구면 조화 함수

4.1. 확률 밀도

구면 대칭 파동 함수$\backslash psi\_\{nlm\}\; (r,\; \backslash theta,\; \backslash phi)\; =\; R\_\{nl\}\; (r)\; Y\_l^m\; (\backslash theta,\; \backslash phi)$의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

:$P\; (r,\; \backslash theta,\; \backslash phi)\; =\; |\backslash psi\_\{nlm\}\; (r,\; \backslash theta,\; \backslash phi)|^2\; =\; |R\_\{nl\}\; (r)|^2\; |Y\_l^m\; (\backslash theta,\; \backslash phi)|^2$

에너지는 l과 m에 전혀 무관하고 오로지 n에만 관련이 있는 값으로, n은 같고 l과 m이 다른 상태들은 모두 축퇴되어 있다. 같은 에너지를 갖는 상태에서 확률 밀도를 구하면 다음과 같다.

:$P\; (r,\; \backslash theta,\; \backslash phi)\; dV\; =\; |\backslash sum\_\{l,m\}\; \backslash psi\_\{nlm\}\; (r,\; \backslash theta,\; \backslash phi)|^2\; dV\; =\; \backslash sum\_l\; |R\_\{nl\}\; (r)|^2\; \backslash sum\_\{m=-l\}^\{l\}\; |Y\_l^m\; (\backslash theta,\; \backslash phi)|^2\; dV\; =\; \backslash sum\_l\; C\_l\; |R\_\{nl\}\; (r)|^2\; dV$

여기서 C_l는 상수이며, 적분시 0이 되는 수직인 항들은 전부 무시하였다. 즉, 운죌트 정리에 따라서, 확률 밀도는 구면 대칭을 따른다.

5. 역사

구면 조화 함수는 18세기 피에르시몽 라플라스와 아드리앙마리 르장드르에 의해 처음 연구되었다. 이들은 뉴턴의 만유인력 법칙에 따른 뉴턴 퍼텐셜과 관련하여 구면 조화 함수를 연구하였으며, 중력 퍼텐셜 및 천체 역학 문제 해결에 응용하였다. 라플라스는 그의 저서 천체역학(Mécanique Céleste)에서 점 질량 집합과 관련된 중력 퍼텐셜을 연구하였고, 르장드르는 뉴턴 퍼텐셜을 전개하여 르장드르 다항식을 유도하였는데, 이는 구면 조화 함수의 특수한 경우이다.

6. 예

낮은 차수의 구면 조화 함수는 다음과 같다. 여기서는 입자 데이터 그룹(Particle Data Group^영어) 관례를 따랐다. (음수 $m$의 경우는 위의 식을 통해 양의 $m$으로부터 계산할 수 있다.)

:$Y\_0^0(\backslash theta,\backslash varphi)=\backslash frac12\backslash sqrt\{1\backslash over\; \backslash pi\}$

:$Y\_1^0(\backslash theta,\backslash varphi)=\backslash frac12\backslash sqrt\{3\backslash over\; \backslash pi\}\backslash cos\backslash theta$
:$Y\_1^1(\backslash theta,\backslash varphi)=-\backslash frac12\backslash sqrt\{3\backslash over\; 2\backslash pi\}\backslash sin\backslash theta\backslash exp(i\backslash varphi)$

:$Y\_2^0(\backslash theta,\backslash varphi)=\backslash frac14\backslash sqrt\{5\backslash over\; \backslash pi\}(3\backslash cos^2\backslash theta-1)$
:$Y\_2^1(\backslash theta,\backslash varphi)=-\backslash frac12\backslash sqrt\{15\backslash over\; 2\backslash pi\}\backslash sin\backslash theta\backslash cos\backslash theta\backslash exp(i\backslash varphi)$
:$Y\_2^2(\backslash theta,\backslash varphi)=\backslash frac14\backslash sqrt\{15\backslash over\; 2\backslash pi\}\backslash sin^2\backslash theta\backslash exp(2i\backslash varphi)$

:$Y\_3^0(\backslash theta,\backslash varphi)=\backslash frac14\backslash sqrt\{7\backslash over\; \backslash pi\}(5\backslash cos^3\backslash theta-3\backslash cos\backslash theta)$
:$Y\_3^1(\backslash theta,\backslash varphi)=-\backslash frac18\backslash sqrt\{21\backslash over\; \backslash pi\}\backslash sin\backslash theta(5\backslash cos^2\backslash theta-1)\backslash exp(i\backslash varphi)$
:$Y\_3^2(\backslash theta,\backslash varphi)=\backslash frac14\backslash sqrt\{105\backslash over\; 2\backslash pi\}\backslash sin^2\backslash theta\backslash cos\backslash theta\backslash exp(2i\backslash varphi)$
:$Y\_3^3(\backslash theta,\backslash varphi)=-\backslash frac18\backslash sqrt\{35\backslash over\; \backslash pi\}\backslash sin^3\backslash theta\backslash exp(3i\backslash varphi)$

몇몇 구면 조화 함수의 구체적인 식은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
Y_{0}^{0}&=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\\
Y_{1}^{0}&=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\,\cos\theta\\
Y_{1}^{\pm1}&=\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\,\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}\\
Y_{2}^{0}&=\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\,(3\cos^2\theta-1)\\
Y_{2}^{\pm1}&=\mp\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\cos\theta\,e^{\pm i\varphi}\\
Y_{2}^{\pm2}&=\sqrt{\frac{15}{32\pi}}\,\sin^2\theta\,e^{\pm2i\varphi}\\
Y_{3}^{0}&=\sqrt{\frac{7}{16\pi}}\,(5\cos^{3}\theta-3\cos\theta)\\
Y_{3}^{\pm1}&=\mp\sqrt{\frac{21}{64\pi}}\,\sin\theta\,(5\cos^{2}\theta-1)\,e^{\pm i\varphi}\\
Y_{3}^{\pm2}&=\sqrt{\frac{105}{32\pi}}\,\sin^{2}\theta\cos\theta\,e^{\pm2i\varphi}\\
Y_{3}^{\pm3}&=\mp\sqrt{\frac{35}{64\pi}}\,\sin^{3}\theta\,e^{\pm3i\varphi}
\end{align}

6.1. 2차원 구면 조화 함수

1차원 구는 원이며, 이 경우 구면 조화 함수는 단순히 삼각 함수이다.
:Y_m(θ) = 1/√(2π)exp(imθ)
이 경우
:Δ_S¹ Y_m = -m²Y_m
:∫₀^2π Y_m^*(θ)Y_m'(θ) dθ = δ_ij
가 된다.

2차원 유클리드 공간의 조화 다항식은
:1
:x,y
:x²-y², xy
등이 있는데, 이들을 원에 제한하고 y/x=tanθ로 놓으면
:1
:sinθ, cosθ
:-2cos(2θ), sin²θ-cos²θ, 1/2sin2θ
를 얻는다. 즉, 각 l=|m|에 대하여 이들은 Y_m과 같은 2차원 함수 공간을 정의한다.

7. Conventions

7.1. Orthogonality and normalization

구면 조화 함수는 여러 정규화 방법이 존재하며, 분야에 따라 다르게 사용된다.

음향학에서는 다음과 같이 정의되는 라플라스 구면 조화 함수를 일반적으로 사용한다.
$$Y\_\backslash ell^m(\; \backslash theta\; ,\; \backslash varphi\; )\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(2\backslash ell+1)\}\{4\backslash pi\}\; \backslash frac\{(\backslash ell-m)!\}\{(\backslash ell+m)!\}\}\; \backslash ,\; P\_\backslash ell^m\; (\; \backslash cos\{\backslash theta\}\; )\; \backslash ,\; e^\{i\; m\; \backslash varphi\; \}$$

양자역학에서는 다음과 같이 정의한다.
$$Y\_\backslash ell^m(\; \backslash theta\; ,\; \backslash varphi\; )\; =\; (-1)^m\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(2\backslash ell+1)\}\{4\backslash pi\}\backslash frac\{(\backslash ell-m)!\}\{(\backslash ell+m)!\}\}\; \backslash ,\; P\_\{\backslash ell\}^m\; (\; \backslash cos\{\backslash theta\}\; )\; \backslash ,\; e^\{i\; m\; \backslash varphi\; \}$$
여기서 $P\_\{\backslash ell\}^\{m\}$은 콘돈-쇼틀리 위상 없이 연관 르장드르 다항식이다.

두 정의 모두에서 구면 조화 함수는 다음 직교 정규성을 만족한다.
$$\backslash int\_\{\backslash theta=0\}^\backslash pi\backslash int\_\{\backslash varphi=0\}^\{2\backslash pi\}Y\_\backslash ell^m\; \backslash ,\; Y\_\{\backslash ell\text{'}\}^\{m\text{'}\}\{\}^*\; \backslash ,\; d\backslash Omega=\backslash delta\_\{\backslash ell\backslash ell\text{'}\}\backslash ,\; \backslash delta\_\{mm\text{'}\},$$
여기서 는 크로네커 델타이고 이다.

측지학 및 스펙트럼 분석 분야에서는 다음을 사용한다.
$$Y\_\backslash ell^m(\; \backslash theta\; ,\; \backslash varphi\; )\; =\; \backslash sqrt\; \backslash ,\; P\_\backslash ell^m\; (\; \backslash cos\{\backslash theta\}\; )\backslash ,\; e^\{i\; m\; \backslash varphi\; \}$$
이것은 단위 전력을 가진다.

자기학에서는 슈미트 반정규화 조화 함수를 사용한다.
$$Y\_\backslash ell^m(\; \backslash theta\; ,\; \backslash varphi\; )\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(\backslash ell-m)!\}\{(\backslash ell+m)!\}\}\; \backslash ,\; P\_\backslash ell^m\; (\; \backslash cos\{\backslash theta\}\; )\; \backslash ,\; e^\{i\; m\; \backslash varphi\; \}$$

양자역학에서는 이 정규화가 때때로 사용되기도 하며, 줄리오 라카의 이름을 따서 라카의 정규화라고 한다.

위의 모든 정규화된 구면 조화 함수는 다음을 만족한다.
$$Y\_\backslash ell^\{m\}\{\}^*\; (\backslash theta,\; \backslash varphi)\; =\; (-1)^\{-m\}\; Y\_\backslash ell^\{-m\}\; (\backslash theta,\; \backslash varphi),$$
여기서 위첨자 는 복소 켤레를 나타낸다.

차 구면 조화 함수 전체가 이루는 벡터 공간을 '라고 하면, 이상과 같이 정의된 내적에 대해, 다음 사실이 성립한다.
두 개의 음이 아닌 정수 에 대해, '와 는 직교한다.
특히 차원 공간에서는 다음이 성립한다.
$\backslash langle\; Y\_k^m\; \backslash mid\; Y\_j^s\; \backslash rangle\_\{S^\{n-1\}\}\; =$
\begin{cases}1&\text{if }k=j,\, m=s,\\
0&\text{otherwise.}\end{cases}

7.2. Condon–Shortley phase

양자 역학에서는 $(-1)^m$의 위상 인자인 콘돈–쇼틀리 위상을 연관 르장드르 다항식이나 구면 조화 함수의 정의에 포함시키는 것이 일반적이다. 콘돈-쇼틀리 위상을 포함하면 래더 연산자 적용과 같은 일부 양자 역학적 연산을 단순화할 수 있다. 하지만 측지학과 자기학에서는 콘돈–쇼틀리 위상 인자를 구면 조화 함수 및 연관 르장드르 다항식 정의에 포함하지 않는다.

7.3. Real form

복소수 구면 조화 함수 $Y\_\{\backslash ell\}^m:\; S^2\; \backslash to\; \backslash Complex$는 실수 구면 조화 함수 $Y\_\{\backslash ell\; m\}:S^2\; \backslash to\; \backslash R$의 선형 결합으로 나타낼 수 있으며, 그 역도 가능하다. 실수 구면 조화 함수와 복소수 구면 조화 함수 사이의 관계는 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$
Y_{\ell m} &= \begin{cases}
\dfrac{i}{\sqrt{2}} \left(Y_\ell^{m} - (-1)^m\, Y_\ell^{-m}\right) & \text{if}\ m < 0\\
Y_\ell^0 & \text{if}\ m=0\\
\dfrac{1}{\sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-m} + (-1)^m\, Y_\ell^{m}\right) & \text{if}\ m > 0.
\end{cases}\\
&= \begin{cases}
\dfrac{i}{\sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-|m|} - (-1)^{m}\, Y_\ell^

7.3.1. Use in quantum chemistry

자기항이 없는 비상대론적 슈뢰딩거 방정식의 해는 실수로 만들 수 있다. 이러한 성질 때문에 양자 화학의 기저 함수에서 실수 형태의 구면 조화 함수가 광범위하게 사용되며, 이 경우 프로그램에서 복소수 대수를 사용할 필요가 없다. 여기서 실수 함수는 복소수 함수가 차지하는 것과 동일한 공간을 차지한다.

예를 들어, 구면 조화 함수의 표에서 볼 수 있듯이, 일반적인 p 함수 ($\backslash ell\; =\; 1$)는 복소수이며 축 방향을 혼합하지만, 실수 버전은 본질적으로 x, y, z이다.

양자역학에서 구대칭인 포텐셜 V(r)에 대한 1입자 슈뢰딩거 방정식 (대표적인 것은 수소 원자의 슈뢰딩거 방정식)을 풀 때, 구면 조화 함수가 나타난다. 양자역학에서는 $Y\_\{\backslash ell\}^\{m\}$의 $\backslash ell$, m을 양자수라고 부르며, 각각 $\backslash ell$을 방위 양자수, $m$을 자기 양자수라고 한다.

구면 조화 함수는 궤도 각운동량 $\backslash ell$과 밀접한 관계가 있다. 구면 조화 함수는 $\backslash ell$²과 $\backslash ell$_z의 동시 고유 함수가 되며, 그 고유값은 각각 $\backslash hbar^2\; \backslash ell(\backslash ell+1)$, $m\backslash hbar$이다. 즉,

:$\backslash boldsymbol\{\backslash ell\}^2Y\_\backslash ell^m=\backslash hbar^2\backslash ell(\backslash ell+1)Y\_\backslash ell^m$
:$\backslash ell\_z\; Y\_\backslash ell^m=m\backslash hbar\; Y\_\backslash ell^m$

이 된다. 또한, 상승 하강 연산자 $\backslash ell$₊, $\backslash ell$_-를 구면 조화 함수에 작용시키면

:$\backslash ell\_+\; Y\_\backslash ell^m=\backslash hbar\backslash sqrt\{(\backslash ell-m)(\backslash ell+m+1)\}\backslash ,\; Y\_\backslash ell^\{m+1\}$
:$\backslash ell\_-\; Y\_\backslash ell^m=\backslash hbar\backslash sqrt\{(\backslash ell+m)(\backslash ell-m+1)\}\backslash ,\; Y\_\backslash ell^\{m-1\}$
:$\backslash ell\_+\; Y\_\backslash ell^\backslash ell=0,\backslash quad\backslash ell\_-\; Y\_\backslash ell^\{-\backslash ell\}=0$

이 된다.

8. Spherical harmonics in Cartesian form

복소 구면 조화 함수 $Y\_\backslash ell^m영어$는 $S^2$에서 모든 $\backslash R^3$으로 확장하여 $\backslash ell$차의 동차 함수로 다음과 같이 고체 조화 함수를 생성한다.

:$R\_\backslash ell^m(v)\; :=\; \backslash |v\backslash |^\backslash ell\; Y\_\backslash ell^m\backslash left(\backslash frac\{v\}\{\backslash |v\backslash |\}\backslash right)$

$R\_\backslash ell^m$이 차수 $\backslash ell$의 조화 동차 다항식 공간의 기저임이 밝혀졌다. 더 구체적으로는 회전군 $SO(3)$의 이 표현에 대한 (정규화까지 유일한) 겔판트-체틀린 기저이며, 데카르트 좌표에서 $R\_\backslash ell^m$에 대한 명시적인 공식은 그 사실로부터 파생될 수 있다.

== Separated Cartesian form ==

Herglotzian 정의는 $z$에 대한 다항식과 $x$와 $y$에 대한 다른 다항식으로 더 분해될 수 있는 다항식을 생성한다(Condon–Shortley 위상).

:$$
r^\ell\,
\begin{pmatrix} Y_\ell^{m} \\ Y_\ell^{-m} \end{pmatrix}
=
\left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\right]^{1/2} \bar{\Pi}^m_\ell(z)
\begin{pmatrix} \left(-1\right)^m (A_m + i B_m) \\ (A_m - i B_m) \end{pmatrix} ,
\qquad m > 0.


그리고 $m\; =\; 0$에 대해:

:$r^\backslash ell\backslash ,Y\_\backslash ell^\{0\}\; \backslash equiv\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2\backslash ell+1\}\{4\backslash pi\}\}\; \backslash bar\{\backslash Pi\}^0\_\backslash ell\; .$

여기서

:$A\_m(x,y)\; =\; \backslash sum\_\{p=0\}^m\; \backslash binom\{m\}\{p\}\; x^p\; y^\{m-p\}\; \backslash cos\; \backslash left((m-p)\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right),$

:$B\_m(x,y)\; =\; \backslash sum\_\{p=0\}^m\; \backslash binom\{m\}\{p\}\; x^p\; y^\{m-p\}\; \backslash sin\; \backslash left((m-p)\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right),$

그리고

:$$
\bar{\Pi}^m_\ell(z)
= \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2}
\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor}
(-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!}
\; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}.


$m\; =\; 0$의 경우, 이는 다음과 같이 단순화된다.

:$$
\bar{\Pi}^0_\ell(z)
= \sum_{k=0}^{\left \lfloor \ell/2\right \rfloor}
(-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \; r^{2k}\; z^{\ell-2k}.


인수 $\backslash bar\{\backslash Pi\}\_\backslash ell^m(z)$는 본질적으로 연관 르장드르 다항식 $P\_\backslash ell^m(\backslash cos\backslash theta)$이고, 인수 $(A\_m\; \backslash pm\; i\; B\_m)$는 본질적으로 $e^\{\backslash pm\; i\; m\backslash varphi\}$이다.

== Examples ==

위에 명시된 $\backslash bar\{\backslash Pi\}\_\backslash ell^m(z)$, $A\_m(x,y)$, $B\_m(x,y)$의 식을 사용하여 다음을 얻는다.

$$$$
Y^1_3
= - \frac{1}{r^3} \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16} \right]^{1/2} \left(5z^2-r^2\right) \left(x+iy\right)
= - \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16}\right]^{1/2} \left(5\cos^2\theta-1\right) \left(\sin\theta e^{i\varphi}\right)


$$$$
Y^{-2}_4 = \frac{1}{r^4} \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2} \left(7z^2-r^2\right) \left(x-iy\right)^2
= \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2} \left(7 \cos^2\theta -1\right) \left(\sin^2\theta e^{-2 i \varphi}\right)

이것이 여기와 여기에 나열된 함수와 일치하는지 확인할 수 있다.

== Real forms ==
실수 구면 조화 함수는 위의 방정식을 사용하여 형성할 수 있다. $m>0$에 대해서는 $A\_m$ 항(코사인)만 포함되고, 에 대해서는 $B\_m$ 항(사인)만 포함된다.

:$$$$
r^\ell\,
\begin{pmatrix} Y_{\ell m} \\ Y_{\ell -m} \end{pmatrix}
=
\sqrt{\frac{2\ell+1}{2\pi}} \bar{\Pi}^m_\ell(z)
\begin{pmatrix} A_m \\ B_m \end{pmatrix} ,
\qquad m > 0.


그리고 m = 0에 대해:

:$$$$
r^\ell\,Y_{\ell 0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}
\bar{\Pi}^0_\ell .

8.1. The Herglotz generating function

양자 역학적 규칙을 $Y\_\{\backslash ell\}^m:\; S^2\; \backslash to\; \backslash Complex$에 적용하면, 다음과 같은 생성 함수를 얻을 수 있다.

$$$$
e^{v{\mathbf a}\cdot{\mathbf r}}
= \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m = -\ell}^{\ell}
\sqrt{\frac{4\pi}{2\ell +1}}
\frac{r^{\ell} v^{\ell} {\lambda^m}}{\sqrt{(\ell +m)!(\ell-m)!}} Y_{\ell}^m (\mathbf{r}/r).


여기서, $\backslash mathbf\; r$은 $(x,\; y,\; z)\; \backslash in\; \backslash R^3$의 성분을 갖는 벡터이고, $r\; =\; |\backslash mathbf\{r\}|$이며, $\backslash mathbf\; a$는 다음과 같이 복소 좌표를 갖는 벡터이다.

$$$$
{\mathbf a}
= {\mathbf{\hat z}}
- \frac{\lambda}{2}\left({\mathbf{\hat x}} + i {\mathbf{\hat y}}\right)
+ \frac{1}{2\lambda}\left({\mathbf{\hat x}} - i {\mathbf{\hat y}}\right)
=[\frac{1}{2}(\frac{1}{\lambda}-\lambda),-\frac{i}{2 }(\frac{1}{\lambda} +\lambda),1 ] .


$\backslash mathbf\; a$의 본질적인 특징은 $\backslash mathbf\; a\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; a\; =\; 0$을 만족하는 널(null) 벡터라는 것이다. $v$와 $\backslash lambda$는 실수 매개변수로 사용한다. 이 생성 함수는 헤르글로츠의 이름을 따서 헤르글로츠 생성 함수라고 부르는데, 이는 그 발견에 대한 그의 미발표 노트를 인용한 를 따른 것이다.

구면 조화 함수의 모든 성질은 이 생성 함수로부터 유도될 수 있다. 예를 들어, 벡터 $\backslash mathbf\; r$을 양자 역학적 스핀 벡터 연산자 $\backslash mathbf\; J$로 대체하면, 표준화된 구면 텐서 연산자 세트, $\backslash mathcal\{Y\}\_\{\backslash ell\}^m(\{\backslash mathbf\; J\})$에 대한 생성 함수를 얻을 수 있다.

$$$$
e^{v{\mathbf a}\cdot{\mathbf J}}
= \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m = -\ell}^{\ell}
\sqrt{\frac{4\pi}{2\ell +1}}
\frac{v^{\ell} {\lambda^m}}{\sqrt{(\ell +m)!(\ell-m)!}}
{\mathcal Y}_{\ell}^m({\mathbf J}).


이는 $\backslash mathcal\{Y\}\_\{\backslash ell\}^m$이 회전 하에서 $Y\_\{\backslash ell\}^m$과 동일한 방식으로 변환되도록 보장하며, 클레브쉬-고르단 합성 정리 및 위그너-에카르트 정리와 같은 구면 텐서 연산자의 모든 속성을 갖도록 한다.

8.2. Separated Cartesian form

Herglotzian 정의는 $z$에 대한 다항식과 $x$와 $y$에 대한 다른 다항식으로 더 분해될 수 있는 다항식을 생성한다(Condon–Shortley 위상).

:$$
r^\ell\,
\begin{pmatrix} Y_\ell^{m} \\ Y_\ell^{-m} \end{pmatrix}
=
\left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\right]^{1/2} \bar{\Pi}^m_\ell(z)
\begin{pmatrix} \left(-1\right)^m (A_m + i B_m) \\ (A_m - i B_m) \end{pmatrix} ,
\qquad m > 0.


그리고 $m\; =\; 0$에 대해:

:$r^\backslash ell\backslash ,Y\_\backslash ell^\{0\}\; \backslash equiv\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2\backslash ell+1\}\{4\backslash pi\}\}\; \backslash bar\{\backslash Pi\}^0\_\backslash ell\; .$

여기서

:$A\_m(x,y)\; =\; \backslash sum\_\{p=0\}^m\; \backslash binom\{m\}\{p\}\; x^p\; y^\{m-p\}\; \backslash cos\; \backslash left((m-p)\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right),$

:$B\_m(x,y)\; =\; \backslash sum\_\{p=0\}^m\; \backslash binom\{m\}\{p\}\; x^p\; y^\{m-p\}\; \backslash sin\; \backslash left((m-p)\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right),$

그리고

:$$
\bar{\Pi}^m_\ell(z)
= \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2}
\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor}
(-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!}
\; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}.


$m\; =\; 0$의 경우, 이는 다음과 같이 단순화된다.

:$$
\bar{\Pi}^0_\ell(z)
= \sum_{k=0}^{\left \lfloor \ell/2\right \rfloor}
(-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \; r^{2k}\; z^{\ell-2k}.


인수 $\backslash bar\{\backslash Pi\}\_\backslash ell^m(z)$는 본질적으로 연관 르장드르 다항식 $P\_\backslash ell^m(\backslash cos\backslash theta)$이고, 인수 $(A\_m\; \backslash pm\; i\; B\_m)$는 본질적으로 $e^\{\backslash pm\; i\; m\backslash varphi\}$이다.

8.2.1. Examples

위에 명시된 $\backslash bar\{\backslash Pi\}\_\backslash ell^m(z)$, $A\_m(x,y)$, $B\_m(x,y)$의 식을 사용하여 다음을 얻는다.

$$$$
Y^1_3
= - \frac{1}{r^3} \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16} \right]^{1/2} \left(5z^2-r^2\right) \left(x+iy\right)
= - \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16}\right]^{1/2} \left(5\cos^2\theta-1\right) \left(\sin\theta e^{i\varphi}\right)


$$$$
Y^{-2}_4 = \frac{1}{r^4} \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2} \left(7z^2-r^2\right) \left(x-iy\right)^2
= \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2} \left(7 \cos^2\theta -1\right) \left(\sin^2\theta e^{-2 i \varphi}\right)

이것이 여기와 여기에 나열된 함수와 일치하는지 확인할 수 있다.

8.2.2. Real forms

실수 구면 조화 함수는 위의 방정식을 사용하여 형성할 수 있다. $m>0$에 대해서는 $A\_m$ 항(코사인)만 포함되고, 에 대해서는 $B\_m$ 항(사인)만 포함된다.

:$$$$
r^\ell\,
\begin{pmatrix} Y_{\ell m} \\ Y_{\ell -m} \end{pmatrix}
=
\sqrt{\frac{2\ell+1}{2\pi}} \bar{\Pi}^m_\ell(z)
\begin{pmatrix} A_m \\ B_m \end{pmatrix} ,
\qquad m > 0.


그리고 m = 0에 대해:

:$$$$
r^\ell\,Y_{\ell 0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}
\bar{\Pi}^0_\ell .

9. Special cases and values

* $m\; =\; 0$일 때, 구면 조화 함수는 일반적인 르장드르 다항식으로 축소된다:
::$Y\_\{\backslash ell\}^0(\backslash theta,\; \backslash varphi)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2\backslash ell+1\}\{4\backslash pi\}\}\; P\_\{\backslash ell\}(\backslash cos\backslash theta).$
* $m\; =\; \backslash pm\backslash ell$일 때, 구면 조화 함수는 다음과 같이 표현된다:
::$Y\_\{\backslash ell\}^\{\backslash pm\backslash ell\}(\backslash theta,\backslash varphi)$
= \frac{(\mp 1)^{\ell}}{2^{\ell}\ell!} \sqrt{\frac{(2\ell+1)!}{4\pi}} \sin^{\ell}\theta\, e^{\pm i\ell\varphi},
* 북극에서 ($\backslash theta\; =\; 0$), $m\; =\; 0$인 구면 조화 함수를 제외한 모든 구면 조화 함수는 0이 된다:
::$Y\_\{\backslash ell\}^m(0,\backslash varphi)\; =\; Y\_\{\backslash ell\}^m(\{\backslash mathbf\; z\})\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2\backslash ell+1\}\{4\backslash pi\}\}\; \backslash delta\_\{m0\}.$
를 위의 벡터
:
로 둔다.

임의의 자연수 에 대해, 위의 차 대구 함수는 상수배를 제외하고 유일하다.

10. Symmetry properties

구면 조화 함수는 공간 반전(패리티)과 회전 연산에 대해 심오하고 중요한 속성을 지닌다.

=== Parity ===
구면 조화 함수는 패리티가 결정되어 있으며, 원점에 대한 반전에 대해 짝수이거나 홀수이다. 반전은 연산자 $P\backslash Psi(\backslash mathbf\; r)\; =\; \backslash Psi(-\backslash mathbf\; r)$로 표현된다. $\backslash mathbf\; r$이 단위 벡터일 때,
$$Y\_\backslash ell^m(-\backslash mathbf\; r)\; =\; (-1)^\backslash ell\; Y\_\backslash ell^m(\backslash mathbf\; r).$$이다.

구면 좌표를 기준으로, 패리티는 좌표가 $\backslash \{\backslash theta,\backslash varphi\backslash \}$인 점을 $\backslash \{\backslash pi-\backslash theta,\backslash pi+\backslash varphi\backslash \}$로 변환한다. 구면 조화 함수의 패리티는 다음과 같다.
$$Y\_\backslash ell^m(\backslash theta,\backslash varphi)\; \backslash to\; Y\_\backslash ell^m(\backslash pi-\backslash theta,\backslash pi+\backslash varphi)\; =\; (-1)^\backslash ell\; Y\_\backslash ell^m(\backslash theta,\backslash varphi)$$
이는 연관 르장드르 다항식이 (−1)^ℓ+m을, 지수 함수가 (−1)^m을 제공하여 구면 조화 함수의 패리티가 (−1)^ℓ이 되기 때문이다.

패리티는 실수 구면 조화 함수와 고차원 구면 조화 함수에서도 계속 성립한다. 차수 ℓ의 구면 조화 함수에 점 반사를 적용하면 부호가 (−1)^ℓ만큼 바뀐다.

=== Rotations ===
원점에 대한 회전 $\backslash mathcal\; R$을 고려하여 단위 벡터 $\backslash mathbf\; r$을 $\backslash mathbf\; r\text{'}$로 보낸다. 이 연산에서 차수 $\backslash ell$ 및 차수 $m$의 구면 조화 함수는 동일한 차수의 구면 조화 함수의 선형 조합으로 변환된다.

: $$$$
Y_\ell^m({\mathbf r}') = \sum_{m' = -\ell}^\ell [D^{(\ell)}_{mm'}({\mathcal R})]^* Y_\ell^{m'}({\mathbf r}),


여기서 $D^\{(\backslash ell)\}\_\{mm\text{'}\}(\{\backslash mathcal\; R\})^*$는 Wigner D-행렬 원소의 복소 켤레이다. 특히 $\backslash mathbf\; r\text{'}$가 방위각의 $\backslash phi\_0$ 회전일 때, 다음 항등식을 얻는다.

: $$$$
Y_\ell^m({\mathbf r}') = Y_\ell^{m}({\mathbf r}) e^{i m \phi_0}.


구면 조화 함수의 회전 행동은 군론적 관점에서 그들의 전형적인 특징이다. 차수 $\backslash ell$의 $Y\_\backslash ell^m$는 차원 $(2\backslash ell\; +\; 1)$의 군 SO(3)의 기약 표현을 위한 함수 집합을 제공한다. 분석 방법을 사용하여 어렵게 증명되는 구면 조화 함수에 대한 많은 사실(예: 덧셈 정리)은 대칭 방법을 사용하여 더 간단한 증명과 더 깊은 의미를 얻는다.

10.1. Parity

구면 조화 함수는 패리티가 결정되어 있으며, 원점에 대한 반전에 대해 짝수이거나 홀수이다. 반전은 연산자 $P\backslash Psi(\backslash mathbf\; r)\; =\; \backslash Psi(-\backslash mathbf\; r)$로 표현된다. $\backslash mathbf\; r$이 단위 벡터일 때,
$$Y\_\backslash ell^m(-\backslash mathbf\; r)\; =\; (-1)^\backslash ell\; Y\_\backslash ell^m(\backslash mathbf\; r).$$이다.

구면 좌표를 기준으로, 패리티는 좌표가 $\backslash \{\backslash theta,\backslash varphi\backslash \}$인 점을 $\backslash \{\backslash pi-\backslash theta,\backslash pi+\backslash varphi\backslash \}$로 변환한다. 구면 조화 함수의 패리티는 다음과 같다.
$$Y\_\backslash ell^m(\backslash theta,\backslash varphi)\; \backslash to\; Y\_\backslash ell^m(\backslash pi-\backslash theta,\backslash pi+\backslash varphi)\; =\; (-1)^\backslash ell\; Y\_\backslash ell^m(\backslash theta,\backslash varphi)$$
이는 연관 르장드르 다항식이 (−1)^ℓ+m을, 지수 함수가 (−1)^m을 제공하여 구면 조화 함수의 패리티가 (−1)^ℓ이 되기 때문이다.

패리티는 실수 구면 조화 함수와 고차원 구면 조화 함수에서도 계속 성립한다. 차수 의 구면 조화 함수에 점 반사를 적용하면 부호가 (−1)^ℓ만큼 바뀐다.

10.2. Rotations

원점에 대한 회전 $\backslash mathcal\; R$을 고려하여 단위 벡터 $\backslash mathbf\; r$을 $\backslash mathbf\; r\text{'}$로 보낸다. 이 연산에서 차수 $\backslash ell$ 및 차수 $m$의 구면 조화 함수는 동일한 차수의 구면 조화 함수의 선형 조합으로 변환된다.

: $$$$
Y_\ell^m({\mathbf r}') = \sum_{m' = -\ell}^\ell [D^{(\ell)}_{mm'}({\mathcal R})]^* Y_\ell^{m'}({\mathbf r}),


여기서 $D^\{(\backslash ell)\}\_\{mm\text{'}\}(\{\backslash mathcal\; R\})^*$는 Wigner D-행렬 원소의 복소 켤레이다. 특히 $\backslash mathbf\; r\text{'}$가 방위각의 $\backslash phi\_0$ 회전일 때, 다음 항등식을 얻는다.

: $$$$
Y_\ell^m({\mathbf r}') = Y_\ell^{m}({\mathbf r}) e^{i m \phi_0}.


구면 조화 함수의 회전 행동은 군론적 관점에서 그들의 전형적인 특징이다. 차수 $\backslash ell$의 $Y\_\backslash ell^m$는 차원 $(2\backslash ell\; +\; 1)$의 군 SO(3)의 기약 표현을 위한 함수 집합을 제공한다. 분석 방법을 사용하여 어렵게 증명되는 구면 조화 함수에 대한 많은 사실(예: 덧셈 정리)은 대칭 방법을 사용하여 더 간단한 증명과 더 깊은 의미를 얻는다.

11. Spherical harmonics expansion

라플라스 구면 조화 함수 $Y\_\{\backslash ell\}^m:S^2\; \backslash to\; \backslash Complex$는 완전 정규 직교 함수 집합을 형성하며, 힐베르트 공간 $L^2\_\{\backslash Complex\}(S^2)$의 정규 직교 기저를 형성한다. 따라서 단위 구 $S^2$에서 임의의 제곱 적분 가능 함수 $f:S^2\; \backslash to\; \backslash Complex$는 다음과 같이 구면 조화 함수들의 선형 결합으로 전개될 수 있다.

$$f(\backslash theta,\backslash varphi)=\backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^\backslash infty\; \backslash sum\_\{m=-\backslash ell\}^\backslash ell\; f\_\backslash ell^m\; \backslash ,\; Y\_\backslash ell^m(\backslash theta,\backslash varphi).$$

이 전개는 평균 제곱 수렴, 즉 구의 L²에서의 수렴의 의미에서 성립한다. 다시 말해, 다음이 성립한다.

$$\backslash lim\_\{N\backslash to\backslash infty\}\; \backslash int\_0^\{2\backslash pi\}\backslash int\_0^\backslash pi\; \backslash left|f(\backslash theta,\backslash varphi)-\backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^N\; \backslash sum\_\{m=-\; \backslash ell\}^\backslash ell\; f\_\backslash ell^m\; Y\_\backslash ell^m(\backslash theta,\backslash varphi)\backslash right|^2\backslash sin\backslash theta\backslash ,\; d\backslash theta\; \backslash ,d\backslash varphi\; =\; 0.$$

전개 계수 $f\_\backslash ell^m$는 푸리에 급수의 경우와 유사하게, 위의 식에 구면 조화 함수의 복소 공액을 곱하고 입체각 $\backslash Omega$에 대해 적분하여 얻을 수 있다. 정규 직교화된 조화 함수의 경우, 이는 다음과 같다.

$$f\_\backslash ell^m=\backslash int\_\{\backslash Omega\}\; f(\backslash theta,\backslash varphi)\backslash ,\; Y\_\backslash ell^\{m*\}(\backslash theta,\backslash varphi)\backslash ,d\backslash Omega\; =\; \backslash int\_0^\{2\backslash pi\}d\backslash varphi\backslash int\_0^\backslash pi\; \backslash ,d\backslash theta\backslash ,\backslash sin\backslash theta\; f(\backslash theta,\backslash varphi)Y\_\backslash ell^\{m*\}\; (\backslash theta,\backslash varphi).$$

만약 계수가 ℓ에서 충분히 빠르게 감소하면 (예: 지수 함수적으로), 이 급수는 f로 균등 수렴한다.

실수 함수 $f:S^2\; \backslash to\; \backslash R$의 경우, 실수 구면 조화 함수 $Y\_\{\backslash ell\; m\}:S^2\; \backslash to\; \backslash R$의 합으로 전개할 수 있다.

$$f(\backslash theta,\; \backslash varphi)\; =\; \backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^\backslash infty\; \backslash sum\_\{m=-\backslash ell\}^\backslash ell\; f\_\{\backslash ell\; m\}\; \backslash ,\; Y\_\{\backslash ell\; m\}(\backslash theta,\; \backslash varphi).$$

이 급수의 수렴 역시 평균 제곱 수렴의 의미에서 성립하며, 실수 구면 조화 함수 $Y\_\{\backslash ell\; m\}$가 $L^2\_\{\backslash R\}(S^2)$의 정규 직교 기저를 형성하기 때문이다. 실수 조화 함수 전개의 장점은 실수 함수 $f$에 대해 전개 계수 $f\_\{\backslash ell\; m\}$이 실수로 보장된다는 것이다.

12. Spectrum analysis

함수 f의 전체 전력은 신호 처리 문헌에서 함수 제곱의 적분을 해당 영역의 면적으로 나눈 값으로 정의된다. 실수 단위 전력 구면 조화 함수의 정규 직교성 속성을 사용하여, 단위 구면에서 정의된 함수의 전체 전력은 일반화된 파르세발의 정리에 의해 스펙트럼 계수와 관련이 있음을 쉽게 확인할 수 있다.

:$\backslash frac\{1\}\{4\; \backslash ,\; \backslash pi\}\; \backslash int\_\backslash Omega\; |f(\backslash Omega)|^2\backslash ,\; d\backslash Omega\; =\; \backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^\backslash infty\; S\_\{f\backslash !f\}(\backslash ell),$

여기서

:$S\_\{f\backslash !f\}(\backslash ell)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash ell+1\}\backslash sum\_\{m=-\backslash ell\}^\backslash ell\; |f\_\{\backslash ell\; m\}|^2$

는 각도 전력 스펙트럼으로 정의된다. 유사한 방식으로, 두 함수의 교차 전력을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$\backslash frac\{1\}\{4\; \backslash ,\; \backslash pi\}\; \backslash int\_\backslash Omega\; f(\backslash Omega)\; \backslash ,\; g^\backslash ast(\backslash Omega)\; \backslash ,\; d\backslash Omega\; =\; \backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^\backslash infty\; S\_\{fg\}(\backslash ell),$

여기서

:$S\_\{fg\}(\backslash ell)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash ell+1\}\backslash sum\_\{m=-\backslash ell\}^\backslash ell\; f\_\{\backslash ell\; m\}\; g^\backslash ast\_\{\backslash ell\; m\}$

는 교차 전력 스펙트럼으로 정의된다. 함수 f와 g가 0 평균을 가지는 경우, S_ff(ℓ) 및 S_fg(ℓ)는 각각 차수 ℓ에 대한 함수의 분산 및 공분산에 대한 기여도를 나타낸다. (교차-)전력 스펙트럼은 일반적으로 다음 형태의 멱함수로 잘 근사된다.

:$S\_\{f\backslash !f\}(\backslash ell)\; =\; C\; \backslash ,\; \backslash ell^\{\backslash beta\}.$

β = 0일 때, 각 차수가 동일한 전력을 가지므로 스펙트럼은 "백색"이다. β < 0일 때, 낮은 차수, 즉 긴 파장에서 더 많은 전력이 존재하므로 스펙트럼은 "적색"이라고 한다. 마지막으로, β > 0일 때, 스펙트럼은 "청색"이라고 한다. S_ff(ℓ)의 성장 순서에 대한 조건은 다음 절에서 f의 미분 가능성 순서와 관련이 있다.

구면 조화 함수 f의 미분 가능성은 S_ff(ℓ)의 점근선을 통해 이해할 수 있다. 특히, S_ff(ℓ)이 ℓ에 대한 어떤 유리 함수보다 빠르게 붕괴하는 경우, 즉 ℓ → ∞일 때 f는 무한히 미분 가능하다. 만약 더 나아가 S_ff(ℓ)이 지수적으로 붕괴한다면, f는 실제로 구면에서 실해석적이다.

일반적인 기술은 소볼레 공간 이론을 사용하는 것이다. S_ff(ℓ)의 성장이 미분 가능성과 관련되는 명제는 푸리에 급수의 계수의 성장에 대한 유사한 결과와 유사하다. 구체적으로,

이면 f는 소볼레 공간 H^s(S²)에 속한다. 특히, 소볼레 임베딩 정리에 따르면
$$S\_\{ff\}(\backslash ell)\; =\; O(\backslash ell^\{-s\})\backslash quad\backslash rm\{as\backslash \; \}\backslash ell\backslash to\backslash infty$$
가 모든 s에 대해 성립하면 f는 무한히 미분 가능하다.

12.1. Power spectrum in signal processing

함수 f의 전체 전력은 신호 처리 문헌에서 함수 제곱의 적분을 해당 영역의 면적으로 나눈 값으로 정의된다. 실수 단위 전력 구면 조화 함수의 정규 직교성 속성을 사용하여, 단위 구면에서 정의된 함수의 전체 전력은 일반화된 파르세발의 정리에 의해 스펙트럼 계수와 관련이 있음을 쉽게 확인할 수 있다.

:$\backslash frac\{1\}\{4\; \backslash ,\; \backslash pi\}\; \backslash int\_\backslash Omega\; |f(\backslash Omega)|^2\backslash ,\; d\backslash Omega\; =\; \backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^\backslash infty\; S\_\{f\backslash !f\}(\backslash ell),$

여기서

:$S\_\{f\backslash !f\}(\backslash ell)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash ell+1\}\backslash sum\_\{m=-\backslash ell\}^\backslash ell\; |f\_\{\backslash ell\; m\}|^2$

는 각도 전력 스펙트럼으로 정의된다. 유사한 방식으로, 두 함수의 교차 전력을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$\backslash frac\{1\}\{4\; \backslash ,\; \backslash pi\}\; \backslash int\_\backslash Omega\; f(\backslash Omega)\; \backslash ,\; g^\backslash ast(\backslash Omega)\; \backslash ,\; d\backslash Omega\; =\; \backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^\backslash infty\; S\_\{fg\}(\backslash ell),$

여기서

:$S\_\{fg\}(\backslash ell)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash ell+1\}\backslash sum\_\{m=-\backslash ell\}^\backslash ell\; f\_\{\backslash ell\; m\}\; g^\backslash ast\_\{\backslash ell\; m\}$

는 교차 전력 스펙트럼으로 정의된다. 함수 f와 g가 0 평균을 가지는 경우, S_ff(ℓ) 및 S_fg(ℓ)는 각각 차수 ℓ에 대한 함수의 분산 및 공분산에 대한 기여도를 나타낸다. (교차-)전력 스펙트럼은 일반적으로 다음 형태의 멱함수로 잘 근사된다.

:$S\_\{f\backslash !f\}(\backslash ell)\; =\; C\; \backslash ,\; \backslash ell^\{\backslash beta\}.$

β = 0일 때, 각 차수가 동일한 전력을 가지므로 스펙트럼은 "백색"이다. β < 0일 때, 낮은 차수, 즉 긴 파장에서 더 많은 전력이 존재하므로 스펙트럼은 "적색"이라고 한다. 마지막으로, β > 0일 때, 스펙트럼은 "청색"이라고 한다. S_ff(ℓ)의 성장 순서에 대한 조건은 다음 절에서 f의 미분 가능성 순서와 관련이 있다.

12.2. Differentiability properties

구면 조화 함수 f의 미분 가능성은 S_ff(ℓ)의 점근선을 통해 이해할 수 있다. 특히, S_ff(ℓ)이 ℓ에 대한 어떤 유리 함수보다 빠르게 붕괴하는 경우, 즉 ℓ → ∞일 때 f는 무한히 미분 가능하다. 만약 더 나아가 S_ff(ℓ)이 지수적으로 붕괴한다면, f는 실제로 구면에서 실해석적이다.

일반적인 기술은 소볼레 공간 이론을 사용하는 것이다. S_ff(ℓ)의 성장이 미분 가능성과 관련되는 명제는 푸리에 급수의 계수의 성장에 대한 유사한 결과와 유사하다. 구체적으로,

이면 f는 소볼레 공간 H^s(S²)에 속한다. 특히, 소볼레 임베딩 정리에 따르면
$$S\_\{ff\}(\backslash ell)\; =\; O(\backslash ell^\{-s\})\backslash quad\backslash rm\{as\backslash \; \}\backslash ell\backslash to\backslash infty$$
가 모든 s에 대해 성립하면 f는 무한히 미분 가능하다.

13. Algebraic properties

13.1. Addition theorem

두 벡터 r과 r′이 구면 좌표 $(r,\backslash theta,\backslash varphi)$와 $(r,\; \backslash theta\; \text{'},\; \backslash varphi\; \text{'})$를 가질 때, 그 사이의 각도 $\backslash gamma$는 다음과 같이 주어진다.

$\backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash cos\backslash theta\text{'}\backslash cos\backslash theta\; +\; \backslash sin\backslash theta\backslash sin\backslash theta\text{'}\; \backslash cos(\backslash varphi-\backslash varphi\text{'})$

이 식에서 우변의 삼각 함수 역할은 구면 조화 함수가, 좌변은 르장드르 다항식이 수행한다.

덧셈 정리는 다음과 같다.

:$P\_\backslash ell(\; \backslash mathbf\{x\}\backslash cdot\backslash mathbf\{y\}\; )\; =\; \backslash frac\{4\backslash pi\}\{2\backslash ell+1\}\backslash sum\_\{m=-\backslash ell\}^\backslash ell\; Y\_\{\backslash ell\; m\}(\backslash mathbf\{y\})\; \backslash ,\; Y\_\{\backslash ell\; m\}^*(\backslash mathbf\{x\})$
\quad \forall \, \ell \in \N_0 \;
\forall\, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \R^3 \colon \; \| \mathbf{x} \|_2 = \| \mathbf{y} \|_2 = 1 \,,


여기서 는 차수의 르장드르 다항식이다. 이 표현은 실수 및 복소수 조화 함수 모두에 유효하다. 이 결과는 단위 구에서의 푸아송 커널의 속성을 사용하여 해석적으로 증명하거나, 벡터 y를 z축을 따라 가리키도록 회전을 적용한 다음 우변을 직접 계산하여 기하학적으로 증명할 수 있다.

특히, 인 경우, 이는 운졸트 정리를 제공한다.

:$\backslash sum\_\{m=-\backslash ell\}^\backslash ell\; Y\_\{\backslash ell\; m\}^*(\backslash mathbf\{x\})\; \backslash ,\; Y\_\{\backslash ell\; m\}(\backslash mathbf\{x\})\; =\; \backslash frac\{2\backslash ell\; +\; 1\}\{4\backslash pi\}$

이는 항등식 을 2차원으로 일반화한 것이다.

전개식에서 좌변 $P\_\{\backslash ell\}\; (\backslash mathbf\{x\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{y\})$는 차수 구역 구면 조화 함수의 상수 배이다. 이러한 관점에서 고차원으로의 일반화가 가능하다. 가 -구면에서의 차수 구면 조화 함수의 공간 의 임의의 정규 직교 기저라고 하면, 단위 벡터 에 해당하는 차수 구역 조화 함수 $Z^\{(\backslash ell)\}\_\{\backslash mathbf\{x\}\}$는 다음과 같이 분해된다.

:$Z^\{(\backslash ell)\}\_\{\backslash mathbf\{x\}\}(\{\backslash mathbf\{y\}\})\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{\backslash dim(\backslash mathbf\{H\}\_\backslash ell)\}\backslash overline\{Y\_j(\{\backslash mathbf\{x\}\})\}\backslash ,Y\_j(\{\backslash mathbf\{y\}\})$

더욱이, 구역 조화 함수 $Z^\{(\backslash ell)\}\_\{\backslash mathbf\{x\}\}(\{\backslash mathbf\{y\}\})$는 적절한 게겐바우어 다항식의 상수 배로 주어진다.

:$Z^\{(\backslash ell)\}\_\{\backslash mathbf\{x\}\}(\{\backslash mathbf\{y\}\})\; =\; C\_\backslash ell^\{((n-2)/2)\}(\{\backslash mathbf\{x\}\}\backslash cdot\; \{\backslash mathbf\{y\}\})$

위의 두 식을 결합하면 인 경우, 즉, 와 가 구면 좌표로 표현되는 경우 원래의 덧셈 정리를 얻을 수 있다. 마지막으로, 에서 평가하면 다음과 같은 함수 항등식이 얻어진다.

:$\backslash frac\{\backslash dim\; \backslash mathbf\{H\}\_\backslash ell\}\{\backslash omega\_\{n-1\}\}\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{\backslash dim(\backslash mathbf\{H\}\_\backslash ell)\}|Y\_j(\{\backslash mathbf\{x\}\})|^2$

여기서 는 (n−1)-구의 부피이다.

13.2. Contraction rule

두 개의 구면 조화 함수의 곱은 구면 조화 함수의 합으로 표현할 수 있다.

:$$Y\_\{a,\backslash alpha\}\backslash left(\backslash theta,\backslash varphi\backslash right)Y\_\{b,\backslash beta\}\backslash left(\backslash theta,\backslash varphi\backslash right)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash left(2a+1\backslash right)\; \backslash left(2b+1\backslash right)\}\{4\backslash pi\}\}\backslash sum\_\{c=0\}^\{\backslash infty\}\backslash sum\_\{\backslash gamma=-c\}^\{c\}\backslash left(-1\backslash right)^\{\backslash gamma\}\backslash sqrt\{2c+1\}\backslash begin\{pmatrix\}$$
a & b & c\\
\alpha & \beta & -\gamma
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a & b & c\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} Y_{c,\gamma}\left(\theta,\varphi\right).

이 합의 많은 항들은 자명하게 0이다. 이 합에서 0이 아닌 항을 생성하는 $c$ 및 $\backslash gamma$의 값은 3j-심볼에 대한 선택 규칙에 의해 결정된다.

13.3. Clebsch–Gordan coefficients

클렙쉬-고르단 계수는 두 구면 조화 함수의 곱을 구면 조화 함수 자체로 전개할 때 나타나는 계수이다. 기본적으로 동일한 계산을 수행하는 데 사용할 수 있는 다양한 기법이 있으며, 여기에는 비그너 3-jm 기호, 라카 계수, 그리고 슬레이터 적분이 있다. 추상적으로, 클렙쉬-고르단 계수는 두 기약 표현의 텐서 곱을 회전군의 기약 표현의 합으로 표현한다. 적절하게 정규화하면 계수는 다중도가 된다.

14. Visualization of the spherical harmonics

15. List of spherical harmonics

처음 몇 개의 정규 직교 라플라스 구면 조화 함수는 다음과 같이 표현된다.

:Y_{0}^{0}(θ,φ)^영어 = }

:Y_{1}^{-1}(θ,φ)^영어 =
:Y_{1}^{0}(θ,φ)^영어 =
:Y_{1}^{1}(θ,φ)^영어 =

:Y_{2}^{-2}(θ,φ)^영어 =
:Y_{2}^{-1}(θ,φ)^영어 =
:Y_{2}^{0}(θ,φ)^영어 =
:Y_{2}^{1}(θ,φ)^영어 =
:Y_{2}^{2}(θ,φ)^영어 =

16. Higher dimensions

고전적인 구면 조화 함수는 3차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \R ^{3}}$ 내의 단위 구 ${\displaystyle S^{2}}$에서 복소수 값을 갖는 함수로 정의된다. 구면 조화 함수는 더 높은 차원의 유클리드 공간 ${\displaystyle \R ^{n}}$으로 일반화될 수 있으며, 이는 함수 ${\displaystyle S^{n-1}\to \mathbb {C} }$로 이어진다.

${\displaystyle \mathbf {P} _{\ell }}$을 ${\displaystyle n}$개의 실수 변수에 대한 차수 ${\displaystyle \ell }$의 복소수 값을 갖는 다항식의 벡터 공간으로 표시한다. 여기서 ${\displaystyle \R ^{n}\to \mathbb {C} }$ 함수로 간주한다. 즉, 어떤 다항식 ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle {\mathbf {P}}_{\ell }}$에 속한다는 것은 임의의 실수 ${\displaystyle \lambda \in \R }$에 대해 다음이 성립함을 의미한다.

${\displaystyle p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} ).}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }}$을 모든 조화 다항식으로 구성된 ${\displaystyle \mathbf {P} _{\ell }}$의 부분 공간으로 표시한다.

${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}.}$

이들은 (정규) 입체 구면 조화 함수이다. ${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }}$을 단위 구에서 정의된 함수 공간으로 표시한다.

${\displaystyle S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \R ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}}$

${\displaystyle {\mathbf {A}}_{\ell }}$에서 제한하여 얻는다.

${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{ for some }}p\in \mathbf {A} _{\ell },\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in S^{n-1}\right\}.}$

다음 속성이 적용된다.

* 공간 ${\displaystyle {\mathbf {H}}_{\ell }}$의 합은 Stone–Weierstrass 정리에 의해 균등 수렴 위상에서 ${\displaystyle S^{n-1}}$ 상의 연속 함수 집합 ${\displaystyle C(S^{n-1})}$에서 조밀 집합이다. 결과적으로, 이러한 공간의 합은 구면 상의 제곱 적분 가능한 함수 공간 ${\displaystyle L^{2}\left(S^{n-1}\right)}$에서도 조밀하다. 따라서 구면 상의 모든 제곱 적분 가능한 함수는 구면 조화 함수의 급수로 고유하게 분해되며, 여기서 급수는 ${\displaystyle L^{2}}$ 의미에서 수렴한다.
* 모든 ${\displaystyle f\in {\mathbf {H}}_{\ell }}$에 대해 다음이 성립한다.
${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.}$

여기서 ${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}}$는 ${\displaystyle S^{n-1}}$ 상의 라플라스-벨트라미 연산자이다. 이 연산자는 3차원에서 라플라시안의 각 부분과 유사하다. 즉, ${\displaystyle n}$차원의 라플라시안은 다음과 같이 분해된다.

${\displaystyle \nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}}$
* 스토크스 정리와 앞의 속성으로부터, 공간 ${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }}$는 ${\displaystyle L^{2}\left(S^{n-1}\right)}$에서 내적과 관련하여 직교한다. 즉, ${\displaystyle f\in \mathbf {H} _{\ell }}$이고 ${\displaystyle k\neq \ell }$에 대해 ${\displaystyle g\in \mathbf {H} _{k}}$인 경우

${\displaystyle \int _{S^{n-1}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \Omega =0}$이다.
* 반대로, 공간 ${\displaystyle {\mathbf {H}}_{\ell }}$는 정확히 ${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}}$의 고유 공간이다. 특히, 스펙트럼 정리를 Riesz potential ${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}^{-1}}$에 적용하면 공간 ${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }}$가 쌍별로 직교하고 ${\displaystyle L^{2}\left(S^{n-1}\right)}$에서 완전하다는 또 다른 증명을 얻을 수 있다.
* 모든 동차 다항식 ${\displaystyle p\in \mathbf {P} _{\ell }}$는 다음 형식으로 고유하게 작성할 수 있다.

${\displaystyle p(x)=p_{\ell }(x)+|x|^{2}p_{\ell -2}+\cdots +{\begin{cases}|x|^{\ell }p_{0}&\ell {\rm {\ even}}\\|x|^{\ell -1}p_{1}(x)&\ell {\rm {\ odd}}\end{cases}}}$

여기서 ${\displaystyle p_{j}\in \mathbf {A} _{j}}$. 특히,

${\displaystyle \dim \mathbf {H} _{\ell }={\binom {n+\ell -1}{n-1}}-{\binom {n+\ell -3}{n-1}}={\binom {n+\ell -2}{n-2}}+{\binom {n+\ell -3}{n-2}}.}$

더 높은 차원의 구면 조화 함수의 직교 기저는 변수 분리 방법을 통해 수학적 귀납법으로 구성할 수 있으며, 구면 라플라시안에 대한 슈투름-리우빌 문제를 해결하여 구할 수 있다.

${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}}$

여기서 ${\displaystyle \varphi }$는 ${\displaystyle S^{n-1}}$에 대한 구면 좌표계의 축 좌표이다. 이러한 절차의 최종 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar {P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})}$

여기서 인덱스는 ${\displaystyle {|\ell _{1}|\leq \ell _{2}\leq \cdots \leq \ell _{n-1}}}$를 만족하고, 고유값은 ${\displaystyle -\ell _{n-1}(\ell _{n-1}+n-2)}$이다. 곱의 함수는 르장드르 함수를 사용하여 정의된다.

${\displaystyle {}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {\frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\,.}$

17. Connection with representation theory

차수 ℓ의 구면 조화 함수 공간 H_ℓ는 점 주위의 회전 대칭 군 (SO(3))과 이중 덮개 SU(2)의 표현이다. 회전은 2차원 구에 작용하므로 함수 합성을 통해 H_ℓ에도 작용한다. 표현 H_ℓ는 SO(3)의 기약 표현이다.

H_ℓ의 원소는 3차원 유클리드 공간 R³에서 차수 ℓ의 동차 조화 다항식인 A_ℓ의 원소들을 구에 제한하여 얻어진다. SO(3)의 기약 표현으로, H_ℓ는 차수 ℓ의 트레이스가 없는 대칭 텐서 공간과 동형이다.

n-구 위의 구면 조화 함수 공간 H_ℓ는 트레이스가 없는 대칭 ℓ-텐서에 해당하는 SO(n+1)의 기약 표현이다. SO(2) 및 SO(3)의 모든 기약 텐서 표현이 이러한 종류인 반면, 더 높은 차원의 특수 직교 군에는 이러한 방식으로 발생하지 않는 추가적인 기약 표현이 있다.

특수 직교 군에는 텐서 표현이 아닌 추가적인 스핀 표현이 있으며, *일반적으로* 구면 조화 함수가 아니다. 예외는 SO(3)의 스핀 표현이다. 엄밀히 말하면, 이들은 SO(3)의 이중 덮개 SU(2)의 표현이다. SU(2)는 단위 사원수의 군과 동일하게 식별되므로 3-구와 일치한다. 3-구 위의 구면 조화 함수 공간은 사원수 곱셈에 의한 작용과 관련하여 SO(3)의 특정 스핀 표현이다.

18. Connection with hemispherical harmonics

구면 조화 함수는 두 세트의 함수로 분리될 수 있다. 하나는 반구 함수(hemispherical function, HSH)로, 반구에서 직교하며 완전하다. 다른 하나는 보완 반구 조화 함수(complementary hemispherical harmonics, CHSH)이다.

18.1. Generalizations

각 보존 대칭의 2차원 구는 뫼비우스 변환 PSL(2, C) 그룹에 의해 설명된다. 이 그룹과 관련하여 구는 일반적인 리만 구와 동일하다. PSL(2, C) 그룹은 (고유) 로렌츠 군과 동형이며, 2차원 구에 대한 작용은 민코프스키 공간에서 천구에 대한 로렌츠 군의 작용과 일치한다. 로렌츠 군에 대한 구면 조화 함수의 유사체는 초기하 급수에 의해 제공된다. 또한, 구면 조화 함수는 SO(3) = PSU(2)가 PSL(2, C)의 부분군이므로 초기하 급수의 관점에서 재표현될 수 있다.

더 일반적으로, 초기하 급수는 모든 대칭 공간의 대칭을 설명하도록 일반화될 수 있다. 특히, 초기하 급수는 모든 리 군에 대해 개발될 수 있다.