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반사관계

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목차

1. 개요

반사 관계는 집합 X에 정의된 이항 관계 R이 모든 X의 원소 x에 대해 (x, x) ∈ R을 만족하는 경우를 의미한다. 반사 관계는 집합 내 모든 원소가 자기 자신과 관계를 맺는 경우이며, 반대로 비반사 관계는 어떤 원소도 자기 자신과 관계를 맺지 않는 경우이다. 반사 관계의 예시로는 "같다", "부분 집합이다", "나눈다" 등이 있으며, 비반사 관계의 예시로는 "같지 않다", "보다 크다", "보다 작다" 등이 있다. 반사 관계는 수학적 개념으로, 특정 집합과 관계의 속성을 정의하는 데 사용된다.

2. 정의

집합 ''X''에 대해 정의된 이항관계 ''R''이 모든 x\in X에 대해 (x,x)\in R을 만족할 때, 즉 xRx일 때, 이를 '''반사 관계'''라고 한다. 다르게 표현하면, 집합 ''X''에 대한 '''항등 관계'''(identity relation영어) I_X:=\{(x,x):x\in X\}에 대해 I_X\subset R일 때 ''R''은 반사 관계이다.

집합 ''X''의 모든 원소가 반사 관계를 만족하지 않으면, 즉, 모든 x\in X에 대해 (x,x)\notin R이면 이항관계 ''R''을 '''비반사 관계'''(irreflexive relation영어)라고 한다.

모든 관계가 반사적이거나 비반사적인 것은 아니다. 비반사성은 반사성이 성립하지 않는다는 조건보다 좁은 범위에 적용된다. 부등식에서 "작다"(<)와 "크다"(>)는 비반사적이지만, "작거나 같다"(≤)와 "크거나 같다"(≥)는 반사적이다. 그러나 정수에 관한 관계 ''R''을 ''a'' = −''b''일 때만 ''a R b''가 성립한다고 정의하면, 이 관계는 반사적이지도 비반사적이지도 않다. 왜냐하면 0의 경우에만 자기 자신과의 관계가 성립하기 때문이다.

2. 1. 반사 폐포와 비반사 핵

집합 ''X''에 대한 관계 ''R''의 '''반사 폐포'''는 R \cup I_X로 정의되며, 이는 ''X''에 대한 ''R''의 상위 집합인 가장 작은 (⊆에 관하여) 반사 관계이다.[1] 관계 ''R''은 그 반사 폐포와 같을 때, 그리고 그 때만 반사적이다.[1]

''R''의 '''비반사 핵'''은 R \setminus I_X로 정의되며, ''R''과 동일한 반사 폐포를 갖는 ''X''에 대한 가장 작은 관계이다.[3] 예를 들어, 실수 \mathbb{R}에 대한 표준적인 엄격한 부등식 <의 반사 폐포는 일반적인 비엄격 부등식 \leq인 반면, \leq의 비반사 핵은 <이다.

3. 관련 개념

관계 ''R''은 다음과 같이 불린다.


  • '''비반사 관계'''(irreflexive) 또는 '''반-비반사 관계'''(anti-reflexive): 어떤 요소도 자신과 관련시키지 않는 경우이다. 즉, x \in X에 대해 x R x가 성립하지 않는 경우이다.[1] 관계가 비반사적일 경우에만 X \times X에서의 보완 관계가 반사적이다. 비대칭 관계는 필연적으로 비반사적이다. 추이적이고 비반사적인 관계는 필연적으로 비대칭적이다.


비어 있지 않은 집합 X에 대한 반사 관계는 비반사적이거나 비대칭적일 수 없다.

3. 1. 준반사 관계

'''좌 준반사 관계'''(left quasi-reflexive)는 x, y \in X가 x R y를 만족하면, 반드시 x R x인 경우이다.[2] '''우 준반사 관계'''(right quasi-reflexive)는 x, y \in X가 x R y를 만족하면, 반드시 y R y인 경우이다. '''준반사 관계'''(quasi-reflexive)는 어떤 관계의 일부인 모든 요소가 자신과 관련된 경우이다. 즉, x, y \in X가 x R y를 만족하면, 반드시 x R x와 y R y인 경우이다. 좌 준반사적이면서 우 준반사적이면 준반사 관계이다.

3. 2. 핵반사 관계

x, y \in X가 x R y를 만족하면, 반드시 x = y인 경우이다.[1] 관계 R이 핵반사적일 필요충분조건은 대칭 폐포가 비대칭적인 경우이다.

3. 3. 기타

'''비대칭 관계''': x, y \in X가 x R y와 y R x를 만족하면, 반드시 x = y인 경우이다. 비대칭 관계는 비반사적이다.[1] '''전순서'''(total order, 의사 순서): 추이적인 반사 관계이다. 전순서의 특수한 예인 반순서와 동치 관계도 반사적이다.

4. 예시

다음은 반사 관계의 예시이다.


  • "x와 y가 같다" (등호)
  • "x가 y보다 같거나 크다"
  • "x가 y보다 같거나 작다"
  • "X가 Y의 부분집합이다" (집합의 포함관계)
  • "x가 y를 나눈다" (약수 관계)


다음은 비반사 관계의 예시이다.

  • "x와 y가 같지 않다"
  • "X가 Y의 진부분집합이다"
  • "x가 y보다 크다"
  • "x가 y보다 작다"


같거나 크다


크다


실수에서 "보다 크다" 관계(x > y)는 자신을 어떠한 원소와도 관련시키지 않는 비반사 관계의 한 예이다. 준반사 관계 R의 예로는 실수의 수열 집합에서 "과 동일한 극한값을 갖는다"가 있다. 모든 수열이 극한값을 갖는 것은 아니므로 이 관계는 반사적이지 않지만, 수열이 어떤 수열과 동일한 극한값을 가지면 그 자신과 동일한 극한값을 갖는다. 좌 준반사 관계의 예는 좌 유클리드 관계인데, 이는 항상 좌 준반사적이지만 반드시 우 준반사적이지는 않으므로 반드시 준반사적이지는 않다.

코반사 관계의 예는 각 홀수가 자신과 관련되어 있고 다른 관계는 없는 정수에 대한 관계이다. 등호 관계는 반사적이고 코반사적인 유일한 예이며, 모든 코반사 관계는 항등 관계의 부분 집합이다. 코반사 관계와 동일한 집합에 대한 추이적 관계의 합집합은 항상 추이적이다.

4. 1. 반사 관계

집합 ''X''에 대해 정의된 이항관계 ''R''이 모든 ''x''∈''X''에 대해 (''x'',''x'')∈''R''을 만족할 때, 즉 ''xRx''일 때, 이를 '''반사 관계'''라 한다. 다르게 말하면, 집합 ''X''에 대한 '''항등 관계'''(identity relation영어) ''I''''X'' := {(''x'',''x'') : ''x''∈''X''}에 대해 ''I''''X''⊂''R''일 때 ''R''은 반사 관계이다.

반사 관계의 예시는 다음과 같다.

  • "x와 y가 같다" (등호)
  • "x가 y보다 같거나 크다"
  • "x가 y보다 같거나 작다"
  • "X가 Y의 부분집합이다" (집합의 포함관계)
  • "x가 y를 나눈다" (약수 관계)[1]


비반사 관계의 예시는 다음과 같다.

  • "x와 y가 같지 않다"
  • "X가 Y의 진부분집합이다"
  • "x가 y보다 크다"
  • "x가 y보다 작다"[2]

4. 2. 비반사 관계


  • "x와 y가 같지 않다"[1]
  • "X가 Y의 진부분집합이다"[1]
  • "x가 y보다 크다"[1]
  • "x가 y보다 작다"[1]
  • 1보다 큰 정수에서 "x와 y가 서로소이다"[2]

4. 3. 반사적이지도 비반사적이지도 않은 관계

"x와 y의 곱이 짝수이다"라는 이진 관계는 짝수 집합에서는 반사적이고, 홀수 집합에서는 비반사적이며, 자연수 집합에서는 반사적이지도 비반사적이지도 않다.

5. 추가 정보

n개의 원소를 가진 집합에 대한 반사 관계의 수는 2^{n^2-n}이다.[3]

철학 논리에서는 수학적 의미의 반사 관계를 '전체 반사'(totally reflexive)라고 부르며, 준반사 관계를 '반사'(reflexive)라고 부른다.

참조

[1] 논문 C S Peirce 관련 Russell의 논문 1920
[2] 웹사이트 Encyclopedia Britannica https://www.britanni[...]
[3] 간행물 On-Line Encyclopedia of Integer Sequences A053763


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