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뉴턴 운동 법칙

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1. 개요

뉴턴 운동 법칙은 1687년 아이작 뉴턴이 제시한 세 가지 법칙으로, 물체의 운동과 힘의 관계를 설명한다. 제1법칙(관성의 법칙)은 외부 힘이 없으면 물체가 정지 또는 등속 직선 운동을 유지한다는 것이고, 제2법칙(가속도의 법칙)은 힘이 질량에 반비례하고 가속도에 비례한다는 것이다. 제3법칙(작용-반작용의 법칙)은 두 물체가 서로에게 작용하는 힘은 크기가 같고 방향이 반대라는 것이다. 이 법칙들은 고전 역학의 기본이며, 자유 낙하, 포물선 운동, 등속 원운동 등 다양한 물리 현상을 설명하는 데 사용된다. 뉴턴 역학은 상대성 이론과 양자 역학이 발전하면서 그 한계가 드러났지만, 거시적인 세계에서는 여전히 정확한 근사 이론으로 활용된다. 라그랑주 역학, 해밀턴 역학 등의 해석 역학은 뉴턴 역학을 수학적으로 재구성한 것이다.

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뉴턴 운동 법칙
지도 정보
기본 정보
이름뉴턴 운동 법칙
로마자 표기Nyuteon undong beopchik
영문명Newton's laws of motion
일본어 표기ニュートン力学
설명고전역학의 기본 원리
제1법칙 (관성의 법칙)
내용외부 힘이 작용하지 않으면 정지한 물체는 계속 정지해 있고, 운동하는 물체는 등속 직선 운동을 한다.
영어 설명An object remains at rest or in uniform motion in a straight line unless acted upon by an external force.
제2법칙 (가속도의 법칙)
내용물체의 가속도는 작용하는 힘에 비례하고 질량에 반비례한다. (F=ma)
수식 extbf{F} = m extbf{a}
영어 설명The acceleration of an object is directly proportional to the net force acting on it and inversely proportional to its mass. (F=ma)
제3법칙 (작용-반작용의 법칙)
내용모든 작용에는 크기가 같고 방향이 반대인 반작용이 항상 존재한다.
영어 설명For every action, there is an equal and opposite reaction.
관련 인물
제안자아이작 뉴턴
관련 분야고전역학
참고
관련 개념
질량
운동량
가속도
같이 보기
같이 보기고전역학
해밀턴 역학
라그랑주 역학
아펠 방정식
해밀턴-야코비 방정식

2. 역사적 배경

아이작 뉴턴자연철학의 수학적 원리(약칭: 프린키피아)를 통해 뉴턴 운동 법칙을 발표하기 전까지, 정역학고대 그리스 시대부터 오랫동안 축적된 지식을 보유하고 있었다.[138] 중세에는 임페투스라는 관성과 유사한 개념이 등장했고, 갈릴레오 갈릴레이는 17세기 초에 관성의 개념을 완성하고 실험을 통해 뉴턴 제1운동 법칙을 증명했다.

뉴턴은 1687년에 출판된 《자연철학의 수학적 원리》에서 만유인력의 법칙과 뉴턴 운동 법칙을 사용하여 케플러 법칙을 비롯한 당시 알려진 모든 천체역학을 수학적으로 유도하였다.[97] 그는 갈릴레오 갈릴레이, 요하네스 케플러, 르네 데카르트, 니콜라우스 코페르니쿠스와 같은 과학자들의 연구를 종합하고, 자신의 독창적인 아이디어를 더하여 뉴턴 역학을 체계화하였다. 학자 아이작 버나드 코헨은 뉴턴이 이전의 결과들을 단순 종합한 것을 넘어, 각각의 아이디어를 새로운 형태로 변형하고 기존의 기본 원리가 잘못되었음을 증명했다고 평가했다.[97]

뉴턴의 운동법칙은 회전체의 운동, 유체 안에서의 운동, 발사체의 운동, 빗면에서의 운동, 진자의 운동, 조석, 천체의 궤도와 같은 물리학적 현상들에 대한 광범위한 설명을 가능하게 하였다. 또한, 뉴턴이 제2법칙과 제3법칙을 써서 유도한 운동량 보존 법칙은 물리학사상 최초의 보존 법칙으로 여겨진다.[97] 그는 천체 운동에 대한 지식과 지상에서 일어나는 사건에 대한 연구를 결합하여 하나의 역학 이론으로 이들을 모두 설명할 수 있음을 보였다.[95]

뉴턴의 자필 수정이 가미된 그의 ''프린키피아(Principia)''(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica) 2판, 케임브리지 트리니티 칼리지(Trinity College, Cambridge)의 Wren 도서관 소장

2. 1. 고대와 중세의 역학

아리스토텔레스 조각상
아리스토텔레스 (기원전 384~322년)


물리학의 기원은 아리스토텔레스까지 거슬러 올라간다. 하지만, 아리스토텔레스의 개념과 현대의 개념 사이에는 차이가 있다. 아리스토텔레스는 속도와 힘을 명확하게 구분하지 않았고, 밀도와 점성에 같은 용어를 사용했다. 그는 운동을 항상 매질을 통해 일어나는 것으로 생각했다.[99]

아리스토텔레스는 운동을 "자연적" 운동과 "강제적" 운동으로 나누었다. 지상에서 고체 물질의 "자연적" 운동은 아래로 떨어지는 것이었고, "강제적" 운동은 물체를 옆으로 미는 것이었다. 아리스토텔레스는 "강제적" 운동은 직접적인 원인이 필요하며, 원인에서 분리되면 물체는 "자연적" 운동으로 돌아간다고 생각했다. 그러나 창은 던진 사람의 손을 떠난 후에도 계속 움직인다. 아리스토텔레스는 창 주변의 공기가 창을 앞으로 움직이게 한다고 설명했다.

6세기 비잔티움 제국의 사상가 요한 필로포누스는 공기가 운동을 유지하면서 동시에 방해하는 것은 모순이라고 생각했다. 그는 물체를 운동 상태로 만드는 것은 운동량이라는 속성을 물체 자체에 부여하는 것이며, 이 운동량이 유지되는 한 물체는 계속 움직인다고 주장했다.[101]

이후 수세기 동안 누르 앗딘 알비트루지, 아비센나, 아부 알 바라카트 알 바그다디, 장 부리당, 알베르투스 삭소니아 등 여러 학자들이 운동량 이론을 발전시켰다. 이 운동량 개념은 현대적인 운동량 개념의 전조로 볼 수 있다.[102]

2. 2. 근대 과학 혁명과 뉴턴 역학의 탄생

갈릴레오 갈릴레이는 17세기 초에 임페투스라는 관성과 유사한 개념을 이용하여 관성의 개념을 완성하고, 실험을 통해 오늘날 뉴턴 제1운동 법칙으로 불리는 관성의 법칙을 증명하였다.[97] 요하네스 케플러는 행성 운동 법칙을 발견하여, 천체 운동에 대한 이해를 발전시켰다. 르네 데카르트는 1629년부터 1633년까지 집필된 『

갈릴레오 갈릴레이
(1564–1642)


아이작 뉴턴은 1687년에 《자연철학의 수학적 원리》(약칭: 프린키피아, ''Principialat'') 제1권에서 만유인력의 법칙과 뉴턴 운동 법칙을 사용하여 케플러 법칙을 비롯한 당시 알려진 모든 천체역학을 수학적으로 유도하였다.[97] 뉴턴은 점진적으로 그의 세 가지 법칙에 도달했는데, 호이겐스에게 쓴 1684년 원고에서 그는 관성의 원리, 힘에 의한 운동의 변화, 오늘날 갈릴레이 불변성이라고 불리는 상대 운동에 대한 진술, 그리고 물체 간의 상호 작용이 질량 중심의 운동을 변화시키지 않는다는 규칙 등 네 가지 법칙을 열거했다. 후속 원고에서 뉴턴은 작용-반작용 법칙을 추가하면서 이 법칙과 질량 중심에 관한 법칙이 서로를 의미한다고 말했다. 뉴턴은 아마도 1685년 동안 ''프린키피아''에서 세 가지 주요 법칙과 다른 진술들을 보조정리로 축소하여 제시하기로 결정했을 것이다.[125]

2. 3. 뉴턴 이후의 발전

다니엘 베르누이, 레온하르트 오일러, 조제프 루이 라그랑주, 윌리엄 로언 해밀턴 등은 뉴턴 역학을 발전시켜 해석역학을 정립했다.[129][130][131] 특히 오일러는 강체 연구를 개척하고 유체 역학의 기본 이론을 확립했다.[129][130][131]

19세기에는 전자기학과의 모순이 발견되었는데, 맥스웰 방정식은 운동 방정식과 달리 갈릴레이 변환에 대해 불변이지 않았다. 이는 상대성 원리를 수정해야 함을 의미했고, 알베르트 아인슈타인의 특수 상대성 이론으로 이어졌다.[138]

20세기에는 양자 역학이 등장하여, 국소 실재론이 성립하지 않는다는 점에서 뉴턴 역학의 한계를 보완하였다.

3. 뉴턴의 운동 법칙

아이작 뉴턴이 제창한 뉴턴 운동 법칙은 질점의 운동을 기술하는 세 가지 법칙이다.[140][141] 이 법칙들은 강체, 탄성체, 유체 등의 연속체에도 적용되는 기초적인 개념이다.[142][143]

프린키피아 내의 제1법칙과 제2법칙이 쓰여 있는 페이지 (1687년판)

  • '''제1법칙 (관성의 법칙):''' 질점은 외부 이 작용하지 않는 한, 정지 상태를 유지하거나 등속 직선 운동을 한다. 관성의 법칙 또는 갈릴레이의 법칙으로도 불린다.[144][145]
  • '''제2법칙 (뉴턴의 운동 방정식):''' 질점의 가속도 \vec{a}는 작용하는 \vec{F}에 비례하고, 질량 m에 반비례한다.[146][147][148] \vec{a} = \frac{\vec F}{m}\,.
  • '''제3법칙 (작용·반작용의 법칙):''' 두 질점 사이에 상호 작용하는 힘은 크기가 같고 방향이 반대이다.[149][150][151] \vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}\,.


이 세 가지 법칙은 역학 분야의 많은 법칙과 정리를 유도하는 기본 원리이다. 운동 방정식은 위치 벡터의 시간에 대한 2계 상미분 방정식으로, 초기 위치와 운동량(또는 속도)이 주어지면 모든 시점의 운동 상태를 결정할 수 있다는 점에서 뉴턴 역학은 결정론적이다.

한편, 고전 역학에서 사용되는 다른 개념들을 뉴턴 운동 법칙의 지위로 격상시키려는 제안도 있었다. 예를 들어, 프랭크 윌첵(Frank Wilczek)은 두 물체를 합쳐 하나의 물체를 만들었을 때 그 물체의 총 질량은 각 물체의 질량의 합과 같다는 가정을 "뉴턴 제0법칙"으로 명명할 것을 제안했다.[29] 힘이 벡터처럼 더해진다는 개념(중첩의 원리)과 힘이 물체의 에너지를 변화시킨다는 개념은 "제4법칙"으로 설명되기도 한다.

3. 1. 제1법칙: 관성의 법칙

갈릴레오 갈릴레이빗면을 따라 공을 굴리는 실험을 통해 만약 마찰력이 무시할 수 있을 정도로 작다면 외부 힘이 가해지지 않는 모든 물체는 일정한 속도로 움직인다는 사실을 증명하였다.[1] 즉, 가만히 있는 물체는 (외부 힘이 가해지지 않는 이상) 계속 가만히 있고, 일정한 속도로 움직이는 물체는 계속 그 속도로 움직이게 된다. 아리스토텔레스의 이론으로부터 갈릴레이의 이론(뉴턴의 제1법칙)으로 생각이 전환된 것은 물리학의 역사에 있어서 가장 심오하고 중요한 발견이라 할 수 있다. 우리의 일상에서, 마찰력은 모든 움직이는 물체에 작용하여 물체를 느리게 하고 결국엔 정지하게 만든다. 아이작 뉴턴은 모든 물체의 운동을 이끌어내는 원인을 힘으로 보고, 이에 기반을 둔 수학적 모형을 제시하였다.

물체에 가해진 알짜힘이 0일 때 물체의 질량 중심의 가속도는 0이다.

제1법칙은 단순히 제2법칙에서 알짜힘이 0인 경우를 설명하는 것이 아니다. 근본적으로 제2법칙과 제3법칙이 암묵적으로 가정하는 기준틀의 개념을 정의한다. 이러한 기준틀은 관성기준틀이라고 부르며, 가속도가 0인 상태로 등속 직선 운동을 하는 관찰자의 기준틀이다.

뉴턴의 제1법칙은 관성의 원리를 나타낸다. 물체의 자연적인 행동은 일정한 속도로 직선으로 움직이는 것이다. 물체의 운동은 현상 유지를 보존하지만, 외부 힘이 이를 방해할 수 있다.

3. 2. 제2법칙: 가속도의 법칙

물체에 더 큰 알짜힘이 가해질수록 물체의 운동량 변화는 더 커진다. 한 물체 A가 다른 물체 B에 힘을 가하면 B의 운동량이 변한다. 제2법칙은 다음과 같은 수식으로 표현된다.

: \mathbf{F}= \frac{d}{dt}\mathbf{p} = \frac{d}{dt}(m\mathbf{v}).

물체의 질량 m이 변하지 않는다면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:\mathbf{F} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = m\mathbf{a} [N] [kgㆍm/sec^2]

여기서

  • \mathbf{F} 는 물체에 작용하는 알짜힘,
  • m 은 물체의 질량,
  • \mathbf{a} 는 물체의 가속도,
  • \mathbf{v} 는 물체의 속도,
  • \mathbf{p} = m\mathbf{v} 은 물체의 운동량이다.


물체의 질량은 물체 고유의 성질이다. 일정한 질량 ''m''을 가진 물체에 더 큰 알짜힘을 가할수록 운동량 변화가 커진다. 따라서 이 방정식을 통해 간접적으로 질량 개념을 정의할 수 있다.

'''F''' = ''m'''''a'''에서 '''a'''는 직접 측정이 가능하지만, '''F'''는 측정할 수 있는 물리량이 아니다. 제2법칙은 단지 '''F'''의 값을 계산할 수 있다는 것만을 의미한다.

물체의 질량이 변하면 \mathbf{F} = m\mathbf{a}을 적용할 수 없고, 더 일반적인 다음 식을 쓴다.

:\mathbf{F} = \frac{d}{dt}(m\mathbf{v}) = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} + \mathbf{v}\frac{dm}{dt} = m\mathbf{a} + \mathbf{v}\frac{dm}{dt}

운동량\mathbf{p}=\gamma m\mathbf{v}와 같이 표현하는 경우 (\gamma로런츠 인자), 이 방정식은 특수 상대성 이론에서도 유효하다.

경사면에 있는 블록에 대한 자유 물체 다이어그램. 평면에 수직인 수직항력(''N''), 아래쪽으로 작용하는 중력(''mg''), 평면 방향의 힘 ''f''를 보여준다.


자유 물체 다이어그램은 함께 작용하는 힘을 시각적으로 나타내는 일반적인 방법이다.[20] 예를 들어 경사면 위에 놓인 블록의 자유 물체 다이어그램은 중력, "수직" 힘, 마찰, 줄의 장력 결합을 보여줄 수 있다.

뉴턴의 제2법칙은 때때로 힘의 ''정의''로 제시되기도 한다. 즉, 관성 관찰자가 물체가 가속되는 것을 볼 때 힘이 존재한다는 것이다. 이것이 동어반복 이상이 되려면 힘에 대한 다른 진술도 해야 한다. 예를 들어 뉴턴의 만유인력의 법칙과 같이 힘을 자세히 설명하는 방정식을 지정할 수 있다.

물체의 운동량 변화는 작용하는 힘에 비례하며, 그 힘이 작용하는 직선 방향으로 이루어진다.[13] 여기서 '운동'이란 현재 운동량을 의미하며, 물체의 질량, 속도, 운동 방향에 따라 달라진다.[18] 현대 표기법으로, 물체의 운동량은 질량과 속도의 곱이다.

:\mathbf{p} = m\mathbf{v} \, ,

여기서 세 가지 양 모두 시간에 따라 변할 수 있다.

뉴턴의 제2법칙은 현대적인 형태로, 운동량의 시간에 대한 미분이 힘과 같다는 것을 나타낸다.

:\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} \, .

만약 질량 m이 시간에 따라 변하지 않는다면, 미분은 속도에만 작용하며, 힘은 질량과 속도의 시간에 대한 미분, 즉 가속도의 곱과 같다.[19]

:\mathbf{F} = m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = m\mathbf{a} \, .

가속도는 시간에 대한 위치의 이계도함수이므로, 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:\mathbf{F} = m\frac{d^2\mathbf{s}}{dt^2} .

제2법칙(뉴턴의 운동 방정식)

: 질점의 가속도 {\vec{a}}는 질점에 작용하는 {\vec{F}}에 비례하고, 질점의 질량 {m}에 반비례한다.[146][147][148]

:\vec{a} = \frac{\vec F}{m}\,.

크리스티안 호이겐스는 저서 『진자시계(Horologium Oscillatorium)』(1673)에서 "중력 작용에 의해 물체는 한 방향 또는 다른 방향으로의 등속 운동과 중력에 의한 하강 운동이 합쳐진 운동으로 움직인다"는 가설을 제시하였다. 뉴턴의 제2운동 법칙은 이 가설을 중력에서 모든 힘으로 일반화하였다.[111]

3. 3. 제3법칙: 작용과 반작용의 법칙

전통적으로 제3법칙은 "모든 작용에 대해 크기는 같고 방향은 반대인 반작용이 존재한다"라고 표현한다.[13]

이러한 설명은, 누군가가 물체를 200 N의 힘으로 때리면 그 물체 또한 같은 힘으로 그 사람을 때린다는 것을 의미한다. 예를 들어, 행성은 항성에 이끌릴 뿐만 아니라 항성 또한 행성에 이끌린다. 반작용력은 작용의 반대 방향을 가지고, 그 크기는 동일하다. 하지만 작용력과 반작용력이 항상 일직선상에 위치할 필요는 없다. 두 쌍극자가 점전하와 쌍극자를 잇는 선에 수직하게 위치한 경우, 점전하가 전기 쌍극자에 가하는 힘을 예로 들 수 있다. 그 힘이 점전하와 쌍극자를 잇는 선에 수직인 경우 점전하에 대한 반작용력은 반대 방향을 취하지만, 작용력과 반작용력이 서로 평행한 경우에는 공간 내에서 서로 겹쳐지지 않게 된다.

힘은 운동량의 시간 변화율이므로, 제3법칙에 따르면 A의 운동량이 줄어드는 만큼 B의 운동량이 늘어나게 된다. 즉, 계의 총 운동량 보존을 의미한다. 반대로, 운동량 보존 법칙으로부터 제3법칙을 유도할 수 있다.

전자기력에서는 제3법칙이 성립하지 않는 것처럼 보이는 경우가 있다. 즉, 물체 A가 B에 가하는 로런츠 힘은 B가 A에 가하는 힘과 일반적으로 다르다. 이는 A와 B가 생성하는 전자기장이 가진 운동량 교환을 고려하지 않았기 때문이다. 전자기장이 가진 운동량을 계산에 포함시키면 계의 총 운동량은 보존되며, 이에 따라 제3법칙이 성립하게 된다.

제3법칙은 엄밀히 말해 '''약한 형태'''(weak form영어)이다. 이에 따르면, 작용력과 반작용력은 크기가 같고 방향은 서로 반대지만, 그 방향이 어느 방향인지는 서술하지 않는다.[152] 즉, 입자로 이루어진 계에서, \mathbf{F}_{ab}가 입자 b에 의한 입자 a에 대한 힘이라고 쓰면 제3법칙의 약한 형태는 다음과 같다.

:\mathbf{F}_{ab} = -\mathbf{F}_{ba}

모든 고전 역학적 힘은 이 조건을 만족한다. 이로써 질량 중심과 같은 개념을 정의할 수 있다.

반면, '''강한 형태'''(strong form영어)에 따르면, 작용력과 반작용력은 크기가 같고 방향이 서로 반대일 뿐만 아니라 두 힘의 방향이 두 입자를 잇는 직선과 평행해야 한다. 즉, 만약 a가 \mathbf r_a에, b가 \mathbf r_b에 위치해 있다면 두 힘은 다음과 같은 꼴을 취한다.

:\mathbf F_{ab}=F\frac{\mathbf r_a-\mathbf r_b}{\Vert\mathbf r_a-\mathbf r_b\rVert}

:\mathbf F_{ba}=F\frac{\mathbf r_b-\mathbf r_a}{\Vert\mathbf r_b-\mathbf r_a\rVert}=-\mathbf F_{ab}.

만유인력은 제3법칙의 강한 형태도 만족하지만, 전자기학로런츠 힘은 제3법칙의 약한 형태만 만족하고, 강한 형태는 만족하지 않는다. 예를 들어 점전하와 쌍극자를 잇는 직선에 수직으로 위치한 점전하와 완전쌍극자 사이의 상호작용은 제3법칙의 강한 형태를 따르지 않는다.

로켓로켓 엔진을 사용하여 강한 반작용을 아래쪽으로 발생시켜 작동한다. 이는 지면이나 대기와 상관없이 로켓을 위로 밀어 올린다.


또한 예시로 대포, 총 등을 쏠때 탄환과 반동을 들 수 있다.

4. 뉴턴 역학의 응용

감쇠되지 않은 용수철-질량계는 단순 조화 운동을 한다.


뉴턴 역학은 다양한 물리 현상을 설명하는 데 응용된다. 질량이 m인 물체가 x축을 따라 움직이고, x = 0 위치에 평형점이 있다고 가정할 때, 물체에 작용하는 힘이 평형점으로부터의 변위에 비례하고 평형점을 향하면 물체는 단순 조화 운동을 한다. 힘을 F = -kx로 나타내면, 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같다.

m\frac{d^2 x}{dt^2} = -kx \, .

이 미분 방정식의 해는 다음과 같다.

x(t) = A \cos \omega t + B \sin \omega t \,

여기서 진동수 \omega\sqrt{k/m}과 같고, 상수 AB는 특정 시간에 물체가 갖는 위치와 속도를 알면 계산할 수 있다.

진자는 수직 위치에 안정적인 평형점을 갖는다. 공기 저항과 회전축의 마찰을 무시하면, 진자에 작용하는 힘은 중력이고, 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같다.

\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L} \sin\theta,

여기서 L은 진자의 길이이고 \theta는 수직으로부터의 각도이다. 각도 \theta가 작을 때, \theta의 사인은 거의 \theta와 같고 (소각 근사 참조), 따라서 이 식은 진동수가 \omega = \sqrt{g/L}인 단순 조화 진동자에 대한 방정식으로 단순화된다.

조화 진동자는 마찰이나 점성 저항에 의해 ''감쇠될'' 수 있으며, 이 경우 에너지가 진동자에서 빠져나가고 진동의 진폭이 시간이 지남에 따라 감소한다. 또한, 조화 진동자는 외력에 의해 ''구동될'' 수 있으며, 이는 공진 현상으로 이어질 수 있다.[43]

스페이스 셔틀 ''애틀랜티스''와 같은 로켓은 한 방향으로 물질을 추진하여 다른 방향으로 우주선을 밀어낸다.


뉴턴 물리학은 물질이 생성되거나 파괴되지 않고 재배열될 수 있다고 간주하며, 관심 대상인 물체에 물질이 추가되거나 제거되어 질량이 증가하거나 감소할 수 있다. 예를 들어, 속도 \mathbf{v}(t)로 움직이는 질량 M(t)의 로켓이 로켓에 대한 상대 속도 \mathbf{u}로 물질을 배출하는 경우,

\mathbf{F} = M \frac{d\mathbf{v}}{dt} - \mathbf{u} \frac{dM}{dt} \,

여기서 \mathbf{F}는 알짜 외력(예: 행성의 중력)이다.[42]

포크, 코르크, 이쑤시개의 전체 질량중심은 펜 끝 위에 있다.


확장된 물체의 운동은 그 물체의 질량이 질량중심이라고 알려진 단일 지점에 집중되어 있다고 상상함으로써 이해할 수 있다. 순 외력이 없는 경우 질량중심은 직선으로 일정한 속도로 움직인다. 총 외력이 0이 아닌 경우 질량중심은 질량이 M인 점입자처럼 속도가 변한다.

뉴턴 운동 법칙을 회전하는 확장된 물체에 적용하면 관성 모멘트, 각운동량, 토크와 같은 새로운 양들이 나타난다. 각운동량은 기준점을 기준으로 계산된다.[47] 기준점에서 물체까지의 변위 벡터가 \mathbf{r}이고 물체의 운동량이 \mathbf{p}이면, 벡터 외적을 사용하여 그 점에 대한 물체의 각운동량은 다음과 같다.

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}.

각운동량의 시간 미분을 취하면 다음과 같다.

\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right) \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{v} \times m\mathbf{v} + \mathbf{r} \times \mathbf{F}.

첫 번째 항은 \mathbf{v}m\mathbf{v}가 같은 방향을 가리키기 때문에 사라진다. 나머지 항은 토크이다.

\mathbf{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}.

토크가 0이면 각운동량은 일정하며, 힘이 0일 때 운동량이 일정한 것과 같다.[63]

서로 끌어당기는 세 점 또는 세 몸체의 애니메이션


뉴턴의 만유인력 법칙은 임의의 두 물체가 서로를 잇는 직선을 따라 서로를 끌어당긴다고 명시한다. 인력의 크기는 두 물체의 질량의 곱에 비례하고, 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례한다. 역제곱 법칙에 따른 궤도의 형태를 구하는 것을 케플러 문제라고 한다. 케플러 문제의 결과는 궤도가 원뿔곡선, 즉 타원(원 포함), 포물선, 또는 쌍곡선이라는 것이다. 행성들이 서로 끌어당기기 때문에 실제 궤도는 정확히 원뿔곡선이 아니다.

세 번째 질량이 추가되면 케플러 문제는 일반적으로 닫힌 형식으로 정확한 해가 없는 세 몸체 문제가 된다.[50][51] 수치 해법을 적용하여 세 몸체 문제에 대해 유용하지만 근사적인 결과를 얻을 수 있다.[52]

5. 뉴턴 역학의 한계와 현대 물리학

1916년 알베르트 아인슈타인의 특수 상대성 이론은 이전의 모든 예상을 뛰어넘는 설명을 가능하게 했지만, 빛의 속도에 비해 매우 느린 속도에서는 고전역학으로 수렴한다. 뉴턴의 법칙은 카오스 이론의 가능성을 허용하여, 초기 조건의 미세한 변화가 시스템 전체에 큰 영향을 줄 수 있다.[54][55]

뉴턴의 법칙은 유체에도 적용될 수 있는데, 오일러 운동량 방정식은 유체 역학에 적용된 뉴턴 제2법칙의 표현이다.[56][57] 점성을 고려하면 나비어-스톡스 방정식이 된다. 그러나 뉴턴의 법칙에 따라 움직이는 질점들이 유한한 시간 안에 무한대로 흩어지는 "비충돌 특이점"과 같은 비물리적인 현상도 가능하다.[51][58][59]

전자기학 발전은 전자기학과 뉴턴 역학의 모순을 드러냈다. 맥스웰 방정식은 갈릴레이 변환에 대해 불변이 아니어서, 상대성 원리 수정을 요구했다. 특수 상대성 이론은 로렌츠 변환에 대해 보편적인 수정된 역학이다.

양자 역학은 국소 실재론이 성립하지 않는다는 점에서 뉴턴 역학과 근본적으로 다르다. 현대 물리학에서 뉴턴 역학은 거시적인 규모에서 빛의 속도보다 훨씬 느린 운동을 다룰 때의 근사 이론으로 이해된다. 상대성이론은 물체의 속도가 빛의 속도보다 느리고 중력이 약한 조건에서 뉴턴 역학으로 근사되며, 양자역학 결과는 대상 물체의 질량이 큰 극한에서 뉴턴 역학의 운동 방정식과 일치한다.

5. 1. 상대성 이론과의 관계

알베르트 아인슈타인의 특수 상대성 이론은 빛의 속도에 가까운 물체의 운동을 다루며, 기존의 모든 예측을 뛰어넘는 설명을 제공한다. 그러나 물체의 속도가 빛의 속도에 비해 매우 느린 경우, 아인슈타인의 상대론적 모형은 고전역학으로 수렴한다. 이는 속도가 빛의 속도에 비해 매우 작을 때 로런츠 인자가 1에 가까워지기 때문이다.[73]

::\lim_\rightarrow 0^+} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} = 1

전자기학과 뉴턴의 운동 법칙 사이에는 몇 가지 주목할 만한 관계와 차이점이 있다. 쿨롱의 법칙은 정지한 두 전하 사이의 전기력에 대한 법칙으로, 뉴턴의 만유인력의 법칙과 수학적으로 매우 유사하다. 힘은 전하의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례하며, 두 전하를 잇는 직선을 따라 작용한다. 쿨롱의 법칙에서 한 전하가 다른 전하에 작용하는 힘은 크기가 같고 방향이 반대이므로, 뉴턴의 제3법칙과 일치한다.[73]

로렌츠 힘 법칙은 전자기장 내에서 움직이는 전하에 작용하는 힘을 설명하며, 뉴턴의 제2법칙과 결합하여 전하의 가속도를 계산할 수 있다.[74] 로렌츠 힘은 전기장 내의 전하에 작용하는 힘과 자기장 내에서 움직이는 전하에 작용하는 힘의 합으로 나타낼 수 있다.

right

::\mathbf{F} = q \mathbf{E} + q \mathbf{v} \times \mathbf{B}.

자기장 내에서 움직이는 전하는 사이클로트론 주파수로 원운동 또는 나선 운동을 한다.[75] 질량 분석법은 이러한 원리를 이용하여 전하 대 질량 비를 측정한다.[76]

하지만, 대전된 물체의 집합은 항상 뉴턴의 제3법칙을 따르지 않을 수 있다. 이는 전자기장 자체가 운동량을 가질 수 있기 때문이며, 단위 부피당 운동량은 포인팅 벡터에 비례한다.[78][77]

맥스웰의 전자기 이론은 전자기파가 진공에서 일정한 속도로 이동한다고 예측하는데, 이는 관성 기준계에 대한 의문을 제기한다. 특수 상대성 이론은 이러한 문제를 해결하기 위해 공간과 시간 개념을 수정하여, 모든 관성 관측자가 진공에서의 빛의 속도에 대해 동의하도록 한다.

특수 상대성 이론에서는 복합 물체의 질량이 개별 구성 요소 질량의 합과 같지 않다는 "뉴턴의 제0 법칙"이 깨진다.[81] 뉴턴의 제2법칙은 운동량 보존 법칙과 함께 여전히 성립하지만, 운동량의 정의가 수정된다. 물체가 더 빠르게 움직일수록 가속하기 어려워지며, 빛의 속도로 가속하는 것은 불가능하다. 특수 상대성 이론에서 운동량은 3차원 벡터 \mathbf{p} = m\gamma \mathbf{v} 또는 사차 벡터로 나타낼 수 있다.[82]

뉴턴의 제3법칙은 특수 상대성 이론에서 동시성의 상대성 때문에 수정되어야 한다. 한 관측자에게 동시에 일어나는 사건이 다른 관측자에게는 다른 시간에 일어날 수 있으므로, 작용과 반작용이 항상 반대일 필요는 없다. 하지만 상호 작용하는 물체의 총 운동량은 장에 저장된 운동량을 포함하면 보존된다.[83][84]

뉴턴 역학은 물체의 속도가 빛의 속도보다 훨씬 작을 때 특수 상대성 이론의 좋은 근사이다.[85]

일반 상대성 이론은 뉴턴의 중력 이론을 시공간의 곡률로 재해석한다. 뉴턴 역학에서 중력으로 설명되던 궤도는, 일반 상대성 이론에서는 물체가 휘어진 시공간에서 자유 낙하하는 경로로 설명된다. 존 아치볼드 휠러는 "시공간은 물질에게 어떻게 움직여야 하는지를 알려주고, 물질은 시공간에게 어떻게 휘어져야 하는지를 알려준다"는 말로 이 관계를 요약했다.[86][87] 휠러는 이 상호 관계를 뉴턴 제3법칙의 일반화된 형태로 보았다.[86] 물질 분포와 시공간 곡률 사이의 관계는 아인슈타인 장 방정식으로 표현된다.[81][88]

뉴턴의 중력 이론은 중력 효과가 약하고 물체가 느리게 움직일 때 일반 상대성 이론의 예측에 대한 좋은 근사치이다.[79][89]

5. 2. 양자 역학과의 관계

양자역학은 원래 분자, 원자 또는 아원자 입자 크기의 미시적 현상을 이해하기 위해 개발된 물리학 이론이다. 일반적으로 계가 작을수록 양자 효과를 이해하는 것이 더 중요하다. 양자 물리학의 개념적 기반은 고전 물리학과 매우 다르다. 위치, 운동량, 에너지와 같은 양에 대해 생각하는 대신, 어떤 유형의 측정이 수행될 때 어떤 결과가 나타날 수 있는지 고려한다. 양자역학은 물리학자가 특정 결과를 유발할 확률을 계산할 수 있게 해준다.[90][91] 기댓값은 측정이 산출할 수 있는 가능한 결과의 평균이며, 각 결과가 발생할 확률에 따라 가중치가 부여된다.[92]

에렌페스트 정리는 양자 기댓값과 뉴턴의 제2법칙 사이의 관계를 제공하지만, 양자 물리학이 고전 물리학과 근본적으로 다르기 때문에 이 관계는 정확하지 않다. 양자 물리학에서 위치와 운동량은 에르미트 연산자로 알려진 수학적 실체로 표현되며, 보른 규칙은 위치 측정 또는 운동량 측정의 기댓값을 계산하는 데 사용된다. 이러한 기댓값은 일반적으로 시간에 따라 변한다. 즉, 위치 측정이 수행되는 시간에 따라 서로 다른 가능한 결과에 대한 확률이 달라진다. 에렌페스트 정리는 대략적으로 말하자면, 이러한 기댓값이 시간에 따라 변하는 방식을 설명하는 방정식이 뉴턴의 제2법칙과 유사한 형태를 갖는다고 말한다. 그러나 주어진 상황에서 양자 효과가 더 두드러질수록 이러한 유사성으로부터 의미 있는 결론을 도출하기가 더 어려워진다.[93][94]

현대 물리학의 관점에서 뉴턴 역학은 "거시적인 스케일에서, 그리고 빛의 속도보다 충분히 느린 속도의 운동을 다룰 때의, 모순이 없고 완결적인 근사 이론"으로 이해된다. 양자역학의 결과는 대상 물체의 질량을 크게 한 극한에서는 뉴턴 역학의 운동 방정식의 해와 일치한다.

6. 해석 역학

라그랑주 역학해밀턴 역학뉴턴 역학을 재정식화한 것이다.[63] 라그랑주 역학은 대칭과 보존 법칙 간의 관계를 명확히 보여주며, 해밀턴 역학은 통계 물리학에 편리하게 사용된다.[61][62][63]

라그랑주 역학은 물체의 전체 궤적을 한 번에 고려하며, 위치를 q, 속도를 \dot{q}로 나타낸다. 라그랑주 함수는 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 차이(L(q,\dot{q}) = T - V)로 표현된다. 변분법을 통해 오일러-라그랑주 방정식을 유도하면 뉴턴의 제2법칙을 얻을 수 있다.[38][64] 란다우와 리프시츠는 라그랑주 형식이 고전 역학의 개념적 내용을 더 명확하게 한다고 주장한다.[65] 또한, 라그랑주 역학은 네터 정리를 통해 대칭성과 보존 법칙을 연결하여 운동량 보존을 유도할 수 있다.[66][63]

1915년 대칭과 보존 법칙의 관계를 밝힌 유명한 정리를 증명한 에미 네터.


해밀턴 역학에서 계의 동역학은 해밀토니안 함수로 표현되며, 이는 계의 총에너지와 같다.[64] 해밀토니안은 위치와 운동량의 함수이며, 해밀턴 방정식을 통해 이들의 시간 미분을 해밀토니안의 편미분으로 나타낸다.[63] 해밀턴 방정식을 계산하면 뉴턴의 제2법칙을 다시 얻게 된다.[54][64] 해밀턴 역학에서도 네터의 정리를 통해 운동량 보존을 유도할 수 있다.[63]

해밀턴-야코비 방정식은 고전역학의 또 다른 공식화이며, 파동 광학과 유사하다.[63][69] 이 방정식에서 물체의 경로는 위치와 시간의 함수 S(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2,\ldots,t)로부터 추론되며, 해밀토니안은 S에 대한 미분 방정식인 해밀턴-야코비 방정식에 포함된다. 이를 통해 뉴턴의 제2법칙을 다시 표현할 수 있다.[70]

참조

[1] 서적 Classical Dynamics of Particles and Systems https://books.google[...] Brooke Cole
[2] 서적 The Principia, The Mathematical Principles of Natural Philosophy University of California Press 1999
[3] 서적 Newton's Principia: The Mathematical Principles of Natural Philosophy http://archive.org/d[...] Daniel Adee 1846
[4] 서적 Techniques of Classical Mechanics: from Lagrangian to Newtonian mechanics https://www.worldcat[...] Institute of Physics 2019
[5] 웹사이트 Classical Dynamics: University of Cambridge Part II Mathematical Tripos http://www.damtp.cam[...] 2015-01-00
[6] 서적 Calculus Made Easy Macmillan
[7] 서적 Calculus: Single and Multivariable Wiley 2013
[8] 학술지 Student difficulties in connecting graphs and physics: Examples from kinematics http://aapt.scitatio[...] 1987-06-00
[9] 학술지 Students' use of the principle of energy conservation in problem situations https://iopscience.i[...] 1985-07-01
[10] 학술지 "Force," ontology, and language 2009-06-25
[11] 서적 College Physics https://openstax.org[...] OpenStax
[12] 서적 The Nature of the Physical World Macmillan 1929
[13] 서적 The Mechanical Universe: Mechanics and Heat Cambridge University Press 2007
[14] 학술지 Forced Changes Only: A New Take on Inertia 2023
[15] 학술지 Mistranslation of Newton's First Law Discovered after Nearly Nearly 300 Years https://www.scientif[...] 2023-09-05
[16] 서적 Introduction to Special Relativity Wiley
[17] 학술지 A note on rods and clocks in Newton's Principia https://linkinghub.e[...] 2019-08-00
[18] 서적 An Introduction to the Physics of Mass, Length, and Time University Press
[19] 서적 Physics John Wiley & Sons
[20] 학술지 Do students use and understand free-body diagrams? 2009-06-01
[21] 학술지 On the Classical Laws of Motion
[22] 서적 The Feynman Lectures on Physics, Volume 1 Addison-Wesley Pub. Co 1989
[23] 서적 University Physics, Volume 1 OpenStax
[24] 서적 The Cartoon Guide to Physics HarperPerennial
[25] 학술지 The role of competing knowledge structures in undermining learning: Newton's second and third laws http://scitation.aip[...] 2017-01-00
[26] 학술지 Changing the Order of Newton's Laws—Why & How the Third Law Should be First http://aapt.scitatio[...] 2012-10-00
[27] 학술지 Newton's third law revisited https://iopscience.i[...] 1992-03-00
[28] 웹사이트 Third Law of Motion https://www.grc.nasa[...] 1996-08-00
[29] 웹사이트 The Origin of Mass https://physics.mit.[...]
[30] 학술지 Newton's Zeroth Law: Learning from Listening to Our Students https://aapt.scitati[...] 2005-01-01
[31] 서적 Classical Mechanics: Point Particles and Relativity https://archive.org/[...] Springer 2003
[32] 서적 Compendium of theoretical physics Springer 2006
[33] 서적 Encyclopædia Britannica 1889
[34] 학술지 The Transverse Momentum of an Electron 1905-08-00
[35] 학술지 Galileo and Oresme: Who Is Modern? Who Is Medieval? https://doi.org/10.4[...] 2010-02-01
[36] 웹사이트 Frequently Asked Questions: Projectile Motion https://webhome.phy.[...] 2022-01-16
[37] 논문 Testing students ability to use derivatives, integrals, and vectors in a purely mathematical context and in a physical context 2020-03-19
[38] 서적 Mathematical Methods in the Physical Sciences Wiley 2006
[39] 서적 How I Killed Pluto and Why It Had It Coming Spiegel & Grau 2010
[40] 논문 An analysis of Newton's projectile diagram https://iopscience.i[...] 1999-01-01
[41] 서적 Analytical Mechanics https://www.worldcat[...] Cambridge University Press 1998
[42] 서적 An introduction to mechanics https://books.google[...] Cambridge University Press 2014
[43] 논문 Resonance, Tacoma Narrows bridge failure, and undergraduate physics textbooks http://www.ketchum.o[...] 1991-02-01
[44] 논문 A unified, contemporary approach to teaching energy in introductory physics 2019-07-01
[45] 서적 Calculus: Single and Multivariable https://www.worldcat[...] Wiley 2013
[46] 논문 Central collisions—The general case http://aapt.scitatio[...] 1998-01-01
[47] 논문 Student understanding of the angular momentum of classical particles http://aapt.scitatio[...] 2011-10-01
[48] 논문 Another comment on "Eccentricity as a vector" https://iopscience.i[...] 2005-03-01
[49] 논문 Bohlin transformation: the hidden symmetry that connects Hooke to Newton https://iopscience.i[...] 2013-01-01
[50] 서적 Poincaré and the Three Body Problem American Mathematical Society
[51] 서적 The Princeton Companion to Mathematics Princeton University Press
[52] 논문 Invitation to embarrassingly parallel computing http://aapt.scitatio[...] 2008-04-01
[53] 논문 Solutions to the Three-Body Problem by Computer http://aapt.scitatio[...] 1973-07-01
[54] 논문 Integrability and chaos: the classical uncertainty https://iopscience.i[...] 2011-03-01
[55] 논문 A unit on oscillations, determinism and chaos for introductory physics students http://aapt.scitatio[...] 2004-04-01
[56] 서적 Fly by Night Physics Princeton University Press
[57] 논문 From Newton's second law to Euler's equations of perfect fluids https://www.ams.org/[...] 2021-04-07
[58] 논문 Off to infinity in finite time http://www.ams.org/n[...] 1995-05-01
[59] 서적 New Spaces in Physics: Formal and Conceptual Reflections Cambridge University Press
[60] 서적 The Millennium Prize Problems https://www.claymath[...] American Mathematical Society and Clay Mathematics Institute
[61] 서적 The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics https://www.worldcat[...] Dover Publications 1990
[62] 서적 Statistical Physics of Particles Cambridge University Press
[63] 서적 Classical dynamics: A Contemporary Approach https://www.worldcat[...] Cambridge University Press 1998
[64] 서적 Mathematical Methods for Optical Physics and Engineering https://www.worldcat[...] Cambridge University Press 2011
[65] 서적 Mechanics Pergamon Press 1969
[66] 서적 Out of the Shadows: Contributions of 20th Century Women to Physics https://archive.org/[...] Cambridge University Press
[67] 논문 Calculus-enhanced energy-first curriculum for introductory physics improves student performance locally and in downstream courses 2019-09-13
[68] 논문 Teaching Energy Before Forces https://physics.aps.[...] 2019-09-13
[69] 논문 The Hamilton–Jacobi equation: An alternative approach http://aapt.scitatio[...] 2020-05-01
[70] 논문 Mixed States in Classical Mechanics http://aapt.scitatio[...] 1965-02-01
[71] 논문 Hydrodynamic Analogy to the Hamilton–Jacobi Equation http://aapt.scitatio[...] 1974-11-01
[72] 논문 Two Models of Brownian Motion http://aapt.scitatio[...] 1961-08-01
[73] 논문 Breaking Newton's third law: electromagnetic instances https://iopscience.i[...] 2016-11-01
[74] 서적 The principles of electromagnetic theory and of relativity. https://www.worldcat[...] D. Reidel 1966-01-01
[75] 서적 A Modern Course in Statistical Physics https://www.worldcat[...] Wiley-VCH 2016-01-01
[76] 서적 Biomedical Applications of Biophysics Humana Press 2022-03-24
[77] 논문 Self-torque and angular momentum balance for a spinning charged sphere http://aapt.scitatio[...] 2018-11-01
[78] 서적 Classical Electricity and Magnetism https://www.worldcat[...] Dover Publications 2005-01-01
[79] 서적 Classical Mechanics Addison Wesley 2002-01-01
[80] 논문 Comment on "What Bell did" 2014-10-09
[81] 서적 General Relativity and the Einstein Equations https://www.worldcat[...] Oxford University Press 2009-01-01
[82] 서적 Flat and Curved Space-times https://www.worldcat[...] Oxford University Press 2000-01-01
[83] 서적 Special Relativity W. W. Norton and Company
[84] 논문 Four-Dimensional Formulations of Newtonian Mechanics and Their Relation to the Special and the General Theory of Relativity https://link.aps.org[...] 1964-10-01
[85] 서적 Curvature of Space and Time, with an Introduction to Geometric Analysis American Mathematical Society 2020-01-01
[86] 서적 Geons, Black Holes, and Quantum Foam: A Life in Physics https://books.google[...] W. W. Norton & Company 2010-06-18
[87] 논문 Free fall in curved spacetime—how to visualise gravity in general relativity 2019-05-01
[88] 서적 The Disordered Cosmos: A Journey into Dark Matter, Spacetime, and Dreams Deferred https://www.worldcat[...] Bold Type Books 2021-01-01
[89] 서적 Einstein's Italian Mathematicians: Ricci, Levi-Civita, and the Birth of General Relativity https://www.worldcat[...] American Mathematical Society 2018-01-01
[90] 논문 Hidden variables and the two theorems of John Bell
[91] 논문 Obliterating Thingness: An Introduction to the "What" and the "So What" of Quantum Physics 2019-05-24
[92] 논문 Investigating and improving student understanding of the probability distributions for measuring physical observables in quantum mechanics 2017-03-01
[93] 서적 Quantum Mechanics John Wiley & Sons
[94] 서적 Quantum Theory: Concepts and Methods Kluwer
[95] 서적 Coming of Age with Quantum Information Cambridge University Press 2011-01-06
[96] 서적 Kepler Dover
[97] 서적 The Newtonian Revolution: With Illustrations of the Transformation of Scientific Ideas Cambridge University Press 1980-01-01
[98] 서적 The Scientific Revolution: The Essential Readings https://books.google[...] Blackwell Pub 2003-01-01
[99] 논문 Aristotle's Hydrostatical Physics https://www.jstor.or[...] 2015-01-01
[100] 논문 Experiments on buoyancy and surface tension following Galileo Galilei http://aapt.scitatio[...] 2011-01-01
[101] 서적 Philoponus and the Rejection of Aristotelian Science Institute of Classical Studies, University of London
[102] 서적 On the Threshold of Exact Science University of Pennsylvania Press
[103] 논문 Exploring the preinstruction and postinstruction non-Newtonian world views as measured by the Force Concept Inventory 2019-04-25
[103] 논문 Impetus-Like Reasoning as Continuous with Newtonian Physics https://aapt.scitati[...] 2021-03-01
[103] 논문 University student conceptual resources for understanding forces 2021-03-30
[104] 논문 Descartes' Laws of Motion https://www.jstor.or[...] 1966-01-01
[105] 서적 Dialogues Concerning Two New Sciences http://galileoandein[...] Dover Publications Inc
[106] 서적 Two new sciences, including centers of gravity & force of percussion http://archive.org/d[...] University of Wisconsin Press 1974
[107] 논문 Science in the Renaissance: A Survey https://www.cambridg[...] 1955
[108] 서적 Pierre Gassendi and the Birth of Early Modern Philosophy https://www.worldcat[...] Cambridge University Press 2007
[109] 서적 Principles of philosophy https://www.earlymod[...]
[110] 논문 Christiaan Huygens' The Motion of Colliding Bodies https://www.jstor.or[...] 1977
[111] 논문 Is Newton's second law really Newton's? http://aapt.scitatio[...] 2011-10-01
[112] 논문 Was Newton a Newtonian? https://www.science.[...] 2003-08-15
[113] 서적 Science and Culture in the Nineteenth Century: Recreating Newton https://www.worldcat[...] Taylor & Francis 2015
[114] 서적 The Foundations of Newton's Alchemy: Or, "the Hunting of the Greene Lyon" Cambridge University Press
[115] 서적 Never at Rest Cambridge University Press
[116] 서적 The Cambridge Companion to Newton Cambridge University Press
[117] 논문 William R. Newman. Newton the Alchemist: Science, Enigma, and the Quest for Nature's "Secret Fire" https://www.journals[...] 2020-06-01
[118] 서적 Dutch Light: Christiaan Huygens and the Making of Science in Europe https://www.worldcat[...] Picador 2020
[119] 논문 The First English Version of Newton's Hypotheses non fingo https://www.jstor.or[...] 1962
[120] 서적 Concepts of Force: A Study in the Foundations of Dynamics Dover Publications 1999
[121] 웹사이트 Descartes' Physics https://plato.stanfo[...] 2022-03-06
[122] 논문 The young Huygens solves the problem of elastic collisions http://aapt.scitatio[...] 1997-02-01
[123] 논문 The vis viva dispute: A controversy at the dawn of dynamics http://physicstoday.[...] 2006-10-01
[124] 논문 Some Reflections on Newton's "Principia" https://www.jstor.or[...] 2009
[125] 서적 The Oxford Handbook of Newton Oxford University Press 2020-12-01
[126] 논문 Mary Somerville https://www.cambridg[...] 1969-12-01
[127] 서적 The Origins of Infinitesimal Calculus https://www.worldcat[...] Pergamon Press 1969
[128] 논문 The mathematical form of measurement and the argument for Proposition I in Newton's Principia http://link.springer[...] 2012-05-01
[129] 웹사이트 Newton's ''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'' https://plato.stanfo[...] 2022-03-06
[130] 논문 Leonhard Euler and the mechanics of rigid bodies https://iopscience.i[...] 2017-01-01
[131] 서적 Forces and Fields: The Concept of Action at a Distance in the History of Physics https://www.worldcat[...] Dover Publications 2005
[132] 웹사이트 Isaac Newton https://plato.stanfo[...] 2022-03-06
[133] 논문 Émilie Du Châtelet's interpretation of the laws of motion in the light of 18th century mechanics https://linkinghub.e[...] 2018-06-01
[134] 논문 History of physical terms: "energy" https://iopscience.i[...] 2014-09-01
[135] 웹사이트 History of the Conservation of Energy: Booms, Blood, and Beer (Part 1) https://skullsinthes[...] 2022-03-07
[135] 웹사이트 History of the Conservation of Energy: Booms, Blood, and Beer (Part 2) https://skullsinthes[...] 2022-03-07
[135] 웹사이트 History of the Conservation of Energy: Booms, Blood, and Beer (Part 3) https://skullsinthes[...] 2022-03-07
[136] 논문 Polar and axial vectors versus quaternions http://aapt.scitatio[...] 2002-09-01
[137] 서적 Hermann Günther Graßmann (1809–1877): Visionary Mathematician, Scientist and Neohumanist Scholar Kluwer
[138] 서적 『改訂版 物理学辞典』 培風館
[139] 서적 Newton (1729)
[140] 서적 松田哲 (1993)
[141] 서적 (서적 제목 정보 없음)
[142] 서적 (서적 제목 정보 없음)
[143] 서적 (서적 제목 정보 없음)
[144] 서적 Principia
[145] 서적 (서적 제목 정보 없음)
[146] 서적 Principia
[147] 서적 バークレー物理学コース 力学 上
[148] 서적 (서적 제목 정보 없음)
[149] 서적 Principia
[150] 서적 (서적 제목 정보 없음)
[151] 서적 (서적 제목 정보 없음)
[152] 서적 (서적 제목 정보 없음)



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