부정정

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1. 개요
2. 정정 (Statically determinate)
- 2.1. 정정 구조물의 판별
3. 부정정 (Statically indeterminate)
4. 정적 과잉 (Statical Overdeterminacy)
5. 구속도 (일본어판 번역/요약)
6. 불안정 구조
참조

1. 개요

부정정은 구조 역학에서 평형 방정식만으로는 모든 반력과 부재력을 결정할 수 없는 구조를 의미한다. 이는 정정 구조와 대비되는 개념으로, 정정 구조는 평형 방정식으로 해를 구할 수 있다. 부정정 구조는 변형 적합 조건 등 추가적인 정보를 고려해야 해석이 가능하며, 부정정 차수는 미지수의 개수와 독립적인 평형 방정식의 개수의 차이로 정의된다. 부정정 구조는 외부 부정정과 내부 부정정으로 구분되며, 외부 부정정은 미지 반력의 수가 평형 방정식의 수보다 많아 변형의 적합 조건을 추가해야 하는 경우를, 내부 부정정은 트러스 구조에서 지점 반력은 구할 수 있지만 힘의 평형만으로는 부재력을 구할 수 없는 경우를 말한다. 부정정 구조는 단면 치수를 작게 할 수 있고, 변형 능력이 크며, 구조 안정성이 높다는 특징을 가진다. 반면, 지점 침하나 온도 변화에 민감하여 설계 시 주의가 필요하다.

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부정정
개요
정의	구조물의 정적 평형 방정식만으로는 부재력이나 반력을 결정할 수 없는 상태
특징	외부 하중에 대한 추가적인 저항력을 가짐 변형에 민감하게 반응 잔류 응력이 존재할 수 있음
영어
영어 명칭	Statically indeterminate
일본어
일본어 명칭	不静定構造 (후세이테이 코우조우)
한국어
한국어 명칭	부정정 구조
한자 표기	不靜定構造
설명
정정 구조와의 비교	정정 구조는 정역학적 평형 조건만으로 해석 가능
부정정 차수	구조물의 부정정 정도를 나타내는 지표
해석 방법
고전적인 방법	힘법 (Force Method) 변위법 (Displacement Method)
현대적인 방법	직접 강성도법 (Direct Stiffness Method) 유한 요소법 (Finite Element Method)
예시
연속보	둘 이상의 지지점을 가진 보
고정단 보	양쪽 끝단이 고정된 보
라멘 구조	기둥과 보가 강절로 연결된 구조
트러스 구조	일부 절점이 강절로 연결된 트러스

2. 정정 (Statically determinate)

뉴턴 운동 법칙에 따르면, 2차원 물체에 대해 사용 가능한 평형 방정식은 다음과 같다.^[2]

Σ'''F''' = 0 : 물체에 작용하는 힘의 벡터 합은 0과 같다.
* Σ'''H''' = 0 : 힘의 수평 성분 합은 0과 같다.
* Σ'''V''' = 0 : 힘의 수직 성분 합은 0과 같다.
Σ'''M''' = 0 : 모든 힘의 (임의의 점에 대한) 모멘트 합은 0과 같다.

주어진 구조물이 정정인지 부정정인지를 판별하는 것은 구조 해석의 첫 단계이다. 평형 방정식들을 이용하여 미지 반력의 수를 구하고, 그 수가 평형 방정식의 수와 같으면 정정 구조물이다. 오른쪽 보 구조에서 네 개의 미지 반력은 V_A, V_B, V_C, H_A이다. 평형 방정식은 다음과 같다.^[2]

Σ'''V''' = 0 : V_A - F_v + V_B + V_C = 0
Σ'''H''' = 0 : H_A = 0
Σ'''M'''_A = 0 : F_v · a - V_B · (a + b) - V_C · (a + b + c) = 0

네 개의 미지 힘(변수)이 있지만 평형 방정식이 세 개뿐이므로, 이 연립 방정식 시스템은 고유한 해를 갖지 않는다. 따라서 구조는 ''부정정''으로 분류된다. 부정정 시스템을 해결하려면 재료 특성과 변형 호환성을 고려한다.

지점 ''B''나 ''C''를 제거할 경우, 미지반력 ''V_B'' 또는 ''V_C''가 제거됨으로써, 평형방정식만으로 구조물을 해석할 수 있게 되어 '''정정''' 구조가 된다. 그러나 지점 ''A''를 롤러(roller)단으로 바꾸거나 제거할 경우, 구조물은 '''불안정'''이 된다.

만약 B 지지점을 제거하면, 반력 V_B는 발생할 수 없으며, 시스템은 '''정정'''(또는 '''등정'''이라고도 함)이 된다.^[3] 여기서 시스템은 ''완전 구속''된다는 점에 유의해야 한다.

이 시스템은 정확한 구속 기구적 결합이 된다.

문제의 해는 다음과 같다.^[2]

:H_A = F_h

:V_C = F_v · a / (a + b + c)

:V_A = F_v - V_C

만약, 추가적으로 A 지지점을 롤러 지지로 변경하면, 반력의 수는 3개로 줄어들지만(H_A 제외), 보가 수평으로 움직일 수 있게 된다; 시스템은 ''불안정'' 또는 ''부분 구속''이 되며, 이는 구조라기보다는 메커니즘이 된다. 평형 상태의 시스템이 섭동되어 불안정해지는 상황과 이를 구별하기 위해, 여기서는 ''부분 구속''이라는 표현을 사용하는 것이 더 적절하다. 이 경우, 두 개의 미지수 V_A와 V_C는 수직력 방정식과 모멘트 방정식을 동시에 풀어서 결정할 수 있다. 해는 이전에 얻은 것과 동일한 결과를 제공한다. 그러나 F_h = 0 이 아닌 한 수평력 방정식을 만족시키는 것은 불가능하다.^[2]

2. 1. 정정 구조물의 판별

뉴턴 운동 법칙에 따르면, 2차원 물체에 대해 사용 가능한 평형 방정식은 다음과 같다.^[2]

Σ'''F''' = 0 : 물체에 작용하는 힘의 벡터 합은 0과 같다.
* Σ'''H''' = 0 : 힘의 수평 성분 합은 0과 같다.
* Σ'''V''' = 0 : 힘의 수직 성분 합은 0과 같다.
Σ'''M''' = 0 : 모든 힘의 (임의의 점에 대한) 모멘트 합은 0과 같다.

주어진 구조물이 정정인지 부정정인지를 판별하는 것은 구조 해석의 첫 단계이다. 평형 방정식들을 이용하여 미지 반력의 수를 구하고, 그 수가 평형 방정식의 수와 같으면 정정 구조물이다. 오른쪽 보 구조에서 네 개의 미지 반력은 V_A, V_B, V_C, H_A이다. 평형 방정식은 다음과 같다.^[2]

Σ'''V''' = 0 : V_A - F_v + V_B + V_C = 0
Σ'''H''' = 0 : H_A = 0
Σ'''M'''_A = 0 : F_v · a - V_B · (a + b) - V_C · (a + b + c) = 0

네 개의 미지 힘(변수)이 있지만 평형 방정식이 세 개뿐이므로, 이 연립 방정식 시스템은 고유한 해를 갖지 않는다. 따라서 구조는 ''부정정''으로 분류된다. 부정정 시스템을 해결하려면 재료 특성과 변형 호환성을 고려한다.

3. 부정정 (Statically indeterminate)

부정정 구조는 평형 방정식만으로는 반력이나 부재력을 결정할 수 없는 구조이다. 변형 적합 조건 등 추가적인 방정식을 함께 고려해야 해석이 가능하다. 부정정 차수는 미지수(반력 및 부재력)의 개수와 독립적인 평형 방정식 개수의 차이로 정의된다.

정정 구조물은 외부 하중과 평형을 이루는 내부 작용이 유일하게 결정되는 구조물로, 자중 응력 상태가 없다. 즉, 외부 하중이 0일 때 평형을 이루는 내부 힘이 존재할 수 없다. 그러나 부정정 구조는 평형 방정식의 동차 연립 방정식에 대한 자명하지 않은(0이 아닌) 해가 존재하며, 이는 기계적 또는 열적 작용에 의해 유발될 수 있는 자중 응력(외부 하중이 없을 때의 응력)의 가능성을 나타낸다.

수학적으로, 강성 행렬이 전체 계수를 가져야 한다.

부정정 구조물은 재료의 특성 및 처짐과 같은 추가 정보를 포함시켜야만 분석할 수 있다. 수치적으로는 행렬 구조 분석, 유한 요소법(FEM) 또는 모멘트 분배법(하디 크로스)을 사용하여 이를 수행할 수 있다.

실질적으로, 구조물은 안정성에 절대적으로 필요한 것보다 더 많은 기계적 구속 조건 (예: 벽, 기둥 또는 볼트)을 포함할 때 '정적으로 과도 결정'이라고 한다.

3. 1. 부정정 차수 계산

계의 부정정 차수는 ''M - N''으로 정의된다.^[4] 여기서 M은 미지부재력 및 반력의 개수이고, N은 서로 독립인 평형방정식의 개수이다.

M은 다음과 같이 계산한다.

:M = r + 1m₁ + 2m₂ + 3m₃

::r: 지점 반력 수

::m₁: 양단 회전 절점 부재의 수

::m₂: 일단 고정, 타단 회전 절점 부재의 수

::m₃: 양단 고정 절점인 부재의 수

N은 다음과 같이 계산한다.^[4]

:N = 2P₂ + 3P₃

::P₂: 회전 절점수^[5]

::P₃: 고정 절점수

트러스 구조의 경우, 부정정 차수는 다음과 같이 간편하게 계산할 수 있다.^[6]

:부정정 차수 = r + m - 2P

::r: 반력 수

::m: 부재 수

::P: 절점 수

구조물의 정정 또는 부정정 여부는 외적정정(지점반력과 관련) 뿐만 아니라 내적정정여부도 관련된다. 지점반력을 평형방정식을 통해 구할 수 있더라도 내력을 구할 수 없는 경우나, 내력을 평형방정식으로 구할 수 있더라도 지점반력을 구할 수 없는 경우도 있다.

3. 2. 외부 부정정과 내부 부정정

미지 반력의 수가 평형 방정식의 수보다 많아 변형의 적합 조건을 추가해야 하는 경우를 외부 부정정이라고 한다. 내부 부정정은 주로 트러스 구조에서 볼 수 있으며, 지점 반력은 구할 수 있지만(외부적으로 정정), 힘의 평형만으로는 부재력을 구할 수 없는 경우를 말한다.

3. 3. 부정정 구조물의 특성 (일본어판 번역/요약)

부정정 구조물은 부재 단면 치수를 작게 할 수 있어 경제적이다. 예를 들어 연속보는 단순보를 이은 구조에 비해 등분포 하중에 의한 굽힘 모멘트의 최대값을 줄일 수 있다. 여유 내력을 기대할 수 있으며, 변형 능력도 크다. 가령 정정 트러스 구조는 구성 부재 중 하나라도 파손되면 불안정해지지만, 부정정 트러스 구조는 구조 안정성이 유지된다.

차량 주행성이 우수한데, 교량의 경우 연속보는 중간 지점 위에서 거더가 연속적으로 변형하여 부드러운 주행을 제공하고 교량에 가해지는 충격을 줄여준다. 지점 침하나 온도 변화 발생 시 변형이 구속되어 새로운 반력이나 부재력이 발생하므로 설계 시 주의해야 한다.

4. 정적 과잉 (Statical Overdeterminacy)

구조물이 안정성에 필요한 것보다 더 많은 기계적 구속 조건(벽, 기둥, 볼트 등)을 포함하는 경우를 '정적으로 과도 결정'이라고 한다.^[4]

계의 부정정 차수는 ''M'' - ''N''으로 정의된다.^[4]

''M'' = r + 1m₁ + 2m₂ + 3m₃
r: 지점 반력 수
m₁: 양단 회전 절점 부재의 수
m₂: 일단 고정, 타단 회전 절점 부재의 수
m₃: 양단 고정 절점인 부재의 수
''N'' = 2P₂ + 3P₃
P₂: 회전 절점수^[5]
P₃: 고정 절점수

정정 구조물은 외부 하중과 평형을 이루는 내부 작용이 유일하게 결정되며, 자중 응력 상태가 없다. 반면, 부정정 구조는 동차 연립 방정식에 대한 자명하지 않은 해가 존재하여 자중 응력이 발생할 수 있다.^[4] 이는 기계적 또는 열적 작용에 의해 유발될 수 있다.

부정정 구조물은 강성 행렬이 전체 계수를 가져야 하며, 재료의 특성 및 처짐과 같은 추가 정보를 포함시켜야만 분석할 수 있다. 수치적으로는 행렬 구조 분석, 유한 요소법, 모멘트 분배법(하디 크로스)을 사용하여 분석한다.^[4]

구속도가 3 이상일 때 미지 반력의 수가 평형식의 수보다 많아지므로 변형의 적합 조건을 추가해야 한다. 이러한 구조를 외부 부정정이라고 하며, 내부 부정정은 트러스 구조에서 나타나는 형식으로, 구속도가 3이라 지점 반력은 구할 수 있지만, 힘의 평형만으로는 부재력을 구할 수 없는 경우를 말한다.^[4]

5. 구속도 (일본어판 번역/요약)

평면 내에 있는 물체의 운동은 수평 방향과 수직 방향으로의 평행 운동, 그리고 회전 운동의 세 가지로 나눌 수 있다. 이를 자유도가 3이라고 한다. 즉, 평면 내의 운동에는 세 개의 운동 성분이 있으며, 외력이 작용하는 장에서 물체를 정지시키려면 3성분의 운동을 모두 구속해야 한다. 자유도 1에 대해, 운동의 1성분을 구속할 때를 구속도 1이라고 부른다.

6. 불안정 구조

참조

_[1] 서적 Hyperstatic structures: an introduction to the theory of statically indeterminate structures Butterworths 1971
_[2] 서적 Structural and stress analysis Elsevier
_[3] 서적 Structural mechanics: a unified approach E & FN Spon 1997
_[4] 서적 토목기사 과년도 시리즈 - 응용역학 성안당 2015
_[5] 서적 토목기사 과년도 시리즈 - 응용역학 성안당 2015
_[6] 서적 토목기사 과년도 시리즈 - 응용역학 성안당 2015

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