조화 함수

\chi_{B(0, r)} = \frac{n}{\omega_n r^n}\chi_{B(0, r)}\)로 정규화하면, 함수 u는 \(B(x,r) \subset \Omega\)일 때 \(u(x) = u*\chi_r(x)\)이면 Ω에서 조화 함수이다.

조화 함수의 평균값 성질과 그 역의 증명은 비균질 방정식 \(\Delta w = \chi_r - \chi_s\)가 \(B(0, r)\)에서 컴팩트한 지지를 갖는 \(C^{1,1}\) 클래스의 해 \(w_{r,s}\)를 갖는다는 것을 관찰함으로써 즉시 따르며, 이를 통해 u가 조화 함수일 때 \(0=\Delta u * w_{r,s} = u*\Delta w_{r,s}= u*\chi_r - u*\chi_s\)가 성립함을 보일 수 있다.

\(R^n\) 내의 영역 U에서 정의된 조화 함수 \(\phi(x)\)에 대해, 어떤 점 \(x \in U\)에서의 값 \(\phi(x)\)는 점 x를 중심으로 U에 포함되는 임의의 반지름 r을 갖는 (n-1)차원 구면 \(\partial B(x,r)\) 위에서의 \(\phi\)의 평균값과 같다. 즉,

\(\phi(x)=\frac{1}{\omega(n)r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)}\!\! \phi(y)dS(y)\)

가 성립하며, 여기서 \(\omega(n) = \frac{n \pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\)는 (n-1)차원 단위 구면의 면적이다. 이를 가우스의 평균값 정리, 또는 조화 함수에 대한 평균값 정리라고 한다.

이 결과로부터 조화 함수 \(\phi(x)\)는 점 x를 중심으로 U에 포함되는 임의의 반지름 r을 갖는 n차원 구체 \(B(x,r)\)에서의 평균과도 일치한다. 즉,

\(\phi(x)=\frac{1}{\alpha(n)r^{n}}\int_{B(x,r)}\!\! \phi(y)dy\)

가 성립하며, 여기서 \(\alpha(n)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\)는 n차원 단위 구의 부피이다.

반대로 \(\phi \in C^2(U)\)에서 \(\phi(x)\)가 U 내의 임의의 구면 \(\partial B(x,r)\) 위의 평균과 일치한다면, \(\phi\)는 조화 함수가 된다.

==== 등각 변환과의 관계 (2차원) ====

2차원에서, 조화 함수는 등각 변환에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 등각 변환을 적용해도 조화 함수는 여전히 조화 함수이다. 그러나 이는 다른 차원에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

임의의 해석 함수의 실수부와 허수부는 ℝ²에서 조화 함수를 생성하며, 이들은 조화 공액 함수 쌍이라고 불린다. 반대로, ℝ²의 열린 부분집합 Ω에서의 임의의 조화 함수 u는 국소적으로 해석 함수의 실수부이다. z = x + iy라고 쓰면 복소 함수 g(z) := u_x - i u_y는 코시-리만 방정식을 만족하므로 Ω에서 해석적이다. 따라서 g는 국소적으로 원함수 f를 가지며, u_x가 f' = g의 실수부이므로 u는 상수를 제외하고 f의 실수부이다.

복소수 ''z'' = ''x'' + ''iy'' (''x'', ''y'' ∈ '''R''' )를 변수로 하는 복소 1변수 복소함수 ''f''(''z'') 에 대해, 이를 실 2변수 함수로 다시 쓸 수 있다. 실 2변수 복소함수 ''w''(''x'', ''y'') = ''f''(''z'') 를 실수부와 허수부로 분해하면 ''w''(''x'', ''y'') = ''u''(''x'', ''y'') + ''iv''(''x'', ''y'') (''u'', ''v'' ∈ '''R''' )이고, 실수부와 허수부에 대응하는 실 2변수 실함수로 ''u''(''x'', ''y'')와 ''v''(''x'', ''y'')를 얻는다. 이때, ''w''가 복소 미분 가능하다면 ''u''(''x'', ''y''), ''v''(''x'', ''y'')는 실 2변수 조화함수가 된다.

코시-리만 방정식에 의해, 두 함수 ''u''(''x'', ''y''), ''v''(''x'', ''y'')는 ∂_''x''''u''(''x'',''y'') = ∂_''y''''v''(''x'',''y'') , ∂_''y''''u''(''x'',''y'') = -∂_''x''''v''(''x'',''y'')를 만족한다. 이를 벡터 해석의 언어로 다시 쓰면 grad ''u''(''x'', ''y'') = (∂_''y'', −∂_''x'')^T''v''(''x'', ''y'')가 되고, 이 발산 div grad ''u''(''x'', ''y'') = Δ ''u''(''x'', ''y'')는 0이므로, 함수 ''u''(''x'', ''y'')는 2차원 라플라스 방정식을 만족하는 조화함수임을 알 수 있다. 같은 방법으로 ''v''(''x'', ''y'')도 조화함수임을 유도할 수 있다. 즉, 해석적인 복소함수의 실수부와 허수부는 실 조화함수가 된다.

반대로, 두 개의 실 조화함수가 코시-리만 방정식을 만족할 때, 그것들은 공액이라고 하고, 공액인 실 조화함수의 쌍 ''u''(''x'', ''y'')}, ''v''(''x'', ''y'')가 주어지면, ''z'' = ''x'' + ''iy''를 변수로 하는 해석 함수 ''f''(''z'') = ''u''(''x'', ''y'') + ''iv''(''x'', ''y'') 를 얻는다. 단순 연결 복소 영역 위의 실 조화함수는 조화 공액함수를 갖는다(즉, 해석 함수의 실수부 또는 허수부이다).

==== 리우빌의 정리 ====

$\backslash mathbb\; R^n$ 위에 정의된 조화 함수 가운데 유계 함수인 것은 상수 함수 밖에 없다는 정리이다.

조화 함수는 상수 함수가 아니라면 최댓값이 아닌 극댓값을 가질 수 없다. 에드워드 넬슨은 유계 함수의 경우 이 정리에 대한 간결한 증명을 제시했다.^[2] 평균값 성질을 사용한 증명에 따르면, 두 점을 중심으로 하고 반지름이 같은 두 개의 구에서, 반지름이 충분히 크면 두 구는 부피의 임의로 작은 비율을 제외하고 일치한다. 유계인 $f$의 평균값은 임의로 가까워지며, 따라서 $f$는 어떤 두 점에서도 같은 값을 갖는다.

이 증명은 조화 함수 $f$가 단순히 위로 유계이거나 아래로 유계인 경우에도 적용 가능하다. $f$가 비음이라고 가정하고, 임의의 두 점 $x$와 $y$, 그리고 임의의 양수 $R$에 대해, $r=R+d(x,y)$라고 하자. 그러면 삼각 부등식에 의해 첫 번째 구가 두 번째 구에 포함되는 $B\_R(x)$와 $B\_r(y)$라는 구들을 고려할수 있다. 평균값 성질과 적분의 단조성에 의해,

$$f(x)=\backslash frac\{1\}\{\backslash operatorname\{vol\}(B\_R)\}\backslash int\_\{B\_R(x)\}f(z)\backslash ,\; dz\backslash leq\; \backslash frac\{1\}\{\backslash operatorname\{vol\}(B\_R)\}\; \backslash int\_\{B\_r(y)\}f(z)\backslash ,\; dz.$$

를 얻는다. ($vol\; B\_R(x)$는 $x$에 무관) 마지막 식에서 $vol\; B\_r$로 곱하고 나누고 평균값 성질을 다시 사용하면,

$$f(x)\backslash leq\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{vol\}(B\_r)\}\{\backslash operatorname\{vol\}(B\_R)\}f(y).$$

를 얻고 $R\backslash rightarrow\backslash infty,$일 때,

$$\backslash frac\{\backslash operatorname\{vol\}(B\_r)\}\{\backslash operatorname\{vol\}(B\_R)\}\; =\; \backslash frac\{\backslash left(R+d(x,y)\backslash right)^n\}\{R^n\}$$

은 1에 수렴한다. 따라서 $f(x)\backslash leq\; f(y)$이며, $x$와 $y$의 역할을 바꾼 동일한 논증은 $f(y)\backslash leq\; f(x)$를 보여주므로, $f(x)\; =\; f(y)$이다.

다른 증명은 $\backslash R^n$에서 $B\_0\; =\; x\_0$인 브라운 운동 $B\_t$가 주어지면, 모든 $t\; \backslash ge\; 0$에 대해 $E[f(B\_t)]\; =\; f(x\_0)$임을 이용한다. 즉, 조화 함수는 브라운 운동에 대한 마틴게일을 정의한다는 것을 의미하며, 확률적 결합 논증이 증명을 완성한다.^[3]

전체 $\backslash mathbb\{R\}^n$에서 정의된 유계인 조화 함수는 상수 함수이다. 이는 복소 함수에 대한 리우빌 정리와 유사하다.

==== 하르낙 부등식 ====

유계 영역 Ω에 포함된 연결 집합 V⊂V̄⊂Ω을 생각하자. 그러면 모든 비음의 조화 함수 u에 대해, 다음과 같은 하르낙 부등식이 성립한다.

sup_V u ≤ C inf_V u

여기서 상수 C는 V와 Ω에만 의존한다. 하르나크의 부등식을 참고하라.

==== 특이점 제거 ====

조화 함수에 대해서는 다음과 같은 특이점 제거 원리가 성립한다. 만약 f^영어가 \R^n^영어의 점집합 $\backslash Omega\; \backslash smallsetminus\; \backslash \{x\_0\backslash \}$에서 정의된 조화 함수이고, 기본 해(n > 2일 경우)보다 ''x''₀^영어에서 특이성이 덜하며, 즉

$$f(x)=o\backslash left(\; \backslash vert\; x-x\_0\; \backslash vert^\{2-n\}\backslash right),\backslash qquad\backslash text\{as\; \}x\backslash to\; x\_0,$$

이면 Ω/f}}는 {{math^영어에서 조화 함수로 확장된다(리만의 정리를 복소 변수 함수와 비교하라).

==== 약조화 함수 ====

함수(또는 더 일반적으로, 분포)는 약한 의미(또는 동등하게, 분포의 의미에서)로 라플라스 방정식 Δf = 0을 만족하면 약하게 조화적이다. 약하게 조화적인 함수는 거의 모든 곳에서 강하게 조화적인 함수와 일치하며, 특히 매끄럽다. 약하게 조화적인 분포는 바로 강하게 조화적인 함수와 관련된 분포이며, 따라서 매끄럽다. 이것이 바일의 보조정리이다.

라플라스 방정식의 다른 유용한 약한 공식들이 있다. 그중 하나는 디리클레 원리로, 소볼레프 공간 ''H''¹(Ω)에서 조화 함수를 디리클레 에너지 적분 J(u) := ∫_Ω |∇u|² dx 의 국소적 변분에 대한 최소화 함수로 나타낸다. 즉, 모든 u∈H¹(Ω) 함수에 대해 J(u) ≤ J(u+v)가 모든 v∈C^∞_c(Ω), 또는 동등하게 모든 v∈H¹₀(Ω)에 대해 성립한다.

3. 1. 정칙성

조화 함수는 2계 연속 미분 가능성만을 가정하지만, 실제로는 매끄러운 함수이자 해석 함수이다. 즉, 무한 번 미분 가능하고 실해석적이다. 이는 조화 함수에 구대칭인 평활화 함수를 작용시킨 것이 평균값의 성질에서 조화 함수 자체와 일치하는 것으로부터 보여진다. 이 성질은 보다 일반적인 조건 하에서 와일의 보조정리로 알려져 있다.

3. 2. 최대치 원리

열린집합 U⊆ℝⁿ의 콤팩트 부분 집합 KsubsetneqU가 주어졌을 때, f|_K는 (콤팩트 공간 위의 연속 함수이므로) 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이 경우, f가 최댓값 또는 최솟값을 갖게 되는 점은 (상수 함수가 아니라면) 항상 K의 경계 ∂K에 위치한다.

특히, 조화 함수는 상수 함수가 아니라면 최댓값이 아닌 극댓값을 가질 수 없다.

조화 함수는 ''최대치 원리''를 만족한다. 만약 K가 U의 공집합이 아닌 콤팩트 부분집합이라면, K에 제한된 f는 K의 경계에서 최대값과 최소값을 갖는다. U가 연결 공간이라면, 이는 f가 상수 함수인 예외적인 경우를 제외하고는 국소적 극대값이나 극소값을 가질 수 없다는 것을 의미한다.

조화 함수의 평균값 성질은 최대값(최소값)에 강한 제약을 부과하기 때문에, 조화 함수는 영역의 경계에서 최대값(최소값)을 취한다. 정확히는, U를 ℝⁿ의 유계인 열린 집합이라 하고, φ가 U 위의 조화 함수이며, φ를 경계까지 연속적으로 확장할 수 있다면,

:$\backslash max\_\{\backslash overline\{U\}\}\backslash phi=\backslash max\_\{\backslash partial\; U\}\backslash phi$

가 성립한다. 이 성질을 '''조화 함수의 최대치 원리'''라고 부른다. U가 연결 열린 집합인 경우에, $\backslash max\_\{U\}\backslash phi$가 존재하면, φ는 상수 함수가 된다. 이 성질을 '''조화 함수의 강 최대치 원리'''라고 부른다.

최대치 원리의 직접적인 응용으로는 포아송 방정식의 경계값 문제에서 해의 유일성을 증명하는 것이 있다. ℝⁿ의 유계인 열린 집합 U와 그 경계 ∂U에서, f ∈ C(U)와 g ∈ C(∂U)를 주고, 포아송 방정식의 경계값 문제를 생각한다. 이 경계값 문제의 두 해에 대해, 차를 취한 것은 조화 함수이며, 최대치 원리에 의해, 그 최대값, 최소값은 0이 된다. 즉, 두 해는 일치한다.

3. 3. 평균값 정리

조화 함수는 어떤 점에서의 값이 그 점을 중심으로 하는 구의 표면 또는 내부에서의 평균값과 같다는 평균값 정리를 만족한다.

중심이 x이고 반지름이 r인 구 B(x, r)가 열린 집합 \(\Omega \subset \R^n\)에 완전히 포함될 때, 조화 함수 \(u: \Omega \to \R\)의 중심에서의 값 u(x)는 구의 표면에서 u의 평균값으로 주어지며, 이 평균값은 구의 내부에서 u의 평균값과도 같다. 즉,

\(u(x) = \frac{1}{n\omega_n r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)} u\, d\sigma = \frac{1}{\omega_n r^n}\int_{B(x,r)} u\, dV\)

여기서 \(ω_n\)은 n차원 단위 구의 부피이고, σ는 (n − 1)차원 표면 측도이다.

반대로, 평균값 성질을 만족하는 모든 국소적으로 적분 가능한 함수는 무한히 미분 가능하고 조화 함수이다.

원점을 중심으로 반지름이 r인 구의 특성 함수를 \(\chi_r := \frac{1}

\chi_{B(0, r)} = \frac{n}{\omega_n r^n}\chi_{B(0, r)}\)로 정규화하면, 함수 u는 \(B(x,r) \subset \Omega\)일 때 \(u(x) = u*\chi_r(x)\)이면 Ω에서 조화 함수이다.

조화 함수의 평균값 성질과 그 역의 증명은 비균질 방정식 \(\Delta w = \chi_r - \chi_s\)가 \(B(0, r)\)에서 컴팩트한 지지를 갖는 \(C^{1,1}\) 클래스의 해 \(w_{r,s}\)를 갖는다는 것을 관찰함으로써 즉시 따르며, 이를 통해 u가 조화 함수일 때 \(0=\Delta u * w_{r,s} = u*\Delta w_{r,s}= u*\chi_r - u*\chi_s\)가 성립함을 보일 수 있다.

\(R^n\) 내의 영역 U에서 정의된 조화 함수 \(\phi(x)\)에 대해, 어떤 점 \(x \in U\)에서의 값 \(\phi(x)\)는 점 x를 중심으로 U에 포함되는 임의의 반지름 r을 갖는 (n-1)차원 구면 \(\partial B(x,r)\) 위에서의 \(\phi\)의 평균값과 같다. 즉,

\(\phi(x)=\frac{1}{\omega(n)r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)}\!\! \phi(y)dS(y)\)

가 성립하며, 여기서 \(\omega(n) = \frac{n \pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\)는 (n-1)차원 단위 구면의 면적이다. 이를 가우스의 평균값 정리, 또는 조화 함수에 대한 평균값 정리라고 한다.

이 결과로부터 조화 함수 \(\phi(x)\)는 점 x를 중심으로 U에 포함되는 임의의 반지름 r을 갖는 n차원 구체 \(B(x,r)\)에서의 평균과도 일치한다. 즉,

\(\phi(x)=\frac{1}{\alpha(n)r^{n}}\int_{B(x,r)}\!\! \phi(y)dy\)

가 성립하며, 여기서 \(\alpha(n)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\)는 n차원 단위 구의 부피이다.

반대로 \(\phi \in C^2(U)\)에서 \(\phi(x)\)가 U 내의 임의의 구면 \(\partial B(x,r)\) 위의 평균과 일치한다면, \(\phi\)는 조화 함수가 된다.

3. 4. 등각 변환과의 관계 (2차원)

2차원에서, 조화 함수는 등각 변환에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 등각 변환을 적용해도 조화 함수는 여전히 조화 함수이다. 그러나 이는 다른 차원에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

임의의 해석 함수의 실수부와 허수부는 ℝ²에서 조화 함수를 생성하며, 이들은 조화 공액 함수 쌍이라고 불린다. 반대로, ℝ²의 열린 부분집합 Ω에서의 임의의 조화 함수 u는 국소적으로 해석 함수의 실수부이다. z = x + iy라고 쓰면 복소 함수 g(z) := u_x - i u_y는 코시-리만 방정식을 만족하므로 Ω에서 해석적이다. 따라서 g는 국소적으로 원함수 f를 가지며, u_x가 f' = g의 실수부이므로 u는 상수를 제외하고 f의 실수부이다.

복소수 ''z'' = ''x'' + ''iy'' (''x'', ''y'' ∈ '''R''' )를 변수로 하는 복소 1변수 복소함수 ''f''(''z'') 에 대해, 이를 실 2변수 함수로 다시 쓸 수 있다. 실 2변수 복소함수 ''w''(''x'', ''y'') = ''f''(''z'') 를 실수부와 허수부로 분해하면 ''w''(''x'', ''y'') = ''u''(''x'', ''y'') + ''iv''(''x'', ''y'') (''u'', ''v'' ∈ '''R''' )이고, 실수부와 허수부에 대응하는 실 2변수 실함수로 ''u''(''x'', ''y'')와 ''v''(''x'', ''y'')를 얻는다. 이때, ''w''가 복소 미분 가능하다면 ''u''(''x'', ''y''), ''v''(''x'', ''y'')는 실 2변수 조화함수가 된다.

코시-리만 방정식에 의해, 두 함수 ''u''(''x'', ''y''), ''v''(''x'', ''y'')는 ∂_''x''''u''(''x'',''y'') = ∂_''y''''v''(''x'',''y'') , ∂_''y''''u''(''x'',''y'') = -∂_''x''''v''(''x'',''y'')를 만족한다. 이를 벡터 해석의 언어로 다시 쓰면 grad ''u''(''x'', ''y'') = (∂_''y'', −∂_''x'')^T''v''(''x'', ''y'')가 되고, 이 발산 div grad ''u''(''x'', ''y'') = Δ ''u''(''x'', ''y'')는 0이므로, 함수 ''u''(''x'', ''y'')는 2차원 라플라스 방정식을 만족하는 조화함수임을 알 수 있다. 같은 방법으로 ''v''(''x'', ''y'')도 조화함수임을 유도할 수 있다. 즉, 해석적인 복소함수의 실수부와 허수부는 실 조화함수가 된다.

반대로, 두 개의 실 조화함수가 코시-리만 방정식을 만족할 때, 그것들은 공액이라고 하고, 공액인 실 조화함수의 쌍 ''u''(''x'', ''y'')}, ''v''(''x'', ''y'')가 주어지면, ''z'' = ''x'' + ''iy''를 변수로 하는 해석 함수 ''f''(''z'') = ''u''(''x'', ''y'') + ''iv''(''x'', ''y'') 를 얻는다. 단순 연결 복소 영역 위의 실 조화함수는 조화 공액함수를 갖는다(즉, 해석 함수의 실수부 또는 허수부이다).

3. 5. 리우빌의 정리

$\backslash mathbb\; R^n$ 위에 정의된 조화 함수 가운데 유계 함수인 것은 상수 함수 밖에 없다는 정리이다.

조화 함수는 상수 함수가 아니라면 최댓값이 아닌 극댓값을 가질 수 없다. 에드워드 넬슨은 유계 함수의 경우 이 정리에 대한 간결한 증명을 제시했다.^[2] 평균값 성질을 사용한 증명에 따르면, 두 점을 중심으로 하고 반지름이 같은 두 개의 구에서, 반지름이 충분히 크면 두 구는 부피의 임의로 작은 비율을 제외하고 일치한다. 유계인 $f$의 평균값은 임의로 가까워지며, 따라서 $f$는 어떤 두 점에서도 같은 값을 갖는다.

이 증명은 조화 함수 $f$가 단순히 위로 유계이거나 아래로 유계인 경우에도 적용 가능하다. $f$가 비음이라고 가정하고, 임의의 두 점 $x$와 $y$, 그리고 임의의 양수 $R$에 대해, $r=R+d(x,y)$라고 하자. 그러면 삼각 부등식에 의해 첫 번째 구가 두 번째 구에 포함되는 $B\_R(x)$와 $B\_r(y)$라는 구들을 고려할수 있다. 평균값 성질과 적분의 단조성에 의해,

$$f(x)=\backslash frac\{1\}\{\backslash operatorname\{vol\}(B\_R)\}\backslash int\_\{B\_R(x)\}f(z)\backslash ,\; dz\backslash leq\; \backslash frac\{1\}\{\backslash operatorname\{vol\}(B\_R)\}\; \backslash int\_\{B\_r(y)\}f(z)\backslash ,\; dz.$$

를 얻는다. ($vol\; B\_R(x)$는 $x$에 무관) 마지막 식에서 $vol\; B\_r$로 곱하고 나누고 평균값 성질을 다시 사용하면,

$$f(x)\backslash leq\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{vol\}(B\_r)\}\{\backslash operatorname\{vol\}(B\_R)\}f(y).$$

를 얻고 $R\backslash rightarrow\backslash infty,$일 때,

$$\backslash frac\{\backslash operatorname\{vol\}(B\_r)\}\{\backslash operatorname\{vol\}(B\_R)\}\; =\; \backslash frac\{\backslash left(R+d(x,y)\backslash right)^n\}\{R^n\}$$

은 1에 수렴한다. 따라서 $f(x)\backslash leq\; f(y)$이며, $x$와 $y$의 역할을 바꾼 동일한 논증은 $f(y)\backslash leq\; f(x)$를 보여주므로, $f(x)\; =\; f(y)$이다.

다른 증명은 $\backslash R^n$에서 $B\_0\; =\; x\_0$인 브라운 운동 $B\_t$가 주어지면, 모든 $t\; \backslash ge\; 0$에 대해 $E[f(B\_t)]\; =\; f(x\_0)$임을 이용한다. 즉, 조화 함수는 브라운 운동에 대한 마틴게일을 정의한다는 것을 의미하며, 확률적 결합 논증이 증명을 완성한다.^[3]

전체 $\backslash mathbb\{R\}^n$에서 정의된 유계인 조화 함수는 상수 함수이다. 이는 복소 함수에 대한 리우빌 정리와 유사하다.

3. 6. 하르낙 부등식

유계 영역 Ω에 포함된 연결 집합 V⊂V̄⊂Ω을 생각하자. 그러면 모든 비음의 조화 함수 u에 대해, 다음과 같은 하르낙 부등식이 성립한다.

sup_V u ≤ C inf_V u

여기서 상수 C는 V와 Ω에만 의존한다. 하르나크의 부등식을 참고하라.

3. 7. 특이점 제거

조화 함수에 대해서는 다음과 같은 특이점 제거 원리가 성립한다. 만약 f^영어가 \R^n^영어의 점집합 $\backslash Omega\; \backslash smallsetminus\; \backslash \{x\_0\backslash \}$에서 정의된 조화 함수이고, 기본 해(n > 2일 경우)보다 ''x''₀^영어에서 특이성이 덜하며, 즉

$$f(x)=o\backslash left(\; \backslash vert\; x-x\_0\; \backslash vert^\{2-n\}\backslash right),\backslash qquad\backslash text\{as\; \}x\backslash to\; x\_0,$$

이면 Ω/f}}는 {{math^영어에서 조화 함수로 확장된다(리만의 정리를 복소 변수 함수와 비교하라).

3. 8. 약조화 함수

함수(또는 더 일반적으로, 분포)는 약한 의미(또는 동등하게, 분포의 의미에서)로 라플라스 방정식 Δf = 0을 만족하면 약하게 조화적이다. 약하게 조화적인 함수는 거의 모든 곳에서 강하게 조화적인 함수와 일치하며, 특히 매끄럽다. 약하게 조화적인 분포는 바로 강하게 조화적인 함수와 관련된 분포이며, 따라서 매끄럽다. 이것이 바일의 보조정리이다.

라플라스 방정식의 다른 유용한 약한 공식들이 있다. 그중 하나는 디리클레 원리로, 소볼레프 공간 ''H''¹(Ω)에서 조화 함수를 디리클레 에너지 적분 J(u) := ∫_Ω |∇u|² dx 의 국소적 변분에 대한 최소화 함수로 나타낸다. 즉, 모든 u∈H¹(Ω) 함수에 대해 J(u) ≤ J(u+v)가 모든 v∈C^∞_c(Ω), 또는 동등하게 모든 v∈H¹₀(Ω)에 대해 성립한다.

4. 예

임의의 차원에서, 상수 함수와 선형 함수는 항상 조화 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

$\backslash mathbb\; R^n\; \backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$ 위에서,

:$f(\backslash vec\; r)\; =\; \backslash frac1\{|\backslash vec\; r|^\{n-2\}\}$

는 조화 함수이다.

해석 함수의 실수부와 허수부는 조화 함수이다. 예를 들어 $f(x,\; y)\; =\; e^\{x\}\; \backslash sin\; y$는 $f(x,\; y)\; =\; \backslash operatorname\{Im\}\backslash left(e^\{x+iy\}\backslash right)$이고 $e^\{x+iy\}$는 해석 함수이므로 조화 함수이다.

$\backslash mathbb\{R\}^2\; \backslash smallsetminus\; \backslash lbrace\; 0\; \backslash rbrace$에서 정의된 함수 $f(x,\; y)\; =\; \backslash ln\; \backslash left(x^2\; +\; y^2\backslash right)$는 조화 함수이며, 선전하에 의한 전위 또는 긴 원통형 질량에 의한 중력 전위를 설명할 수 있다.

세 변수 조화 함수의 예는 $r^2=x^2+y^2+z^2$인 경우, 아래 표와 같다.

함수	특이점
$\backslash frac\{1\}\{r\}$	원점에 위치한 단위 점전하
$\backslash frac\{x\}\{r^3\}$	원점에 위치한 x 방향 쌍극자
$-\backslash ln\backslash left(r^2\; -\; z^2\backslash right)\backslash ,$	전체 z축에 있는 단위 전하 밀도의 선
$-\backslash ln(r\; +\; z)\backslash ,$	음의 z축에 있는 단위 전하 밀도의 선
$\backslash frac\{x\}\{r^2\; -\; z^2\}\backslash ,$	전체 z 축에 있는 x 방향 쌍극자의 선
$\backslash frac\{x\}\{r(r\; +\; z)\}\backslash ,$	음의 z 축에 있는 x 방향 쌍극자의 선