본질적 특이점

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 예시
3. 성질
- 3.1. 다른 특성화
4. 본질적 특이점 근처에서의 함수의 행동
- 4.1. 카소라티-바이어슈트라스 정리
- 4.2. 피카르의 대정리
5. 리만 구와 무한대에서의 본질적 특이점
참조

1. 개요

본질적 특이점은 복소 평면의 열린 부분 집합에서 정의된 정칙 함수가 극점이나 제거 가능 특이점이 아닌 특이점을 말한다. 함수 f(z) = e^1/z는 z=0에서 본질적 특이점을 갖는 예시이다. 본질적 특이점은 로랑 급수의 음의 차수 항이 무한히 많고, 카소라티-바이어슈트라스 정리와 피카르 대정리에 의해 그 근방에서의 행동이 설명된다. 피카르 대정리에 따르면, 본질적 특이점의 모든 근방에서 함수는 많아야 한 점을 제외하고 모든 복소수 값을 무한히 많이 취한다. 리만 구에서 무한대는 본질적 특이점을 가질 수 있으며, 리만 제타 함수는 무한대에 본질적 특이점을 갖는 예시이다.

더 읽어볼만한 페이지

복소해석학 - 선적분
선적분은 스칼라장이나 벡터장의 곡선에 대한 적분으로, 함수의 종류와 곡선의 표현 방식에 따라 다양하게 정의되며, 물리학과 공학 등에서 활용된다.
복소해석학 - 테일러 급수
테일러 급수는 매끄러운 함수를 무한 멱급수로 나타내는 방법으로, 함수의 미분 계수를 사용하여 함수를 근사하며, a=0일 때의 테일러 급수를 매클로린 급수라고 한다.

본질적 특이점
정의
설명	복소평면에서 해석함수의 특이점의 한 종류이며, 그 окрестности에서 함수가 특별한 방식으로 "불량하게" 작동한다.
예시
함수	exp(1/z)
특이점	z = 0
설명
함수 w = exp(1/(6z))	z = 0에서 진성 특이점을 가진다.
성질
리만-카소라티 정리	함수 f가 z0에서 진성 특이점을 가지면, z0에 임의로 가까운 점 z가 존재하여 f(z)가 임의의 복소수 값에 임의로 가까워진다.
피카르 정리	함수 f가 z0에서 진성 특이점을 가지면, z0의 임의의 окрестности에서 f는 기껏해야 하나의 값을 제외한 모든 복소수 값을 취한다.

2. 정의

복소평면 '''C'''의 열린 부분 집합 ''U''가 있고, ''a''가 ''U''의 원소이며, $f\colon U \setminus \{a\} \to \mathbb{C}$ 가 정칙 함수일 때, 점 ''a''가 제거 가능한 특이점이나 극이 아니면 함수 ''f''의 '''본질적 특이점'''이라고 한다.^[1]

$a$ 가 복소수이고, $f(z)$ 가 $a$ 에서 정의되지 않지만 복소 평면의 어떤 영역 $U$ 에서 해석적이며, $a$ 의 모든 열린 근방이 $U$ 와 공통된 부분집합을 가진다고 가정할 때, 다음이 성립한다.

$\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 모두 존재하면, $a$ 는 $f$ 와 $\frac{1}{f}$ 둘 다의 제거 가능한 특이점이다.

$\lim_{z \to a}f(z)$ 는 존재하지만 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 존재하지 않으면(실제로 $\lim_{z\to a}|1/f(z)|=\infty$ ), $a$ 는 $f$ 의 영점이고 $\frac{1}{f}$ 의 극점이다.

$\lim_{z \to a}f(z)$ 가 존재하지 않지만(실제로 $\lim_{z\to a}|f(z)|=\infty$ ) $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 존재하면, $a$ 는 $f$ 의 극점이고 $\frac{1}{f}$ 의 영점이다.

$\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 둘 다 존재하지 않으면, $a$ 는 $f$ 와 $\frac{1}{f}$ 둘 다의 본질적 특이점이다.

본질적 특이점은

a

지점에서의

f

의 로랑 급수가 무한히 많은 음수 차수 항을 갖는다는 것(즉, 로랑 급수의 주요 부분은 무한 합)으로 특징지을 수 있다. 또는

f(z)(z-a)^n

의 어떤 도함수도

z

가

a

로 갈 때 극한으로 수렴하지 않는 점

a

가 있다면,

a

는

f

의 본질적 특이점이다.^[1]

정칙 함수가 본질적 특이점 근처에서 보이는 행동은 카소라티-바이어슈트라스 정리와 피카르의 대정리에 의해 설명된다. 피카르의 대정리에 따르면, 본질적 특이점

a

의 모든 근방에서 함수

f

는 모든 복소수 값을, 가능하면 하나를 제외하고, 무한히 많이 취한다.

2. 1. 예시

함수

f(z)=e^{1/z}

는

z=0

에서 본질적 특이점을 가진다.^[5]

3. 성질

$\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 의 극한값 존재 여부에 따라 특이점 ''a''의 성질이 결정된다.

$\lim_{z \to a}f(z)$	$\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$	a의 성질
존재	존재	f와 1/f의 제거 가능 특이점
존재	존재하지 않음	f의 근, 1/f의 극점
존재하지 않음	존재	f의 극점, 1/f의 근
존재하지 않음	존재하지 않음	f와 1/f 모두의 본질적 특이점

본질적 특이점 주변에서의 정칙함수의 움직임은 카소라티-바이어슈트라스 정리와 피카르의 정리에 의해 설명된다. 피카르의 정리는 본질적 특이점 ''a'' 주변에서 함수 ''f''는 하나를 제외하고 ''모든'' 복소수 값을 무한히 많이 가진다는 것을 말한다.^[5]

3. 1. 다른 특성화

복소평면 '''C'''의 열린 부분집합 ''U''를 생각하고, ''a''를 ''U''의 원소, ''f''를 ''f'' : ''U'' \ {''a''} → '''C'''인 정칙함수라고 할 때, 특이점 ''a''가 극점이나 제거 가능 특이점이 아니라면 ''f''의 본질적 특이점이라고 한다.

예를 들어 함수 ''f''(''z'') = ''e''^1/''z''는 ''z'' = 0에서 본질적 특이점을 가진다.

''a''를 복소수라고 하고, ''f''(''z'')가 ''a''에서 정의되지 않지만 복소 평면의 어떤 영역 ''U''에서 해석적이며, ''a''의 모든 열린 근방이 ''U''와 공통된 부분집합을 가진다고 가정할 때, 다음이 성립한다.

$\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 모두 존재한다면, ''a''는 ''f''와 $\frac{1}{f}$ 둘 다의 제거 가능 특이점이다.

$\lim_{z \to a}f(z)$ 는 존재하지만 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 는 존재하지 않는다면(실제로 $\lim_{z\to a}|1/f(z)|=\infty$ ), ''a''는 ''f''의 영점이고 $\frac{1}{f}$ 의 극점이다.

$\lim_{z \to a}f(z)$ 가 존재하지 않지만(실제로 $\lim_{z\to a}|f(z)|=\infty$ ) $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 존재한다면, ''a''는 ''f''의 극점이고 $\frac{1}{f}$ 의 영점이다.

$\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 둘 다 존재하지 않는다면, ''a''는 ''f''와 $\frac{1}{f}$ 둘 다의 본질적 특이점이다.

본질적 특이점을 특징짓는 또 다른 방법은, ''a'' 지점에서의 ''f''의 로랑 급수가 무한히 많은 음수 차수 항을 갖는다는 것이다(즉, 로랑 급수의 주요 부분은 무한 합이다). 관련 정의는

f(z)(z-a)^n

의 어떤 도함수도

z

가

a

로 갈 때 극한으로 수렴하지 않는 점

a

가 있다면,

a

는

f

의 본질적 특이점이라는 것이다.^[1]

정칙 함수가 본질적 특이점 근처에서 보이는 행동은 카소라티-바이어슈트라스 정리와 훨씬 더 강력한 피카르의 대정리에 의해 설명된다. 피카르의 대정리는 본질적 특이점 ''a''의 모든 근방에서 함수 ''f''가 모든 복소수 값을, 가능하면 하나를 제외하고, 무한히 많이 취한다고 말한다. (예외는 필수적이다. 예를 들어, 함수

\exp(1/z)

는 값 0을 취하지 않는다.)

4. 본질적 특이점 근처에서의 함수의 행동

복소평면 '''C'''의 열린 부분집합 ''U''와 ''U''의 원소 ''a''에 대해, ''f'' : ''U'' \ {''a''} → '''C'''인 정칙함수 ''f''를 생각해보자. 이때 특이점 ''a''가 극점이나 제거 가능 특이점이 아니라면, ''a''는 ''f''의 본질적 특이점이라고 한다.

예를 들어 함수 ''f''(''z'') = ''e''^1/''z''는 ''z'' = 0에서 본질적 특이점을 가진다.

$\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 의 존재 유무에 따라 ''a''는 ''f''와 1/''f''의 제거 가능 특이점, 근, 극점, 본질적 특이점이 될 수 있다.

$\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 모두 존재하면 ''a''는 ''f''와 1/''f''의 제거 가능 특이점이다.
$\lim_{z \to a}f(z)$ 는 존재하지만 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 존재하지 않으면 ''a''는 ''f''의 근이고 1/''f''의 극점이다.
$\lim_{z \to a}f(z)$ 가 존재하지 않지만 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 존재하면 ''a''는 ''f''의 극점이고 1/''f''의 근이다.
$\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 모두 존재하지 않으면 ''a''는 ''f''와 1/''f'' 모두의 본질적 특이점이다.

본질적 특이점은 ''a''에서 ''f''의 로랑 급수가 무한히 많은 음의 항을 가지는 것으로 특정화할 수 있다. 즉, 로랑 급수의 주요 부분은 무한 급수이다. 다른 정의로는,

f(z)(z-a)^n

에서

z

가

a

로 수렴할 때 극한값이 존재하지 않는다면

a

는

f(z)

의 본질적 특이점이다.^[5]

4. 1. 카소라티-바이어슈트라스 정리

본질적 특이점 주변에서의 정칙함수의 움직임은 카소라티-바이어슈트라스 정리와 피카르 대정리에 의해 기술된다.^[5] 피카르 대정리는, ''a''가 함수 ''f''의 본질적 특이점이면, ''a''의 모든 근방에서, 함수 ''f''는 많아야 1점을 제외하고 모든 복소수 값을 무한 번 취한다는 내용을 담고 있다.^[4]

4. 2. 피카르의 대정리

카소라티-바이어슈트라스 정리와 피카르의 정리는 정칙함수가 본질적 특이점 주변에서 보이는 움직임을 설명한다.^[5] 피카르 대정리에 따르면, 함수 ''f''의 본질적 특이점 ''a''의 모든 근방에서, ''f''는 많아야 1점을 제외하고 모든 복소수 값을 무한 번 취한다.

5. 리만 구와 무한대에서의 본질적 특이점

$a$ 를 복소수라고 하고, $f(z)$ 가 $a$ 에서 정의되지 않지만 복소 평면의 어떤 영역 $U$ 에서 해석적이며, $a$ 의 모든 열린 근방이 $U$ 와 공통된 부분집합을 가진다고 가정한다.

만약 $\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 둘 다 존재하지 않는다면, $a$ 는 $f$ 와 $\frac{1}{f}$ 둘 다의 '''본질적 특이점'''이다.^[1]

본질적 특이점을 특징짓는 또 다른 방법은, $a$ 지점에서의 $f$ 의 로랑 급수가 무한히 많은 음수 차수 항을 갖는다는 것이다(즉, 로랑 급수의 주요 부분은 무한 합이다). 관련 정의는 $f(z)(z-a)^n$ 의 어떤 도함수도 $z$ 가 $a$ 로 갈 때 극한으로 수렴하지 않는 점 $a$ 가 있다면, $a$ 는 $f$ 의 본질적 특이점이라는 것이다.^[1]

리만 구에서 무한대 점 $\infty_\mathbb{C}$ 를 갖는 경우, 함수 ${f(z)}$ 는 ${f(1/z)}$ 가 0에서 본질적 특이점을 갖는 경우에만, 즉 $\lim_{z \to 0}{f(1/z)}$ 와 $\lim_{z \to 0}\frac{1}{f(1/z)}$ 가 모두 존재하지 않는 경우에만, 그 지점에서 본질적 특이점을 갖는다.^[2] 리만 제타 함수는 리만 구에서 $\infty_\mathbb{C}$ 에 하나의 본질적 특이점만 갖는다.^[3] 실제로, 유리형 함수는 유리 함수가 아닌 경우 $\infty_\mathbb{C}$ 에 고유한 본질적 특이점을 갖는다.

정칙 함수가 본질적 특이점 근처에서 보이는 행동은 카소라티-바이어슈트라스 정리와 훨씬 더 강력한 피카르의 대정리에 의해 설명된다. 후자는 본질적 특이점 $a$ 의 모든 근방에서 함수 $f$ 가 ''모든'' 복소수 값을, 가능하면 하나를 제외하고, 무한히 많이 취한다고 말한다. (예외는 필수적이다. 예를 들어, 함수 $\exp(1/z)$ 는 값 0을 취하지 않는다.)

참조

_[1] 웹사이트 Essential Singularity http://mathworld.wol[...] Wolfram 2014-02-11
_[2] 웹사이트 Infinity as an Isolated Singularity https://people.math.[...] 2022-01-06
_[3] 논문 Value-Distribution of the Riemann Zeta-Function Along Its Julia Lines 2020-11-01
_[4] 웹사이트 Essential Singularity http://mathworld.wol[...] MathWorld, Wolfram 2014-08-05
_[5] 웹인용 Essential Singularity http://mathworld.wol[...] MathWorld, Wolfram 2014-02-11

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com