피카르의 정리

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1. 개요

피카르의 정리는 복소해석학의 중요한 정리로, '피카르의 소정리'와 '피카르의 대정리'로 나뉜다. 소정리는 상수 함수가 아닌 전해석 함수는 모든 복소 평면이거나, 한 점이 빠진 복소 평면을 상으로 갖는다는 것을, 대정리는 해석적 함수가 본질적 특이점을 가지는 경우, 그 특이점의 모든 천공된 근방에서 최대 하나의 예외를 제외하고 모든 복소값을 무한히 많이 취한다는 것을 의미한다. 소정리는 대정리의 따름 정리이며, 두 정리 모두 '단일 예외'가 존재할 수 있다. 피카르의 정리는 리우빌 정리와 카소라티-바이어슈트라스 정리를 강화한 것으로, 에밀 피카르의 이름을 따서 명명되었다. 메로모픽 함수에도 적용되는 대 피카르 정리와 관련 연구가 진행되고 있다.

피카르의 정리

수학적 정의

유형	정리
분야	복소해석학
이름	피카르의 정리

피카르 대정리

내용	임의의 해석 함수 f에 대해, 그 정의역에서 진성 특이점을 갖는 경우, 그 점의 임의의 근방에서 f는 (유한한) 값을 단 하나만 제외하고 모든 값을 무한히 많이 취한다.

피카르 소정리

내용	정수 함수가 상수 함수가 아니라면, 그 함수는 복소 평면 전체에서 값을 하나 이상 취한다.

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1. 개요
2. 피카르의 정리
- 2.1. 피카르의 대정리
  - 2.1.1. 메로모픽 함수에 대한 대정리
- 2.2. 피카르의 소정리
3. 증명
- 3.1. 피카르의 소정리 증명
- 3.2. 피카르의 대정리 증명
4. 예
5. 역사
6. 관련 연구

2. 피카르의 정리

피카르의 정리는 크게 '피카르의 대정리'와 '피카르의 소정리' 두 가지로 나뉜다.

리만 곡면 $\Sigma$ 및 점 $z_0\in\Sigma$ 가 주어졌다고 하고, 정칙 함수
: $f\colon\Sigma\setminus\{z_0\}\to\widehat{\mathbb C}$
가 $z_0$ 에서 본질적 특이점을 갖는다고 하자. 피카르의 대정리에 따르면, 다음 성질을 만족시키는 두 점 $w_1,w_2\in\widehat{\mathbb C}$ 이 존재한다.
* 임의의 근방 $U\ni z_0$ 및 임의의 $w\in\widehat{\mathbb C}\setminus\{w_1,w_2\}$ 에 대하여, $w=f(z_1)=f(z_2)=f(z_3)=\cdots$ 인 $z_1,z_2,z_3,\dots\in U$ 가 존재한다.

피카르의 소정리에 따르면, 만약 $f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ 가 정칙 함수라면, 다음 세 명제 가운데 하나가 성립한다.
* $f(\mathbb C)=\mathbb C$
* $\exists w_0\in\mathbb C\colon f(\mathbb C)=\mathbb C\setminus\{w_0\}$
* $\exists w_0\in\mathbb C\colon f(\mathbb C)=\{w_0\}$
이는 리우빌 정리를 강화한 것이다.

피카르의 소정리는 피카르의 대정리의 따름정리이다. $\Sigma=\widehat{\mathbb C}$ 이며 $z_0=\widehat\infty$ 라고 하고, 함수 $f\colon\widehat{\mathbb C}\setminus\{\widehat\infty\}\to\mathbb C$ 가 무한대에서 어떤 성질을 갖는지에 따라 다음과 같이 세 가지 경우로 분류할 수 있다.
* 만약 $f$ 가 무한대에서 정칙 함수라면, 리우빌 정리에 따라 $f$ 는 상수 함수이다.
* 만약 $f$ 가 무한대에서 극점을 갖는다면, $f$ 는 다항식이다. 이 경우 대수학의 기본정리에 따라 $f(\mathbb C)=\mathbb C$ 이다.
* 만약 $f$ 가 무한대에서 본질적 특이점을 갖는다면, 피카르의 대정리에 따라 $f(\mathbb C)=\widehat{\mathbb C}\setminus\{w_1,w_2\}$ 의 꼴이며, $f(\mathbb C)\subset\mathbb C$ 이므로 $w_2=\widehat\infty$ 로 놓을 수 있다.

2.1. 피카르의 대정리

피카르의 대정리는 복소해석학의 정리로, 고립된 본질적 특이점 근방에서 함수가 취하는 값에 대한 정보를 제공한다. 이 정리에 따르면, 정칙 함수 $f$ 가 점 $w$ 에서 본질적 특이점을 가지면, $w$ 의 모든 천공된 근방(punctured neighborhood)에서 $f(z)$ 는 최대 하나의 예외를 제외하고 모든 가능한 복소수 값을 무한히 많이 취한다.

이는 $f$ 의 범위가 복소 평면에서 조밀함을 보장하는 카소라티-바이어슈트라스 정리를 상당히 강화한 것이다.

--

예를 들어, 함수 $f(z) = e^{\frac{1}{z}}$ 는 $z = 0$ 에서 본질적 특이점을 갖지만, 0은 값으로 취하지 않는다.

피카르의 대정리는 메로모픽 함수에도 적용되는 더 일반적인 형태로 확장될 수 있다.

2.1.1. 메로모픽 함수에 대한 대정리

메로모픽 함수에 대한 대 피카르 정리는 다음과 같다.

> 대 피카르 정리 (메로모픽 버전): M이 리만 곡면이고, w가 M 위의 점이며, P¹(C) = C ∪ {∞}가 리만 구를 나타내고, f : M\{w} → P¹(C)가 w에서 본질적 특이점을 갖는 정칙 함수라면, w를 포함하는 M의 모든 열린 부분 집합에서 함수 f(z)는 P¹(C)의 모든 점(최대 두 개의 점 제외)을 무한히 많이 갖는다.

예시: 함수 f(z) = 1/(1 − e^1/z)는 z = 0에서 본질적 특이점을 가지는 메로모픽 함수이다. 이 함수는 원점이 삭제된 복소 평면(C* = C - {0})에서 정의되며, 0의 모든 근방에서 값 ∞를 무한히 많이 갖는다. 하지만 0 또는 1의 값은 갖지 않는다.

이 일반화를 통해, 정함수는 다항식이거나 무한대에서 본질적 특이점을 갖기 때문에 소 피카르 정리는 대 피카르 정리에서 도출된다. 소 피카르 정리와 마찬가지로, (최대 두 개의) 갖지 않는 점들은 함수의 공백 값이다.

2.2. 피카르의 소정리

정칙 함수 $f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ 에 대하여, 다음 세 명제 가운데 하나가 성립한다. 즉, 상수 함수가 아닌 전해석 함수는 모든 복소 평면이거나, 한 점이 빠진 복소 평면을 상으로 갖는다. 피카르의 소정리는 리우빌 정리를 강화한 것이다. 피카르의 소정리는 피카르의 대정리에서 도출된다.

* $f(\mathbb C)=\mathbb C$
* $\exists w_0\in\mathbb C\colon f(\mathbb C)=\mathbb C\setminus\{w_0\}$
* $\exists w_0\in\mathbb C\colon f(\mathbb C)=\{w_0\}$

만약 함수 $f: \mathbb{C} \to\mathbb{C}$ 가 전해석적이고 상수 함수가 아니라면, $f(z)$ 가 취하는 값들의 집합은 전체 복소 평면이거나 평면에서 단일 점을 뺀 것이다.

이 정리는 전체 상수 함수가 아닌 함수의 이미지가 무계여야 함을 명시하는 리우빌 정리를 상당히 강화한 것이다. $f$ 의 값이 단일 점을 누락하는 경우, 이 점은 함수의 공백 값이라고 한다.

"단일 예외"는 정리에 필요하며, e^z는 0이 아닌 전체 상수 함수라는 예시로 설명된다.

피카르의 소정리는 대정리의 따름 정리이며, 상수 이외의 전해석 함수의 치역이 기껏해야 유일한 점을 제외한 복소 평면 전체로 확장됨을 주장한다. 다시 말해, 복소 평면에서 두 점 이상을 결여하는 치역을 갖는 전해석 함수는 상수로 제한됨을 주장한다. 피카르의 정리는 카조라티-바이어슈트라스 정리나 리우빌 정리를 강화한 것이다.

3. 증명

피카르의 소정리와 대정리는 다양한 방법으로 증명될 수 있다.

피카르의 대정리 증명 (귀류법)

함수 f가 점 w 주변 반지름 r의 천공 원판에서 해석적이고, f가 두 값 z₀과 z₁을 생략한다고 가정한다. 일반성을 잃지 않고 z₀ = 0, z₁ = 1, w = 0, 그리고 r = 1이라고 가정할 수 있다.

함수 F(z) = f(e^−z)는 오른쪽 반평면 Re(z) > 0에서 해석적이다. 오른쪽 반평면이 단일 연결되어 있기 때문에, 피카르의 소정리 증명과 유사하게, 오른쪽 반평면에서 정의된 해석 함수 G와 H가 존재하여 F(z) = e^2πiG(z)이고 G(z) = cos(H(z))이다. 란다우의 정리와 소 피카르 정리 증명에서 H의 범위에 대한 관찰에 의해, |H′(w)| ≤ C / Re(w)를 만족하는 상수 C > 0이 존재한다. 따라서 모든 실수 x ≥ 2 및 0 ≤ y ≤ 2π에 대해,
::: $|H(x+iy)|=\left|H(2+iy)+\int_2^xH'(t+iy)\,\mathrm{d}t\right|\le|H(2+iy)|+\int_2^x\frac{C}{t}\,\mathrm{d}t\le A\log x,$
여기서 A > 0은 상수이다. 따라서 |G(x + iy)| ≤ x^A이다.

다음으로, 오른쪽 반평면에서 F(z + 2πi) = F(z)임을 관찰하면, 이는 G(z + 2πi) − G(z)가 항상 정수임을 의미한다. G가 연속적이고 그 영역이 연결 공간이므로, 차이 G(z + 2πi) − G(z) = k는 상수이다. 즉, 함수 G(z) − kz / (2πi)는 주기 2πi를 가진다. 따라서 0 주변 반지름 e⁻²의 천공 원판에서 정의된 해석 함수 g가 존재하여 G(z) − kz / (2πi) = g(e^−z)이다.

위에 있는 G에 대한 경계를 사용하여, 모든 실수 x ≥ 2 및 0 ≤ y ≤ 2π에 대해,
:: $\left|G(x+iy)-\frac{k(x+iy)}{2\pi i}\right|\le x^A+\frac$

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{2\pi}(x+2\pi)\le C'x^{A'}
가 성립하며, 여기서 A′ > A이고 C′ > 0은 상수이다. 주기성 때문에, 이 경계는 실제로 모든 y에 대해 성립한다. 따라서 0 < |z| < e⁻²에 대해 |g(z)| ≤ C′(−log|z|)^A′의 경계를 갖는다. 리만의 제거 가능한 특이점에 대한 정리에 의해, g는 0 주변 반지름 e⁻²의 열린 원판에서 해석 함수로 확장된다.

따라서 G(z) − kz / (2πi)는 Re(z) ≥ 3인 반평면에서 유계이다. 따라서 F(z)e^−kz는 Re(z) ≥ 3인 반평면에서 유계이며, f(z)z^k는 0 주변 반지름 e⁻³의 천공 원판에서 유계이다. 리만의 제거 가능한 특이점에 대한 정리에 의해, f(z)z^k는 0 주변 반지름 e⁻³의 열린 원판에서 해석 함수로 확장된다. 그러므로 f는 0에서 본질적 특이점을 갖지 않는다.

그러므로 함수 f가 0에서 본질적 특이점을 갖는다면, 0 주변의 열린 원판에서 f의 범위는 최대 하나의 값을 생략한다. f가 어떤 값을 유한 번만 취한다면, 0 주변의 충분히 작은 열린 원판에서 f는 그 값을 생략한다. 따라서 f(z)는 최대 하나의 값을 제외하고, 가능한 모든 복소수 값을 무한히 많이 취한다.

최댓값 원리와 루셰 정리 등을 이용한 증명도 가능하다.

다른 증명은 귀류법을 사용한다.

|z-z_0|<\delta

에서

f(z)\neq\{a,b\}

이면

|z|<1

에서

:

F(z)=\frac{f\left(\tfrac{z-z_0}{\delta}\right)-a}{b-a}\neq\{0,1\}

이다.

M=\sup_

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{2}v+u_1\right)-H\left(u_1\right)\right)

로 둔다.

J(v)

는

|v|<1

에서 정칙이며,

J(v)-w

가 근을 갖지 않는

|w|<\frac{4}{(1-|t|)G'(t)}

가 존재한다.

이를 미분하면

:

J'(v)=(1-|u_1|)H'\left(\frac{1-|u_1|}{2}v+u_1\right)

가 된다.

|J'(0)|=|H_1(u_1)|=1

이다.

|J'(v)|

의 최댓값은, 최댓값 원리에 의해

:

\sup_

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\le2

이다.

\left|J'(v)-1\right|\le3

이므로, 슈바르츠 보조정리에 의해

|J'(v)-1|\le{3v}

이며, 적분하면

:

|J(v)-v|\le{\frac{3}{2}|v|^2}

가 된다. 임의의

|w|<\tfrac{1}{7}

에 대해

:

\begin{align}&J_1(v)=J(v)-w\\&J_2(v)=v-w\\\end{align}

로 두면

|v|=\tfrac{1}{3}

위에서

|J_1(v)-J_2(v)|=|J(v)-v|\le\tfrac{1}{6}<|J_2(v)|

이므로, 루셰 정리에 의해

J_1(v)

와

J_2(v)

는

|v|<\tfrac{1}{3}

안에 같은 수의 근을 가지지만,

J_2(v)

가 근을 가지므로

J_1(v)

도 근을 가져야 한다. 이를 위해서는

:

\left|\frac{4}{(1-|t|)G'(t)}\right|\ge\frac{1}{7}

이어야 한다.

|t|<\tfrac{1}{57}

이라고 하면

|G'(t)|\le\tfrac{57}{2}

가 되고,

|F_1(0)|=|F(z_2)|<\tfrac{1}{2}

에 의해

|G(0)|<\tfrac{1}{2}

이므로

:

|G(t)|\le|G(0)|+\left[\frac{57}{2}t\right]_{0}^{\frac{1}{57}}<1

|F_1(t)|=\left|e^{2{\pi}\sinh^2{G(t)}}\right|<{e^{2{\pi}e^2}}

가 되어

:

\sup_

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|F(z)|\le\sup_{|x|\le\tfrac{1}{59}}|F_1(x)|

가 되지만

:

z_1\in\{z\in\mathbb{C}:\;|z_2|<|z|

이고

:

\sup_{|z|=e^{-60\pi}}|F(z)|=M<|F(z_1)|

이므로, 최댓값 원리에 의해

:

\sup_

👆

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|F(z)|\ge

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>e^{15\pi}

이어야 한다. 따라서 역의 가정은 모순을 내포한다.

3.1. 피카르의 소정리 증명

$f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ 가 두 개의 값 $z_0$ 와 $z_1$ 을 생략하는 전해석 함수라고 가정하면, 일반성을 잃지 않고 $z_0=0$ 과 $z_1=1$ 이라고 가정할 수 있다.

$\mathbb{C}$ 가 단일 연결되어 있고 $f$ 의 범위가 $0$ 을 생략하므로, f는 해석적 로그를 갖는다. $f(z)=e^{2\pi ig(z)}$ 가 되도록 하는 전해석 함수 $g$ 를 생각해보자. 그러면 $g$ 의 범위는 모든 정수를 생략한다. 근의 공식을 사용하여, $g(z)=\cos(h(z))$ 가 되도록 하는 전해석 함수 $h$ 가 존재한다. 그러면 $h$ 의 범위는 $2\pi n \pm i \cosh^{-1}(m)$ 형태의 모든 복소수를 생략하는데, 여기서 $n$ 은 정수이고 $m$ 은 음이 아닌 정수이다.

란다우의 정리에 따르면, $h'(w) \ne 0$ 이면 모든 ${R > 0}$ 에 대해 $h$ 의 범위는 반지름이 $|h'(w)| R/72$ 인 원반을 포함한다. 그러나 위에서 보았듯이, 충분히 큰 원반은 h의 범위가 생략하는 숫자를 적어도 하나 이상 포함한다. 따라서 모든 $w$ 에 대해 $h'(w)=0$ 이다. 미적분학의 기본 정리에 의해, $h$ 는 상수이므로 $f$ 는 상수이다.

3.2. 피카르의 대정리 증명

귀류법을 사용하여 증명한다. 함수 f가 점 w 주변 반지름 r의 천공 원판에서 해석적이고, f가 두 값 z₀과 z₁을 생략한다고 가정한다. 일반성을 잃지 않고 z₀ = 0, z₁ = 1, w = 0, 그리고 r = 1이라고 가정할 수 있다.

함수 F(z) = f(e^−z)는 오른쪽 반평면 Re(z) > 0에서 해석적이다. 오른쪽 반평면이 단일 연결되어 있기 때문에, 소 피카르 정리의 증명과 유사하게, 오른쪽 반평면에서 정의된 해석 함수 G와 H가 존재하여 F(z) = e^2πiG(z)이고 G(z) = cos(H(z))이다. 란다우의 정리와 소 피카르 정리 증명에서 H의 범위에 대한 관찰에 의해, |H′(w)| ≤ C / Re(w)를 만족하는 상수 C > 0이 존재한다. 따라서 모든 실수 x ≥ 2 및 0 ≤ y ≤ 2π에 대해,
::: $|H(x+iy)|=\left|H(2+iy)+\int_2^xH'(t+iy)\,\mathrm{d}t\right|\le|H(2+iy)|+\int_2^x\frac{C}{t}\,\mathrm{d}t\le A\log x,$
여기서 A > 0은 상수이다. 따라서 |G(x + iy)| ≤ x^A이다.

다음으로, 오른쪽 반평면에서 F(z + 2πi) = F(z)임을 관찰하면, 이는 G(z + 2πi) − G(z)가 항상 정수임을 의미한다. G가 연속적이고 그 영역이 연결 공간이므로, 차이 G(z + 2πi) − G(z) = k는 상수이다. 즉, 함수 G(z) − kz / (2πi)는 주기 2πi를 가진다. 따라서 0 주변 반지름 e⁻²의 천공 원판에서 정의된 해석 함수 g가 존재하여 G(z) − kz / (2πi) = g(e^−z)이다.

위에 있는 G에 대한 경계를 사용하여, 모든 실수 x ≥ 2 및 0 ≤ y ≤ 2π에 대해,
:: $\left|G(x+iy)-\frac{k(x+iy)}{2\pi i}\right|\le x^A+\frac$

👆

좌우로 밀어서 보기

{2\pi}(x+2\pi)\le C'x^{A'}
가 성립하며, 여기서 A′ > A이고 C′ > 0은 상수이다. 주기성 때문에, 이 경계는 실제로 모든 y에 대해 성립한다. 따라서 0 < |z| < e⁻²에 대해 |g(z)| ≤ C′(−log|z|)^A′의 경계를 갖는다. 리만의 제거 가능한 특이점에 대한 정리에 의해, g는 0 주변 반지름 e⁻²의 열린 원판에서 해석 함수로 확장된다.

따라서 G(z) − kz / (2πi)는 Re(z) ≥ 3인 반평면에서 유계이다. 따라서 F(z)e^−kz는 Re(z) ≥ 3인 반평면에서 유계이며, f(z)z^k는 0 주변 반지름 e⁻³의 천공 원판에서 유계이다. 리만의 제거 가능한 특이점에 대한 정리에 의해, f(z)z^k는 0 주변 반지름 e⁻³의 열린 원판에서 해석 함수로 확장된다. 그러므로 f는 0에서 본질적 특이점을 갖지 않는다.

그러므로 함수 f가 0에서 본질적 특이점을 갖는다면, 0 주변의 열린 원판에서 f의 범위는 최대 하나의 값을 생략한다. f가 어떤 값을 유한 번만 취한다면, 0 주변의 충분히 작은 열린 원판에서 f는 그 값을 생략한다. 따라서 f(z)는 최대 하나의 값을 제외하고, 가능한 모든 복소수 값을 무한히 많이 취한다.

최댓값 원리와 루셰 정리 등을 이용하여 모순을 이끌어내는 증명도 가능하다.

4. 예

--

함수 $z\mapsto\exp(1/z)$ 는 $z=0$ 에서 본질적 특이점을 갖는다. 피카르의 대정리에 따르면, 이 함수는 0과 $\widehat\infty$ 를 제외한 모든 값을 특이점 근방에서 무한히 많이 취한다.

위 예시에 뫼비우스 변환을 적용하면, $\{w_1,w_2\}$ 가 임의의 값을 갖는 다른 예시를 구성할 수 있다.

메로모픽 함수 f(z) = 1/(1 − e^1/z)는 C* = C - {0}에서 정의되며, z = 0에서 본질적 특이점을 갖는다. 이 함수는 0의 모든 근방에서 ∞ 값을 무한히 많이 갖지만, 0 또는 1은 취하지 않는다.

진성 특이점을 갖는 함수의 또 다른 예로 $f(z)=e^\left(\frac{1}{z}\right)$ 를 들 수 있다. 임의의 $v\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 에 대해, $z=\frac{1}{\log\left(v\right)+2{\pi}in},\quad{n\ge\frac{1}{2\pi\delta}+1}$ 라고 하면 $\left|z\right|<\delta$ 에서 $f(z)=v$ 가 된다. 피카르의 대정리는 진성 특이점을 갖는 다른 함수도 이와 유사하게 행동한다고 주장한다.

5. 역사

에밀 피카르의 이름을 땄다. 피카르의 원래 증명은 모듈러 람다 함수(일반적으로 $\lambda$ 로 표시)의 성질에 기초했는데, 현대 용어를 사용하면 단위 원반에 의해 두 번 천공된 평면의 정칙 보편 피복을 수행한다. 이후 쇼트키 정리 등 피카르 정리의 정량적인 버전을 포함한 다양한 증명이 발견되었다.

6. 관련 연구

단위 원판 D \ {0}에 구멍이 뚫린 C의 열린 연결 부분 집합 {U₁, ..., U_n}이 있고, 각 U_j에 df_j = df_k가 각 교차점 U_j ∩ U_k에서 성립하도록 주입 함수인 정칙 함수 f_j가 있다고 가정할 때, 이 미분들은 D에서 메로모픽 함수 1-미분 형식으로 합쳐진다는 추측이 "대 피카르 정리"와 관련이 있다.

이 미분들은 D \ {0}에서 정칙 1-형식 g dz로 합쳐지는 것이 명백하며, 0에서의 g''의 잉여(복소 해석)가 0인 특수한 경우, 이 추측은 "대 피카르 정리"에서 도출된다.

유형	정리
분야	복소해석학
이름	피카르의 정리

피카르 대정리

내용	임의의 해석 함수 f에 대해, 그 정의역에서 진성 특이점을 갖는 경우, 그 점의 임의의 근방에서 f는 (유한한) 값을 단 하나만 제외하고 모든 값을 무한히 많이 취한다.

피카르 소정리

내용	정수 함수가 상수 함수가 아니라면, 그 함수는 복소 평면 전체에서 값을 하나 이상 취한다.