하트리-폭 방법

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1. 개요

하트리-폭 방법은 다전자 원자 또는 분자의 근사 파동 함수와 에너지를 계산하는 데 사용되는 양자역학적 계산 방법이다. 1920년대에 개발되었으며, 자기-일관장 방법을 사용하여 시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식을 푼다. 이 방법은 슬레이터 행렬식의 에너지 기댓값을 최소화하여 얻어진 하트리-폭 방정식을 풀고, 이를 통해 전자의 거동을 기술한다. 하트리-폭 방법은 전자 상관 관계를 무시하는 한계가 있지만, 변형된 형태인 포스트-하트리-폭 방법과 밀도 범함수 이론, 현대 원자가 결합 방법 등 다양한 대안이 존재한다.

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하트리-폭 방법
개요
분야	양자화학, 계산화학
개발자	더글러스 하트리 블라디미르 폭
개발 년도	1930년경
방법 종류	양자 화학 계산 방법
목적	다체 시스템의 근사적인 파동 함수와 에너지 계산
상세 정보
특징	평균장 근사, 단일-결정자 근사
적용 대상	원자 분자 고체
파생 방법	제한적 하트리-폭 (RHF) 비제한적 하트리-폭 (UHF) 제한 개방형 하트리-폭 (ROHF)
관련 개념	분자 궤도 함수 자기 무관장 슬레이터 행렬식 밀도 범함수 이론 포크 연산자

2. 역사

슈뢰딩거 방정식이 발견된 직후인 1920년대 말, 더글러스 하트리와 블라디미르 포크에 의해 하트리-폭 방법이 개발되었다. 이 방법은 이들의 이름을 따서 명명되었다.

2. 1. 초기 준경험적 방법

슈뢰딩거 방정식이 발견된 직후인 1920년대 말, 하트리-폭 방법의 기원이 시작되었다. 더글러스 하트리의 방법은 1920년대 초반 보어의 구 양자론에 기반한 몇몇 초기 준경험적 방법(E. Fues, R. B. 린지, 그리고 하트리 자신)에 의해 안내되었다.

보어 모델에서 주 양자수 ''n''을 갖는 상태의 에너지는 원자 단위로

E = -1 / n^2

으로 주어진다. 원자 스펙트럼으로부터 다전자 원자의 에너지 준위는 보어의 공식을 수정하여 적용함으로써 잘 설명된다는 것이 관찰되었다. 양자 결함 ''d''를 경험적 매개변수로 도입함으로써, 일반적인 원자의 에너지 준위는

E = -1 / (n + d)^2

공식으로 잘 근사되었으며, 이는 X선 영역에서 관찰된 전이 준위를 상당히 잘 재현할 수 있다는 점에서 그러했다(예를 들어, 모즐리의 법칙에서 경험적 논의와 유도를 참조). 0이 아닌 양자 결함의 존재는 고립된 수소 원자에는 존재하지 않는 전자-전자 반발력에 기인했다. 이 반발력은 베어 핵 전하의 부분적인 가림을 초래했다. 이 초기 연구자들은 나중에 실험 데이터를 더 잘 재현하기 위해 추가적인 경험적 매개변수를 포함하는 다른 전위들을 도입했다.

2. 2. 하트리 방법

1927년, 더글러스 하트리는 원자와 이온의 근사 파동 함수와 에너지를 계산하기 위해 자기-일관장 방법이라고 부르는 절차를 도입했다.^[4] 하트리는 경험적 매개변수를 없애고 기본 물리 원리, 즉 ab initio로부터 다체 시간-독립 슈뢰딩거 방정식을 풀려고 했다. 그가 처음 제안한 해법은 ''하트리 방법'' 또는 ''하트리 곱''으로 알려지게 되었다. 그러나 하트리 방법의 물리적 추론을 이해하는 사람은 많지 않았다. 많은 사람들에게 그것은 경험적 요소를 포함하는 것처럼 보였고, 다체 슈뢰딩거 방정식의 해법과의 관련성은 불분명했다. 그러나 1928년 존 슬레이터와 J. A. 고트는 독립적으로 하트리 방법이 단일 입자 함수의 곱으로 변분 원리를 가정 파동 함수에 적용함으로써 더 견고한 이론적 토대 위에 세워질 수 있음을 보였다.^[5]^[6]

1930년, 슬레이터와 블라디미르 포크는 하트리 방법이 파동 함수의 반대칭성 원리를 준수하지 않는다는 점을 독립적으로 지적했다.^[7]^[8] 하트리 방법은 이전 공식에서 파울리 배타 원리를 사용하여 동일한 양자 상태에 두 개의 전자가 존재하는 것을 금지했다. 그러나 이것은 양자 통계를 무시하여 근본적으로 불완전한 것으로 나타났다.

2. 3. 하트리-폭 방법의 발전

하트리-폭 방법에서 반대칭성이 결여된 문제에 대한 해결책은 1926년 하이젠베르크와 디랙이 처음 사용한 1입자 오비탈의 슬레이터 행렬식이 정확한 해의 반대칭 속성을 자명하게 만족시키며, 따라서 변분 원리를 적용하기 위한 적절한 안자츠임을 보이면서 제시되었다. 원래의 하트리 방법은 교환을 무시함으로써 하트리-폭 방법에 대한 근사로 볼 수 있다. 1935년 하트리는 계산 목적에 더 적합하도록 이 방법을 재구성했다.^[9]

하트리-폭 방법은 물리적으로 더 정확한 그림에도 불구하고, 초기 하트리 방법과 경험적 모델보다 계산 요구량이 훨씬 더 컸기 때문에 1950년대 전자 컴퓨터의 등장 전까지는 거의 사용되지 않았다.^[10] 처음에는 하트리 방법과 하트리-폭 방법 모두 시스템의 구형 대칭성을 통해 문제를 크게 단순화할 수 있는 원자에만 독점적으로 적용되었다. 이러한 근사 방법은 (그리고 현재도) 같은 껍질 내의 전자가 동일한 반경 부분을 가지도록 하고 변분 해가 스핀 고유 함수가 되도록 제한하기 위해 중심장 근사와 함께 자주 사용된다. 그럼에도 불구하고 중간 크기의 원자에 대한 하트리-폭 방정식을 손으로 계산하는 것은 매우 힘들었으며, 작은 분자는 1950년 이전에는 구할 수 없었던 계산 자원을 필요로 했다.

3. 하트리-폭 방법의 근사

하트리-폭 방법은 다음과 같은 주요 근사를 사용한다.

보른-오펜하이머 근사를 기본적으로 가정한다. 즉, 분자 파동 함수는 전자의 좌표뿐만 아니라 각 핵의 좌표에 대한 함수이지만, 원자핵 좌표는 불변으로 하고 전자만의 좌표 함수로 간주한다.
일반적으로 상대론적 효과는 완전히 무시된다. 운동량 연산자는 완전히 비상대론적인 것으로 가정한다.
각 에너지 고유 함수는 단일 슬레이터 행렬식, 즉 1-전자 파동 함수(예: 궤도 함수)의 반대칭 곱으로 설명할 수 있다고 가정한다.
평균장 근사가 암시된다. 즉, 어떤 하나의 전자가 받는 상호 작용의 크기는 그 전자의 위치에만 의존하고, 다른 전자의 위치에는 의존하지 않는다. 이 가정을 벗어나는 효과는 무시된다. 이러한 효과는 종종 전자 상관이라는 용어의 정의로 함께 사용된다. 그러나 "전자 상관"이라는 용어는 엄밀히 말해 쿨롱 상관과 페르미 상관을 모두 포함하며, 후자는 하트리-폭 방법에서 완전히 설명되는 전자 교환의 효과이다.^[11]^[12] 이 용어로 표현하면, 이 방법은 쿨롱 상관만 무시한다. 그러나 이것은 중요한 결함이며, 런던 분산력을 포착하지 못하는 하트리-폭의 능력 부족을 설명한다.^[13]

마지막 두 가지 근사를 완화하면 많은 소위 포스트-하트리-폭 방법이 발생한다.

4. 하트리-폭 방정식

라그랑주 미정계수법을 사용하여 유도되는 하트리-폭 방정식은 N개의 페르미온계를 고려할 때, 분자 전체의 파동함수를 하나의 슬레이터 행렬식으로 하고, 시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 얻을 수 있다. 에너지(E)는 다음과 같이 표현된다.^[1]

: $E= \sum_{i=1}^{N} \int \mathrm dx \varphi_i^{*}(x) \left(-\frac{1}{2m} \nabla^{2}\right) \varphi_i(x)+ \frac{1}{2} \sum_{i,k=1}^{N}\int \mathrm dx \mathrm dy \varphi_i^{*}(x)\varphi_k^{*}(y)v(x-y)\left(\varphi_i(x)\varphi_k(y)-\varphi_i(y)\varphi_k(x)\right)$

이 식을 1입자 파동 함수 $\varphi_i^{*}(x)$ 로 변분하여, 즉 $\varphi_i^{*}(x)$ 가 정규 직교화되어 있고 최저 에너지를 갖도록 조건을 부여하면 하트리-폭 방정식을 얻는다.

하트리-폭 방정식은 포크 연산자를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.^[1]

: $\hat{F}(\mathbf{x}_k)\phi_k(\mathbf{x}_k) \equiv \left[ \hat{h}(\mathbf{x}_k) + \hat{J}(\mathbf{x}_k) - \hat{K}(\mathbf{x}_k) \right]\phi_k(\mathbf{x}_k) = \epsilon_k \phi_k(\mathbf{x}_k),$

여기서 쿨롱 연산자 $\hat{J}(\mathbf{x}_k)$ 와 교환 연산자 $\hat{K}(\mathbf{x}_k)$ 는 다음과 같이 정의된다.^[1]

: $\begin{aligned}\hat{J}(\mathbf{x_k}) &\equiv \sum_{j=1}^N \int \mathrm{d}\mathbf{x}_j \frac{\phi_j^*(\mathbf{x}_j) \phi_j(\mathbf{x}_j)}$

= \sum_{j=1}^N \int \mathrm{d}\mathbf{x}_j \frac{\rho(\mathbf{x}_j)}

,\\\hat{K}(\mathbf{x_k})\phi_{k}(\mathbf{x}_k) &\equiv \sum_{j=1}^N \phi_{j}(\mathbf{x}_k) \int \text{d}\mathbf{x}_j \frac{\phi_j^*(\mathbf{x}_j) \phi_k(\mathbf{x}_j)}

.\\\end{aligned}

하트리-폭 방정식은 고유값 문제 형태로 나타나지만, 포크 연산자 자체가

\phi

에 의존하므로 다른 기술을 통해 해결해야 한다. 해

\phi_k

와

\epsilon_k

는 각각 분자 궤도 함수와 궤도 에너지라고 한다.

4. 1. 라그랑주 미정계수법

분자 전자 해밀토니안에 대한 슬레이터 행렬식의 에너지 기대값을 1입자 파동 함수로 변분하면 하트리-폭 방정식을 얻을 수 있다. 이때 라그랑주 승수법을 사용하여 1입자 파동 함수가 정규 직교화되어 있고 최저 에너지를 갖도록 한다. 하트리-폭 방정식은 다음과 같다.^[1]

:

-\frac{1}{2m} \nabla^{2} \varphi_i(x)+V_H(x)\varphi_i(x)-\int \mathrm dy V_E(x,y)\varphi_i(y) = \sum_{j=1}^{N} \epsilon_{j,i} \varphi_j(x)

여기서,

$\varphi_i (x) \$ : 1입자 파동 함수
$V_H(x)\equiv \int \mathrm dy \sum_{k=1}^{N} v(x-y) |\varphi_k(y)|^2$ : 하트리 포텐셜
$V_E(x,y) \equiv \sum_{k=1}^{N} v(x-y) \varphi_k(x)\varphi_k^{*}(y)$ : 포크 포텐셜 (교환 포텐셜)

포크 포텐셜은 파동 함수의 반대칭화가 필요한 페르미온 다체계에 특유한 것이며, 보존 다체계의 평균장을 구하는 방정식 (그로스-피타예프스키 방정식)에는 존재하지 않는다.^[1]

4. 2. 정준 하트리-폭 방정식

유니타리 변환 후의 하트리-폭 방정식의 미정 계수(

\epsilon_{j,i}

)가 대각 행렬(

\epsilon_{j,i}=\delta_{i,j}\epsilon_{i}

)이 되도록 유니타리 변환을 선택하여 표현한 것을 '''정준 하트리-폭 방정식'''(canonical Hartree-Fock equation)이라고 부른다.

정준 하트리-폭 방정식은 폭 연산자의 고유값 방정식이다. 즉, 고유값으로서 스핀 궤도 에너지

\epsilon_i

, 그리고 이에 속하는 고유 함수로서 스핀 궤도

\varphi_i

를 갖는 고유값 방정식이다.

:

\hat{F} \varphi_i = \epsilon_i \varphi_i

;폭 연산자

:

\hat{F} \equiv \hat{h} + \sum_{j=1}^n (\hat{J}_j - \hat{K}_j)

;핵–일전자 해밀토니안

:

\hat{h} \equiv -\frac{1}{2}\nabla_i^2 - \sum_{A=1}^N \frac{Z_A}{r_{iA}}

:주) 첫 번째 항은 ''i''번째 전자의 운동 에너지, 두 번째 항은 원자핵-전자 간의 인력 포텐셜 에너지를 나타낸다.

;쿨롱 연산자

:

\hat{J}_j(1) \varphi_i(1) \equiv \int \varphi_j^{*}(2) \varphi_j(2) \frac{1}{r_{12}} \varphi_i(1) \,\mathrm d \boldsymbol{x}_2

:주) 위치 '''x'''₂에 있는 한 개의 전자가

\chi_j

로 표현되는 한 개의 전자로부터 느끼는 평균적인 포텐셜을 나타낸다.

;교환 연산자

:

\hat{K}_j(1) \varphi_i(1) \equiv \int \varphi_j^{*}(2) \varphi_i(2) \frac{1}{r_{12}} \varphi_j(1) \,\mathrm d\boldsymbol{x}_2

교환 연산자는 고전적인 해석이 불가능한 연산자이며, 단지 슬레이터 행렬식의 인공물이다. 즉, 구별할 수 없는 전자에 번호를 매겼기 때문에 파울리 배타 원리가 요구하는 반대칭성을 만족하는 파동 함수로서 슬레이터 행렬식을 도입한 것이 원인이 되어 생겨났다. 쿨롱항(하트리 포텐셜) 내에 존재하는 전자와 그 자신과의 "자기 상호작용"은 교환(폭) 포텐셜 내에도 존재하기 때문에 상쇄된다.

여기서,

\boldsymbol{x}

는 전자의 공간 좌표

\boldsymbol{r}

과 스핀 좌표

\omega

을 묶은 공간 스핀 좌표이다.

:

\varphi_j(1)=\varphi_j(\boldsymbol{x}_1)=\varphi_j(\boldsymbol{r}_1,\omega_1)

5. 하트리-폭 방정식의 해법

하트리-폭 방법은 일반적으로 다전자 원자 또는 분자에 대한 시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식을 풀기 위해 사용되며, 보른-오펜하이머 근사에서 설명된 것처럼 사용된다. 다전자 시스템에 대한 알려진 닫힌 형식 해가 없기 때문에 (수소 원자와 이수소 양이온과 같은 1전자 시스템에 대한 해는 ''있다''), 문제는 수치적으로 해결된다. 하트리-폭 근사로 인해 비선형성이 도입되므로, 방정식은 반복법을 사용하여 풀린다. 이 방법은 "자기-일관장 방법"이라고도 불린다.^[1]

하트리-폭 방정식은 이 상태로는 풀기 어렵다. 그래서 일반적으로 구하려는 스핀 궤도를 알려진 기저 함수의 조합으로 전개하여 행렬 방정식 형태로 변환하여 푼다.

5. 1. 하트리-폭-루탄 방정식과 포플-네스벳 방정식

구하려는 스핀 궤도를 알려진 기저 함수의 조합으로 전개하여 행렬 방정식 형태로 변환하여 푼다.

하트리-폭-로턴 방정식, 포플-네스벳 방정식

폭 연산자 중 쿨롱 연산자와 교환 연산자가 구하려는 스핀 궤도를 포함하기 때문에 자기-일관장 방법(자체 무모순장 방법 또는 SCF법이라고도 한다)으로 푼다.

6. 해의 해석

전자의 출입에 의해 분자 궤도가 변화하지 않는다고 가정하면, 하트리-폭 에너지 $E[N]$ 에서 ''k''번째 전자가 제거된 후의 N-1 전자계의 에너지 $E[N-1]$ 을 빼면 $\varepsilon_k$ 가 되며, $-\varepsilon_k$ 는 전자를 제거하는 데 필요한 에너지, 즉 이온화 에너지의 의미를 갖는다(쿠프만 정리). 따라서 하트리-폭 방정식의 미정 승수 ε_''i''는 분자 궤도 에너지로 해석할 수 있다. 그러나 하트리-폭 에너지는 ε_''i''의 총합이 아니라는 점에 유의해야 한다.

7. 수치적 안정성

하트리-폭 계산에서 수치적 안정성은 중요한 문제이다. 이를 해결하기 위해 다양한 방법들이 개발되었다. 그중 하나는 F-혼합(감쇠)이다. 분자 계산에서는 양이온에 대한 파동 함수를 먼저 계산한 후, 이 궤도를 중성 분자의 시작점으로 사용하기도 한다. 현대 분자 하트리-폭 컴퓨터 프로그램은 루탄-홀 방정식의 수렴을 보장하기 위해 다양한 방법을 사용한다.^[1]

7. 1. F-혼합 (감쇠)

수치적 안정성은 이 절차에서 문제가 될 수 있으며, 이러한 불안정성에 대처하는 다양한 방법이 있다. 가장 기본적인 방법이자 일반적으로 적용 가능한 방법 중 하나는 F-혼합 또는 감쇠라고 불린다. F-혼합을 사용하면 단일 전자 파동 함수가 계산된 후 직접 사용되지 않는다. 대신, 계산된 파동 함수와 해당 전자에 대한 이전 파동 함수의 조합이 사용되며, 가장 일반적인 것은 계산된 파동 함수와 바로 앞선 파동 함수의 단순한 선형 조합이다. 하트리는 원자 계산에서 핵 전하를 증가시켜 모든 전자를 더 가깝게 끌어당기는 방법을 사용했다. 시스템이 안정화됨에 따라, 이는 점차적으로 올바른 전하로 감소했다. 분자 계산에서는 양이온에 대한 파동 함수를 먼저 계산한 다음 이러한 궤도를 중성 분자의 시작점으로 사용하는 유사한 접근 방식이 때때로 사용된다. 현대 분자 하트리-폭 컴퓨터 프로그램은 루탄-홀 방정식의 수렴을 보장하기 위해 다양한 방법을 사용한다.

8. 약점, 확장 및 대안

하트리-폭 방법은 몇 가지 근사 가정을 사용하며, 이로 인해 몇 가지 약점이 존재한다.

보른-오펜하이머 근사: 분자 전체의 파동 함수를 원자핵 좌표는 불변으로 하고 전자만의 좌표 함수로 간주한다.
상대론적 효과 무시: 운동량 연산자를 비상대론적인 것으로 가정한다.
단일 슬레이터 행렬식 가정: 각각의 에너지 고유 함수 (정상 상태의 슈뢰딩거 방정식의 해)를 하나의 슬레이터 행렬식으로 기술할 수 있다고 가정한다.
평균장 근사: 어떤 하나의 전자가 받는 상호 작용의 크기는 그 전자의 위치에만 의존하고, 다른 전자의 위치에는 의존하지 않는다고 가정한다. 이 가정에서 벗어나는 효과, 즉 전자 상관 관계는 반평행 스핀끼리의 전자에서는 무시되지만, 평행 스핀끼리의 전자에서는 고려된다.^[15]^[16] (전자 상관과 "전자의 교환"을 혼동하지 않도록 주의해야 한다. 전자의 교환 상호 작용은 하트리-폭 방법에서 고려된다.)^[16]

특히, 전자 상관 관계를 무시하는 것은 실험 결과와의 큰 차이를 유발할 수 있다.

8. 1. 포스트-하트리-폭 방법

전자 상관 관계를 무시하면 실험 결과와 큰 차이가 발생할 수 있다. 이러한 약점을 보완하기 위해 포스트-하트리-폭 방법이라 불리는 여러 접근 방식이 개발되어 다전자 파동 함수에 전자 상관 관계를 포함한다.

뫼르-플레셋 섭동 이론: 상관 관계를 폭 연산자의 섭동으로 처리한다.
슬레이터 행렬식의 선형 조합으로 실제 다전자 파동 함수를 확장하는 방법:
다중 구성 자기 일관장(MCSCF)
구성 상호작용(CI)
2차 구성 상호작용(QCI)
완전 활성 공간 SCF(CASSCF)
변분 양자 몬테 카를로 등: 하트리-폭 파동 함수에 상관 함수("자스트로" 인자)를 곱하여 수정한다. 이 인자는 독립적인 단일 입자 함수로 분해할 수 없는 여러 전자의 명시적인 함수이다.

밀도 범함수 이론은 하트리-폭 계산의 대안으로, 교환 에너지와 상관 에너지를 모두 근사적으로 처리한다. 실제로 두 방법을 혼합한 계산을 사용하는 것이 일반적이며, B3LYP 방식이 그러한 하이브리드 범함수 방법 중 하나이다. 또 다른 방법은 현대 원자가 결합 방법을 사용하는 것이다.

8. 2. 밀도 범함수 이론 (DFT)

밀도 범함수 이론은 교환 에너지와 상관 에너지를 모두 근사적으로 처리하는 하트리-폭 계산의 대안적인 방법이다.^[1] 실제로 두 방법을 혼합한 계산을 사용하는 것이 일반적인데, 인기 있는 B3LYP 방식이 그러한 하이브리드 범함수 방법 중 하나이다.^[1]

8. 3. 현대 원자가 결합 방법

현대 원자가 결합 방법은 또 다른 대안적인 방법이다.

9. 소프트웨어 패키지

양자 화학 및 고체 물리학 소프트웨어 목록을 참조하면 하트리-폭 계산을 처리하는 다양한 소프트웨어 패키지 목록을 확인할 수 있다. 특히 분자와 고체에 대한 계산을 지원하는 소프트웨어들이 포함되어 있다.

참조

_[1] 서적 Many-body quantum theory in condensed matter physics: an introduction https://www.phys.lsu[...] Oxford University Press 2014
_[2] 논문 General Hartree-Fock program
_[3] 논문 SiGe superlattice nanocrystal infrared and Raman spectra: A density functional theory study
_[4] 논문 The Wave Mechanics of an Atom with a Non-Coulomb Central Field
_[5] 논문 The Self Consistent Field and the Structure of Atoms
_[6] 논문 A Theory of Hartree's Atomic Fields
_[7] 논문 Note on Hartree's Method
_[8] 논문 Näherungsmethode zur Lösung des quantenmechanischen Mehrkörperproblems
_[9] 논문 Self-consistent field, with exchange, for beryllium
_[10] 논문 A Simplification of the Hartree-Fock Method https://link.aps.org[...]
_[11] 서적 Modelling Molecular Structures John Wiley & Sons Ltd
_[12] 서적 Modern Quantum Chemistry Dover Publishing
_[13] 서적 The Theory of Intermolecular Forces Clarendon Press
_[14] 서적 Quantum Chemistry Prentice Hall
_[15] 서적 Modelling Molecular Structures John Wiley & Sons Ltd
_[16] 서적 Modern Quantum Chemistry Dover Publishing

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