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리스 변환

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목차

1. 개요

리스 변환은 푸리에 승수 표현을 통해 정의되며, 힐베르트 변환의 일반화로 볼 수 있는 연산이다. 리스 변환은 팽창, 평행 이동과 가환하며, 회전에 대해 공변적인 특징을 갖는다. 또한, 라플라시안과 밀접한 관련이 있어, 라플라시안만으로 함수의 헤세 행렬 정보를 복원하는 데 사용될 수 있다.

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리스 변환
정의
유형특이 적분
수식
리즈 변환 (R_j f(x))c_d lim_(ε→0) ∫_(ℝ^d B_ε(x)) ((x_j - t_j) f(t)) / |x - t|^(d+1) dt
관련 항목
관련 개념조화 해석학

2. 승수 성질

리스 변환은 푸리에 승수로 표현될 수 있으며, 힐베르트 변환의 일반화로 볼 수 있다.[1][2] 팽창, 평행 이동과 가환하며 회전에 대해 공변적이라는 특징을 갖는다.

2. 1. 푸리에 승수 표현

''R''''j''ƒ의 푸리에 변환은 다음과 같다.[1][2]

:\mathcal{F}(R_jf)(x) = -i\frac{x_j}

(\mathcal{F}f)(x).

이러한 형태로 볼 때, 리스 변환은 힐베르트 변환의 일반화라고 할 수 있다. 커널은 차수가 0인 동차 함수인 분포이다. 이러한 관찰의 결과로 리스 변환은 ''L''2('''R'''''d'')에서 자신으로의 유계 선형 연산자를 정의한다.[1]

2. 2. 변환과의 관계

리스 변환은 팽창, 평행 이동과 가환하며, 회전에 대해 공변적이다.[1][2]

σ''s''를 스칼라 ''s''에 의한 '''R'''''d''의 팽창이라고 할 때, 다음이 성립한다.

:\sigma_s^* (R_jf) = R_j(\sigma_x^*f).

τ''a''를 벡터 ''a''에 따른 '''R'''''d''의 평행 이동이라고 할 때, 다음이 성립한다.

:\tau_a^* (R_jf) = R_j(\tau_a^*f).

ρ를 '''R'''''d''에서의 회전이라고 할 때, 다음이 성립한다.

:\rho^* R_j [(\rho^{-1})^*f] = \sum_{k=1}^d \rho_{jk} R_kf.

2. 3. 특징

리스 변환은 다음과 같은 세 가지 주요 특징을 갖는다.

  • 팽창 및 평행 이동과의 가환성: 리스 변환은 팽창 및 평행 이동과 가환한다. 즉, 함수에 팽창 또는 평행 이동을 적용한 후 리스 변환을 하는 것과, 리스 변환을 먼저 하고 팽창 또는 평행 이동을 하는 것은 결과가 같다.
  • 회전에 대한 공변성: 리스 변환은 회전에 대해 공변적이다. 즉, 함수를 회전시킨 후 리스 변환을 한 결과는, 리스 변환을 먼저 하고 함수를 회전시킨 결과와 특정 관계를 갖는다.
  • 특징: ''L''2('''R'''''d'')에서 ''L''2('''R'''''d'')로의 유계 선형 연산자의 ''d''-튜플 ''T''가 모든 팽창 및 평행 이동과 가환하고 회전에 대해 공변하면, 어떤 상수 ''c''에 대해, ''T'' = ''cR''이다.


좀 더 자세히 설명하면 다음과 같다.

σ''s''를 스칼라 ''s''에 의한 '''R'''''d''의 팽창이라고 하고, τ''a''를 벡터 ''a''를 따라 '''R'''''d''에서 평행 이동이라고 하자. ρ를 '''R'''''d''에서 회전이라고 하자.

  • 팽창과의 가환성:

:\sigma_s^* (R_jf) = R_j(\sigma_x^*f)

  • 평행 이동과의 가환성:

:\tau_a^* (R_jf) = R_j(\tau_a^*f)

  • 회전에 대한 공변성:

:\rho^* R_j [(\rho^{-1})^*f] = \sum_{k=1}^d \rho_{jk} R_kf.

3. 라플라시안과의 관계

리스 변환은 라플라시안과 밀접하게 관련되어 있다. 함수 ''f''의 리스 변환은 라플라시안(Δ)을 이용하여 정의되며, 이를 통해 함수의 헤세 행렬 정보를 복원할 수 있다.[1]

''u''가 슈바르츠 함수일 때, 다음 식이 성립한다.

:R_iR_j(\Delta u) = -\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}

하지만 이 등식은 일반적으로 분포 (수학)의 의미에서는 참이 아니며, 어떤 다항식 ''P''''ij''에 대해 다음과 같이 표현될 수 있다.[1]

:\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j} = -R_iR_j\Delta u + P_{ij}(x)

3. 1. 편도함수와의 관계

대략적으로, \(f\)의 리스 변환은 다음 방정식의 해의 첫 번째 편도함수를 제공한다.

:\({\(-\Delta)^{\frac{1}{2}} u = f}\)

여기서 \(\Delta\)는 라플라시안이다. 따라서 \(f\)의 리스 변환은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:\({\(R f = \nabla (-\Delta)^{-\frac{1}{2}}f\)}\)

특히 다음이 성립해야 한다.

:\({\(R_iR_j\Delta u = -\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}\)}

따라서 리스 변환은 라플라시안만 알고 있어도 함수의 전체 헤세 행렬에 대한 정보를 복구하는 방법을 제공한다.

이제 이것을 더 정확하게 설명하겠다. \(u\)가 슈바르츠 함수라고 가정하자. 그러면 푸리에 승수의 명시적 형태에 의해 다음이 성립한다.

:\({\(R_iR_j(\Delta u) = -\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}\)}

이 항등식은 일반적으로 분포 (수학)의 의미에서 참이 아니다. 예를 들어, \(u\)가 \(\Delta u \in L^2 (\R^d)\)인 완전 분포인 경우, 어떤 다항식 \(P_{ij}\)에 대해 다음만 결론 내릴 수 있다.

:\({\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j} = -R_iR_j\Delta u + P_{ij}(x)}\)

3. 2. 헤세 행렬 복원

f의 리스 변환은 다음 방정식의 해의 첫 번째 편도함수를 제공한다.

:{(-\Delta)^{\frac{1}{2}} u = f}

여기서 Δ는 라플라시안이다. 따라서 f의 리스 변환은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:{R f = \nabla (-\Delta)^{-\frac{1}{2}}f}

특히 다음이 성립해야 한다.

:R_iR_j\Delta u = -\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j},

따라서 리스 변환은 라플라시안만 알고 있어도 함수의 전체 헤세 행렬에 대한 정보를 복구하는 방법을 제공한다.

u가 슈바르츠 함수라고 가정하면, 푸리에 승수의 명시적 형태에 의해 다음이 성립한다.

:R_iR_j(\Delta u) = -\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}.

이 항등식은 일반적으로 분포 (수학)의 의미에서 참이 아니다. 예를 들어, u가 \Delta u \in L^2 (\R^d)인 완전 분포인 경우 다음만 결론 내릴 수 있다.

:\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j} = -R_iR_j\Delta u + P_{ij}(x)

어떤 다항식 P_{ij}에 대해.

3. 3. 분포 의미에서의 등식

이 등식은 일반적으로 분포 (수학)의 의미에서 참이 아니다. 예를 들어, ''u''가 \Delta u \in L^2 (\R^d)인 완전 분포인 경우 다음을 결론 내릴 수 있다.[1]

:\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j} = -R_iR_j\Delta u + P_{ij}(x)

여기서 P_{ij}는 어떤 다항식이다.[1]

참조

[1] 논문 Schwartz function
[2] 논문 シュワルツ函数


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