스핀-궤도 상호작용

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1. 개요

스핀-궤도 상호작용은 입자의 스핀과 궤도 운동 간의 상호작용을 의미하며, 특히 원자 내 전자의 에너지 준위에 영향을 미친다. 전자의 스핀 자기 모멘트와 핵 주위를 공전하는 전자의 궤도 운동에 의해 생성되는 자기장 간의 상호작용으로 발생하며, 섭동 이론을 통해 계산할 수 있다. 고체 내에서는 에너지 띠 구조에 영향을 미치며, 라슈바 효과 및 드레셀하우스 효과와 같은 현상을 유발한다. 스핀-궤도 상호작용은 원자 및 고체의 다양한 물리적 특성을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

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스핀-궤도 상호작용
개요
이름	스핀-궤도 상호작용
영문명	spin–orbit interaction
일본어명	スピン軌道相互作用
설명	상대론적 효과로 인해 입자의 스핀 각운동량과 궤도 각운동량 사이의 상호작용
상세
발생 원인	전자의 자기 모멘트와 원자핵 주변을 도는 운동으로 인한 자기장 사이의 상호작용
결과	원자 스펙트럼의 미세 구조
중요성	원자 물리학, 고체 물리학 및 분광학에서 중요
해밀토니안	수학적 모델로 표현 가능
응용
응용 분야	반도체 소자, 양자 컴퓨터, 스핀트로닉스
관련 효과	제만 효과와 슈타르크 효과에 영향
기타
참고	디랙 방정식 상대론적 양자역학

2. 원자 에너지 준위에서의 스핀-궤도 상호작용

원자 에너지 준위 다이어그램 — 수소의 미세 구조와 초미세 구조 (축척 아님).

이 절에서는 수소 유사 원자에 속박된 전자에 대한 스핀-궤도 상호작용에 대한 비교적 간단하고 정량적인 설명을 제시한다. 섭동 이론의 1차까지, 몇몇 반고전적 전자기학과 비상대론적 양자 역학을 사용한다. 이는 관측 결과와 상당히 잘 일치하는 결과를 제공한다.

같은 결과에 대한 엄밀한 계산은 상대론적 양자 역학을 사용하고 디랙 방정식을 사용하여 수행되며 다체 상호작용을 포함할 것이다. 더욱 정확한 결과를 얻으려면 양자 전기 역학에서 나오는 작은 보정을 계산해야 할 것이다.

== 자기 모멘트의 에너지 ==

자기장 내 자기 모멘트의 에너지는 다음과 같이 주어진다.

:\Delta H = -\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B},

여기서 '''μ'''는 입자의 자기 모멘트, '''B'''는 입자가 경험하는 자기장이다.

== 자기장 ==

먼저 자기장을 다루겠다. 핵의 정지계에서는 전자에 작용하는 자기장이 없지만, 전자의 정지계에서는 자기장이 존재한다(고전 전자기학 및 특수 상대성 이론 참조). 현재 이 계가 관성계가 아니라는 점을 무시하면 다음 방정식을 얻는다.

:\mathbf{B} = -\frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2},

여기서 '''v'''는 전자의 속도이고, '''E'''는 전자가 통과하는 전기장이다. 여기서 비상대론적 한계에서 로렌츠 인자 \gamma \backsimeq 1이라고 가정한다. 이제 '''E'''가 방사형임을 알고 있으므로 \mathbf{E} = \left| E \right| \frac{\mathbf{r}}{r} 로 다시 쓸 수 있다.

또한 전자의 운동량 \mathbf{p} = m_\text{e} \mathbf{v} 임을 알고 있다. 이것들을 대입하고 외적의 순서를 바꾸면(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = -\mathbf{B} \times \mathbf{A} 항등식 사용)

:\mathbf{B} = \frac{\mathbf{r} \times \mathbf{p}}{m_\text{e} c^2} \left| \frac{E}{r} \right|.

다음으로, 전기장을 전기퍼텐셜의 기울기 \mathbf{E} = -\nabla V로 나타낸다. 여기서 중심장 근사를 사용한다. 즉, 정전기 퍼텐셜이 구면 대칭이므로 반지름의 함수만임을 의미한다. 이 근사는 수소 및 수소와 같은 계에 대해 정확하다. 이제 다음과 같이 말할 수 있다.

:|E| = \left|\frac{\partial V}{\partial r}\right| = \frac{1}{e} \frac{\partial U(r)}{\partial r},

여기서 U = -eV는 중심장에서 전자의 퍼텐셜 에너지이고, ''e''는 기본 전하이다. 고전 역학에서 입자의 각운동량 \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}임을 기억한다. 이 모든 것을 종합하면 다음을 얻는다.

:\mathbf{B} = \frac{1}{m_\text{e} ec^2} \frac{1}{r} \frac{\partial U(r)}{\partial r} \mathbf{L}.

이 시점에서 '''B'''는 '''L'''에 곱해진 양수라는 점에 유의하는 것이 중요하다. 즉, 자기장은 입자의 궤도 각운동량과 평행하며, 이는 입자의 속도에 수직이다.

== 전자의 스핀 자기 모멘트 ==

전자의 스핀 자기 모멘트는 다음과 같다.

:\boldsymbol{\mu}_S = -g_\text{s} \mu_\text{B} \frac{\mathbf{S}}{\hbar},

여기서 \mathbf{S}는 스핀(또는 고유 각운동량) 벡터이고, \mu_\text{B}는 보어 마그네톤이며, g_\text{s} = 2.0023... \approx 2는 전자 스핀 g-인자이다. 여기서 \boldsymbol{\mu}는 스핀에 음의 상수를 곱한 값이므로, 스핀 자기 모멘트는 스핀과 반평행이다.

스핀-궤도 상호작용 포텐셜은 라모어 부분과 토마스 세차 운동 부분으로 구성된다. 라모어 부분은 전자의 공동 움직임 좌표계에서 전자의 스핀 자기 모멘트와 핵의 자기장의 상호작용과 관련이 있다.

== 라모어 상호작용 에너지 ==

라모어 상호작용 에너지는 다음과 같다.

:\Delta H_\text{L} = -\boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{B}.

이 식에 스핀 자기 모멘트와 자기장에 대한 식을 대입하면 다음을 얻는다.

:\Delta H_\text{L} = \frac{g_\text{s}\mu_\text{B}}{\hbar m_\text{e} e c^2} \frac{1}{r} \frac{\partial U(r)}{\partial r} \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} \approx \frac{2\mu_\text{B}}{\hbar m_\text{e} e c^2} \frac{1}{r} \frac{\partial U(r)}{\partial r} \mathbf{L} \cdot \mathbf{S}.

이제 전자의 곡선 궤적에 대한 토마스 세차운동 보정을 고려해야 한다.

== 토마스 상호작용 에너지 ==

르웰린 토마스(Llewellyn Thomas)는 1926년 원자의 미세구조에서 이중선 분리를 상대론적으로 재계산했다.^[1] 토마스 세차운동 속도 \boldsymbol{\Omega}_\text{T}는 스핀하는 입자의 궤도 운동 각진동수 \boldsymbol{\omega}와 다음과 같이 관련된다.^[2]^[3]

:\boldsymbol{\Omega}_\text{T} = -\boldsymbol{\omega} (\gamma - 1),

여기서 \gamma는 움직이는 입자의 로렌츠 인자이다. 스핀 세차운동 \boldsymbol{\Omega}_\text{T}를 생성하는 해밀토니안은 다음과 같다.

:\Delta H_\text{T} = \boldsymbol{\Omega}_\text{T} \cdot \mathbf{S}.

(v/c)^2의 1차항까지, 다음을 얻는다.

:\Delta H_\text{T} = -\frac{\mu_\text{B}}{\hbar m_\text{e} e c^2} \frac{1}{r} \frac{\partial U(r)}{\partial r} \mathbf{L}\cdot \mathbf{S}.

== 총 상호작용 에너지 ==

외부 정전기적 퍼텐셜에서 총 스핀-궤도 퍼텐셜은 다음과 같은 형태를 취한다.

:\Delta H \equiv \Delta H_\text{L} + \Delta H_\text{T} = \frac{(g_\text{s}-1) \mu_\text{B}}{\hbar m_\text{e} e c^2} \frac{1}{r} \frac{\partial U(r)}{\partial r} \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} \approx \frac{\mu_\text{B}}{\hbar m_\text{e} e c^2} \frac{1}{r} \frac{\partial U(r)}{\partial r} \mathbf{L} \cdot \mathbf{S}.

토마스 세차 운동의 순 효과는 라모어 상호작용 에너지를 약 1/2만큼 감소시키는 것이며, 이는 "토머스 반감"으로 알려지게 되었다.

== 에너지 이동 평가 ==

위의 근사값들을 통해 이 모델에서의 에너지 준위 이동을 상세히 평가할 수 있다. '''L'''_''z''와 '''S'''_''z''는 더 이상 보존되는 양이 아니다. 특히, 비섭동 해밀토니안('''H'''₀)과 Δ'''H'''를 모두 대각화하는 새로운 기저를 찾고자 한다. 이를 위해 먼저 총 각운동량 연산자를 다음과 같이 정의한다.

'''J''' = '''L''' + '''S'''.

이것의 내적을 취하면 다음을 얻는다.

'''J'''² = '''L'''² + '''S'''² + 2 '''L''' · '''S'''

('''L'''과 '''S'''는 서로 교환 가능하므로), 따라서

'''L''' · '''S''' = 1/2 ('''J'''² - '''L'''² - '''S'''²)

다섯 개의 연산자 '''H'''₀, '''J'''², '''L'''², '''S'''², 그리고 '''J'''_z는 서로 그리고 Δ''H''와 모두 교환됨을 보일 수 있다. 따라서 우리가 찾고 있는 기저는 이 다섯 연산자의 동시 고유기저(즉, 다섯 연산자가 모두 대각인 기저)이다. 이 기저의 원소들은 다섯 개의 양자수를 갖는다: ''n''(주양자수), ''j''(총 각운동량 양자수), ''ℓ''(궤도 각운동량 양자수), ''s''(스핀 양자수), 그리고 ''j_z''(총 각운동량의 "''z''" 성분).

에너지를 평가하기 위해 다음을 주목한다.

<1/r³> = 2 / (a³ n³ ℓ (ℓ + 1) (2ℓ + 1))

수소형 파동 함수의 경우 (여기서 a = ħ / (Z α m_e c)는 핵전하 ''Z''로 나눈 보어 반지름이다); 그리고

<'''L''' · '''S'''> = ħ²/2 (j (j + 1) - ℓ (ℓ + 1) - s (s + 1)).

== 최종 에너지 이동 ==

이제 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\Delta E = \frac{\beta}{2} \big(j(j+1) - \ell(\ell+1) - s(s+1)\big),

여기서 스핀-궤도 결합 상수는 다음과 같다.

:\beta = \beta(n,l) = Z^4 \frac{\mu_0}{4\pi} g_\text{s} \mu_\text{B}^2 \frac{1}{n^3 a_0^3\;\ell(\ell+1/2)(\ell+1)}.

정확한 상대론적 결과는 수소 유사 원자에 대한 디랙 방정식의 해를 참조하면 된다.

위의 유도는 전자의 (순간적인) 정지계에서 상호 작용 에너지를 계산하며, 이 기준계에는 핵의 정지계에는 없는 자기장이 존재한다.

다른 방법으로는 핵의 정지계에서 계산하는 방법이 있으며, 예를 들어 George P. Fisher의 "움직이는 자기 쌍극자의 전기 쌍극자 모멘트"(1971)를 참조할 수 있다.^[4] 그러나 숨겨진 운동량을 고려해야 하기 때문에 정지계 계산은 때때로 피한다.^[5]

2. 1. 자기 모멘트의 에너지

자기장 내 자기 모멘트의 에너지는 다음과 같이 주어진다.

\Delta H = -\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B},

여기서 '''μ'''는 입자의 자기 모멘트, '''B'''는 입자가 경험하는 자기장이다.

2. 2. 자기장

먼저 자기장을 다루겠다. 핵의 정지계에서는 전자에 작용하는 자기장이 없지만, 전자의 정지계에서는 자기장이 존재한다(고전 전자기학 및 특수 상대성 이론 참조). 현재 이 계가 관성계가 아니라는 점을 무시하면 다음 방정식을 얻는다.

:

\mathbf{B} = -\frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2},

여기서 '''v'''는 전자의 속도이고, '''E'''는 전자가 통과하는 전기장이다. 여기서 비상대론적 한계에서 로렌츠 인자

\gamma \backsimeq 1

이라고 가정한다. 이제 '''E'''가 방사형임을 알고 있으므로

\mathbf{E} = \left| E \right| \frac{\mathbf{r}}{r}

로 다시 쓸 수 있다.

또한 전자의 운동량

\mathbf{p} = m_\text{e} \mathbf{v}

임을 알고 있다. 이것들을 대입하고 외적의 순서를 바꾸면(

\mathbf{A} \times \mathbf{B} = -\mathbf{B} \times \mathbf{A}

항등식 사용)

:

\mathbf{B} = \frac{\mathbf{r} \times \mathbf{p}}{m_\text{e} c^2} \left| \frac{E}{r} \right|.

다음으로, 전기장을 전기퍼텐셜의 기울기

\mathbf{E} = -\nabla V

로 나타낸다. 여기서 중심장 근사를 사용한다. 즉, 정전기 퍼텐셜이 구면 대칭이므로 반지름의 함수만임을 의미한다. 이 근사는 수소 및 수소와 같은 계에 대해 정확하다. 이제 다음과 같이 말할 수 있다.

:

|E| = \left|\frac{\partial V}{\partial r}\right| = \frac{1}{e} \frac{\partial U(r)}{\partial r},

여기서

U = -eV

는 중심장에서 전자의 퍼텐셜 에너지이고, ''e''는 기본 전하이다. 고전 역학에서 입자의 각운동량

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}

임을 기억한다. 이 모든 것을 종합하면 다음을 얻는다.

:

\mathbf{B} = \frac{1}{m_\text{e} ec^2} \frac{1}{r} \frac{\partial U(r)}{\partial r} \mathbf{L}.

이 시점에서 '''B'''는 '''L'''에 곱해진 양수라는 점에 유의하는 것이 중요하다. 즉, 자기장은 입자의 궤도 각운동량과 평행하며, 이는 입자의 속도에 수직이다.

2. 3. 전자의 스핀 자기 모멘트

전자의 스핀 자기 모멘트는 다음과 같다.

:

\boldsymbol{\mu}_S = -g_\text{s} \mu_\text{B} \frac{\mathbf{S}}{\hbar},

여기서

\mathbf{S}

는 스핀(또는 고유 각운동량) 벡터이고,

\mu_\text{B}

는 보어 마그네톤이며,

g_\text{s} = 2.0023... \approx 2

는 전자 스핀 g-인자이다. 여기서

\boldsymbol{\mu}

는 스핀에 음의 상수를 곱한 값이므로, 스핀 자기 모멘트는 스핀과 반평행이다.

스핀-궤도 상호작용 포텐셜은 라모어 부분과 토마스 세차 운동 부분으로 구성된다. 라모어 부분은 전자의 공동 움직임 좌표계에서 전자의 스핀 자기 모멘트와 핵의 자기장의 상호작용과 관련이 있다.

2. 4. 라모어 상호작용 에너지

라모어 상호작용 에너지는 다음과 같다.

:

\Delta H_\text{L} = -\boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{B}.

이 식에 스핀 자기 모멘트와 자기장에 대한 식을 대입하면 다음을 얻는다.

:

\Delta H_\text{L} = \frac{g_\text{s}\mu_\text{B}}{\hbar m_\text{e} e c^2} \frac{1}{r} \frac{\partial U(r)}{\partial r} \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} \approx \frac{2\mu_\text{B}}{\hbar m_\text{e} e c^2} \frac{1}{r} \frac{\partial U(r)}{\partial r} \mathbf{L} \cdot \mathbf{S}.

이제 전자의 곡선 궤적에 대한 토마스 세차운동 보정을 고려해야 한다.

2. 5. 토마스 상호작용 에너지

르웰린 토마스(Llewellyn Thomas)는 1926년 원자의 미세구조에서 이중선 분리를 상대론적으로 재계산했다.^[1] 토마스 세차운동 속도

\boldsymbol{\Omega}_\text{T}

는 스핀하는 입자의 궤도 운동 각진동수

\boldsymbol{\omega}

와 다음과 같이 관련된다.^[2]^[3]

:

\boldsymbol{\Omega}_\text{T} = -\boldsymbol{\omega} (\gamma - 1),

여기서

\gamma

는 움직이는 입자의 로렌츠 인자이다. 스핀 세차운동

\boldsymbol{\Omega}_\text{T}

를 생성하는 해밀토니안은 다음과 같다.

:

\Delta H_\text{T} = \boldsymbol{\Omega}_\text{T} \cdot \mathbf{S}.

(v/c)^2

의 1차항까지, 다음을 얻는다.

:

\Delta H_\text{T} = -\frac{\mu_\text{B}}{\hbar m_\text{e} e c^2} \frac{1}{r} \frac{\partial U(r)}{\partial r} \mathbf{L}\cdot \mathbf{S}.

2. 6. 총 상호작용 에너지

외부 정전기적 퍼텐셜에서 총 스핀-궤도 퍼텐셜은 다음과 같은 형태를 취한다.

:

\Delta H \equiv \Delta H_\text{L} + \Delta H_\text{T} = \frac{(g_\text{s}-1) \mu_\text{B}}{\hbar m_\text{e} e c^2} \frac{1}{r} \frac{\partial U(r)}{\partial r} \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} \approx \frac{\mu_\text{B}}{\hbar m_\text{e} e c^2} \frac{1}{r} \frac{\partial U(r)}{\partial r} \mathbf{L} \cdot \mathbf{S}.

토마스 세차 운동의 순 효과는 라모어 상호작용 에너지를 약 1/2만큼 감소시키는 것이며, 이는 "토머스 반감"으로 알려지게 되었다.

2. 7. 에너지 이동 평가

위의 근사값들을 통해 이 모델에서의 에너지 준위 이동을 상세히 평가할 수 있다. '''L'''_''z''와 '''S'''_''z''는 더 이상 보존되는 양이 아니다. 특히, 비섭동 해밀토니안('''H'''₀)과 Δ'''H'''를 모두 대각화하는 새로운 기저를 찾고자 한다. 이를 위해 먼저 총 각운동량 연산자를 다음과 같이 정의한다.

'''J''' = '''L''' + '''S'''.

이것의 내적을 취하면 다음을 얻는다.

'''J'''² = '''L'''² + '''S'''² + 2 '''L''' · '''S'''

('''L'''과 '''S'''는 서로 교환 가능하므로), 따라서

'''L''' · '''S''' = 1/2 ('''J'''² - '''L'''² - '''S'''²)

다섯 개의 연산자 '''H'''₀, '''J'''², '''L'''², '''S'''², 그리고 '''J'''_z는 서로 그리고 Δ''H''와 모두 교환됨을 보일 수 있다. 따라서 우리가 찾고 있는 기저는 이 다섯 연산자의 동시 고유기저(즉, 다섯 연산자가 모두 대각인 기저)이다. 이 기저의 원소들은 다섯 개의 양자수를 갖는다: ''n''(주양자수), ''j''(총 각운동량 양자수), ''ℓ''(궤도 각운동량 양자수), ''s''(스핀 양자수), 그리고 ''j_z''(총 각운동량의 "''z''" 성분).

에너지를 평가하기 위해 다음을 주목한다.

<1/r³> = 2 / (a³ n³ ℓ (ℓ + 1) (2ℓ + 1))

수소형 파동 함수의 경우 (여기서 a = ħ / (Z α m_e c)는 핵전하 ''Z''로 나눈 보어 반지름이다); 그리고

<'''L''' · '''S'''> = ħ²/2 (j (j + 1) - ℓ (ℓ + 1) - s (s + 1)).

2. 8. 최종 에너지 이동

이제 다음과 같이 표현할 수 있다.

\Delta E = \frac{\beta}{2} \big(j(j+1) - \ell(\ell+1) - s(s+1)\big),

여기서 스핀-궤도 결합 상수는 다음과 같다.

\beta = \beta(n,l) = Z^4 \frac{\mu_0}{4\pi} g_\text{s} \mu_\text{B}^2 \frac{1}{n^3 a_0^3\;\ell(\ell+1/2)(\ell+1)}.

정확한 상대론적 결과는 수소 유사 원자에 대한 디랙 방정식의 해를 참조하면 된다.

위의 유도는 전자의 (순간적인) 정지계에서 상호 작용 에너지를 계산하며, 이 기준계에는 핵의 정지계에는 없는 자기장이 존재한다.

다른 방법으로는 핵의 정지계에서 계산하는 방법이 있으며, 예를 들어 George P. Fisher의 "움직이는 자기 쌍극자의 전기 쌍극자 모멘트"(1971)를 참조할 수 있다.^[4] 그러나 숨겨진 운동량을 고려해야 하기 때문에 정지계 계산은 때때로 피한다.^[5]

3. 고체 내에서의 스핀-궤도 상호작용

결정성 고체(반도체, 금속 등)는 에너지띠 구조로 특징지어진다. 전체적인 규모에서는 스핀-궤도 상호작용이 작은 섭동이지만, 페르미 준위 근처의 띠를 확대하면 상대적으로 더 중요한 역할을 할 수 있다. 예를 들어, 원자 $\mathbf{L} \cdot \mathbf{S}$ (스핀-궤도) 상호작용은 축퇴될 띠를 분리하며, 이 스핀-궤도 분리의 특정 형태는 특정 시스템에 따라 달라진다. 관심 있는 띠는 일반적으로 섭동 방법을 기반으로 하는 다양한 유효 모델로 설명할 수 있다. 원자 스핀-궤도 상호작용이 결정의 에너지띠 구조에 어떻게 영향을 미치는지에 대한 예는 라슈바 및 드레셀하우스 상호작용에 대한 문서에서 설명한다.

상자성 이온(예: 닫히지 않은 d 또는 f 원자 부껍질을 가진 이온)이 포함된 결정성 고체에는 국소화된 전자 상태가 존재한다.^[6]^[7] 이 경우, 원자와 같은 전자 준위 구조는 고유한 자기 스핀-궤도 상호작용과 결정 전기장(CEF)과의 상호작용에 의해 형성된다.^[8] 이러한 구조를 미세 전자 구조라고 한다. 희토류 이온의 경우 스핀-궤도 상호작용이 결정 전기장(CEF) 상호작용보다 훨씬 강하다.^[9] 강한 스핀-궤도 결합은 첫 번째 여기 다중항이 기본 다중항보다 최소 ~130 meV (1500 K) 이상 높기 때문에 ''J''를 상대적으로 좋은 양자수로 만든다. 그 결과 상온(300 K)에서 이를 채우는 것은 무시할 만큼 작다. 이 경우, 외부 CEF에 의해 분리된 (2''J'' + 1) 배 축퇴된 기본 다중항을 이러한 시스템의 특성 분석에 대한 기본적인 기여로 취급할 수 있다. $|J,J_z\rangle$ 기저에 대한 근사 계산의 경우, 어떤 것이 기본 다중항인지 확인하기 위해 원자 물리학에서 알려진 훈트 원리가 적용된다.

기본 다중항의 S, L 및 J는 훈트 규칙에 의해 결정된다. 기본 다중항은 (2J + 1) 배 축퇴되어 있으며, 그 축퇴는 CEF 상호작용과 자기 상호작용에 의해 제거된다. CEF 상호작용과 자기 상호작용은 어떤 면에서 원자 물리학에서 알려진 슈타르크 효과와 제만 효과를 닮았다. 이산 미세 전자 구조의 에너지와 고유 함수는 (2J + 1) 차원 행렬의 대각화를 통해 얻는다. 미세 전자 구조는 비탄성 중성자 산란(INS) 실험을 포함한 많은 다른 분광 방법으로 직접 검출할 수 있다. 강한 입방 CEF^[10] (3d 전이 금속 이온의 경우) 상호작용의 경우, 스핀-궤도 상호작용 및 (만약 존재한다면) 낮은 대칭 CEF 상호작용에 의해 부분적으로 분리되는 준위 그룹(예: T2g, A2g)이 형성된다. 이산 미세 전자 구조(가장 낮은 항의 경우)의 에너지와 고유 함수는 (2L + 1)(2S + 1) 차원 행렬의 대각화를 통해 얻는다. 절대 영도( T = 0 K)에서는 가장 낮은 상태만 채워진다. T = 0 K에서의 자기 모멘트는 바닥 상태의 모멘트와 같다. 이를 통해 총, 스핀 및 궤도 모멘트를 평가할 수 있다. 고유 상태 및 해당 고유 함수는 결정장 및 스핀-궤도 상호작용을 포함하는 해밀토니안 행렬의 직접 대각화를 통해 찾을 수 있다. 상태의 열적 집단을 고려하여 화합물의 단일 이온 특성의 열적 진화를 확립한다. 이 기술은 CEF에 열역학 및 분석적 계산을 포함하여 확장한 것으로 정의된 등가 연산자 이론^[11]을 기반으로 한다.

3. 1. 미세 전자 구조

3. 2. 유효 해밀토니안의 예시

벌크(3차원) 아연 블렌드 반도체의 정공대는

\Delta_0

에 의해 무거운 정공과 가벼운 정공(브릴루앙 영역의

\Gamma

점에서

\Gamma_8

사중항을 형성) 그리고 스핀-오프 대(

\Gamma_7

이중항)로 분리된다. 두 개의 전도대(

\Gamma

점에서

\Gamma_6

이중항)를 포함하면, 이 시스템은 효과적인 8밴드 콘과 루팅거의 모델로 설명된다. 만약 원자가띠의 꼭대기만 관심 대상이라면 (예를 들어

E_\text{F}\ll \Delta_0

, 페르미 준위는 원자가띠 꼭대기에서 측정), 적절한 4밴드 효과 모델은 다음과 같다.

:

H_\text{KL}(k_\text{x},k_\text{y},k_\text{z}) = - \frac{\hbar^2}{2m} \left[\left(\gamma_1 + {\tfrac 5 2 \gamma_2}\right) k^2

2\gamma_2 \left(J_\text{x}^2 k_\text{x}^2 + J_\text{y}^2 k_\text{y}^2 + J_\text{z}^2 k_\text{z}^2\right)
2\gamma_3 \sum_{m \ne n} J_m J_n k_m k_n

\right]

여기서

\gamma_{1,2,3}

는 루팅거 파라미터(전자의 단일 유효 질량과 유사)이고

J_{\text{x},\text{y},\text{z}}

는 각운동량 3/2 행렬이다 (

m

은 자유 전자 질량). 자화와 결합하여, 이러한 유형의 스핀-궤도 상호작용은 자화 방향에 따라 전자 띠를 왜곡시켜 자기결정이방성(특별한 유형의 자기이방성)을 유발한다.

만약 반도체가 더욱이 반전 대칭성을 갖지 않으면, 정공대는 입방 드레셀하우스 분리를 나타낸다. 4개의 띠(가벼운 정공과 무거운 정공) 내에서, 지배적인 항은 다음과 같다.

:

H_{\text{D}3}=b_{41}^{8\text{v}8\text{v}}[(k_\text{x}k_\text{y}^2-k_\text{x}k_\text{z}^2)J_\text{x}+(k_\text{y}k_\text{z}^2-k_\text{y}k_\text{x}^2)J_\text{y}+(k_\text{z}k_\text{x}^2-k_\text{z}k_\text{y}^2)J_\text{z}]

여기서 재료 파라미터

b_{41}^{8\text{v}8\text{v}} = -81.93 \,\text{meV} \cdot \text{nm}^3

는 GaAs에 대한 값이다(Winkler의 책 72쪽 참조, 최근 자료에 따르면 GaAs의 드레셀하우스 상수는 9 eVÅ³임).^[12] 총 해밀토니안은

H_\text{KL} + H_{\text{D}3}

이다.

비대칭 양자 우물(또는 이종 구조)의 2차원 전자 기체는 라쉬바 상호작용을 느낀다. 적절한 2밴드 유효 해밀토니안은 다음과 같다.

:

H_0 + H_\text{R} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*} \sigma_0 + \alpha (k_\text{y} \sigma_\text{x} - k_\text{x}\sigma_\text{y})

여기서

\sigma_0

는 2 × 2 단위 행렬이고,

\sigma_{\text{x},\text{y}}

는 파울리 행렬이며,

m^*

는 전자 유효 질량이다. 해밀토니안의 스핀-궤도 부분인

H_\text{R}

는

\alpha

로 매개변수화되며, 때때로 라쉬바 파라미터(정의가 다소 다름)라고 불리며 구조 비대칭과 관련이 있다.

스핀-궤도 상호작용에 대한 위의 식은 스핀 행렬

\mathbf{J}

와

\boldsymbol{\sigma}

를 준 운동량

\mathbf{k}

와 교류 전기장의 벡터 포텐셜

\mathbf{A}

에 파이얼스 치환

\mathbf{k} = -i\nabla-\frac{e}{\hbar c} \mathbf{A}

을 통해 결합한다. 이들은

k

의 거듭제곱으로 루팅거-콘 '''k·p''' 섭동 이론의 저차 항이다. 이 급수 전개의 다음 항은 또한 전자 좌표

\mathbf{r}

의 스핀 연산자를 결합하는 항을 생성한다. 실제로, 외적

(\boldsymbol{\sigma}\times{\mathbf{k}})

는 시간 반전에 대해 불변량이다. 입방 결정에서, 그것은 벡터의 대칭을 가지며 좌표 연산자에 대한 스핀-궤도 기여

{\boldsymbol{r}}_{\text{SO}}

의 의미를 갖는다. 전도대와 무거운 정공대 사이에 좁은 갭

E_{\rm G}

를 갖는 반도체의 전자에 대해, 야페트는 다음 방정식을 유도했다.^[13]^[14]

:

{\mathbf{r}}_{\text{SO}} = \frac{\hbar^2g}{4m_0} \left(\frac{1}{E_{\rm G}}+\frac{1}{E_{\rm G} + \Delta_0}\right) (\boldsymbol{\sigma}\times{\mathbf{k}})

여기서

m_0

는 자유 전자 질량이고,

g

는 스핀-궤도 상호작용에 대해 적절히 재정규화된

g

-인자이다. 이 연산자는 상호 작용 에너지

-e(\mathbf{r}_\text{SO} \cdot \mathbf{E} )

를 통해 전자 스핀

\mathbf{S} = \tfrac{1}{2} \boldsymbol{\sigma}

를 전기장

\mathbf{E}

에 직접 결합한다.

3. 2. 1. 벌크 아연 블렌드 반도체

벌크(3차원) 아연 블렌드 반도체의 정공대는

\Delta_0

에 의해 무거운 정공과 가벼운 정공(브릴루앙 영역의

\Gamma

점에서

\Gamma_8

사중항을 형성) 그리고 스핀-오프 대(

\Gamma_7

이중항)로 분리된다. 두 개의 전도대(

\Gamma

점에서

\Gamma_6

이중항)를 포함하면, 이 시스템은 효과적인 8밴드 콘과 루팅거의 모델로 설명된다. 만약 원자가띠의 꼭대기만 관심 대상이라면 (예를 들어

E_\text{F}\ll \Delta_0

, 페르미 준위는 원자가띠 꼭대기에서 측정), 적절한 4밴드 효과 모델은 다음과 같다.

:

H_\text{KL}(k_\text{x},k_\text{y},k_\text{z}) = - \frac{\hbar^2}{2m} \left[\left(\gamma_1 + {\tfrac 5 2 \gamma_2}\right) k^2

2\gamma_2 \left(J_\text{x}^2 k_\text{x}^2 + J_\text{y}^2 k_\text{y}^2 + J_\text{z}^2 k_\text{z}^2\right)
2\gamma_3 \sum_{m \ne n} J_m J_n k_m k_n

\right]

여기서

\gamma_{1,2,3}

는 루팅거 파라미터(전자의 단일 유효 질량과 유사)이고

J_{\text{x},\text{y},\text{z}}

는 각운동량 3/2 행렬이다 (

m

은 자유 전자 질량). 자화와 결합하여, 이러한 유형의 스핀-궤도 상호작용은 자화 방향에 따라 전자 띠를 왜곡시켜 자기결정이방성(특별한 유형의 자기이방성)을 유발한다.

만약 반도체가 더욱이 반전 대칭성을 갖지 않으면, 정공대는 입방 드레셀하우스 분리를 나타낸다. 4개의 띠(가벼운 정공과 무거운 정공) 내에서, 지배적인 항은 다음과 같다.

:

H_{\text{D}3}=b_{41}^{8\text{v}8\text{v}}[(k_\text{x}k_\text{y}^2-k_\text{x}k_\text{z}^2)J_\text{x}+(k_\text{y}k_\text{z}^2-k_\text{y}k_\text{x}^2)J_\text{y}+(k_\text{z}k_\text{x}^2-k_\text{z}k_\text{y}^2)J_\text{z}]

여기서 재료 파라미터

b_{41}^{8\text{v}8\text{v}} = -81.93 \,\text{meV} \cdot \text{nm}^3

는 GaAs에 대한 값이다(Winkler의 책 72쪽 참조, 최근 자료에 따르면 GaAs의 드레셀하우스 상수는 9 eVÅ³임).^[12] 총 해밀토니안은

H_\text{KL} + H_{\text{D}3}

이다). 비대칭 양자 우물(또는 이종 구조)의 2차원 전자 기체는 라쉬바 상호작용을 느낀다. 적절한 2밴드 유효 해밀토니안은 다음과 같다.

:

H_0 + H_\text{R} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*} \sigma_0 + \alpha (k_\text{y} \sigma_\text{x} - k_\text{x}\sigma_\text{y})

여기서

\sigma_0

는 2 × 2 단위 행렬이고,

\sigma_{\text{x},\text{y}}

는 파울리 행렬이며,

m^*

는 전자 유효 질량이다. 해밀토니안의 스핀-궤도 부분인

H_\text{R}

는

\alpha

로 매개변수화되며, 때때로 라쉬바 파라미터(정의가 다소 다름)라고 불리며 구조 비대칭과 관련이 있다.

스핀-궤도 상호작용에 대한 위의 식은 스핀 행렬

\mathbf{J}

와

\boldsymbol{\sigma}

를 준 운동량

\mathbf{k}

와 교류 전기장의 벡터 포텐셜

\mathbf{A}

에 파이얼스 치환

\mathbf{k} = -i\nabla-\frac{e}{\hbar c} \mathbf{A}

을 통해 결합한다. 이들은

k

의 거듭제곱으로 루팅거-콘 '''k·p''' 섭동 이론의 저차 항이다. 이 급수 전개의 다음 항은 또한 전자 좌표

\mathbf{r}

의 스핀 연산자를 결합하는 항을 생성한다. 실제로, 외적

(\boldsymbol{\sigma}\times{\mathbf{k}})

는 시간 반전에 대해 불변량이다. 입방 결정에서, 그것은 벡터의 대칭을 가지며 좌표 연산자에 대한 스핀-궤도 기여

{\boldsymbol{r}}_{\text{SO}}

의 의미를 갖는다. 전도대와 무거운 정공대 사이에 좁은 갭

E_{\rm G}

를 갖는 반도체의 전자에 대해, 야페트는 다음 방정식을 유도했다.^[13]^[14]

:

{\mathbf{r}}_{\text{SO}} = \frac{\hbar^2g}{4m_0} \left(\frac{1}{E_{\rm G}}+\frac{1}{E_{\rm G} + \Delta_0}\right) (\boldsymbol{\sigma}\times{\mathbf{k}})

여기서

m_0

는 자유 전자 질량이고,

g

는 스핀-궤도 상호작용에 대해 적절히 재정규화된

g

-인자이다. 이 연산자는 상호 작용 에너지

-e(\mathbf{r}_\text{SO} \cdot \mathbf{E} )

를 통해 전자 스핀

\mathbf{S} = \tfrac{1}{2} \boldsymbol{\sigma}

를 전기장

\mathbf{E}

에 직접 결합한다.

3. 2. 2. 2차원 전자 기체

비대칭 양자 우물(또는 이종 구조)의 2차원 전자 기체는 라쉬바 상호작용을 느낀다. 적절한 2밴드 유효 해밀토니안은 다음과 같다.

H_0 + H_\text{R} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*} \sigma_0 + \alpha (k_\text{y} \sigma_\text{x} - k_\text{x}\sigma_\text{y})

여기서

\sigma_0

는 2 × 2 단위 행렬이고,

\sigma_{\text{x},\text{y}}

는 파울리 행렬이며,

m^*

는 전자 유효 질량이다. 해밀토니안의 스핀-궤도 부분인

H_\text{R}

는

\alpha

로 매개변수화되며, 때때로 라쉬바 파라미터(정의가 다소 다름)라고 불리며 구조 비대칭과 관련이 있다.

3. 2. 3. 전자 좌표와 스핀 연산자의 결합

요약(summary)과 원본 소스(source)에 내용이 없으므로, 해당 섹션은 빈 내용으로 출력합니다.

3. 3. 진동하는 전자기장

전기 쌍극자 스핀 공명(EDSR)은 전자의 스핀이 진동하는 전기장과 결합하는 현상이다.^[15] 전자 스핀 공명(ESR)에서는 전자가 제만 효과에 의해 주어지는 에너지를 가진 전자기파로 여기될 수 있다.^[15] EDSR에서는 스핀-궤도 결합에 의해 고체 내 에너지 띠가 갈라지는 정도에 따라 공명 주파수가 결정된다.^[15] ESR에서의 결합은 전자기파의 자기적 성분과 전자 자기 모멘트를 통해 이루어지는 반면, EDSR은 전기적 성분과 전자의 스핀 및 운동의 결합이다.^[15] 이러한 메커니즘은 양자점 및 기타 메조스코픽 시스템에서 전자의 스핀을 제어하는 데 제안되었다.^[15]

4. 스핀-궤도 분리

스핀-궤도 상호작용 ''H_SO''이 단일 입자 포텐셜에 더해지는 경우를 섭동론으로 고려한다.

단일 입자 해밀토니안 ''H₀'' = ''T'' + ''U(r)''의 고유값 문제를 풀어 단일 입자 준위 ''E_nl''과 단일 입자 파동 함수 ''R_nl''(''r'')''Y_lm''(''θ,φ'')가 구해져 있다고 가정한다. 입자의 스핀은 1/2이다.

이러한 상호작용이 있으면, 스핀 각운동량 $\mathbf{s}$ 와 궤도 각운동량 $\mathbf{l}$ 은 따로따로 좋은 양자수가 될 수 없게 되고, 총 각운동량만이 좋은 양자수가 된다. $j$ 의 값으로는 각운동량의 합성 규칙으로부터 $l+(1/2)$ 와 $l-(1/2)$ 가 가능하다.

: $\mathbf{s\cdot l}=(1/2)(\mathbf{j}^2-\mathbf{s}^2-\mathbf{l}^2)$

이므로, $\mathbf{s\cdot l}$ 의 기대값은 $j=l+1/2$ 에 대해 $l/2$ , $j=l-1/2$ 에 대해 $-(l+1)/2$ 가 된다.

반지름 적분을 $\xi_{nl}$ 이라고 하면, $j=l-1/2$ 궤도와 $j=l+1/2$ 궤도의 에너지 차이는 $-\{l+(1/2)\}\xi_{nl}$ 이 된다. $\xi_{nl}$ 이 ''n'' 및 ''l''에 따라 거의 변하지 않는다고 하면, 스핀-궤도 분리는 ''l''의 값이 클수록 커진다.

5. 고전적인 설명

수소 원자 내에서 전자는 양성자 주위를 회전하지만, 전자 입장에서 보면 양성자가 전자 주위를 회전하는 것처럼 보인다. 이때 회전하는 양성자는 원형 전류로 간주할 수 있으며, 비오-사바르 법칙에 따라 전자 위에 자기장 $\mathbf{B}$ 를 만든다.^[16] 이 자기장은 전자의 스핀에 의한 자기 쌍극자 모멘트 $\mathbf{\mu}$ 에 작용한다. 이 상호 작용은 $\mathbf{B}\cdot\mathbf{\mu}$ 에 비례한다. $\mathbf{\mu}$ 는 스핀 각운동량 $\mathbf{s}$ 에 비례한다. 양성자가 만드는 자기장 $\mathbf{B}$ 는 양성자의 자기 쌍극자 모멘트 $\mathbf{\mu^{(P)}}$ 에 비례하며, $\mathbf{\mu^{(P)}}$ 는 양성자의 궤도 각운동량 $\mathbf{L}$ 에 비례한다. 따라서 이 경우 전자-양성자 간의 상호 작용 에너지는 $\mathbf{s \cdot L}$ 에 비례한다.^[16]

6. 구체적인 식

구면 대칭인 퍼텐셜 내의 단일 전자에 대한 스핀-궤도 상호작용 ''H''_SO는 다음과 같다.

: $H_{\rm SO} = V(r)(\mathbf{l} \cdot \mathbf{s})$

: $V(r) = - (g - 1) \left( {e \hbar^2 \over {2 m^2 c^2} } \right) \left( {1 \over r} {d \phi (r) \over {dr} } \right)$

'''l'''은 궤도각운동량이고, '''s'''는 스핀각운동량이다 (둘 다 $\hbar$ 를 단위로 함). $\hbar = h / 2 \pi$ 이며, ''h''는 플랑크 상수, ''e''는 기본 전하, ''m''은 전자의 질량, ''r''은 전자의 위치 좌표, ''c''는 광속, ''g''는 g 인자 (진공 중의 자유 전자의 경우, ''g'' = 2)이다. φ는 구면 대칭장에서의 전기장(''E''(''r'')로 함)에 대한 스칼라 퍼텐셜이며,

: $\mathbf{E}(r) = - \mathrm{grad}\,\phi (r) = - \mathbf{r} \left( {1 \over r} {d \phi (r) \over {dr} } \right)$

이다.

퍼텐셜이 비구면 대칭인 경우는 다음과 같다.

: $H_{\rm SO} = (g - 1) \left( {e \hbar \over {2 m c^2} } \right) [ E(\mathbf{r}) \times \mathbf{v} ] \cdot \mathbf{s}$

'''v'''는 전자의 속도이고, ''E''(''r'')는 구면 대칭이 아닌 전기장이다.

비상대론적인 슈뢰딩거 방정식에 대해 가장 영향이 큰 상대론적 효과는 스핀-궤도 상호작용 항이므로, 이를 섭동 항으로 슈뢰딩거 방정식에 포함시켜 풀기도 한다.

위에 언급된 전자 외에도, 원자핵의 핵자(양성자 및 중성자)도 스핀을 가지므로(핵 스핀), 이들에 대한 스핀-궤도 상호작용이 존재한다.

참조

_[1] 논문 The Motion of the Spinning Electron 1926
_[2] 논문 Zur Kinematik des Born'schen starren Körpers 1913
_[3] 서적 The Theory of Relativity https://archive.org/[...] Oxford at the Clarendon Press 1952
_[4] 논문 The Electric Dipole Moment of a Moving Magnetic Dipole https://pubs.aip.org[...] 2023-05-14
_[5] 논문 Mansuripur's paradox https://pubs.aip.org[...] 2013
_[6] 서적 Electron Paramagnetic Resonance of Transition Ions Clarendon Press, Oxford
_[7] 서적 The Theory of Transition Metal Ions The Theory of Transition Metal Ions, Cambridge University Press
_[8] 서적 The effective crystal field potential Elsevier Science Ltd, Kidlington, Oxford, UK
_[9] 서적 Handbook on the Physics and Chemistry Rare Earth Vol. 2 North-Holland. Inc.
_[10] 논문 Crystal-field interactions and magnetism in rare-earth transition-metal intermetallic compounds 2002-07-01
_[11] 서적 Operator methods in ligand field theory Prentice-Hall
_[12] 논문 Cubic Dresselhaus Spin–Orbit Coupling in 2D Electron Quantum Dots 2007
_[13] 서적 g Factors and Spin-Lattice Relaxation of Conduction Electrons Elsevier 1963
_[14] 논문 Electric-Dipole Spin-Resonances https://arxiv.org/ab[...] North Holland, Amsterdam
_[15] 논문 Spin Dynamics and Spin Transport 2005
_[16] 서적 量子力学岩波書店

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