[11] 및 스펙트럼 분석 분야에서는 다음을 사용한다.

Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt \, P_\ell^m ( \cos{\theta} )\, e^{i m \varphi }

이것은 단위 전력을 가진다.

자기학^[11]에서는 슈미트 반정규화 조화 함수를 사용한다.

Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt{\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }

양자역학에서는 이 정규화가 때때로 사용되기도 하며, 줄리오 라카의 이름을 따서 라카의 정규화라고 한다.

위의 모든 정규화된 구면 조화 함수는 다음을 만족한다.

Y_\ell^{m}{}^* (\theta, \varphi) = (-1)^{-m} Y_\ell^{-m} (\theta, \varphi),

여기서 위첨자 는 복소 켤레를 나타낸다.

차 구면 조화 함수 전체가 이루는 벡터 공간을 ''}}''라고 하면, 이상과 같이 정의된 내적에 대해, 다음 사실이 성립한다.^[39]

두 개의 음이 아닌 정수 에 대해, ''}}''와 ''}}''는 직교한다.

특히 차원 공간에서는 다음이 성립한다.

\langle Y_k^m \mid Y_j^s \rangle_{S^{n-1}} =\begin{cases}1&\text{if }k=j,\, m=s,\\0&\text{otherwise.}\end{cases}

7. 2. Condon–Shortley phase

양자 역학에서는

(-1)^m

의 위상 인자인 콘돈–쇼틀리 위상을 연관 르장드르 다항식이나 구면 조화 함수의 정의에 포함시키는 것이 일반적이다.^[13] 콘돈-쇼틀리 위상을 포함하면 래더 연산자 적용과 같은 일부 양자 역학적 연산을 단순화할 수 있다. 하지만 측지학과 자기학에서는 콘돈–쇼틀리 위상 인자를 구면 조화 함수 및 연관 르장드르 다항식 정의에 포함하지 않는다.^[13]

7. 3. Real form

복소수 구면 조화 함수

Y_{\ell}^m: S^2 \to \Complex

는 실수 구면 조화 함수

Y_{\ell m}:S^2 \to \R

의 선형 결합으로 나타낼 수 있으며, 그 역도 가능하다. 실수 구면 조화 함수와 복소수 구면 조화 함수 사이의 관계는 다음과 같다.

\begin{align}Y_{\ell m} &= \begin{cases}\dfrac{i}{\sqrt{2}} \left(Y_\ell^{m} - (-1)^m\, Y_\ell^{-m}\right) & \text{if}\ m < 0\\Y_\ell^0 & \text{if}\ m=0\\\dfrac{1}{\sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-m} + (-1)^m\, Y_\ell^{m}\right) & \text{if}\ m > 0.\end{cases}\\&= \begin{cases}\dfrac{i}{\sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-|m|} - (-1)^{m}\, Y_\ell^

\right) & \text{if}\ m < 0\\Y_\ell^0 & \text{if}\ m=0\\\dfrac{1}{\sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-|m|} + (-1)^{m}\, Y_\ell^

\right) & \text{if}\ m>0.\end{cases}\\&= \begin{cases}\sqrt{2} \, (-1)^m \, \Im [{Y_\ell^

}] & \text{if}\ m<0\\Y_\ell^0 & \text{if}\ m=0\\\sqrt{2} \, (-1)^m \, \Re [{Y_\ell^m}] & \text{if}\ m>0.\end{cases}\end{align}

역으로, 복소수 구면 조화 함수

Y_{\ell}^m : S^2 \to \Complex

는 실수 구면 조화 함수

Y_{\ell m}:S^2 \to \R

를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

Y_{\ell}^{m} = \begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{2}} \left(Y_{\ell |m|} - i Y_{\ell,-|m|}\right) & \text{if}\ m<0 \\[4pt]Y_{\ell 0} &\text{if}\ m=0 \\[4pt]\dfrac{(-1)^m}{ \sqrt{2}} \left(Y_{\ell |m|} + i Y_{\ell,-|m|}\right) & \text{if}\ m>0.\end{cases}

실수 구면 조화 함수

Y_{\ell m}:S^2 \to \R

는 '테셀 구면 조화 함수'라고도 불린다. 인 경우 코사인 타입, 인 경우 사인 타입이라고 불리며, 이는 르장드르 다항식을 통해 확인할 수 있다.

Y_{\ell m} = \begin{cases}\left(-1\right)^m\sqrt{2} \sqrt{\dfrac{2\ell+1}{4\pi}\dfrac{(\ell-|m|)!}{(\ell+|m|)!}} \;P_\ell^

(\cos \theta) \ \sin( |m|\varphi )&\text{if } m<0\\[4pt]\sqrt{\dfrac{ 2\ell+1}{4\pi}} \ P_\ell^m(\cos \theta)& \text{if } m=0\\[4pt]\left(-1\right)^m\sqrt{2} \sqrt{\dfrac{2\ell+1}{4\pi}\dfrac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \;P_\ell^m(\cos \theta) \ \cos( m\varphi )& \text{if } m>0 \,.\end{cases}

\ell = 4

까지의 실수 구면 조화 함수 목록은 여기에서 확인할 수 있다.

7. 3. 1. Use in quantum chemistry

자기항이 없는 비상대론적 슈뢰딩거 방정식의 해는 실수로 만들 수 있다. 이러한 성질 때문에 양자 화학의 기저 함수에서 실수 형태의 구면 조화 함수가 광범위하게 사용되며, 이 경우 프로그램에서 복소수 대수를 사용할 필요가 없다. 여기서 실수 함수는 복소수 함수가 차지하는 것과 동일한 공간을 차지한다.

예를 들어, 구면 조화 함수의 표에서 볼 수 있듯이, 일반적인 ''p'' 함수 (

\ell = 1

)는 복소수이며 축 방향을 혼합하지만, 실수 버전은 본질적으로 ''x'', ''y'', ''z''이다.

양자역학에서 구대칭인 포텐셜 ''V''(''r'')에 대한 1입자 슈뢰딩거 방정식 (대표적인 것은 수소 원자의 슈뢰딩거 방정식)을 풀 때, 구면 조화 함수가 나타난다. 양자역학에서는

Y_{\ell}^{m}

의

\ell

, m을 양자수라고 부르며, 각각

\ell

을 '''방위 양자수''',

m

을 '''자기 양자수'''라고 한다.

구면 조화 함수는 궤도 각운동량 '''

\ell

'''과 밀접한 관계가 있다. 구면 조화 함수는 '''

\ell

'''²과

\ell

_z의 동시 고유 함수가 되며, 그 고유값은 각각

\hbar^2 \ell(\ell+1)

,

m\hbar

이다. 즉,

:

\boldsymbol{\ell}^2Y_\ell^m=\hbar^2\ell(\ell+1)Y_\ell^m

:

\ell_z Y_\ell^m=m\hbar Y_\ell^m

이 된다. 또한, 상승 하강 연산자

\ell

₊,

\ell

_-를 구면 조화 함수에 작용시키면

:

\ell_+ Y_\ell^m=\hbar\sqrt{(\ell-m)(\ell+m+1)}\, Y_\ell^{m+1}

:

\ell_- Y_\ell^m=\hbar\sqrt{(\ell+m)(\ell-m+1)}\, Y_\ell^{m-1}

:

\ell_+ Y_\ell^\ell=0,\quad\ell_- Y_\ell^{-\ell}=0

이 된다.

8. Spherical harmonics in Cartesian form

복소 구면 조화 함수 $Y_\ell^m$ ^영어는 $S^2$ 에서 모든 $\R^3$ 으로 확장하여 $\ell$ 차의 동차 함수로 다음과 같이 고체 조화 함수를 생성한다.

: $R_\ell^m(v) := \|v\|^\ell Y_\ell^m\left(\frac{v}{\|v\|}\right)$

$R_\ell^m$ 이 차수 $\ell$ 의 조화 동차 다항식 공간의 기저임이 밝혀졌다. 더 구체적으로는 회전군 $SO(3)$ 의 이 표현에 대한 (정규화까지 유일한) 겔판트-체틀린 기저이며, 데카르트 좌표에서 $R_\ell^m$ 에 대한 명시적인 공식은 그 사실로부터 파생될 수 있다.

== Separated Cartesian form ==

Herglotzian 정의는 $z$ 에 대한 다항식과 $x$ 와 $y$ 에 대한 다른 다항식으로 더 분해될 수 있는 다항식을 생성한다(Condon–Shortley 위상).

: $r^\ell\,\begin{pmatrix} Y_\ell^{m} \\ Y_\ell^{-m} \end{pmatrix}=\left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\right]^{1/2} \bar{\Pi}^m_\ell(z)\begin{pmatrix} \left(-1\right)^m (A_m + i B_m) \\ (A_m - i B_m) \end{pmatrix} ,\qquad m > 0.$

그리고 $m = 0$ 에 대해:

: $r^\ell\,Y_\ell^{0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} \bar{\Pi}^0_\ell .$

여기서

: $A_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \cos \left((m-p) \frac{\pi}{2}\right),$

: $B_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \sin \left((m-p) \frac{\pi}{2}\right),$

그리고

: $\bar{\Pi}^m_\ell(z)= \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2}\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor}(-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!}\; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}.$

$m = 0$ 의 경우, 이는 다음과 같이 단순화된다.

: $\bar{\Pi}^0_\ell(z)= \sum_{k=0}^{\left \lfloor \ell/2\right \rfloor}(-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \; r^{2k}\; z^{\ell-2k}.$

인수 $\bar{\Pi}_\ell^m(z)$ 는 본질적으로 연관 르장드르 다항식 $P_\ell^m(\cos\theta)$ 이고, 인수 $(A_m \pm i B_m)$ 는 본질적으로 $e^{\pm i m\varphi}$ 이다.

== Examples ==

위에 명시된 $\bar{\Pi}_\ell^m(z)$ , $A_m(x,y)$ , $B_m(x,y)$ 의 식을 사용하여 다음을 얻는다.

$Y^1_3= - \frac{1}{r^3} \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16} \right]^{1/2} \left(5z^2-r^2\right) \left(x+iy\right)= - \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16}\right]^{1/2} \left(5\cos^2\theta-1\right) \left(\sin\theta e^{i\varphi}\right)$

$Y^{-2}_4 = \frac{1}{r^4} \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2} \left(7z^2-r^2\right) \left(x-iy\right)^2= \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2} \left(7 \cos^2\theta -1\right) \left(\sin^2\theta e^{-2 i \varphi}\right)$

이것이 여기와 여기에 나열된 함수와 일치하는지 확인할 수 있다.

== Real forms ==

실수 구면 조화 함수는 위의 방정식을 사용하여 형성할 수 있다. $m>0$ 에 대해서는 $A_m$ 항(코사인)만 포함되고, $m<0$ 에 대해서는 $B_m$ 항(사인)만 포함된다.

: $r^\ell\,\begin{pmatrix} Y_{\ell m} \\ Y_{\ell -m} \end{pmatrix}=\sqrt{\frac{2\ell+1}{2\pi}} \bar{\Pi}^m_\ell(z)\begin{pmatrix} A_m \\ B_m \end{pmatrix} ,\qquad m > 0.$

그리고 ''m'' = 0에 대해:

: $r^\ell\,Y_{\ell 0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}\bar{\Pi}^0_\ell .$

8. 1. The Herglotz generating function

양자 역학적 규칙을

Y_{\ell}^m: S^2 \to \Complex

에 적용하면, 다음과 같은 생성 함수를 얻을 수 있다.

e^{v{\mathbf a}\cdot{\mathbf r}}= \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m = -\ell}^{\ell}\sqrt{\frac{4\pi}{2\ell +1}}\frac{r^{\ell} v^{\ell} {\lambda^m}}{\sqrt{(\ell +m)!(\ell-m)!}} Y_{\ell}^m (\mathbf{r}/r).

여기서,

\mathbf r

은

(x, y, z) \in \R^3

의 성분을 갖는 벡터이고,

r = |\mathbf{r}|

이며,

\mathbf a

는 다음과 같이 복소 좌표를 갖는 벡터이다.

{\mathbf a}= {\mathbf{\hat z}}

\frac{\lambda}{2}\left({\mathbf{\hat x}} + i {\mathbf{\hat y}}\right)

+ \frac{1}{2\lambda}\left({\mathbf{\hat x}} - i {\mathbf{\hat y}}\right)=[\frac{1}{2}(\frac{1}{\lambda}-\lambda),-\frac{i}{2 }(\frac{1}{\lambda} +\lambda),1 ] .

\mathbf a

의 본질적인 특징은

\mathbf a \cdot \mathbf a = 0

을 만족하는 널(null) 벡터라는 것이다.

v

와

\lambda

는 실수 매개변수로 사용한다. 이 생성 함수는 헤르글로츠의 이름을 따서 헤르글로츠 생성 함수라고 부르는데, 이는 그 발견에 대한 그의 미발표 노트를 인용한 를 따른 것이다.

구면 조화 함수의 모든 성질은 이 생성 함수로부터 유도될 수 있다. 예를 들어, 벡터

\mathbf r

을 양자 역학적 스핀 벡터 연산자

\mathbf J

로 대체하면, 표준화된 구면 텐서 연산자 세트,

\mathcal{Y}_{\ell}^m({\mathbf J})

에 대한 생성 함수를 얻을 수 있다.^[16]

e^{v{\mathbf a}\cdot{\mathbf J}}= \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m = -\ell}^{\ell}\sqrt{\frac{4\pi}{2\ell +1}}\frac{v^{\ell} {\lambda^m}}{\sqrt{(\ell +m)!(\ell-m)!}}{\mathcal Y}_{\ell}^m({\mathbf J}).

이는

\mathcal{Y}_{\ell}^m

이 회전 하에서

Y_{\ell}^m

과 동일한 방식으로 변환되도록 보장하며, 클레브쉬-고르단 합성 정리 및 위그너-에카르트 정리와 같은 구면 텐서 연산자의 모든 속성을 갖도록 한다.

8. 2. Separated Cartesian form

Herglotzian 정의는

z

에 대한 다항식과

x

와

y

에 대한 다른 다항식으로 더 분해될 수 있는 다항식을 생성한다(Condon–Shortley 위상).

:

r^\ell\,\begin{pmatrix} Y_\ell^{m} \\ Y_\ell^{-m} \end{pmatrix}=\left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\right]^{1/2} \bar{\Pi}^m_\ell(z)\begin{pmatrix} \left(-1\right)^m (A_m + i B_m) \\ (A_m - i B_m) \end{pmatrix} ,\qquad m > 0.

그리고

m = 0

에 대해:

:

r^\ell\,Y_\ell^{0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} \bar{\Pi}^0_\ell .

여기서

:

A_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \cos \left((m-p) \frac{\pi}{2}\right),

:

B_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \sin \left((m-p) \frac{\pi}{2}\right),

그리고

:

\bar{\Pi}^m_\ell(z)= \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2}\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor}(-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!}\; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}.

m = 0

의 경우, 이는 다음과 같이 단순화된다.

:

\bar{\Pi}^0_\ell(z)= \sum_{k=0}^{\left \lfloor \ell/2\right \rfloor}(-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \; r^{2k}\; z^{\ell-2k}.

인수

\bar{\Pi}_\ell^m(z)

는 본질적으로 연관 르장드르 다항식

P_\ell^m(\cos\theta)

이고, 인수

(A_m \pm i B_m)

는 본질적으로

e^{\pm i m\varphi}

이다.

8. 2. 1. Examples

위에 명시된

\bar{\Pi}_\ell^m(z)

,

A_m(x,y)

,

B_m(x,y)

의 식을 사용하여 다음을 얻는다.

Y^1_3= - \frac{1}{r^3} \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16} \right]^{1/2} \left(5z^2-r^2\right) \left(x+iy\right)= - \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16}\right]^{1/2} \left(5\cos^2\theta-1\right) \left(\sin\theta e^{i\varphi}\right)

Y^{-2}_4 = \frac{1}{r^4} \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2} \left(7z^2-r^2\right) \left(x-iy\right)^2= \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2} \left(7 \cos^2\theta -1\right) \left(\sin^2\theta e^{-2 i \varphi}\right)

이것이 여기와 여기에 나열된 함수와 일치하는지 확인할 수 있다.

8. 2. 2. Real forms

실수 구면 조화 함수는 위의 방정식을 사용하여 형성할 수 있다.

m>0

에 대해서는

A_m

항(코사인)만 포함되고,

m<0

에 대해서는

B_m

항(사인)만 포함된다.

:

r^\ell\,\begin{pmatrix} Y_{\ell m} \\ Y_{\ell -m} \end{pmatrix}=\sqrt{\frac{2\ell+1}{2\pi}} \bar{\Pi}^m_\ell(z)\begin{pmatrix} A_m \\ B_m \end{pmatrix} ,\qquad m > 0.

그리고 ''m'' = 0에 대해:

:

r^\ell\,Y_{\ell 0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}\bar{\Pi}^0_\ell .

9. Special cases and values

$m = 0$ 일 때, 구면 조화 함수는 일반적인 르장드르 다항식으로 축소된다:

::

Y_{\ell}^0(\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} P_{\ell}(\cos\theta).

$m = \pm\ell$ 일 때, 구면 조화 함수는 다음과 같이 표현된다:

::

Y_{\ell}^{\pm\ell}(\theta,\varphi)= \frac{(\mp 1)^{\ell}}{2^{\ell}\ell!} \sqrt{\frac{(2\ell+1)!}{4\pi}} \sin^{\ell}\theta\, e^{\pm i\ell\varphi},

북극에서 ( $\theta = 0$ ), $m = 0$ 인 구면 조화 함수를 제외한 모든 구면 조화 함수는 0이 된다:

::

Y_{\ell}^m(0,\varphi) = Y_{\ell}^m({\mathbf z}) = \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} \delta_{m0}.

}}를 }} 위의 벡터

:'' = (0, ..., 0, 1) ∈ '''R'''}}

로 둔다.

임의의 자연수 에 대해, }} 위의 차 대구 함수는 상수배를 제외하고 유일하다.

10. Symmetry properties

구면 조화 함수는 공간 반전(패리티)과 회전 연산에 대해 심오하고 중요한 속성을 지닌다.

=== Parity ===

구면 조화 함수는 패리티가 결정되어 있으며, 원점에 대한 반전에 대해 짝수이거나 홀수이다. 반전은 연산자 $P\Psi(\mathbf r) = \Psi(-\mathbf r)$ 로 표현된다. $\mathbf r$ 이 단위 벡터일 때,

$Y_\ell^m(-\mathbf r) = (-1)^\ell Y_\ell^m(\mathbf r).$ 이다.

구면 좌표를 기준으로, 패리티는 좌표가 $\{\theta,\varphi\}$ 인 점을 $\{\pi-\theta,\pi+\varphi\}$ 로 변환한다. 구면 조화 함수의 패리티는 다음과 같다.

$Y_\ell^m(\theta,\varphi) \to Y_\ell^m(\pi-\theta,\pi+\varphi) = (-1)^\ell Y_\ell^m(\theta,\varphi)$

이는 연관 르장드르 다항식이 (−1)^{''ℓ''+''m''}을, 지수 함수가 (−1)^''m''을 제공하여 구면 조화 함수의 패리티가 (−1)^''ℓ''이 되기 때문이다.

패리티는 실수 구면 조화 함수와 고차원 구면 조화 함수에서도 계속 성립한다. 차수 ℓ의 구면 조화 함수에 점 반사를 적용하면 부호가 (−1)^''ℓ''만큼 바뀐다.

=== Rotations ===

원점에 대한 회전 $\mathcal R$ 을 고려하여 단위 벡터 $\mathbf r$ 을 $\mathbf r'$ 로 보낸다. 이 연산에서 차수 $\ell$ 및 차수 $m$ 의 구면 조화 함수는 동일한 차수의 구면 조화 함수의 선형 조합으로 변환된다.

: $Y_\ell^m({\mathbf r}') = \sum_{m' = -\ell}^\ell [D^{(\ell)}_{mm'}({\mathcal R})]^* Y_\ell^{m'}({\mathbf r}),$

여기서 $D^{(\ell)}_{mm'}({\mathcal R})^*$ 는 Wigner D-행렬 원소의 복소 켤레이다. 특히 $\mathbf r'$ 가 방위각의 $\phi_0$ 회전일 때, 다음 항등식을 얻는다.

: $Y_\ell^m({\mathbf r}') = Y_\ell^{m}({\mathbf r}) e^{i m \phi_0}.$

구면 조화 함수의 회전 행동은 군론적 관점에서 그들의 전형적인 특징이다. 차수 $\ell$ 의 $Y_\ell^m$ 는 차원 $(2\ell + 1)$ 의 군 SO(3)의 기약 표현을 위한 함수 집합을 제공한다. 분석 방법을 사용하여 어렵게 증명되는 구면 조화 함수에 대한 많은 사실(예: 덧셈 정리)은 대칭 방법을 사용하여 더 간단한 증명과 더 깊은 의미를 얻는다.

10. 1. Parity

구면 조화 함수는 패리티가 결정되어 있으며, 원점에 대한 반전에 대해 짝수이거나 홀수이다. 반전은 연산자

P\Psi(\mathbf r) = \Psi(-\mathbf r)

로 표현된다.

\mathbf r

이 단위 벡터일 때,

Y_\ell^m(-\mathbf r) = (-1)^\ell Y_\ell^m(\mathbf r).

이다.

구면 좌표를 기준으로, 패리티는 좌표가

\{\theta,\varphi\}

인 점을

\{\pi-\theta,\pi+\varphi\}

로 변환한다. 구면 조화 함수의 패리티는 다음과 같다.

Y_\ell^m(\theta,\varphi) \to Y_\ell^m(\pi-\theta,\pi+\varphi) = (-1)^\ell Y_\ell^m(\theta,\varphi)

이는 연관 르장드르 다항식이 (−1)^{''ℓ''+''m''}을, 지수 함수가 (−1)^''m''을 제공하여 구면 조화 함수의 패리티가 (−1)^''ℓ''이 되기 때문이다.

패리티는 실수 구면 조화 함수와 고차원 구면 조화 함수에서도 계속 성립한다. 차수 의 구면 조화 함수에 점 반사를 적용하면 부호가 (−1)^''ℓ''만큼 바뀐다.

10. 2. Rotations

원점에 대한 회전

\mathcal R

을 고려하여 단위 벡터

\mathbf r

을

\mathbf r'

로 보낸다. 이 연산에서 차수

\ell

및 차수

m

의 구면 조화 함수는 동일한 차수의 구면 조화 함수의 선형 조합으로 변환된다.

:

Y_\ell^m({\mathbf r}') = \sum_{m' = -\ell}^\ell [D^{(\ell)}_{mm'}({\mathcal R})]^* Y_\ell^{m'}({\mathbf r}),

여기서

D^{(\ell)}_{mm'}({\mathcal R})^*

는 Wigner D-행렬 원소의 복소 켤레이다. 특히

\mathbf r'

가 방위각의

\phi_0

회전일 때, 다음 항등식을 얻는다.

:

Y_\ell^m({\mathbf r}') = Y_\ell^{m}({\mathbf r}) e^{i m \phi_0}.

구면 조화 함수의 회전 행동은 군론적 관점에서 그들의 전형적인 특징이다. 차수

\ell

의

Y_\ell^m

는 차원

(2\ell + 1)

의 군 SO(3)의 기약 표현을 위한 함수 집합을 제공한다. 분석 방법을 사용하여 어렵게 증명되는 구면 조화 함수에 대한 많은 사실(예: 덧셈 정리)은 대칭 방법을 사용하여 더 간단한 증명과 더 깊은 의미를 얻는다.

11. Spherical harmonics expansion

라플라스 구면 조화 함수 $Y_{\ell}^m:S^2 \to \Complex$ 는 완전 정규 직교 함수 집합을 형성하며, 힐베르트 공간 $L^2_{\Complex}(S^2)$ 의 정규 직교 기저를 형성한다. 따라서 단위 구 $S^2$ 에서 임의의 제곱 적분 가능 함수 $f:S^2 \to \Complex$ 는 다음과 같이 구면 조화 함수들의 선형 결합으로 전개될 수 있다.

$f(\theta,\varphi)=\sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell f_\ell^m \, Y_\ell^m(\theta,\varphi).$

이 전개는 평균 제곱 수렴, 즉 구의 L²에서의 수렴의 의미에서 성립한다. 다시 말해, 다음이 성립한다.

$\lim_{N\to\infty} \int_0^{2\pi}\int_0^\pi \left|f(\theta,\varphi)-\sum_{\ell=0}^N \sum_{m=- \ell}^\ell f_\ell^m Y_\ell^m(\theta,\varphi)\right|^2\sin\theta\, d\theta \,d\varphi = 0.$

전개 계수 $f_\ell^m$ 는 푸리에 급수의 경우와 유사하게, 위의 식에 구면 조화 함수의 복소 공액을 곱하고 입체각 $\Omega$ 에 대해 적분하여 얻을 수 있다. 정규 직교화된 조화 함수의 경우, 이는 다음과 같다.

$f_\ell^m=\int_{\Omega} f(\theta,\varphi)\, Y_\ell^{m*}(\theta,\varphi)\,d\Omega = \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi \,d\theta\,\sin\theta f(\theta,\varphi)Y_\ell^{m*} (\theta,\varphi).$

만약 계수가 ''ℓ''에서 충분히 빠르게 감소하면 (예: 지수 함수적으로), 이 급수는 ''f''로 균등 수렴한다.

실수 함수 $f:S^2 \to \R$ 의 경우, 실수 구면 조화 함수 $Y_{\ell m}:S^2 \to \R$ 의 합으로 전개할 수 있다.

$f(\theta, \varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell f_{\ell m} \, Y_{\ell m}(\theta, \varphi).$

이 급수의 수렴 역시 평균 제곱 수렴의 의미에서 성립하며, 실수 구면 조화 함수 $Y_{\ell m}$ 가 $L^2_{\R}(S^2)$ 의 정규 직교 기저를 형성하기 때문이다. 실수 조화 함수 전개의 장점은 실수 함수 $f$ 에 대해 전개 계수 $f_{\ell m}$ 이 실수로 보장된다는 것이다.

12. Spectrum analysis

함수 ''f''의 전체 전력은 신호 처리 문헌에서 함수 제곱의 적분을 해당 영역의 면적으로 나눈 값으로 정의된다. 실수 단위 전력 구면 조화 함수의 정규 직교성 속성을 사용하여, 단위 구면에서 정의된 함수의 전체 전력은 일반화된 파르세발의 정리에 의해 스펙트럼 계수와 관련이 있음을 쉽게 확인할 수 있다.

: $\frac{1}{4 \, \pi} \int_\Omega |f(\Omega)|^2\, d\Omega = \sum_{\ell=0}^\infty S_{f\!f}(\ell),$

여기서

: $S_{f\!f}(\ell) = \frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell |f_{\ell m}|^2$

는 각도 전력 스펙트럼으로 정의된다. 유사한 방식으로, 두 함수의 교차 전력을 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $\frac{1}{4 \, \pi} \int_\Omega f(\Omega) \, g^\ast(\Omega) \, d\Omega = \sum_{\ell=0}^\infty S_{fg}(\ell),$

여기서

: $S_{fg}(\ell) = \frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell f_{\ell m} g^\ast_{\ell m}$

는 교차 전력 스펙트럼으로 정의된다. 함수 ''f''와 ''g''가 0 평균을 가지는 경우, ''S''_''ff''(''ℓ'') 및 ''S''_''fg''(''ℓ'')는 각각 차수 ''ℓ''에 대한 함수의 분산 및 공분산에 대한 기여도를 나타낸다. (교차-)전력 스펙트럼은 일반적으로 다음 형태의 멱함수로 잘 근사된다.

: $S_{f\!f}(\ell) = C \, \ell^{\beta}.$

''β'' = 0일 때, 각 차수가 동일한 전력을 가지므로 스펙트럼은 "백색"이다. ''β'' < 0일 때, 낮은 차수, 즉 긴 파장에서 더 많은 전력이 존재하므로 스펙트럼은 "적색"이라고 한다. 마지막으로, ''β'' > 0일 때, 스펙트럼은 "청색"이라고 한다. ''S''_''ff''(''ℓ'')의 성장 순서에 대한 조건은 다음 절에서 ''f''의 미분 가능성 순서와 관련이 있다.

구면 조화 함수 ''f''의 미분 가능성은 ''S''_''ff''(''ℓ'')의 점근선을 통해 이해할 수 있다. 특히, ''S''_''ff''(''ℓ'')이 ''ℓ''에 대한 어떤 유리 함수보다 빠르게 붕괴하는 경우, 즉 ''ℓ'' → ∞일 때 ''f''는 무한히 미분 가능하다. 만약 더 나아가 ''S''_''ff''(''ℓ'')이 지수적으로 붕괴한다면, ''f''는 실제로 구면에서 실해석적이다.

일반적인 기술은 소볼레 공간 이론을 사용하는 것이다. ''S''_''ff''(''ℓ'')의 성장이 미분 가능성과 관련되는 명제는 푸리에 급수의 계수의 성장에 대한 유사한 결과와 유사하다. 구체적으로,

$\sum_{\ell=0}^\infty (1+\ell^2)^s S_{ff}(\ell) < \infty,$

이면 ''f''는 소볼레 공간 ''H''^''s''(''S''²)에 속한다. 특히, 소볼레 임베딩 정리에 따르면

$S_{ff}(\ell) = O(\ell^{-s})\quad\rm{as\ }\ell\to\infty$

가 모든 ''s''에 대해 성립하면 ''f''는 무한히 미분 가능하다.

12. 1. Power spectrum in signal processing

함수 ''f''의 전체 전력은 신호 처리 문헌에서 함수 제곱의 적분을 해당 영역의 면적으로 나눈 값으로 정의된다. 실수 단위 전력 구면 조화 함수의 정규 직교성 속성을 사용하여, 단위 구면에서 정의된 함수의 전체 전력은 일반화된 파르세발의 정리에 의해 스펙트럼 계수와 관련이 있음을 쉽게 확인할 수 있다.

:

\frac{1}{4 \, \pi} \int_\Omega |f(\Omega)|^2\, d\Omega = \sum_{\ell=0}^\infty S_{f\!f}(\ell),

여기서

:

S_{f\!f}(\ell) = \frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell |f_{\ell m}|^2

는 각도 전력 스펙트럼으로 정의된다. 유사한 방식으로, 두 함수의 교차 전력을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\frac{1}{4 \, \pi} \int_\Omega f(\Omega) \, g^\ast(\Omega) \, d\Omega = \sum_{\ell=0}^\infty S_{fg}(\ell),

여기서

:

S_{fg}(\ell) = \frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell f_{\ell m} g^\ast_{\ell m}

는 교차 전력 스펙트럼으로 정의된다. 함수 ''f''와 ''g''가 0 평균을 가지는 경우, ''S''_''ff''(''ℓ'') 및 ''S''_''fg''(''ℓ'')는 각각 차수 ''ℓ''에 대한 함수의 분산 및 공분산에 대한 기여도를 나타낸다. (교차-)전력 스펙트럼은 일반적으로 다음 형태의 멱함수로 잘 근사된다.

:

S_{f\!f}(\ell) = C \, \ell^{\beta}.

''β'' = 0일 때, 각 차수가 동일한 전력을 가지므로 스펙트럼은 "백색"이다. ''β'' < 0일 때, 낮은 차수, 즉 긴 파장에서 더 많은 전력이 존재하므로 스펙트럼은 "적색"이라고 한다. 마지막으로, ''β'' > 0일 때, 스펙트럼은 "청색"이라고 한다. ''S''_''ff''(''ℓ'')의 성장 순서에 대한 조건은 다음 절에서 ''f''의 미분 가능성 순서와 관련이 있다.

12. 2. Differentiability properties

구면 조화 함수 ''f''의 미분 가능성은 ''S''_''ff''(''ℓ'')의 점근선을 통해 이해할 수 있다. 특히, ''S''_''ff''(''ℓ'')이 ''ℓ''에 대한 어떤 유리 함수보다 빠르게 붕괴하는 경우, 즉 ''ℓ'' → ∞일 때 ''f''는 무한히 미분 가능하다. 만약 더 나아가 ''S''_''ff''(''ℓ'')이 지수적으로 붕괴한다면, ''f''는 실제로 구면에서 실해석적이다.

일반적인 기술은 소볼레 공간 이론을 사용하는 것이다. ''S''_''ff''(''ℓ'')의 성장이 미분 가능성과 관련되는 명제는 푸리에 급수의 계수의 성장에 대한 유사한 결과와 유사하다. 구체적으로,

\sum_{\ell=0}^\infty (1+\ell^2)^s S_{ff}(\ell) < \infty,

이면 ''f''는 소볼레 공간 ''H''^''s''(''S''²)에 속한다. 특히, 소볼레 임베딩 정리에 따르면

S_{ff}(\ell) = O(\ell^{-s})\quad\rm{as\ }\ell\to\infty

가 모든 ''s''에 대해 성립하면 ''f''는 무한히 미분 가능하다.

13. Algebraic properties

13. 1. Addition theorem

두 벡터 r과 r′이 구면 좌표

(r,\theta,\varphi)

와

(r, \theta ', \varphi ')

를 가질 때, 그 사이의 각도

\gamma

는 다음과 같이 주어진다.^[17]

\cos\gamma = \cos\theta'\cos\theta + \sin\theta\sin\theta' \cos(\varphi-\varphi')

이 식에서 우변의 삼각 함수 역할은 구면 조화 함수가, 좌변은 르장드르 다항식이 수행한다.

''덧셈 정리''는 다음과 같다.^[17]

:

P_\ell( \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} ) = \frac{4\pi}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell Y_{\ell m}(\mathbf{y}) \, Y_{\ell m}^*(\mathbf{x})\quad \forall \, \ell \in \N_0 \;\forall\, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \R^3 \colon \; \| \mathbf{x} \|_2 = \| \mathbf{y} \|_2 = 1 \,,

여기서 는 차수의 르장드르 다항식이다. 이 표현은 실수 및 복소수 조화 함수 모두에 유효하다. 이 결과는 단위 구에서의 푸아송 커널의 속성을 사용하여 해석적으로 증명하거나, 벡터 '''y'''를 ''z''축을 따라 가리키도록 회전을 적용한 다음 우변을 직접 계산하여 기하학적으로 증명할 수 있다.

특히, 인 경우, 이는 운졸트 정리를 제공한다.

:

\sum_{m=-\ell}^\ell Y_{\ell m}^*(\mathbf{x}) \, Y_{\ell m}(\mathbf{x}) = \frac{2\ell + 1}{4\pi}

이는 항등식 을 2차원으로 일반화한 것이다.

전개식에서 좌변

P_{\ell} (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y})

는 차수 구역 구면 조화 함수의 상수 배이다. 이러한 관점에서 고차원으로의 일반화가 가능하다. 가 -구면에서의 차수 구면 조화 함수의 공간 의 임의의 정규 직교 기저라고 하면, 단위 벡터 에 해당하는 차수 구역 조화 함수

Z^{(\ell)}_{\mathbf{x}}

는 다음과 같이 분해된다.

:

Z^{(\ell)}_{\mathbf{x}}({\mathbf{y}}) = \sum_{j=1}^{\dim(\mathbf{H}_\ell)}\overline{Y_j({\mathbf{x}})}\,Y_j({\mathbf{y}})

더욱이, 구역 조화 함수

Z^{(\ell)}_{\mathbf{x}}({\mathbf{y}})

는 적절한 게겐바우어 다항식의 상수 배로 주어진다.

:

Z^{(\ell)}_{\mathbf{x}}({\mathbf{y}}) = C_\ell^{((n-2)/2)}({\mathbf{x}}\cdot {\mathbf{y}})

위의 두 식을 결합하면 인 경우, 즉, 와 가 구면 좌표로 표현되는 경우 원래의 덧셈 정리를 얻을 수 있다. 마지막으로, 에서 평가하면 다음과 같은 함수 항등식이 얻어진다.

:

\frac{\dim \mathbf{H}_\ell}{\omega_{n-1}} = \sum_{j=1}^{\dim(\mathbf{H}_\ell)}|Y_j({\mathbf{x}})|^2

여기서 는 (''n''−1)-구의 부피이다.

13. 2. Contraction rule

두 개의 구면 조화 함수의 곱은 구면 조화 함수의 합으로 표현할 수 있다.^[22]

:

Y_{a,\alpha}\left(\theta,\varphi\right)Y_{b,\beta}\left(\theta,\varphi\right) = \sqrt{\frac{\left(2a+1\right) \left(2b+1\right)}{4\pi}}\sum_{c=0}^{\infty}\sum_{\gamma=-c}^{c}\left(-1\right)^{\gamma}\sqrt{2c+1}\begin{pmatrix}a & b & c\\\alpha & \beta & -\gamma\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b & c\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} Y_{c,\gamma}\left(\theta,\varphi\right).

이 합의 많은 항들은 자명하게 0이다. 이 합에서 0이 아닌 항을 생성하는

c

및

\gamma

의 값은 3j-심볼에 대한 선택 규칙에 의해 결정된다.

13. 3. Clebsch–Gordan coefficients

클렙쉬-고르단 계수는 두 구면 조화 함수의 곱을 구면 조화 함수 자체로 전개할 때 나타나는 계수이다. 기본적으로 동일한 계산을 수행하는 데 사용할 수 있는 다양한 기법이 있으며, 여기에는 비그너 3-jm 기호, 라카 계수, 그리고 슬레이터 적분이 있다. 추상적으로, 클렙쉬-고르단 계수는 두 기약 표현의 텐서 곱을 회전군의 기약 표현의 합으로 표현한다. 적절하게 정규화하면 계수는 다중도가 된다.

14. Visualization of the spherical harmonics

라플라스 구면 조화 함수 $Y_\ell^m$ 는 "절선", 즉 $\Re [Y_\ell^m] = 0$ 또는 $\Im [Y_\ell^m] = 0$ 인 구면의 점 집합을 고려하여 시각화할 수 있다. $Y_\ell^m$ 의 절선은 ''ℓ''개의 원으로 구성된다. 경도를 따라 }}개의 원이 있고 위도를 따라 ''ℓ''−|''m''|개의 원이 있다. 각 유형의 절선의 수는 $Y_\ell^m$ 의 $\theta$ 및 $\varphi$ 방향의 영점 수를 세어 결정할 수 있다. $Y_\ell^m$ 을 $\theta$ 의 함수로 고려하면, 연관 르장드르 다항식의 실수부와 허수부는 각각 ''ℓ''−|''m''|개의 영점을 가지며, 각각 위도의 절선을 발생시킨다. 반면에 $Y_\ell^m$ 을 $\varphi$ 의 함수로 고려하면, 삼각 함수 sin 및 cos는 2|''m''|개의 영점을 가지며, 각각 경도의 절선을 발생시킨다.

구면 조화 함수 차수 ''m''이 0일 때, 구면 조화 함수는 경도에 의존하지 않으며 '''''대칭'''''이라고 한다. 이러한 구면 조화 함수는 대칭 구면 함수의 특수한 경우이다. }}일 때, 위도에서 영점 교차가 없으며, 이 함수를 '''''부채꼴'''''이라고 한다. 다른 경우에는 함수가 구면을 체커하고, '''''테셀레이션''''''이라고 한다.

차수 의 더 일반적인 구면 조화 함수는 반드시 라플라스 기저 $Y_\ell^m$ 의 함수일 필요는 없으며, 그 절점 집합은 매우 일반적인 형태를 가질 수 있다.

15. List of spherical harmonics

처음 몇 개의 정규 직교 라플라스 구면 조화 함수는 다음과 같이 표현된다.

:Y_{0}^{0}(θ,φ)^영어 = }}}}}

:Y_{1}^{-1}(θ,φ)^영어 = }} }}

:Y_{1}^{0}(θ,φ)^영어 = }} }}

:Y_{1}^{1}(θ,φ)^영어 = }} }}

:Y_{2}^{-2}(θ,φ)^영어 = }} }}

:Y_{2}^{-1}(θ,φ)^영어 = }} }}

:Y_{2}^{0}(θ,φ)^영어 = }} (3-1) }}

:Y_{2}^{1}(θ,φ)^영어 = }} }}

:Y_{2}^{2}(θ,φ)^영어 = }} }}

16. Higher dimensions

고전적인 구면 조화 함수는 3차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \R ^{3}}$ 내의 단위 구 ${\displaystyle S^{2}}$에서 복소수 값을 갖는 함수로 정의된다. 구면 조화 함수는 더 높은 차원의 유클리드 공간 ${\displaystyle \R ^{n}}$으로 일반화될 수 있으며, 이는 함수 ${\displaystyle S^{n-1}\to \mathbb {C} }$로 이어진다.

${\displaystyle \mathbf {P} _{\ell }}$을 ${\displaystyle n}$개의 실수 변수에 대한 차수 ${\displaystyle \ell }$의 복소수 값을 갖는 다항식의 벡터 공간으로 표시한다. 여기서 ${\displaystyle \R ^{n}\to \mathbb {C} }$ 함수로 간주한다. 즉, 어떤 다항식 ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle {\mathbf {P}}_{\ell }}$에 속한다는 것은 임의의 실수 ${\displaystyle \lambda \in \R }$에 대해 다음이 성립함을 의미한다.

${\displaystyle p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} ).}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }}$을 모든 조화 다항식으로 구성된 ${\displaystyle \mathbf {P} _{\ell }}$의 부분 공간으로 표시한다.

${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}.}$

이들은 (정규) 입체 구면 조화 함수이다. ${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }}$을 단위 구에서 정의된 함수 공간으로 표시한다.

${\displaystyle S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \R ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}}$

${\displaystyle {\mathbf {A}}_{\ell }}$에서 제한하여 얻는다.

${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{ for some }}p\in \mathbf {A} _{\ell },\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in S^{n-1}\right\}.}$

다음 속성이 적용된다.

공간 ${\displaystyle {\mathbf {H}}_{\ell }}$의 합은 Stone–Weierstrass 정리에 의해 균등 수렴 위상에서 ${\displaystyle S^{n-1}}$ 상의 연속 함수 집합 ${\displaystyle C(S^{n-1})}$에서 조밀 집합이다. 결과적으로, 이러한 공간의 합은 구면 상의 제곱 적분 가능한 함수 공간 ${\displaystyle L^{2}\left(S^{n-1}\right)}$에서도 조밀하다. 따라서 구면 상의 모든 제곱 적분 가능한 함수는 구면 조화 함수의 급수로 고유하게 분해되며, 여기서 급수는 ${\displaystyle L^{2}}$ 의미에서 수렴한다.
모든 ${\displaystyle f\in {\mathbf {H}}_{\ell }}$에 대해 다음이 성립한다.

${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.}$

여기서 ${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}}$는 ${\displaystyle S^{n-1}}$ 상의 라플라스-벨트라미 연산자이다. 이 연산자는 3차원에서 라플라시안의 각 부분과 유사하다. 즉, ${\displaystyle n}$차원의 라플라시안은 다음과 같이 분해된다.

${\displaystyle \nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}}$

스토크스 정리와 앞의 속성으로부터, 공간 ${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }}$는 ${\displaystyle L^{2}\left(S^{n-1}\right)}$에서 내적과 관련하여 직교한다. 즉, ${\displaystyle f\in \mathbf {H} _{\ell }}$이고 ${\displaystyle k\neq \ell }$에 대해 ${\displaystyle g\in \mathbf {H} _{k}}$인 경우

${\displaystyle \int _{S^{n-1}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \Omega =0}$이다.

반대로, 공간 ${\displaystyle {\mathbf {H}}_{\ell }}$는 정확히 ${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}}$의 고유 공간이다. 특히, 스펙트럼 정리를 Riesz potential ${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}^{-1}}$에 적용하면 공간 ${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }}$가 쌍별로 직교하고 ${\displaystyle L^{2}\left(S^{n-1}\right)}$에서 완전하다는 또 다른 증명을 얻을 수 있다.
모든 동차 다항식 ${\displaystyle p\in \mathbf {P} _{\ell }}$는 다음 형식으로 고유하게 작성할 수 있다.

${\displaystyle p(x)=p_{\ell }(x)+|x|^{2}p_{\ell -2}+\cdots +{\begin{cases}|x|^{\ell }p_{0}&\ell {\rm {\ even}}\\|x|^{\ell -1}p_{1}(x)&\ell {\rm {\ odd}}\end{cases}}}$

여기서 ${\displaystyle p_{j}\in \mathbf {A} _{j}}$. 특히,

${\displaystyle \dim \mathbf {H} _{\ell }={\binom {n+\ell -1}{n-1}}-{\binom {n+\ell -3}{n-1}}={\binom {n+\ell -2}{n-2}}+{\binom {n+\ell -3}{n-2}}.}$

더 높은 차원의 구면 조화 함수의 직교 기저는 변수 분리 방법을 통해 수학적 귀납법으로 구성할 수 있으며, 구면 라플라시안에 대한 슈투름-리우빌 문제를 해결하여 구할 수 있다.

${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}}$

여기서 ${\displaystyle \varphi }$는 ${\displaystyle S^{n-1}}$에 대한 구면 좌표계의 축 좌표이다. 이러한 절차의 최종 결과는 다음과 같다.^[26]

${\displaystyle Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar {P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})}$

여기서 인덱스는 ${\displaystyle

17. Connection with representation theory

차수 ''ℓ''의 구면 조화 함수 공간 '''H'''_''ℓ''는 점 주위의 회전 대칭 군 (SO(3))과 이중 덮개 SU(2)의 표현이다. 회전은 2차원 구에 작용하므로 함수 합성을 통해 '''H'''_''ℓ''에도 작용한다. 표현 '''H'''_''ℓ''는 SO(3)의 기약 표현이다.

'''H'''_''ℓ''의 원소는 3차원 유클리드 공간 '''R'''³에서 차수 ''ℓ''의 동차 조화 다항식인 '''A'''_''ℓ''의 원소들을 구에 제한하여 얻어진다. SO(3)의 기약 표현으로, '''H'''_''ℓ''는 차수 ''ℓ''의 트레이스가 없는 대칭 텐서 공간과 동형이다.

n-구 위의 구면 조화 함수 공간 '''H'''_''ℓ''는 트레이스가 없는 대칭 ''ℓ''-텐서에 해당하는 SO(''n''+1)의 기약 표현이다. SO(2) 및 SO(3)의 모든 기약 텐서 표현이 이러한 종류인 반면, 더 높은 차원의 특수 직교 군에는 이러한 방식으로 발생하지 않는 추가적인 기약 표현이 있다.

특수 직교 군에는 텐서 표현이 아닌 추가적인 스핀 표현이 있으며, *일반적으로* 구면 조화 함수가 아니다. 예외는 SO(3)의 스핀 표현이다. 엄밀히 말하면, 이들은 SO(3)의 이중 덮개 SU(2)의 표현이다. SU(2)는 단위 사원수의 군과 동일하게 식별되므로 3-구와 일치한다. 3-구 위의 구면 조화 함수 공간은 사원수 곱셈에 의한 작용과 관련하여 SO(3)의 특정 스핀 표현이다.

18. Connection with hemispherical harmonics

구면 조화 함수는 두 세트의 함수로 분리될 수 있다.^[28] 하나는 반구 함수(hemispherical function, HSH)로, 반구에서 직교하며 완전하다. 다른 하나는 보완 반구 조화 함수(complementary hemispherical harmonics, CHSH)이다.

18. 1. Generalizations

각 보존 대칭의 2차원 구는 뫼비우스 변환 PSL(2, '''C''') 그룹에 의해 설명된다. 이 그룹과 관련하여 구는 일반적인 리만 구와 동일하다. PSL(2, '''C''') 그룹은 (고유) 로렌츠 군과 동형이며, 2차원 구에 대한 작용은 민코프스키 공간에서 천구에 대한 로렌츠 군의 작용과 일치한다. 로렌츠 군에 대한 구면 조화 함수의 유사체는 초기하 급수에 의해 제공된다. 또한, 구면 조화 함수는 SO(3) = PSU(2)가 PSL(2, '''C''')의 부분군이므로 초기하 급수의 관점에서 재표현될 수 있다.

더 일반적으로, 초기하 급수는 모든 대칭 공간의 대칭을 설명하도록 일반화될 수 있다. 특히, 초기하 급수는 모든 리 군에 대해 개발될 수 있다.

참조

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