메커니즘 디자인

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1. 개요

메커니즘 디자인은 주도자가 보상 구조를 선택하는 사적 정보 게임의 설계를 연구하는 분야이다. 이 분야는 게임 이론을 바탕으로 하며, 사회 선택 함수를 구현하거나 특정 가치 기준을 최대화하는 메커니즘을 설계하는 것을 목표로 한다. 메커니즘 디자인은 환경, 메커니즘, 계시 원리, 구현 가능성, 필요 조건, 충분 조건 등의 기본 원리를 포함하며, 경매, 가격 차별, 공공재 공급, 비분할재 배분 등 다양한 분야에 응용된다. 주요 결과로는 수익 동등성 정리, 빅리-클라크-그로브스 메커니즘, 깁바드-서터스웨이트 정리, 마이어슨-새터스웨이트 정리가 있다. 2007년 레오니드 후르비치, 에릭 매스킨, 로저 마이어슨은 메커니즘 디자인의 기초를 세운 공로로 노벨 경제학상을 수상했다.

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게임 이론 - 완전 정보
완전 정보 게임은 게임 이론에서 모든 플레이어가 게임의 모든 정보를 공유하는 게임을 의미하며, 체스, 틱택토, 오목 등이 이에 해당한다.

메커니즘 디자인
개요
분야	경제학 및 게임 이론
유형	경제 이론
관련 개념	역선택 베이즈-내시 균형 진실-유도 메커니즘 경매 이론 계약 이론 후생 경제학 사회 선택 이론
주요 기여자
창시자	레오니트 허비츠 에릭 매스킨 로저 마이어슨
기타	니콜라스 비카리 에얄 빈야미니 알란 깁바드 밀턴 프리드먼 데이비드 게일 벤자민 홈즈 세르주 하렐 로저 린더 장자크 라퐁 윌리엄 비크리 스티븐 웨버 모셰 야나이 로이드 섀플리
응용 분야
주요 응용 분야	경매 정부 정책 설계 네트워크 경제학 투표 시스템 의사결정 이론
영향
영향 받은 분야	컴퓨터 과학 경제학 수학 운영 연구 정치 과학

2. 역사

2. 1. 초기 발전

2. 2. 확장

3. 기본 원리

3. 1. 메커니즘

메커니즘 설계 게임은 주체인 주도자가 보상 구조를 선택하는 사적 정보 게임이다. 존 하사니(1967)에 따르면, 주체들은 보상과 관련된 정보를 담고 있는 자연으로부터 비밀 "메시지"를 받는다. 예를 들어, 메시지는 선호도 또는 판매 상품의 품질에 대한 정보를 포함할 수 있다. 우리는 이 정보를 주체의 "타입"(보통 \theta로 표시하며, 타입의 공간은 \Theta로 표시한다)이라고 부른다. 그런 다음 주체들은 주도자에게 전략적 거짓말이 될 수 있는 타입(보통 모자 기호 \hat\theta를 사용)을 보고한다. 보고 후, 주도자와 주체들은 주도자가 선택한 보상 구조에 따라 보상을 받는다.

게임의 진행 시간은 다음과 같다.

# 주도자는 보고된 타입의 함수로 결과 y를 부여하는 메커니즘 y()을 약속한다.

# 주체들은 (거짓일 가능성이 있는) 타입 프로필 \hat\theta를 보고한다.

# 메커니즘이 실행된다(주체들은 결과 y(\hat\theta)를 받는다).

누가 무엇을 얻는지 이해하기 위해, 결과 y를 재화 할당과 금전적 이전으로 나누는 것이 일반적이다. y(\theta) = \{ x(\theta), t(\theta) \}, x \in X, t \in T 여기서 x는 타입의 함수로 렌더링되거나 수신된 재화의 할당을 나타내고, t는 타입의 함수로 금전적 이전을 나타낸다.

벤치마크로 디자이너는 종종 완전한 정보 하에서 어떤 일이 일어나야 하는지 정의한다. (진실된) 타입 프로필을 직접 재화의 할당으로 매핑하는 사회 선택 함수 f(\theta)를 정의한다.

:f(\theta): \Theta \rightarrow Y

대조적으로, '''메커니즘'''은 ''보고된'' 타입 프로필을 ''결과''에 매핑한다(다시 말하지만, 재화 할당 x와 금전적 이전 t 모두).

:y(\hat\theta): \Theta \rightarrow Y

메커니즘 디자인의 모델은 환경과 메커니즘으로 나타낸다.

;환경

:(N , \Omega, \Theta)로 표기한다.

:*N = {1, 2, ..., n}：참가자의 집합. 단, 설계자 자신을 포함할 때는 설계자를 0으로 추가한다.

:*\Omega = {\xi, ...}：실현 가능한 결과의 집합

:*\Theta = {\mathbf t, ...}：참가자 유형의 집합. 단, \mathbf t = (t_1, t_2, ... , t_n)。

::(각 참가자 i의 유형(참가자의 신념이나 가치관)의 집합 \Theta_i에 대해 \Theta = \Theta_1\times \Theta_2 \times ... \times \Theta_n)

;메커니즘

:(S, \omega)로 표기한다.

:S = {\sigma, ...}：전략의 집합. 단, \sigma = (\sigma_1 (t_1), \sigma_2 (t_2), ..., \sigma_n (t_n))

::(각 참가자 i의 전략을 S_i로 하여 S = S_1 \times S_2 \times ... \times S_n)

;\omega = [\omega(\sigma), ...]:결과의 집합 (즉, \omega는 사상 \omega : S \to \Omega)

기바드-서터스웨이트 정리에서는 지배 전략으로 유도 가능한 결과는 독재뿐이라는 것이 제시되어 있다. 이에 반해, 내쉬 균형을 사회에 적용할 때는 가능한 것이 몇 가지 있다.

레오니드 후르비치, 에릭 매스킨, 로저 마이어슨의 3명은 "메커니즘 디자인의 기초를 세웠다"는 공로로 2007년에 노벨 경제학상을 수상했다.

3. 2. 계시 원리

제안된 메커니즘은 베이지안 게임(사적 정보 게임)을 구성하며, 잘 작동한다면 게임은 베이지안 내쉬 균형을 갖는다. 균형 상태에서 에이전트는 유형의 함수로 보고서를 전략적으로 선택한다.^[5]

:

\hat\theta(\theta)

이러한 설정에서는 베이지안 균형을 찾는 것이 어려운데, 에이전트의 최적 응답 전략과 가능한 전략적 거짓말로부터의 최적 추론을 찾아야 하기 때문이다. 계시 원리라고 하는 광범위한 결과 덕분에, 설계자는 메커니즘에 관계없이 에이전트가 유형을 진실하게 보고하는 균형에 집중할 수 있다.^[5] '''계시 원리'''는 다음과 같이 명시한다. "모든 베이지안 내쉬 균형에는 플레이어가 유형을 진실하게 보고하는 동일한 균형 결과의 베이지안 게임이 해당한다."^[5]

이것은 매우 유용하다. 이 원리는 모든 플레이어가 유형을 진실하게 보고한다고 가정하여 베이지안 균형을 찾을 수 있게 해준다 (인센티브 호환성 제약 조건에 따라). 한 번에 전략적 행동이나 거짓말을 고려할 필요가 없어지는 것이다.^[5]

그 증명은 매우 직접적이다. 에이전트의 전략과 보수가 유형과 다른 사람들이 하는 일의 함수인 베이지안 게임을 가정한다.

u_i\left(s_i(\theta_i),s_{-i}(\theta_{-i}), \theta_{i} \right)

정의에 따라 에이전트 ''i''의 균형 전략

s(\theta_i)

는 기대 효용에서 내쉬이다.^[5]

:

s_i(\theta_i) \in \arg\max_{s'_i \in S_i} \sum_{\theta_{-i}} \ p(\theta_{-i} \mid \theta_i) \ u_i\left(s'_i, s_{-i}(\theta_{-i}),\theta_i \right)

에이전트가 동일한 균형을 선택하도록 유도하는 메커니즘을 간단히 정의한다. 정의하기 가장 쉬운 메커니즘은 에이전트 ''대신'' 에이전트의 균형 전략을 수행하기로 약속하는 것이다.^[5]

:

y(\hat\theta) : \Theta \rightarrow S(\Theta) \rightarrow Y

그러한 메커니즘에서 에이전트는 메커니즘이 어쨌든 최적이라고 생각한 전략을 수행하므로 유형을 공개하는 것이 최적이라고 생각한다. 공식적으로

y(\theta)

를 선택한다.^[5]

:

\begin{align}\theta_i \in {} & \arg\max_{\theta'_i \in \Theta} \sum_{\theta_{-i}} \ p(\theta_{-i} \mid \theta_i) \ u_i\left( y(\theta'_i, \theta_{-i}),\theta_i \right) \\[5pt]& = \sum_{\theta_{-i}} \ p(\theta_{-i} \mid \theta_i) \ u_i\left(s_i(\theta), s_{-i}(\theta_{-i}),\theta_i \right)\end{align}

3. 3. 구현 가능성

메커니즘 설계자는 일반적으로 다음 두 가지를 기대한다.

사회 선택 함수를 "구현"하는 메커니즘 $y()$ 을 설계한다.
일부 가치 기준(예: 이익)을 최대화하는 메커니즘 $y()$ 을 찾는다.

사회 선택 함수

f(\theta)

를 '''구현'''한다는 것은 에이전트가

x(\theta)

를 선택하도록 동기를 부여하는 전이 함수

t(\theta)

를 찾는 것이다. 공식적으로, 메커니즘 하에서 평형 전략 프로파일이 사회 선택 함수와 동일한 상품 할당에 매핑되는 경우,

:

f(\theta) = x \left(\hat\theta(\theta) \right)

메커니즘이 사회 선택 함수를 구현한다고 말한다.

계시 원리에 따르면, 설계자는 일반적으로 연관된 진실 말하기 게임을 풀어서 사회 선택을 구현하기 위한 전이 함수

t(\theta)

를 찾을 수 있다. 에이전트가 유형을 진실하게 보고하는 것이 최적이라고 생각하는 경우,

:

\hat\theta(\theta) = \theta

이러한 메커니즘을 '''진실하게 구현 가능'''하다고 말한다. 그런 다음 진실하게 구현 가능한

t(\theta)

를 풀고 이 전이 함수를 원래 게임에 귀속시키는 작업이 필요하다. 할당

x(\theta)

는 다음과 같은 전이 함수

t(\theta)

가 존재한다면 진실하게 구현 가능하다.

:

u(x(\theta),t(\theta),\theta) \geq u(x(\hat\theta),t(\hat\theta),\theta) \ \forall \theta,\hat\theta \in \Theta

이는 '''인센티브 호환성''' (IC) 제약 조건이라고도 한다.

응용 분야에서 IC 조건은 유용한 방식으로

t(\theta)

의 모양을 설명하는 데 핵심이다. 특정 조건 하에서 전이 함수를 분석적으로 분리할 수도 있다. 또한, 에이전트가 플레이하지 않을 옵션이 있는 경우 참여 (개별 합리성) 제약 조건이 추가되기도 한다.

== 필요 조건 ==

모든 에이전트가 유형에 따라 달라지는 효용 함수

u(x,t,\theta)

를 갖는 환경을 생각해 보자. 상품 할당

x(\theta)

는 벡터 값을 가지며 크기가

k

(상품의 개수가

k

개)이고, 인수에 대해 구간별로 연속이라고 가정한다.

함수

x(\theta)

는 다음 조건이 만족될 때만 구현 가능하다.

:

\sum^n_{k=1} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{\partial u / \partial x_k}{\left|\partial u / \partial t\right|} \right) \frac{\partial x}{\partial \theta} \geq 0

이는

x=x(\theta)

이고

t=t(\theta)

이며, ''x''가

\theta

에서 연속일 때 만족되어야 한다. 이 조건은 필요 조건이며, 진실을 말한다는 가정 하에 에이전트 최적화 문제의 1차 및 2차 조건에서 도출된다.

이 조건의 의미는 두 부분으로 나누어 이해할 수 있다. 첫 번째 부분은 에이전트의 한계 대체율(MRS)이 유형(

\theta

)의 함수로 증가한다는 것이다.

:

\frac \partial {\partial \theta} \left( \frac{\partial u / \partial x_k}{\left|\partial u / \partial t\right|} \right) = \frac{\partial}{\partial \theta} \mathrm{MRS}_{x,t}

즉, 메커니즘이 더 높은 유형의 에이전트에게 더 나은 조건을 제공하지 않으면 에이전트는 진실을 말하지 않는다. 만약 높은 유형에게 불리한 메커니즘이 있다면, 높은 유형의 에이전트는 자신이 낮은 유형이라고 거짓말을 하여 진실 보고 인센티브 제약 조건을 위반하게 된다.

두 번째 부분은 단조성 조건이다.

:

\frac{\partial x}{\partial \theta}

이 조건이 양수 값을 갖는다는 것은, 더 높은 유형의 에이전트에게 더 많은 상품이 주어져야 함을 의미한다.

이 두 부분은 상호 작용할 가능성이 있다. 특정 유형 범위에서 계약이 더 높은 유형에게 더 적은 수량(

\partial x / \partial \theta < 0

)을 제공한다면, 메커니즘은 더 높은 유형에게 할인을 제공함으로써 이를 보상할 수도 있다. 그러나 이러한 계약은 이미 낮은 유형의 에이전트에게도 존재하므로, 이 해결책은 병리적이다. 이러한 경우는 메커니즘을 찾는 과정에서 종종 발생하며, 이럴 때는 "아이어닝"을 통해 해결해야 한다. 다중 상품 환경에서는 설계자가 한 상품을 더 많이 제공하고 다른 상품을 덜 제공하는 방식(예: 마가린 대신 버터)으로 에이전트에게 보상할 수도 있다. 다중 상품 메커니즘은 메커니즘 설계 이론에서 여전히 해결되지 않은 문제로 남아있다.

== 충분 조건 ==

메커니즘 설계 논문은 일반적으로 구현 가능성을 보장하기 위해 두 가지 가정을 한다.

:

\frac{\partial}{\partial \theta} \frac{\partial u / \partial x_k}{\left|\partial u / \partial t\right|} > 0 \ \forall k

이것은 단일 교차 조건, 정렬 조건, 스펜스-미를리스 조건 등 여러 이름으로 알려져 있다. 이는 에이전트의 MRS가 유형에 따라 증가하는 형태의 효용 함수를 의미한다.

:

\exists K_0, K_1 \text{ such that } \left| \frac{\partial u / \partial x_k}{\partial u / \partial t} \right| \leq K_0 + K_1 |t|

이것은 MRS의 성장률을 제한하는 기술적인 조건이다.

이러한 가정은 임의의 단조로운

x(\theta)

가 구현 가능하도록 하는 데 충분하다(이를 구현할 수 있는

t(\theta)

가 존재한다). 또한, 단일 재화 환경에서는 단일 교차 조건만으로도 단조로운

x(\theta)

만이 구현 가능하므로 설계자는 단조로운

x(\theta)

에 대한 탐색으로 범위를 좁힐 수 있다.

3. 3. 1. 필요 조건

모든 에이전트가 유형에 따라 달라지는 효용 함수

u(x,t,\theta)

를 갖는 환경을 생각해 보자. 상품 할당

x(\theta)

는 벡터 값을 가지며 크기가

k

(상품의 개수가

k

개)이고, 인수에 대해 구간별로 연속이라고 가정한다.

함수

x(\theta)

는 다음 조건이 만족될 때만 구현 가능하다.

:

\sum^n_{k=1} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{\partial u / \partial x_k}{\left|\partial u / \partial t\right|} \right) \frac{\partial x}{\partial \theta} \geq 0

이는

x=x(\theta)

이고

t=t(\theta)

이며, ''x''가

\theta

에서 연속일 때 만족되어야 한다. 이 조건은 필요 조건이며, 진실을 말한다는 가정 하에 에이전트 최적화 문제의 1차 및 2차 조건에서 도출된다.

이 조건의 의미는 두 부분으로 나누어 이해할 수 있다. 첫 번째 부분은 에이전트의 한계 대체율(MRS)이 유형(

\theta

)의 함수로 증가한다는 것이다.

:

\frac \partial {\partial \theta} \left( \frac{\partial u / \partial x_k}{\left|\partial u / \partial t\right|} \right) = \frac{\partial}{\partial \theta} \mathrm{MRS}_{x,t}

즉, 메커니즘이 더 높은 유형의 에이전트에게 더 나은 조건을 제공하지 않으면 에이전트는 진실을 말하지 않는다. 만약 높은 유형에게 불리한 메커니즘이 있다면, 높은 유형의 에이전트는 자신이 낮은 유형이라고 거짓말을 하여 진실 보고 인센티브 제약 조건을 위반하게 된다.

두 번째 부분은 단조성 조건이다.

:

\frac{\partial x}{\partial \theta}

이 조건이 양수 값을 갖는다는 것은, 더 높은 유형의 에이전트에게 더 많은 상품이 주어져야 함을 의미한다.

이 두 부분은 상호 작용할 가능성이 있다. 특정 유형 범위에서 계약이 더 높은 유형에게 더 적은 수량(

\partial x / \partial \theta < 0

)을 제공한다면, 메커니즘은 더 높은 유형에게 할인을 제공함으로써 이를 보상할 수도 있다. 그러나 이러한 계약은 이미 낮은 유형의 에이전트에게도 존재하므로, 이 해결책은 병리적이다. 이러한 경우는 메커니즘을 찾는 과정에서 종종 발생하며, 이럴 때는 "아이어닝"을 통해 해결해야 한다. 다중 상품 환경에서는 설계자가 한 상품을 더 많이 제공하고 다른 상품을 덜 제공하는 방식(예: 마가린 대신 버터)으로 에이전트에게 보상할 수도 있다. 다중 상품 메커니즘은 메커니즘 설계 이론에서 여전히 해결되지 않은 문제로 남아있다.

3. 3. 2. 충분 조건

메커니즘 설계 논문은 일반적으로 구현 가능성을 보장하기 위해 두 가지 가정을 한다.

:

\frac{\partial}{\partial \theta} \frac{\partial u / \partial x_k}{\left|\partial u / \partial t\right|} > 0 \ \forall k

이것은 단일 교차 조건, 정렬 조건, 스펜스-미를리스 조건 등 여러 이름으로 알려져 있다. 이는 에이전트의 MRS가 유형에 따라 증가하는 형태의 효용 함수를 의미한다.

:

\exists K_0, K_1 \text{ such that } \left| \frac{\partial u / \partial x_k}{\partial u / \partial t} \right| \leq K_0 + K_1 |t|

이것은 MRS의 성장률을 제한하는 기술적인 조건이다.

이러한 가정은 임의의 단조로운

x(\theta)

가 구현 가능하도록 하는 데 충분하다(이를 구현할 수 있는

t(\theta)

가 존재한다). 또한, 단일 재화 환경에서는 단일 교차 조건만으로도 단조로운

x(\theta)

만이 구현 가능하므로 설계자는 단조로운

x(\theta)

에 대한 탐색으로 범위를 좁힐 수 있다.

4. 주요 결과

4. 1. 수익 동등성 정리

윌리엄 비크리는 광범위한 경매 방식이 판매자에게 동일한 예상 수입을 보장하며, 이 예상 수입이 판매자가 얻을 수 있는 최상의 결과라는 유명한 결과를 제시했다. 이 정리는 다음의 경우에 성립한다.

# 구매자는 동일한 가치 평가 함수를 가진다(이는 유형의 함수일 수 있다).

# 구매자의 유형은 독립적으로 분포한다.

# 구매자의 유형은 연속 분포에서 추출된다.

# 유형 분포는 단조 위험률 속성을 갖는다.

# 메커니즘은 가장 높은 가치를 가진 구매자에게 상품을 판매한다.

마지막 조건은 이 정리의 핵심이다. 이는 판매자가 더 높은 수입을 달성하려면 더 낮은 가치를 가진 에이전트에게 상품을 넘길 위험을 감수해야 함을 시사한다. 일반적으로 이것은 판매자가 상품을 전혀 판매하지 못할 위험을 감수해야 함을 의미한다.

4. 2. 빅리-클라크-그로브스 (VCG) 메커니즘

빅리-클라크-그로브스 (VCG) 메커니즘은 빅리 경매 모델을 확장한 것으로, 공공재 공급과 같이 여러 에이전트의 결정이 필요한 상황에서 각 에이전트가 자신의 선호를 진실되게 밝히도록 유도하는 메커니즘이다. 예를 들어, 시립 다리 건설 여부를 결정하는 상황에서, 각 에이전트는 자신의 선호(다리 건설에 대한 가치)를 보고하고, VCG 메커니즘은 이 보고를 바탕으로 사회적으로 가장 효율적인 결정을 내린다.

VCG 메커니즘은 에이전트가 자신의 보고로 인해 발생하는 다른 에이전트들의 효용 변화(왜곡)만큼을 비용으로 지불하도록 설계되어, 거짓 보고를 할 유인을 제거한다. 만약 에이전트의 보고가 '''피벗'''(pivotal), 즉 전체 결정에 영향을 미치는 경우에만 비용을 지불한다. 이는 각 에이전트가 자신의 진정한 선호를 드러내는 것이 최선의 전략이 되도록 만든다.

VCG 메커니즘은 특정 조건 하에서 공유지의 비극 문제를 해결할 수 있는 방법으로 간주된다.

4. 3. 깁바드-새터스웨이트 정리

앨런 깁바드(1973)와 마크 새터스웨이트(1975)는 애로의 불가능성 정리와 유사한 불가능성 결과를 제시한다. 매우 일반적인 부류의 게임에서 "독재적" 사회 선택 함수만이 구현될 수 있다.

사회 선택 함수 ''f''()는 '''독재적'''이다. 한 에이전트가 항상 자신이 가장 선호하는 재화 할당을 받는다.

:

\text{for } f(\Theta)\text{, } \exists i \in I \text{ such that } u_i(x,\theta_i) \geq u_i(x',\theta_i) \ \forall x' \in X

이 정리는 일반적인 조건 하에서 진실되게 구현 가능한 모든 사회 선택 함수는 다음과 같은 경우 독재적이어야 한다고 명시한다.

# ''X''는 유한하고 최소한 세 개의 요소를 포함한다.

# 선호는 합리적이다.

#

f(\Theta) = X

4. 4. 마이어슨-새터스웨이트 정리

마이어슨과 새터스웨이트는 양 당사자가 상품에 대해 비밀스럽고 확률적으로 변동하는 가치를 가지고 있을 때, 한 당사자가 손해를 보고 거래를 하도록 강요하는 위험 없이, 두 당사자가 상품을 거래할 수 있는 효율적인 방법은 없음을 보였다. 이는 후생경제학의 기본 정리의 부정적인 거울과 같은 경제학에서 가장 주목할 만한 부정적인 결과 중 하나이다.

5. 응용 분야

5. 1. 경매

경매 설계에서는 ''효율성''과 ''내전략성''을 만족하는 경매 메커니즘 설계를 중시한다. 여기서 각 용어의 의미는 다음과 같다.

'''효율적인 경매''': 재화를 가장 높게 평가하는 입찰자에게 그 재화를 배분하는 경매
'''내전략적인 경매''': 입찰자가 재화에 대한 자신의 평가액 이외의 금액을 입찰해도 이득을 볼 수 없는 경매. 게임 이론의 용어로 말하면, 평가액을 그대로 입찰하는 것이 ''약지배 전략''이 되는 경매 메커니즘

예를 들어 가장 높은 입찰액을 제시한 입찰자가 그 입찰액을 지불하여 재화를 얻는 '''퍼스트 프라이스 경매''' (제1가격 경매)는 내전략적이지 않다. 최적의 전략이 타인에 따라 달라지는 것은, 각자가 자신의 평가액 이하이면서 두 번째로 높은 입찰액 이상의 범위에서 가능한 낮은 입찰액을 노리는 것으로부터 알 수 있으며, 실제로 이론적으로도 입찰자는 평가액보다 낮은 금액을 입찰하는 것이 가능하다는 것을 알 수 있다. 또한 이 경매는 각 입찰자가 서로의 입찰액을 알지 못한 채 입찰하는 ''밀봉 입찰 경매/sealed-bid auction^영어''의 대표적인 예이기도 하다.

효율성과 내전략성을 만족하는 경매로는 '''세컨드 프라이스 경매''' (제2가격 경매; 빅리 경매)가 알려져 있다.^[8] 이는 가장 높은 입찰액을 제시한 입찰자가 ''두 번째로 높은 입찰액''을 지불한 후 재화를 얻는 밀봉 입찰 경매이다. 왜 자신의 평가액을 그대로 입찰하는 것이 최적인지는 다음과 같이 설명할 수 있다. 현재 경매의 대상이 되고 있는 재화에 대한 당신의 평가액이 10,000원이고, 당신 이외의 입찰자의 입찰액 (bid^영어) 중 최고액을 ''b'' 원이라고 하자.

''b'' > 10,000원인 경우. 예를 들어 ''b'' = 10,700원이라고 하자. 이 경우, 재화를 낙찰받으면 10,700원 이상을 지불해야 하므로 낙찰받지 않는 것이 더 유리하다. 그러기 위해서는 그 액수 ''b''원 미만을 입찰하면 되며, 10,000원을 입찰하는 것은 그 조건에 적합하다.
''b'' < 10,000원인 경우. 예를 들어 ''b'' = 9,800원이라고 하자. 이 경우, 재화를 낙찰받으면 지불이 9,800원으로 끝나므로 낙찰받는 것이 더 유리하다. 그러기 위해서는 그 액수 ''b''원보다 많은 액수를 입찰하면 되며, 10,000원을 입찰하는 것은 그 조건에 적합하다.

요컨대, 각자에게 자신의 평가액을 그대로 입찰하는 전략이 항상 최적이며, 그 외의 금액을 입찰하는 전략은 이 전략에 약지배를 받는다.

5. 2. 가격 차별

제임스 미를리스는 이전 함수 ''t''()를 쉽게 풀 수 있는 설정을 도입했다. 이는 관련성과 처리 용이성으로 인해 문헌에서 흔히 사용되는 설정이다. 단일 재화, 단일 에이전트 설정을 고려해 보면, 에이전트는 알 수 없는 유형 매개변수

\theta

를 가진 준선형 효용을 갖는다.

:

u(x,t,\theta) = V(x,\theta) - t

그리고 주체는 에이전트 유형

P(\theta)

에 대한 사전 누적 분포 함수를 가지며, 주체는 볼록한 한계 비용 ''c''(''x'')로 재화를 생산할 수 있으며 거래로부터 예상 이익을 최대화하려고 한다.

:

\max_{x(\theta),t(\theta)} \mathbb{E}_\theta \left[ t(\theta) - c\left(x(\theta)\right) \right]

IC 및 IR 조건은 다음과 같다.

:

u(x(\theta),t(\theta),\theta) \geq u(x(\theta'),t(\theta'),\theta) \ \forall \theta,\theta'

:

u(x(\theta),t(\theta),\theta) \geq \underline{u}(\theta) \ \forall \theta

여기서 주체는 고객의 유형을 식별할 수 없는 상황에서 이익을 극대화하는 가격 책정을 설정하려는 독점 기업이다. 일반적인 예는 비즈니스, 레저 및 학생 여행객을 위한 항공 요금을 설정하는 것이다. IR 조건으로 인해 모든 유형에 참여를 유도할 만큼 충분히 좋은 거래를 제공해야 하며, IC 조건으로 인해 모든 유형에 다른 유형의 거래보다 자신의 거래를 선호할 만큼 충분히 좋은 거래를 제공해야 한다.

미를리스(1971)가 제시한 트릭은 포락선 정리를 사용하여 최대화할 기대값에서 이전 함수를 제거하는 것이다.

:

\text{let } U(\theta) = \max_{\theta'} u\left(x(\theta'),t(\theta'),\theta \right)

:

\frac{dU}{d\theta} = \frac{\partial u}{\partial \theta} = \frac{\partial V}{\partial \theta}

적분하면,

:

U(\theta) = \underline{u}(\theta_0) + \int^\theta_{\theta_0} \frac{\partial V}{\partial \tilde\theta} d\tilde\theta

여기서

\theta_0

는 어떤 지표 유형이다. 인센티브 호환

t(\theta) = V(x(\theta),\theta) - U(\theta)

를 최대화 대상에 대입하면,

:

\begin{align}& \mathbb{E}_\theta \left[ V(x(\theta),\theta) - \underline{u}(\theta_0) - \int^\theta_{\theta_0} \frac{\partial V}{\partial \tilde\theta} d\tilde\theta - c\left(x(\theta)\right) \right] \\&{} =\mathbb{E}_\theta \left[ V(x(\theta),\theta) - \underline{u}(\theta_0) - \frac{1-P(\theta)}{p(\theta)} \frac{\partial V}{\partial \theta} - c\left(x(\theta)\right) \right]\end{align}

부분 적분을 거친 후. 이 함수는 점별로 최대화될 수 있다.

U(\theta)

가 이미 인센티브 호환되기 때문에 설계자는 IC 제약 조건을 삭제할 수 있다. 효용 함수가 스펜스-미를리스 조건을 충족하면 단조

x(\theta)

함수가 존재한다. IR 제약 조건은 균형 상태에서 확인될 수 있으며 이에 따라 수수료 일정을 높이거나 낮출 수 있다. 또한, 표현식에서 위험률의 존재에 주목해야 한다. 유형 분포가 단조 위험률 속성을 갖는 경우 FOC는 ''t''()를 풀기에 충분하다. 그렇지 않은 경우 할당 및 수수료 일정 전반에 걸쳐 단조성 제약 조건(위의 충분성 참조)이 모든 곳에서 충족되는지 확인해야 한다. 그렇지 않은 경우 설계자는 마이어슨 아이어닝을 사용해야 한다.

:

\int^{\overline\theta}_{\underline\theta} \left( \frac{\partial V}{\partial x}(x,\theta) - \frac{1-P(\theta)}{p(\theta)} \frac{\partial^2 V}{\partial \theta \, \partial x}(x,\theta) - \frac{\partial c}{\partial x}(x) \right) p(\theta) \, d\theta = 0

교장의 잉여의 평균 왜곡은 0이어야 한다. 일정을 평평하게 하려면 역상이 위의 조건을 충족하는

\theta

간격에 매핑되도록 x를 찾아야 한다.

5. 3. 공공재 공급

5. 4. 비분할재의 배분

경매는 금전 수수를 수반하지만, 금전 수수 없이 재화를 배분하는 것이 더 자연스러울 때도 있다. 솔로몬 왕의 딜레마가 그 예시인데, 구약 성서에 나오는 이 이야기는 두 여자가 아이의 어머니라고 주장하는 상황에서 솔로몬 왕이 진짜 어머니에게 아이를 돌려주려는 문제이다.^[7]^[8]

이 문제를 해결하기 위해 세컨드 프라이스 경매를 이용한 메커니즘을 생각해 볼 수 있다. 여기서는 한 단위의 재화를 ''n''명의 개인 중 최고 평가자에게 배분하는 방법을 설명한다. 각 개인은 최고 평가액과 두 번째 평가액의 차이가 δ > 0 보다 크다는 것을 알고, 자신이 최고 평가자인지 아닌지도 안다고 가정한다.

메커니즘은 다음과 같이 두 단계로 구성된다.

# 각 개인은 경매 참여 여부를 표명한다.

# 참여자가 2명 이상이면, 참여비를 지불하고 세컨드 프라이스 경매를 진행한다. 1명 이하면 참여자가 공짜로 재화를 얻는다. 불참자는 지불도 없고 재화도 얻을 수 없다.

역진 귀납법으로 최고 평가자에게 재화가 배분됨을 보일 수 있다. 2단계에서 참여자는 자신의 평가액을 입찰한다.(참가료는 매몰 비용) 따라서 최고 평가자 외에는 재화를 얻을 수 없어 불참을 표명한다. 최고 평가자는 2단계에서 손해 없이 재화를 얻을 수 있으므로 1단계에서 참가를 표명한다. 결과적으로 최고 평가자만 참가를 표명하여 금전 거래 없이 재화가 배분된다.^[7]

6. 한국적 맥락에서의 의의

7. 추가 자료

Fudenberg^영어, Drew^영어 & Tirole^영어, Jean^영어 (1991). ''Game Theory^영어''. MIT Press. ISBN 978-0-262-06141-4. 게임 이론 대학원 교재.
Mas-Colell^영어, Andreu^영어, Whinston^영어 & Green^영어 (1995). ''Microeconomic Theory^영어''. 옥스퍼드 대학교 출판부. ISBN 978-0-19-507340-9. 미시경제학 대학원 교재.
Milgrom^영어, Paul^영어 (2004). ''Putting Auction Theory to Work^영어''. 케임브리지 대학교 출판부. ISBN 978-0-521-55184-7. 경매에서의 메커니즘 디자인 원리 응용.
Noam Nisan^영어. 메커니즘 디자인에 대한 [https://www.youtube.com/watch?v=Ps5aYsG8jY0 Google tech talk].
Legros^영어, Patrick^영어 & Cantillon^영어, Estelle^영어 (2007). [https://voxeu.org/article/nobel-prize-what-mechanism-design-and-why-does-it-matter What is mechanism design and why does it matter for policy-making?]. Centre for Economic Policy Research.
Roger B. Myerson^영어 (2008). "Mechanism Design," ''The New Palgrave Dictionary of Economics Online^영어, [https://link.springer.com/referenceworkentry/10.1057/978-1-349-95121-5_2675-1 Abstract].

참조

_[1] 웹사이트 Journal of Mechanism and Institution Design http://www.mechanism[...] 2024-07-01
_[2] 논문 Optimal collusion-resistant mechanisms with verification https://doi.org/10.1[...] 2014-07
_[3] 서적 Designing Economic Mechanisms
_[4] 간행물 The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 2007 http://nobelprize.or[...] Nobel Foundation 2007-10-15
_[5] 문서
_[6] 논문 Design Tradeoffs in Concave Cost-Sharing Games 2018-07
_[7] 논문 THE SECOND-PRICE AUCTION SOLVES KING SOLOMON'S DILEMMA*
_[8] 서적 メカニズムデザイン: 資源配分制度の設計とインセンティブミネルヴァ書房 2008

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