분수 푸리에 변환

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1. 개요

분수 푸리에 변환(FRFT)은 푸리에 변환을 일반화한 것으로, 각도 α 또는 차수 a로 표현되며, α는 일반적으로 a에 π/2를 곱한 값이다. FRFT는 신호 처리, 광학, 양자 물리학 등 다양한 분야에 응용되며, 시간-주파수 분석, 노이즈 제거, 필터 설계, 광학 시스템 설계, 양자 키 분배 등에 활용된다. FRFT는 가법성, 선형성, 유니타리성 등의 성질을 가지며, 이산 분수 푸리에 변환, 분수 웨이블릿 변환, 처플릿 변환 등과 같은 관련 변환도 존재한다.

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분수 푸리에 변환
개요
푸리에 변환의 분수 거듭제곱을 나타내는 다이어그램
정의	N번째 거듭제곱 푸리에 변환
수학적 정의
수식	(F^n)(f)(t) (F^n)(f)(t) = ∫Kn(t, t')f(t')dt' 여기서 Kn(t, t')은 변환의 커널이다.
특성
n = 1	일반적인 푸리에 변환
n = 2	함수 f(t)를 f(-t)로 변환 (반사)
n = 3	일반적인 푸리에 변환의 역변환
n = 4	항등 연산 (원래 함수로 돌아감)
주기성	주기는 4
응용 분야
신호 처리	필터 설계, 시간-주파수 분석
광학	광학 시스템 모델링
양자 역학	양자 상태 분석
패턴 인식	패턴 특징 추출
관련 변환
선형 정준 변환	분수 푸리에 변환의 일반화

2. 역사

분수 푸리에 변환(FRFT)은 기존 푸리에 변환을 일반화한 개념이다. 푸리에 변환은 함수를 주파수 영역으로 변환하는 연산자 $\mathcal{F}$ 로 표현되는데, $\mathcal{F}$ 를 ''n''번 반복하면 $\mathcal{F}^n$ 과 같이 나타낼 수 있다. 여기서 ''n''은 정수이다. 특히, $\mathcal{F}^4$ 는 원래 함수로 돌아오는 항등 연산이 된다.

분수 푸리에 변환은 이러한 푸리에 변환의 거듭제곱 개념을 확장하여, ''n''이 정수가 아닌 경우, 즉 $n = 2\alpha/\pi$ 인 경우를 다룬다. 이는 푸리에 변환을 연속적으로 회전시키는 개념으로 이해할 수 있다.

3. 정의

분수 푸리에 변환(FRFT)은 일반적인 푸리에 변환을 임의의 각도 α로 일반화한 것이다. 함수 f의 α 각도에 대한 분수 푸리에 변환은 $\mathcal{F}_\alpha[f](u)$ 로 나타내며, 다음과 같이 정의된다.^[43]

: $\mathcal{F}_\alpha[f](u) = \sqrt{1-i\cot(\alpha)} e^{i \pi \cot(\alpha) u^2} \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i\left(\csc(\alpha) u x - \frac{\cot(\alpha)}{2} x^2\right)} f(x)\, \mathrm{d}x$

여기서,

$\cot(\alpha)$ 는 코탄젠트
$\csc(\alpha)$ 는 코시컨트

만약 α가 π의 정수배라면, 위 식의 코탄젠트 함수와 코시컨트 함수는 발산하지만, 극한을 취하면 디랙 델타 함수를 이용하여 나타낼 수 있다.

α가 2π의 정수배일 때는 δ(u-x)
α+π 가 2π의 정수배일 때는 δ(u+x)

α = π/2 일 때는 일반적인 푸리에 변환과 같고, α = -π/2 일 때는 역 푸리에 변환과 같다.

각주파수(ω)를 이용한 정의는 다음과 같다.^[8]^[9]^[10]

:

\mathcal{F}_\alpha(f)(\omega) = \sqrt{\frac{1-i\cot(\alpha)}{2\pi}} e^{i \cot(\alpha) \omega^2/2} \int_{-\infty}^\infty e^{-i\csc(\alpha) \omega t + i \cot(\alpha) t^2/2} f(t)\, dt~.

3. 1. 분수 푸리에 변환의 커널

분수 푸리에 변환(FRFT)은 다음과 같은 커널(kernel)을 사용하는 적분 변환이다.^[43]

:

K_\alpha (u, x) = \begin{cases}\sqrt{1-i\cot(\alpha)} \exp \left(i \pi (\cot(\alpha)(x^2+ u^2) -2 \csc(\alpha) u x) \right) & \mbox{if } \alpha \mbox{ is not a multiple of }\pi, \\\delta (u - x) & \mbox{if } \alpha \mbox{ is a multiple of } 2\pi, \\\delta (u + x) & \mbox{if } \alpha+\pi \mbox{ is a multiple of } 2\pi, \\\end{cases}

여기서,

$\alpha$ 는 회전 각도
$\cot(\alpha)$ 는 코탄젠트 함수
$\csc(\alpha)$ 는 코시컨트 함수
$\delta(u - x)$ 는 디랙 델타 함수
exp^영어는 지수함수

\alpha

가

\pi

의 배수일 때는 극한을 통해 특수한 경우를 처리한다.
커널의 성질:

대칭성: $K_\alpha~(u, u')=K_\alpha ~(u', u)$
역변환: $K_\alpha^{-1} (u, u') = K_\alpha^* (u, u') = K_{-\alpha} (u', u)$
가산성: $K_{\alpha+\beta} (u,u') = \int K_\alpha (u, u'') K_\beta (u'', u')\,\mathrm{d}u''.$

4. 성질

분수 푸리에 변환 연산자 $\mathcal{F}_\alpha$ 는 다음과 같은 성질을 갖는다.

'''유니타리성''': $\int f(u)g^*(u)du=\int f_\alpha(u)g_\alpha^*(u)du$
'''시간 반전''':

::

\mathcal{F}_\alpha\mathcal{P}=\mathcal{P}\mathcal{F}_\alpha

::

\mathcal{F}_\alpha[f(-u)]=f_\alpha(-u)

'''이동된 함수의 변환''':

: 이동 연산자와 위상 이동 연산자를 각각 다음과 같이 정의한다.

::

\mathcal{SH}(u_0)[f(u)]=f(u+u_0)

::

\mathcal{PH}(v_0)[f(u)]=e^{j2\pi v_0u}f(u)

: 그러면, 다음이 성립한다.

::

\mathcal{F}_\alpha \mathcal{SH}(u_0) = e^{j\pi u_0^2 \sin\alpha \cos\alpha} \mathcal{PH}(u_0\sin\alpha) \mathcal{SH}(u_0\cos\alpha) F_\alpha

::

\mathcal{F}_\alpha [f(u+u_0)] =e^{j\pi u_0^2 \sin\alpha \cos\alpha}  e^{j2\pi uu_0 \sin\alpha} f_\alpha (u+u_0 \cos\alpha)

'''스케일된 함수의 변환'''

: 스케일링 연산자 및 처프 곱셈 연산자를 다음과 같이 정의한다.

::

M(M)[f(u)]=|M|^{-\frac{1}{2}} f \left (\tfrac{u}{M} \right)

::

Q(q)[f(u)]=e^{-j\pi qu^2 } f(u)

: 그러면, 다음이 성립한다.

::

\begin{align}    \mathcal{F}_\alpha  M(M) &= Q \left (-\cot \left (\frac{1-\cos^2 \alpha'}{\cos^2 \alpha}\alpha \right ) \right)\times M \left (\frac{\sin \alpha}{M\sin \alpha'} \right )\mathcal{F}_{\alpha'} \\ [6pt]    \mathcal{F}_\alpha \left [|M|^{-\frac{1}{2}} f \left (\tfrac{u}{M} \right)  \right ] &= \sqrt{\frac{1-j \cot\alpha}{1-jM^2  \cot\alpha}} e^{j\pi u^2\cot \left (\frac{1-\cos^2 \alpha'}{\cos^2 \alpha}\alpha \right )} \times f_a \left (\frac{Mu \sin\alpha'}{\sin\alpha} \right )    \end{align}

:

f(u/M)

의 분수 푸리에 변환은

f_\alpha (u)

를 스케일한 것이 되지 않는다는 점에 주의해야 한다. 오히려,

\alpha\neq\alpha'

인 경우

f(u/M)

의 분수 푸리에 변환은

f_\alpha'(u)

을 스케일 및 처프 변조한 것이 된다.

4. 1. 가법성

임의의 실수 각 α, β에 대해, 다음 식이 성립한다.

:

\mathcal{F}_{\alpha+\beta} = \mathcal{F}_\alpha \circ \mathcal{F}_\beta = \mathcal{F}_\beta \circ \mathcal{F}_\alpha

4. 2. 선형성

FrFT^영어 연산자

\mathcal{F}_\alpha

는 다음과 같은 선형성을 갖는다.

:

\mathcal{F}_\alpha \left [\sum\nolimits_k b_kf_k(u) \right ]=\sum\nolimits_k b_k\mathcal{F}_\alpha \left [f_k(u) \right ]

4. 3. 정수 차수

α^영어가

\pi/2

의 정수배이면, 다음이 성립한다.

:

\mathcal{F}_\alpha = \mathcal{F}_{k\pi/2} = \mathcal{F}^k = (\mathcal{F})^k

또한, 다음 관계가 성립한다.

:

\begin{align}\mathcal{F}^2 &= \mathcal{P} && \mathcal{P}[f(u)]=f(-u)\\\mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = (\mathcal{F})^{-1} \\\mathcal{F}^4 &= \mathcal{F}^0 = \mathcal{I} \\\mathcal{F}^i &= \mathcal{F}^j && i \equiv j \mod 4\end{align}

여기서

\mathcal{P}

는 패리티 연산자이다.

4. 4. 역변환

(\mathcal{F}_\alpha)^{-1}=\mathcal{F}_{-\alpha}

이다. 즉, 분수 푸리에 변환의 역변환은 각도를 음수로 취한 분수 푸리에 변환과 같다.

4. 5. 교환성

\mathcal{F}_{{\alpha}_1} \mathcal{F}_{{\alpha}_2} = \mathcal{F}_{{\alpha}_2} \mathcal{F}_{{\alpha}_1}

분수 푸리에 변환(

\mathcal{F}_\alpha

)은 다음 성질을 갖는다.

'''가환성''': $\mathcal{F}_{{\alpha}_1} \mathcal{F}_{{\alpha}_2} = \mathcal{F}_{{\alpha}_2} \mathcal{F}_{{\alpha}_1}$

4. 6. 결합성

\left (\mathcal{F}_{\alpha_1}\mathcal{F}_{\alpha_2} \right )\mathcal{F}_{\alpha_3} = \mathcal{F}_{\alpha_1} \left (\mathcal{F}_{\alpha_2}\mathcal{F}_{\alpha_3} \right )

FRFT^영어는 푸리에 변환의 일반화된 형태로, 결합 법칙을 만족한다. 즉, α₁, α₂, α₃에 대해, 위 식이 성립한다.

4. 7. 유니타리성 (Unitarity)

\int f(u)g^*(u)du=\int f_\alpha(u)g_\alpha^*(u)du

α^영어-차 분수 푸리에 변환 연산자

\mathcal{F}_\alpha

는 다음과 같은 성질을 갖는다.

'''파세발의 정리''': $\int f^*(u)g(u)du=\int f_\alpha^*(u)g_\alpha(u)du$ 이 성질은 유니타리성과 유사하다. 에너지 또는 노름 보존이 특수한 예이다.

4. 8. 시간 반전

시간 반전(Time reversal) 특성은 입력 함수의 시간이 반전되면, 출력 함수의 시간도 반전된다는 것을 의미한다.^[1] 여기서

\mathcal{P}

는 패리티 연산자이다.

:

\mathcal{F}_\alpha\mathcal{P}=\mathcal{P}\mathcal{F}_\alpha

:

\mathcal{F}_\alpha[f(-u)]=f_\alpha(-u)

4. 9. 이동된 함수의 변환

시프트 연산자(

\mathcal{SH}(u_0)

) 및 위상 시프트 연산자(

\mathcal{PH}(v_0)

)를 다음과 같이 정의한다.

:

\begin{align}\mathcal{SH}(u_0)[f(u)] &= f(u+u_0) \\\mathcal{PH}(v_0)[f(u)] &= e^{j2\pi v_0u}f(u)\end{align}

따라서 다음이 성립한다.

:

\begin{align}\mathcal{F}_\alpha \mathcal{SH}(u_0) &= e^{j\pi u_0^2 \sin\alpha \cos\alpha} \mathcal{PH}(u_0\sin\alpha) \mathcal{SH}(u_0\cos\alpha) \mathcal{F}_\alpha,\end{align}

즉,

:

\begin{align}\mathcal{F}_\alpha [f(u+u_0)] &=e^{j\pi u_0^2 \sin\alpha \cos\alpha} e^{j2\pi uu_0 \sin\alpha} f_\alpha (u+u_0 \cos\alpha)\end{align}

4. 10. 스케일된 함수의 변환

스케일링 연산자 및 처프 곱 연산자를 다음과 같이 정의한다.

:

\begin{align}M(M)[f(u)] &= |M|^{-\frac{1}{2}} f \left (\tfrac{u}{M} \right) \\Q(q)[f(u)] &= e^{-j\pi qu^2 } f(u)\end{align}

그러면 다음이 성립한다.^[11]

:

\begin{align}\mathcal{F}_\alpha M(M) &= Q \left (-\cot \left (\frac{1-\cos^2 \alpha'}{\cos^2 \alpha}\alpha \right ) \right)\times M \left (\frac{\sin \alpha}{M\sin \alpha'} \right )\mathcal{F}_{\alpha'} \\ [6pt]\mathcal{F}_\alpha \left [|M|^{-\frac{1}{2}} f \left (\tfrac{u}{M} \right) \right ] &= \sqrt{\frac{1-j \cot\alpha}{1-jM^2 \cot\alpha}} e^{j\pi u^2\cot \left (\frac{1-\cos^2 \alpha'}{\cos^2 \alpha}\alpha \right )} \times f_a \left (\frac{Mu \sin\alpha'}{\sin\alpha} \right )\end{align}

f(u/M)

의 분수 푸리에 변환은

f_\alpha (u)

의 스케일된 버전으로 표현할 수 없다. 오히려,

f(u/M)

의 분수 푸리에 변환은

\alpha\neq\alpha'

가 다른 차수인

f_{\alpha'}(u)

의 스케일링되고 처프 변조된 버전으로 나타난다.

5. 응용

분수 푸리에 변환의 차수가 1이 되면, 구형파 함수는 sinc 함수가 된다.

푸리에 변환은 시간 영역의 신호를 주파수 영역으로, 역 푸리에 변환은 주파수 영역의 신호를 시간 영역으로 변환한다. 반면, 분수 푸리에 변환은 신호를 시간과 주파수 사이의 영역으로 변환하며, 이는 시간-주파수 영역에서의 회전으로 볼 수 있다. 이 개념은 선형 정준 변환을 통해 회전 이외의 선형 변환까지 포함하도록 일반화된다.

분수 푸리에 변환은 시간-주파수 분포에 대한 회전 연산으로 이해할 수 있다. 예를 들어, 시간 영역의 신호가 사각형이면 주파수 영역에서는 싱크 함수가 되지만, 분수 푸리에 변환을 적용하면 시간과 주파수 사이의 영역에 결과가 나타난다.

분수 푸리에 변환은 디지털 신호 처리(DSP), 양자 물리학, 광학 시스템 설계 등 다양한 분야에 응용된다. 특히 신호 처리에서는 노이즈 제거, 필터링 등에 활용될 수 있으며, 광학 분야에서는 홀로그래피 저장 효율 최적화 등에 사용된다. 양자 물리학에서는 엔트로피 불확정성 관계 공식화, 단일 광자를 이용한 고차원 양자 키 분배, 광자 쌍의 공간적 얽힘 관찰 등에 응용된다.^[18]^[19]^[20]^[21]^[22]

5. 1. 신호 처리

분수 푸리에 변환은 DSP 및 시간-주파수 분석에 활용된다.^[49] 특히, 시간-주파수 영역에서 노이즈와 원하는 신호가 겹치지 않을 때 노이즈 제거에 유용하다.

예를 들어, 필터를 직접 적용하여 노이즈를 제거하기 어려울 때, 분수 푸리에 변환을 사용하여 신호(원하는 신호와 노이즈 포함)를 회전시킨 후, 원하는 신호만 통과시키는 필터를 적용하여 노이즈를 제거할 수 있다. 그 후, 분수 푸리에 변환을 다시 적용하여 신호를 원래대로 되돌리면 원하는 신호를 얻을 수 있다.

시간 영역에서 신호를 자르거나 주파수 영역에서 저역 통과 필터를 사용하는 것은 시간-주파수 공간에서 볼록 집합을 잘라내는 것과 같다. 반면, 분수 푸리에 변환을 사용하지 않으면 축에 평행한 사각형만 잘라낼 수 있다.

한국에서는 분수 푸리에 변환을 통신 시스템, 레이더 신호 처리, 음성 신호 처리 등에 적용하는 연구가 진행되고 있다.

5. 2. 광학

분수 푸리에 변환은 광학 시스템 설계 및 분석에 활용된다.^[21]^[22] 특히 홀로그래피, 빔 쉐이핑, 광학 영상 처리 등에 응용된다.^[21]^[22] 홀로그래픽 저장 효율을 최적화하는 데에도 사용될 수 있다.^[35]

시간 영역 신호가 구형파 함수일 때, 주파수 영역에서는 sinc 함수가 된다. 그러나 분수 푸리에 변환을 적용하면 시간과 주파수 사이 영역의 신호를 얻는데, 이는 시간-주파수 영역에서의 회전으로 해석할 수 있다. 이 개념은 선형 정준 변환을 통해 회전 이외의 선형 변환까지 포함하도록 일반화된다.

5. 3. 양자 물리학

분수 푸리에 변환은 양자역학에서 위상 공간에서의 표현과 관련된 문제에 응용된다. 예를 들어 다음과 같은 분야에 활용된다.

엔트로피 불확정성 관계 공식화^[18]
단일 광자를 이용한 고차원 양자 키 분배 방식^[19]
광자 쌍의 공간적 얽힘 관찰^[20]

5. 4. 기타

분수 푸리에 변환은 패턴 인식, 영상 처리, 의료 영상, 금융 시계열 분석 등 다양한 분야에 응용될 수 있다.^[17]^[18]^[19]^[20]^[21]^[22]

분수 푸리에 변환은 시간-주파수 분석 및 디지털 신호 처리(DSP)에 사용될 수 있다. 잡음을 필터링하는 데 유용하지만, 시간-주파수 영역에서 잡음이 원하는 신호와 겹치지 않아야 한다는 조건이 필요하다. 예를 들어, 잡음을 제거하기 위해 직접 필터를 적용할 수는 없지만, 분수 푸리에 변환을 사용하면 먼저 신호(원하는 신호와 잡음 포함)를 회전시킨 후, 특정 필터를 적용하여 원하는 신호만 통과시킬 수 있다. 따라서 잡음은 완전히 제거된다. 그런 다음 분수 푸리에 변환을 다시 사용하여 신호를 원래대로 회전시키면 원하는 신호를 얻을 수 있다.

시간 영역에서 신호를 잘라내거나, 주파수 영역에서 저역 통과 필터를 사용하면 시간-주파수 공간의 볼록 집합을 잘라낼 수 있다. 반면, 분수 푸리에 변환 없이 시간 영역 또는 주파수 영역 도구만 사용하면 축에 평행한 사각형만 잘라낼 수 있다.

분수 푸리에 변환은 양자 물리학에도 적용된다. 예를 들어 엔트로피 불확정성 관계를 공식화하고,^[18] 단일 광자를 이용한 고차원 양자 키 분배 방식에 사용되며,^[19] 광자 쌍의 공간적 얽힘을 관찰하는 데 사용된다.^[20] 또한 광학 시스템 설계 및 홀로그래픽 저장 효율 최적화에도 유용하다.^[21]^[22]

6. 관련 변환

푸리에 변환과 유사한 변환들의 분수적 일반화가 존재한다. 예를 들어, 이산 푸리에 변환의 분수적 일반화가 있다.

분수 웨이블릿 변환(FRWT)은 분수 푸리에 변환 영역에서 고전적인 웨이블릿 변환을 일반화한 것이다.^[45]
처플릿 변환은 웨이블릿 변환의 관련 일반화이다.

함수

f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{C}

의 연속 푸리에 변환

\mathcal{F}

는 함수

f

를 주파수 버전

\hat{f}

로 매핑하는 유니터리 연산자이다.

:

\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,\mathrm{d}x

그리고

f

는 역변환

\mathcal{F}^{-1}

를 통해

\hat{f}

에 의해 결정된다.

:

f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i \xi x}\,\mathrm{d}\xi\, .

반복 함수

\mathcal{F}^{n}

을 살펴보면,

\mathcal{F}^{n}[f] = \mathcal{F}[\mathcal{F}^{n-1}[f]]

이고,

n

이 음이 아닌 정수일 때

\mathcal{F}^{-n} = (\mathcal{F}^{-1})^n

이며,

\mathcal{F}^{0}[f] = f

이다.

\mathcal{F}

가 4주기 자기 동형 사상이므로, 모든 함수

f

에 대해

\mathcal{F}^4 [f] = f

가 성립하며, 이들의 시퀀스는 유한하다.

더 정확하게는,

x

를 반전시키는 '''패리티 연산자'''

\mathcal{P}

를 도입하여,

\mathcal{P}[f]\colon x \mapsto f(-x)

로 정의한다. 그러면 다음 속성이 유지된다.

:

\mathcal{F}^0 = \mathrm{Id}, \qquad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \qquad \mathcal{F}^2 = \mathcal{P}, \qquad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}

:

\mathcal{F}^3 = \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P}.

분수 푸리에 변환(FRFT)은 푸리에 변환의 비정수 거듭제곱

n = 2\alpha/\pi

를 처리하도록 이 정의를 확장하는 선형 변환의 패밀리를 제공한다.

6. 1. 이산 분수 푸리에 변환

'''이산 분수 푸리에 변환'''은 제브 잘레브스키에 의해 정의되었다.^[44] 솜마(Somma)는 다항식보다 짧은 시간 안에 이산 분수 푸리에 변환의 한 버전을 구현하는 양자 알고리즘을 설명했다.^[12]

6. 2. 분수 웨이블릿 변환 (FRWT)

분수 웨이블릿 변환(FRWT)은 분수 푸리에 변환 영역에서 고전적인 웨이블릿 변환을 일반화한 것이다.^[45] FRWT는 WT 및 FRFT의 제한을 개선하기 위해 제안되었다. 이 변환은 WT로부터 다중 해상도 분석의 이점을 물려받을 뿐만 아니라 FRFT와 유사한 분수차 영역에서 신호의 표현력을 함께 갖는다. 기존의 FRWT에 비해 Shi, Zhang, Liu에 의해 2012년에 정의된 FRWT는 시간-주파수 혼합 평면에서의 신호 표현력이 있다.

6. 3. 처플릿 변환 (Chirplet Transform)

웨이블릿 변환의 관련 일반화이다.^[45]

6. 4. 선형 정준 변환 (Linear Canonical Transform)

분수 푸리에 변환은 시간-주파수 영역에서의 회전 연산으로 이해할 수 있다. 이는 선형 정준 변환을 통해 더 일반화될 수 있는데, 선형 정준 변환은 시간-주파수 평면에서의 회전뿐만 아니라 전단(shear), 스케일링(scaling) 등 다양한 선형 변환을 표현할 수 있다.^[32]

예를 들어, 시간 영역의 신호가 사각형(구형파)이면 주파수 영역에서 싱크 함수가 된다. 하지만 사각 신호에 분수 푸리에 변환을 적용하면, 그 결과는 시간과 주파수 사이의 영역에 있게 된다.

7. 같이 보기

푸리에 변환
시간-주파수 분석
웨이블릿 변환

참조

_[1] 논문 Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations 1937
_[2] 논문 The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics 1980
_[3] 논문 Hermitian Polynomials and Fourier Analysis 1929-04
_[4] 논문 The fractional Fourier transform and time–frequency representations 1994
_[5] 논문 Sampling and sampling rate conversion of band limited signals in the fractional Fourier transform domain 2008
_[6] 논문 Sampling and reconstruction of sparse signals in fractional Fourier domain 2010
_[7] 논문 The fractional Fourier transform and applications 1991
_[8] 문서
_[9] 학위논문 Gabor Frames and the Fractional Fourier Transform https://www.univie.a[...] University of Vienna 2018-11-03
_[10] 문서
_[11] 문서
_[12] 논문 Quantum simulations of one dimensional quantum systems 2016
_[13] 논문 A novel fractional wavelet transform and its applications 2012-06
_[14] 논문 Fourier transform and related integral transforms in superspace 2008-09-01
_[15] 논문 Optical transformation from chirplet to fractional Fourier transformation kernel 2009
_[16] 논문 Engineering Functional Quantum Algorithms 2002-01
_[17] 논문 Fractional Fourier transform as a signal processing tool: An overview of recent developments 2011-06
_[18] 논문 Entropic uncertainty relations in multidimensional position and momentum spaces 2011-05-24
_[19] 논문 Schemes for quantum key distribution with higher-order alphabets using single-photon fractional Fourier optics 2008-06-13
_[20] 논문 Detection of transverse entanglement in phase space 2008-07-08
_[21] 논문 Optimizing holographic data storage using a fractional Fourier transform http://www.opticsinf[...] 2011
_[22] 논문 Fractional Fourier transform in optical setups https://dbc.wroc.pl/[...] 1998
_[23] 논문 Immersion of the Fourier Transform in a Continuous Group of Functional Transformations 1937-03
_[24] 논문 Hermitian Polynomials and Fourier Analysis https://doi.org/10.1[...] 1929
_[25] 논문 The Fractional Order Fourier Transform and its Application to Quantum Mechanics http://imamat.oxford[...]
_[26] 논문 The fractional Fourier transform and time-frequency representations 1994-11
_[27] 논문 Sampling and Sampling Rate Conversion of Band Limited Signals in the Fractional Fourier Transform Domain 2008-01
_[28] 논문 Sampling and Reconstruction of Sparse Signals in Fractional Fourier Domain 2010-03
_[29] 논문 The Fractional Fourier Transform and Applications https://doi.org/10.1[...]
_[30] 논문 A novel fractional wavelet transform and its applications https://doi.org/10.1[...]
_[31] 논문 Fourier transform and related integral transforms in superspace http://www.sciencedi[...]
_[32] 논문 Optical transformation from chirplet to fractional Fourier transformation kernel https://doi.org/10.1[...]
_[33] 논문 Engineering functional quantum algorithms http://link.aps.org/[...] 2003-01
_[34] 논문 Fractional Fourier transform as a signal processing tool: An overview of recent developments http://www.sciencedi[...]
_[35] 논문 Optimizing holographic data storage using a fractional Fourier transform http://ol.osa.org/ab[...] 2011-07
_[36] 저널 Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations 1937
_[37] 저널 The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics 1980
_[38] 저널 Hermitian Polynomials and Fourier Analysis 1929-04
_[39] 저널 The fractional Fourier transform and time–frequency representations 1994
_[40] 저널 Sampling and sampling rate conversion of band limited signals in the fractional Fourier transform domain 2008
_[41] 저널 Sampling and reconstruction of sparse signals in fractional Fourier domain 2010
_[42] 저널 The fractional Fourier transform and applications 1991
_[43] 학위논문 Gabor Frames and the Fractional Fourier Transform https://web.archive.[...] University of Vienna 2012
_[44] 저널 Quantum simulations of one dimensional quantum systems 2016
_[45] 저널 A novel fractional wavelet transform and its applications 2012-06
_[46] 저널 Fourier transform and related integral transforms in superspace 2008-09-01
_[47] 저널 Optical transformation from chirplet to fractional Fourier transformation kernel 2009
_[48] 저널 Engineering Functional Quantum Algorithms 2002-01
_[49] 저널 Fractional Fourier transform as a signal processing tool: An overview of recent developments 2011-06
_[50] 저널 Schemes for quantum key distribution with higher-order alphabets using single-photon fractional Fourier optics 2008-06-13
_[51] 저널 Entropic uncertainty relations in multidimensional position and momentum spaces 2011-05-24
_[52] 저널 Detection of transverse entanglement in phase space 2008-07-08
_[53] 저널 Optimizing holographic data storage using a fractional Fourier transform http://www.opticsinf[...] 2011

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