하르 측도

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 구성
5. 예
6. 모듈러 함수
7. 균질 공간 위의 측도
8. 하르 적분
9. 응용
10. 베유의 역정리
참조

1. 개요

하르 측도는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군 위에 정의되는 측도로, 왼쪽 곱셈 또는 오른쪽 곱셈에 대해 불변성을 가지며, 양의 배수를 제외하고 유일하게 존재한다. 헝가리 수학자 하르 얼프레드가 1933년에 제2 가산 공간의 경우에 하르 측도의 존재를 증명했으며, 앙드레 베유와 앙리 카르탕에 의해 일반적인 형태로 증명되었다. 하르 측도는 리 군의 경우 미분 형식을 사용하여 구성되며, 이산군에서는 셈측도, 유클리드 공간에서는 르베그 측도의 상수배와 같다. 하르 측도는 모듈러 함수를 통해 왼쪽과 오른쪽 하르 측도의 차이를 나타내며, 균질 공간 및 하르 적분 정의에 사용된다. 응용 분야로는 힐베르트의 다섯 번째 문제 해결, 추상 조화 해석, 수리 통계학에서의 사전 확률 등으로, 베유의 역정리를 통해 위상과 측도 사이의 관계를 밝힌다.

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하르 측도
정의
유형	국소 콤팩트 위상군 위의 보렐 측도
성질	왼쪽 불변성 (또는 오른쪽 불변성)
상세 정보
존재	국소 콤팩트 위상군 위에 존재함
유일성	상수배까지 유일함
중요성	추상적 조화 해석학의 기초 폰 노이만 대수 연구에 응용
관련 개념
모듈러 함수	하르 측도의 왼쪽/오른쪽 불변성의 차이를 나타내는 함수
예시	실수의 덧셈군 정수의 덧셈군 원군 일반 선형군

2. 정의

$G$ 가 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군이라고 하자. 이 군에 콤팩트 집합들로 생성되는 시그마 대수 $\mathcal K$ 를 부여하여 가측 공간 $(G,\mathcal K)$ 로 만들 수 있다.

'''하르 정리'''(Haar's theorem^영어)에 따르면, 가측 공간 $(G,\mathcal K)$ 위에 다음을 만족하는 측도 $\mu$ 가 존재한다.

(비자명성) $\mu(S)\ne0$ 인 가측 집합 $S$ 가 존재한다.
(왼쪽 곱셈과의 호환) $\mathcal S$ 가 가측 집합이고, $g\in G$ 이면 $\mu(gS)=\mu(S)$ 이다.
(콤팩트 공간의 유한성) $K$ 가 콤팩트 집합이라면 $\mu(K)<\infty$ 이다.
(외부 규칙성) $S$ 가 가측 집합이면 $S$ 를 부분집합으로 가지는 가측 열린집합들의 측도의 하한은 $S$ 의 측도와 같다.
(내부 규칙성) $U$ 가 가측 열린집합이라면 $U$ 의 콤팩트 부분집합들의 측도의 상한은 $U$ 의 측도와 같다.

이 조건들을 모두 만족하는 측도를 '''왼쪽 하르 측도'''(left Haar measure^영어)라고 한다. 마찬가지로, 오른쪽 곱셈과 호환되는 측도를 '''오른쪽 하르 측도'''(right Haar measure^영어)라고 한다.

또한,

\mu

와

\mu'

가 각각 하르 측도라면

\mu=s\mu'

인 실수

s

가 존재한다. 즉, 하르 측도는 곱셈 상수를 제외하고는 유일하다.^[1]

(내부 규칙성은 일반적 가측 집합에 대하여 성립하지 않지만 외부 규칙성은 임의의 가측 집합에 대하여 성립한다.)

(G, \cdot)

를 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군이라고 하자.

G

의 모든 열린 부분 집합에 의해 생성된

\sigma

-대수를 보렐 대수라고 한다. 보렐 대수의 원소를 보렐 집합이라고 한다.

g

가

G

의 원소이고

S

가

G

의 부분 집합이면, 다음과 같이 ''g''에 의한

S

의 왼쪽 및 오른쪽 이동을 정의한다.

왼쪽 이동: $g S = \{g\cdot s\,:\,s \in S\}.$
오른쪽 이동: $S g = \{s\cdot g\,:\,s \in S\}.$

왼쪽 및 오른쪽 이동은 보렐 집합을 보렐 집합으로 사상한다.

\mu

를

G

의 보렐 부분 집합에 대한 측도라고 할 때, 모든 보렐 부분 집합

S\subseteq G

와 모든

g\in G

에 대해

:

\mu(g S) = \mu(S).

가 성립하면

\mu

를 ''왼쪽-이동-불변''이라고 한다.

\mu

를

G

의 보렐 부분 집합에 대한 측도라고 할 때, 모든 보렐 부분 집합

S\subseteq G

와 모든

g\in G

에 대해

:

\mu(S g) = \mu(S).

가 성립하면

\mu

를 ''오른쪽-이동-불변''이라고 한다.

양의 배수를 제외하고, 다음과 같은 성질을 만족하는 보렐 집합

G

에 대한 고유한 가산 가법, 자명하지 않은 측도

\mu

가 존재한다.

측도 $\mu$ 는 왼쪽 이동 불변이다: 모든 $g\in G$ 와 모든 보렐 집합 $S\subseteq G$ 에 대해 $\mu(gS) = \mu(S)$ 이다.
측도 $\mu$ 는 모든 콤팩트 집합에 대해 유한하다: 모든 콤팩트 $K \subseteq G$ 에 대해 $\mu(K) < \infty$ 이다.
측도 $\mu$ 는 보렐 집합 $S\subseteq G$ 에 대해 외측 정규(outer regular)이다: $\mu(S) = \inf \{\mu(U): S \subseteq U, U \text{ 열린 집합}\}.$
측도 $\mu$ 는 열린 집합 $U\subseteq G$ 에 대해 내측 정규(inner regular)이다: $\mu(U) = \sup \{\mu(K): K \subseteq U, K \text{ 콤팩트 집합}\}.$

G

에 대한 이러한 측도를 ''왼쪽 하르 측도''라고 한다. 위의 속성의 결과로, 모든 비어있는 열린 부분 집합

U\subseteq G

에 대해

\mu(U)>0

임을 보일 수 있다. 특히,

G

가 콤팩트하면

\mu(G)

는 유한하고 양수이므로, 정규화 조건

\mu(G)=1

을 추가하여

G

에 대한 왼쪽 하르 측도를 고유하게 지정할 수 있다.

완전히 유사하게,

G

에 대한 ''오른쪽 하르 측도''의 존재성과 유일성을 증명할 수도 있다. 두 측도는 일치하지 않아도 된다.

일부 저자는 하르 측도를 보렐 집합 대신 베어 집합에 대해 정의한다. 이렇게 하면 베어 측도가 자동으로 정규적이므로 정규성 조건이 불필요해진다. Halmos^[3]는 콤팩트 집합에 의해 생성된

\sigma

-환의 원소에 대해 비표준 용어 "보렐 집합"을 사용하며, 이러한 집합에 대해 하르 측도를 정의한다.

왼쪽 하르 측도는 모든

\sigma

-유한 보렐 집합에 대해 내측 정규성 조건을 만족하지만, ''모든'' 보렐 집합에 대해 내측 정규적이지 않을 수 있다. 예를 들어, 단위 원 (일반적인 위상으로)과 실수선 (이산 위상)의 곱은 곱 위상을 갖는 국소 콤팩트 군이며, 이 군에 대한 하르 측도는 닫힌 부분 집합

\{1\} \times [0,1]

에 대해 내측 정규적이지 않다. (이 수직 선분의 콤팩트 부분 집합은 유한 집합이며 점은 측도

0

을 가지므로, 이 수직 선분의 모든 콤팩트 부분 집합의 측도는

0

이다. 그러나 외측 정규성을 사용하면 세그먼트가 무한 측도를 가짐을 보일 수 있다.)

왼쪽 하르 측도의 존재성과 유일성 (스케일링까지)은 처음으로 앙드레 베유에 의해 일반적인 형태로 증명되었다.^[4] 베유의 증명은 선택 공리를 사용했으며, 앙리 카르탕은 이의 사용을 피한 증명을 제공했다.^[5] 카르탕의 증명은 또한 존재성과 유일성을 동시에 확립한다. 카르탕의 주장에 대한 간결하고 완전한 설명은 1963년 Alfsen에 의해 제공되었다.^[6] 제2 가산 국소 콤팩트 군에 대한 불변 측도의 특별한 경우는 1933년 하르에 의해 증명되었다.^[1]

또한, 위에서 언급한 규칙성을 만족하고, 컴팩트 집합에서 유한한 (양의 상수 곱셈까지) 고유한 오른쪽 이동 불변 보렐 측도

\nu

가 존재한다는 것을 증명할 수 있지만, 왼쪽 이동 불변 측도

\mu

와 일치할 필요는 없다. 왼쪽 및 오른쪽 하르 측도는 소위 "단일 모듈러 군"에 대해서만 동일하다(아래 참조). 그러나

\mu

와

\nu

사이의 관계를 찾는 것은 매우 간단하다.

실제로, 보렐 집합

S

에 대해,

S^{-1}

을

S

의 원소의 역집합으로 나타내자. 만약

:

\mu_{-1}(S) = \mu(S^{-1}) \quad

로 정의하면, 이것은 오른쪽 하르 측도가 된다. 오른쪽 불변성을 보이기 위해, 정의를 적용한다:

:

\mu_{-1}(S g) = \mu((S g)^{-1}) = \mu(g^{-1} S^{-1}) = \mu(S^{-1}) = \mu_{-1}(S). \quad

오른쪽 측도가 고유하므로

\mu_{-1}

은

\nu

의 배수이고

:

\mu(S^{-1})=k\nu(S)\,

는 모든 보렐 집합

S

에 대해 성립하며, 여기서

k

는 어떤 양의 상수이다.

''G''를 국소 콤팩트 군, '''B'''를 ''G''의 콤팩트 집합 전체에서 생성되는 완전 가법족이라고 하자. 0이 아닌 비음수 완전 가법적 집합 함수 μ: '''B''' → '''R'''₊ ∪ {∞}로, 다음 조건을 만족하는 것을 측도 공간 (''G'', '''B''') 위의 '''좌 하르 측도'''라고 부른다.

# ''G''의 콤팩트 집합 ''K''의 측도 μ(''K'')는 유한값을 갖는다.

# ''G''의 열린 집합 ''O''의 측도는 콤팩트 집합 ''K'' ⊂ ''O''로 내부에서 근사된다(μ(''O'') = sup μ(''K'')).

# ''G''의 임의의 부분 집합 ''S''의 측도 μ(''S'')는 열린 집합 ''O'' ⊃ ''S''로 외부에서 근사된다(μ(''S'') = inf μ(''O'')).

# ''G''의 원소 ''g''에 의한 왼쪽 이동 작용에 관하여 임의의 집합 ''S''의 측도는 불변이다(μ(''g''(''S'')) = μ(''S'')).

일반적으로 조건 2-3이 만족되는 측도는 정칙라고 하며, 또한 불변성을 나타내는 조건 4를 오른쪽 이동 작용에 관한 불변성 또는 양측 불변성으로 대체하여, '''우 하르 측도'''나 '''하르 측도'''가 정의된다.

국소 콤팩트 군 위에 좌(또는 우) 하르 측도는 반드시 존재하며, 정수의 상수배 차이를 제외하고 유일하게 결정된다(두 개의 좌 하르 측도 μ, μ′가 있으면 μ = ''c'' μ′가 되는 양의 상수 ''c''가 존재하며, 우불변인 경우에도 마찬가지이다). 역원을 취하는 작용에 의해 좌불변 측도는 우불변 측도로, 우불변 측도는 좌불변 측도로 각각 변환된다.

3. 역사

하르 얼프레드(Haar Alfréd)가 1933년 제2 가산 공간의 경우에 하르 측도의 존재를 증명하였다.^[1] 앙드레 베유는 1940년 일반적인 하우스도르프 공간의 경우에 대하여 선택 공리를 사용하여 증명하였고,^[19] 앙리 카르탕은 같은 정리를 선택 공리를 사용하지 않고 증명하였다.^[20] 존 폰 노이만은 같은 해 수학 연보에 실린 하르의 논문 바로 다음에, 하르 정리를 힐베르트의 다섯 번째 문제를 콤팩트 군으로 제한하여 해결하는 데 사용하였다.^[9]

4. 구성

앙드레 베유^[4]는 선택 공리를 사용하여 왼쪽 하르 측도의 존재성과 유일성(스케일링까지)을 처음으로 일반적인 형태로 증명하였다. 앙리 카르탕^[5]은 선택 공리를 사용하지 않는 증명을 제공했으며, 존재성과 유일성을 동시에 확립하였다. 카르탕의 주장에 대한 간결하고 완전한 설명은 1963년 Alfsen^[6]에 의해 제공되었다. 1933년 하르^[1]는 제2 가산 국소 콤팩트 군에 대한 불변 측도의 특별한 경우를 증명하였다.

하르 측도를 구성하는 방법은 다음과 같으며, 본질적으로 하르와 베유가 사용한 방법이다.

$S,T\subseteq G$ 에 대해 $[T:S]$ 를 $T$ 를 덮는 $S$ 의 최소 왼쪽 이동의 수로 정의한다(음수가 아닌 정수 또는 무한대). 이는 콤팩트 집합 $K\subseteq G$ 에 대해 가법적이지 않지만, $U$ 가 항등원의 충분히 작은 열린 근방인 경우 분리된 콤팩트 집합 $K,L\subseteq G$ 에 대해 $[K:U]+[L:U]=[K\cup L:U]$ 라는 속성을 갖는다. 하르 측도의 아이디어는 $U$ 가 작아짐에 따라 $[K:U]$ 의 일종의 극한을 취하여 모든 분리된 콤팩트 집합 쌍에 대해 가법적으로 만드는 것이지만, 먼저 극한이 단지 무한대가 아니도록 정규화해야 한다. 비어 있지 않은 내부를 가진 콤팩트 집합 $A$ 를 고정하고 콤팩트 집합 $K$ 에 대해 다음과 같이 정의한다.

: $\mu_A(K)=\lim_U\frac{[K:U]}{[A:U]}$

여기서 극한은 주어진 근방에 결국 포함되는 항등원의 적절한 방향 집합의 열린 근방에 대해 취해진다. 극한이 존재하도록 하는 방향 집합의 존재는 티호노프 정리를 사용하여 따른다.

함수 $\mu_A$ 는 $G$ 의 분리된 콤팩트 부분 집합에 대해 가법적이며, 이는 정규 콘텐츠임을 의미한다. 정규 콘텐츠로부터, 먼저 $\mu_A$ 를 내부 정규성에 의해 열린 집합으로 확장한 다음, 외부 정규성에 의해 모든 집합으로 확장하고, 이를 보렐 집합으로 제한하여 측도를 구성할 수 있다.

카르탕은 콤팩트 지지 함수를 사용한 또 다른 방법으로 라돈 측도로서 하르 측도를 구성하는 방법을 제시했는데, 이는 $A$ , $K$ , $U$ 가 $G$ 의 부분 집합이 아닌 콤팩트 지지 양의 연속 함수라는 점을 제외하면 위의 구성과 유사하다. 이 경우 $[K:U]$ 는 어떤 $g_1,\ldots,g_n\in G$ 에 대해 $K(g)$ 가 $U$ 의 왼쪽 평행이동의 선형 결합 $c_1 U(g_1 g)+\cdots+c_n U(g_n g)$ 보다 작도록 하는 숫자 $c_1+\cdots+c_n$ 의 하한으로 정의한다.

이전과 마찬가지로 다음과 같이 정의한다.

: $\mu_A(K)=\lim_U\frac{[K:U]}{[A:U]}$ .

극한이 존재한다는 사실은 증명에 약간의 노력을 필요로 하지만, 이렇게 하는 장점은 선택 공리를 사용하지 않고도 증명할 수 있으며, 또한 하르 측도의 유일성을 부수적으로 얻을 수 있다는 것이다. 범함수 $\mu_A$ 는 콤팩트 지지 연속 함수에 대한 양의 선형 범함수로 확장되므로 하르 측도를 제공한다.

폰 노이만(John von Neumann)은 함수의 평균값을 사용하여 하르 측도를 구성하는 방법을 제시했지만, 이는 콤팩트 군에 대해서만 작동한다. 콤팩트 군 위의 함수 $f$ 가 주어지면, 좌측 이동의 볼록 결합 (여기서 )을 찾아 상수 함수와 차이가 최대 작은 수 $\epsilon$ 가 되도록 하는 것이다. 그런 다음 $\epsilon$ 가 0으로 갈 때 이러한 상수 함수의 값이 극한으로 수렴한다는 것을 보여주며, 이를 함수 $f$ 의 평균값(또는 적분)이라고 부른다.

국소 콤팩트하지만 콤팩트하지 않은 군의 경우에는, 콤팩트하게 지원되는 함수의 평균값이 0이므로 이 구성으로는 하르 측도를 얻을 수 없다.

''n''차원 리 군에서, 하르 측도는 좌-불변 ''n''-형식에 의해 유도된 측도로 쉽게 구성될 수 있다.

5. 예

이산군의 경우, 하르 측도는 셈측도이다.^[7]
유클리드 공간은 덧셈에 대하여 아벨 리 군을 이룬다. 이 경우 왼쪽 하르 측도와 오른쪽 하르 측도는 일치하며, 모두 르베그 측도의 상수배이다.
0이 아닌 실수의 곱셈군 $\mathbb R^\times$ 은 1차원 아벨 리 군이며, 그 하르 측도는 다음과 같다.

:

\mu(t) = \frac1

\mathrm dt

일반 선형군 $\operatorname{GL}(n;\mathbb R)$ 의 왼쪽 하르 측도는 다음과 같다.

:

\mu(M) = \frac1{\det M} \mathrm d^{n^2}M

원군 $\mathbb{T}$ 에서 하르 측도 $\mu$ 는 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\mu(S)=\frac1{2\pi}m(f^{-1}(S)),

여기서

m

은

[0,2\pi]

에서의 르베그 측도이다.

직교군 $O(n)$ 에 대해, 하르 측도는 그람-슈미트 과정을 사용하여 구성할 수 있다.^[7]
유니타리 군 $U(n)$ 에 대한 하르 측도는 O(n)에 대해 사용된 것과 동일한 방법을 사용하여 구성할 수 있다.
$p$ -진수의 덧셈군에서 하르 측도는 $p$ -진 정수환을 이용하여 정의할 수 있다.

6. 모듈러 함수

국소 콤팩트 하우스도르프 위상군 $(G, \cdot)$ 에서 오른쪽 하르 측도의 왼쪽 이동은 일반적으로 오른쪽 하르 측도와 다르다. 양의 실수로 가는 함수 $\Delta$ 는 모든 보렐 집합 $S$ 에 대해 다음을 만족하는데, 이를 '''하르 모듈러스''', '''모듈러 함수''' 또는 '''모듈러 문자'''라고 한다.

: $\nu (g^{-1} S) = \Delta(g) \nu(S). \quad$ ( $\nu$ 는 오른쪽 하르 측도)

모듈러 함수는 ''G''에서 양의 실수의 곱셈 그룹으로 가는 연속적인 그룹 준동형사상이다. 모듈러 함수가 항등적으로 $1$ 인 군을 '''단일 모듈러 군'''이라고 한다.

비단일 모듈러 군의 예로 다음과 같은 아핀 변환 그룹이 있다.

: $\big\{ x \mapsto a x + b : a\in\R\setminus\{0\}, b\in\R \big\}=\left\{\begin{bmatrix}a & b \\0 & 1 \end{bmatrix}\right\}$

이 그룹에서 왼쪽 하르 측도는 $\frac{1}{a^2}da\wedge db$ 로 주어지고 오른쪽 하르 측도는 $\frac{1}$

da\wedge db로 주어진다. 이를 통해 가해 리 군이 단일 모듈러일 필요는 없음을 알 수 있다.

7. 균질 공간 위의 측도

국소 콤팩트 군 $G$ 가 동차 공간 $G/H$ 에 추이적으로 작용하는 경우, 이 공간이 불변 측도를 갖는지, 더 일반적으로는 $\mu(gS) = \chi(g)\mu(S)$ 를 만족하는 어떤 문자 $\chi$ 를 갖는 반불변 측도를 갖는지 질문할 수 있다. 이러한 측도의 존재에 대한 필요충분 조건은 제한 $\chi|_H$ 가 $\Delta|_H/\delta$ 와 같다는 것이다. 여기서 $\Delta$ 와 $\delta$ 는 각각 $G$ 와 $H$ 의 모듈 함수이다.^[8]

특히, $G/H$ 에 대한 불변 측도는 $G$ 의 모듈 함수 $\Delta$ 가 $H$ 로 제한되었을 때 $H$ 의 모듈 함수 $\delta$ 와 같은 경우에만 존재한다.

만약 $G$ 가 군 $SL_2(\mathbb{R})$ 이고, $H$ 가 상삼각 행렬의 부분군이면, $H$ 의 모듈 함수는 자명하지 않지만, $G$ 의 모듈 함수는 자명하다. 이들의 몫은 $G$ 의 어떤 지표로도 확장될 수 없으므로, 몫 공간 $G/H$ (1차원 실수 사영 공간으로 생각할 수 있음)은 준불변 측도조차 갖지 않는다.

8. 하르 적분

르베그 적분의 일반적인 이론을 사용하여, ''G''상의 모든 보렐 가측 함수 ''f''에 대한 적분을 정의할 수 있다. 이 적분을 '''하르 적분'''이라고 부르며 다음과 같이 표기한다.

: $\int f(x) \, d\mu(x)$

여기서 $\mu$ 는 하르 측도이다.

좌 하르 측도 $\mu$ 의 한 가지 성질은, ''s''를 ''G''의 원소라고 할 때, 다음이 성립한다는 것이다.

: $\int_G f(sx) \ d\mu(x) = \int_G f(x) \ d\mu(x)$

이는 ''G''상의 모든 하르 적분 가능 함수 ''f''에 대해 성립한다. 이는 지시 함수에 대해 즉시 적용된다.

: $\int \mathit{1}_A(tg)\,d\mu = \int \mathit{1}_{t^{-1}A}(g)\,d\mu=\mu(t^{-1}A)=\mu(A)=\int\mathit{1}_A(g)\,d\mu,$

이는 본질적으로 좌불변성의 정의이다.

국소 컴팩트군 ''G'' 위의 컴팩트 지지(compact support)를 갖는 복소수 값 연속 함수의 벡터 공간을 ''C''_''c''(''G'')라고 하고, 그 연속 쌍대 공간을 ''M''(''G'')라고 한다. 불변 하르 측도는 불변 양수 범함수('''하르 범함수'''라고도 불림)와 일대일로 대응하므로, 종종 불변 하르 측도와 불변 하르 범함수를 동일시하여 취급한다.

실제로, 국소 컴팩트군 ''G''와 그 위의 왼쪽 하르 측도 μ에 대해 ''C''_''c''(''G'')의 원소 ''f''의 μ에 관한 적분을 대응시키는 범함수

: $\Phi\colon f \mapsto \int_G f(x)d\mu(x)$

는 왼쪽 불변 하르 범함수이며, 반대로 왼쪽 불변 하르 범함수 Φ가 주어졌을 때, 왼쪽 하르 측도 μ로 Φ의 각 ''f'' ∈ ''C''_''c''(''G'')의 값 Φ(''f'')를 ''f''의 μ에 관한 적분으로 실현하는 것을 취할 수 있다. 단, 복소수 값 범함수가 양수 또는 비음수라는 것은, ''G'' 위의 함수 ''f''(''x'')가 양수(항등적으로 비음수)이면

: $\int_G f(x) d\mu(x) \ge 0$

이 됨을 말한다. 또한, 범함수가 왼쪽 불변이라는 것은, ''G''의 원소 ''g''의 ''G''에서의 왼쪽 이동 작용의 구조 변환

: $\int_G f(gx)d\mu(x) = \int_G (L_{g^{-1}}f)(x)d\mu(x)=\int_G f(x)d(L_{g}\mu)(x)$

에 의해 범함수의 공간 ''M''(''G'')로의 왼쪽 이동 작용을 정할 때 ''L''_''g''μ = μ가 ''G''의 임의의 원소 ''g''에 대해 성립함을 말한다. 왼쪽 불변성을 오른쪽 불변성, 양측 불변성으로 바꾼 것도 마찬가지로 정한다.

9. 응용

하르 측도는 여러 분야에 응용된다.

추상 조화 해석: 국소 콤팩트 군에 대한 추상 조화 해석, 특히 폰트랴긴 쌍대성 이론에 사용된다.^[10]^[11]^[12]
수리 통계학: 변환의 콤팩트 그룹에 대한 사전 확률인 사전 측도에 사용된다. 이러한 사전 측도는 허용 가능한 절차를 구성하는 데 사용된다. 예를 들어, 위치 모수가 있는 일련의 분포에 대한 오른쪽 하르 측도는 피트만 추정량을 생성하며, 이는 최적의 등변량 추정량이다.^[13]
힐베르트의 다섯 번째 문제: 존 폰 노이만은 하르 정리를 사용하여 힐베르트의 다섯 번째 문제를 콤팩트 군으로 제한하여 해결하였다.^[9]
비가측 집합 이론: 선택 공리를 가정하면, 비가측 집합의 존재성을 보이는 데 사용된다.

10. 베유의 역정리

앙드레 베유는 1936년에 하르 측도에 대한 일종의 역정리를 증명했다. 이 정리에 따르면, 특정 "분리" 속성^[3]을 가진 좌불변 측도를 갖는 군이 존재하면, 그 군 위에 위상을 정의할 수 있다. 또한, 이 군의 완비화는 국소 콤팩트하며, 주어진 측도는 이 완비화에서의 하르 측도와 본질적으로 같다.

참조

_[1] 논문 Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen
_[2] 문서 History of Topology
_[3] 서적 Measure theory Springer Science+Business Media 1950
_[4] 간행물 L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications Hermann
_[5] 학술지 Sur la mesure de Haar
_[6] 학술지 A simplified constructive proof of existence and uniqueness of Haar measure http://www.mscand.dk[...]
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