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함수의 극한

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목차

1. 개요

함수의 극한은 변수가 특정 값에 가까워질 때 함수 값이 어떻게 변화하는지를 나타내는 개념으로, 미적분학의 중요한 기초이다. 일변수 함수의 극한은 실수를 변수로 하는 함수에서 변수가 특정 값에 충분히 가까워질 때 함수값이 어떤 값에 원하는 만큼 가까워지는지를 의미하며, 입실론-델타 논법을 통해 엄밀하게 정의된다. 함수의 극한은 유한한 값뿐만 아니라 무한대로의 접근도 포함하며, 다변수 함수, 거리 공간에서도 확장되어 정의된다. 함수의 극한은 미적분학의 발전 과정에서 점진적으로 정립되었으며, 라이프니츠, 코시, 바이어슈트라스 등의 수학자들이 개념을 발전시키는 데 기여했다.

2. 일변수 함수의 극한

실숫값 함수에서 변수가 특정 값에 가까워질 때 함수 값이 어떻게 변하는지를 나타내는 것이 함수의 극한이다. 열린구간 \(I \ni a\) 및 실수 함수 \(f\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R\)에 대하여, \(a\) 부근에서 \(f\)의 변화와 관련이 있지만, \(a\)에서의 함숫값과는 상관없이 극한을 정의할 수 있다.

함수의 극한은 다음과 같은 성질을 갖는다.


  • 극한의 유일성: 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 그 값은 유일하다.[1]
  • 국소 유계: 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 함수는 그 점에서 국소 유계 함수이다.
  • 순서 보존: 함수의 극한은 순서를 보존한다.
  • 사칙 연산 보존: 함수의 극한은 사칙 연산을 보존한다.
  • 로피탈의 정리를 사용하여 0/0 또는 ±∞/±∞ 형태의 부정형 극한을 구할 수 있다.

2. 1. 정의

열린구간 \(I\)에 속하는 점 \(a\)와 실수 함수 \(f\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R\)에 대하여, 점 \(a\)에서 함수 \(f\)의 '''극한'''은 다음 조건을 만족시키는 실수 \(L\in\mathbb R\)이다.

  • 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, \(\delta>0\)가 존재하여, \(0<|x-a|<\delta\)이면 항상 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다.


이를 다음과 같이 표기한다.

:\(\lim_{x\to a}f(x)=L\) 또는 \(f(x)\to L\quad(x\to a)\)

정의에 따라, \(a\)에서 \(f\)의 극한은 \(a\) 부근에서 \(f\)의 행위와 상관이 있으나, \(a\)에서의 함숫값과는 상관없으며, 심지어 \(a\)에서 정의되었는지와도 상관없다.

'''단측 극한'''(單側極限, one-sided limit영어) 또는 '''한쪽 극한'''은 보다 더 약한 개념의 극한이며, '''좌극한'''(左極限, left-handed limit영어)과 '''우극한'''(右極限, right-handed limit영어)으로 나뉜다. 이들은 다음과 같이 정의된다. 실수 함수 \(f\colon(b,a)\to\mathbb R\)에 대하여, 점 \(a\)에서 함수 \(f\)의 '''좌극한'''은 다음 조건을 만족시키는 실수 \(L\in\mathbb R\)이다.

  • 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, \(\delta>0\)가 존재하여, \(0


이를 다음과 같이 표기한다.

:\(\lim_{x\to a-0}f(x)=L\) 또는 \(\lim_{x\to a^-}f(x)=L\)

비슷하게, 실수 함수 \(f\colon(a,b)\to\mathbb R\)에 대하여, 점 \(a\)에서 함수 \(f\)의 '''우극한'''은 다음 조건을 만족시키는 실수 \(L\in\mathbb R\)이다.

  • 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, \(\delta>0\)가 존재하여, \(0


이를 다음과 같이 표기한다.

:\(\lim_{x\to a+0}f(x)=L\) 또는 \(\lim_{x\to a^+}f(x)=L\)

정의역의 특정 부분 집합에서 취하는 값들만을 생각하는 극한을 정의할 수 있다. 열린구간 \(I\) 및 실수 함수 \(f\colon I\to\mathbb R\) 및 \(I\)의 부분 집합 \(E\subseteq I\) 및 그 극한점 \(a\in E'\)에 대하여, 부분 집합 \(E\)의 범위에서 점 \(a\)에서 함수 \(f\)의 '''극한'''은 다음 조건을 만족시키는 실수 \(L=\lim_{E\ni x\to a}f(x)\in\mathbb R\)이다.

  • 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, \(\delta>0\)가 존재하여, \(x\in E\)이고 \(0<|x-a|<\delta\)이면 항상 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다.


좌극한과 우극한은 이런 극한의 특수한 경우이다. 물론 유리수 점에서의 값들만을 생각하는 등 더 다양한 경우가 존재한다. 만약 \(I\setminus\{a\}\subseteq E\)인 열린구간 \(I\ni a\)가 존재한다면, 이는 일반적인 극한과 동치이며, 이 경우 기호 \(E\ni\)를 생략할 수 있다.

실수 점 대신 무한대 점에서의 극한을 정의할 수 있다. 즉, 실수 함수 \(f\colon(b,\infty)\to\mathbb R\)에 대하여, 무한대에서 함수 \(f\)의 '''극한'''은 다음 조건을 만족시키는 실수 \(L=\lim_{x\to\infty}f(x)\in\mathbb R\)이다.

  • 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, \(M>0\)가 존재하여, \(x>M\)이면 항상 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다.


비슷하게, 실수 함수 \(f\colon(-\infty,b)\to\mathbb R\)에 대하여, 음의 무한대에서 함수 \(f\)의 '''극한'''은 다음 조건을 만족시키는 실수 \(L=\lim_{x\to-\infty}f(x)\in\mathbb R\)이다.

  • 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, \(M>0\)가 존재하여, \(x<-M\)이면 항상 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다.


실수 극한 대신 무한대 극한을 정의할 수 있다. 다만, 무한대 극한은 더 넓은 의미의 극한이다. 다시 말해, 무한대 극한을 갖는 경우 극한이 존재한다고 보지 않는다. 열린구간 \(I\ni a\) 및 실수 함수 \(f\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R\)가 다음 조건을 만족시킨다면, 점 \(a\)에서 함수 \(f\)의 극한이 무한대라고 하며, \(\lim_{x\to a}f(x)=\infty\)라 표기한다.

  • 임의의 \(M>0\)에 대하여, \(\delta>0\)가 존재하여, \(0<|x-a|<\delta\)이면 항상 \(f(x)>M\)이다.


비슷하게, \(f\)가 다음 조건을 만족시킨다면, 점 \(a\)에서 함수 \(f\)의 극한이 음의 무한대라고 하며, \(\lim_{x\to a}f(x)=-\infty\)라 표기한다.

  • 임의의 \(M>0\)에 대하여, \(\delta>0\)가 존재하여, \(0<|x-a|<\delta\)이면 항상 \(f(x)<-M\)이다.


이와 마찬가지로, 무한대 좌극한 · 무한대 우극한 · 무한대에서의 무한대 극한 등을 정의할 수 있다.

2. 2. 성질

함수의 극한은 다음과 같은 성질을 갖는다.

  • 극한의 유일성: 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 그 값은 유일하다.[1] 이는 함수의 극한 표기에 $$\lim$$를 사용할 수 있는 이유이다.

  • 좌극한과 우극한의 관계: 열린구간 $$I \ni a$$ 및 실수 함수 $$f\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R$$에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.
  • 극한 존재: $$\lim_{x\to a}f(x)=L$$
  • 좌극한과 우극한 존재 및 일치: $$\lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a-0}f(x)=L$$
  • 상극한과 하극한 존재 및 일치: $$\limsup_{x\to a}f(x)=\liminf_{x\to a}f(x)=L$$
  • '닿지 않는' 수열의 극한 보존: 모든 $$(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq I\setminus\{a\}$$에 대하여, $$\lim_{n\to\infty}x_n=a$$라면, $$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L$$이다.
  • '닿지 않는' 수열의 극한 보존 (세부 조건):
  • 모든 $$(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq I\setminus\{a\}$$에 대하여, $$\lim_{n\to\infty}x_n=a$$라면, $$\lim_{n\to\infty}f(x_n)$$가 존재한다.
  • 어떤 $$(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq I\setminus\{a\}$$에 대하여, $$\lim_{n\to\infty}x_n=a$$이며, $$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L$$이다.

  • 국소 유계: 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 함수는 그 점에서 국소 유계 함수이다.

  • 순서 보존: 함수의 극한은 순서를 보존한다. 열린구간 $$I \ni a$$ 및 $$a$$에서 극한이 존재하는 함수 $$f, g\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R$$에 대하여, 다음 두 성질이 성립한다. (서로 대우 명제)
  • 어떤 빠진 근방 $$J\setminus\{a\}\subseteq I\setminus\{a\}$$에서 항상 $$f(x)\le g(x)$$라면, $$\lim_{x\to a}f(x)\le\lim_{x\to a}g(x)$$이다.
  • $$\lim_{x\to a}f(x)<\lim_{x\to a}g(x)$$이라면, 어떤 빠진 근방 $$J\setminus\{a\}\subseteq I\setminus\{a\}$$에서 항상 $$f(x)

  • 사칙 연산 보존: 함수의 극한은 사칙 연산을 보존한다. 열린구간 $$I \ni a$$ 및 $$a$$에서 극한이 존재하는 함수 $$f,g\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R$$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
  • $$\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$$
  • $$\lim_{x\to a}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)$$
  • $$\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\lim_{x\to a}f(x)\lim_{x\to a}g(x)$$
  • 만약 추가로 어떤 빠진 근방 $$J\setminus\{a\}\subseteq I\setminus\{a\}$$에서 항상 $$g(x)\ne0$$이라면, $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)}$$

미분을 사용하여 0/0 또는 ±∞/±∞ 형태의 부정형 극한을 구하며, 이러한 경우에만 적용된다. 다른 부정형은 이 형태로 조작될 수 있다. 원하는 극한점 $$c$$를 포함하는 열린 구간 $$I$$에서 정의된 두 함수 $$f(x)$$와 $$g(x)$$가 다음을 만족한다면:

1. $$\lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=0,$$ 또는 $$\lim_{x \to c}f(x)=\pm\lim_{x \to c}g(x) = \pm\infty,$$ 이고

2. $$f$$와 $$g$$는 $$I \setminus \{c\}$$에서 미분 가능하며,

3. 모든 $$ x \in I \setminus \{c\}$$에 대해 $$g'(x)\neq 0$$이고,

4. $$\lim_{x\to c}\tfrac{f'(x)}{g'(x)}$$가 존재한다면,

다음이 성립한다.

:$$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

2. 3. 예


  • (상수 함수의 극한) \(\lim_{x\to a}c=c\)
  • (유리 함수의 극한) \(\lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+\cdots+b_1x+b_0}=

\begin{cases}\infty&n>m\\\frac{a_n}{b_m}&n=m\\0&n0)\)

  • (자연로그의 밑) \(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=\lim_{x\to0}(1+x)^\frac1x=e\)
  • (동위 무한소) \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x=1\)
  • (고위 무한소) \(\lim_{x\to\infty}\frac{\log_ax}{x^p}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^p}{b^x}=0\qquad(a,b>1;\;p>0)\)


다음과 같은 등위 무한소 기호를 도입한다.

:\(f\sim g\quad(x\to0)\iff \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}g(x)=0;\;\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=1\)

그러면 다음과 같은 관계들이 성립한다.

:\(x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim e^x-1\sim\ln(1+x)\quad(x\to0)\)

:\(a^x-1\sim x\ln a\quad(x\to0)\qquad(a>0)\)

:\((1+x)^a-1\sim ax\quad(x\to0)\qquad(a>0)\)

:\(1-\cos x\sim\frac12x^2\quad(x\to0)\)

:\(\tan x-\sin x\sim\frac12x^3\quad(x\to0)\)

함수

f(x)=\begin{cases}

\sin\frac{5}{x-1} & \text{ for } x<1 \\

0 & \text{ for } x=1 \\[2pt]

\frac{1}{10x-10}& \text{ for } x>1

\end{cases}

는 x = 1에서 극한이 존재하지 않는다. 하지만 다른 모든 x 좌표에서는 극한을 가진다.

함수

f(x)=\begin{cases}

1 & x \text{ 유리수 } \\

0 & x \text{ 무리수 }

\end{cases}

는 모든 x 좌표에서 극한이 존재하지 않는다.

함수

f(x)=\begin{cases}

1 & \text{ for } x < 0 \\

2 & \text{ for } x \ge 0

\end{cases}

는 0이 아닌 모든 x 좌표에서 극한값을 갖는다. x = 0에서의 극한값은 존재하지 않는다.

함수

f(x)=\begin{cases}

x & x \text{ 유리수 } \\

0 & x \text{ 무리수 }

\end{cases}

과

f(x)=\begin{cases}

|x| & x \text{ 유리수 } \\

0 & x \text{ 무리수 }

\end{cases}

는 모두 x = 0에서 극한값을 가지며, 그 값은 0이다.

함수

f(x)=\begin{cases}

\sin x & x \text{ 무리수 } \\

1 & x \text{ 유리수 }

\end{cases}

는 모든 정수 n에 대해 \(\tfrac{\pi}{2} + 2n\pi\) 형태의 x-좌표에서 극한값을 갖는다.

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유리 함수 \(f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\) (여기서 p와 q는 다항식)의 무한대에서의 극한을 평가하기 위한 세 가지 기본 규칙은 다음과 같다.

  • 만약 p의 차수가 q의 차수보다 크면, 극한은 최고차항 계수의 부호에 따라 양의 무한대 또는 음의 무한대가 된다.
  • 만약 p와 q의 차수가 같다면, 극한은 p의 최고차항 계수를 q의 최고차항 계수로 나눈 값이다.
  • 만약 p의 차수가 q의 차수보다 작으면, 극한은 0이다.


무한대에서의 극한이 존재한다면, 이는 y = L에서 수평 점근선을 나타낸다. 다항식은 수평 점근선을 갖지 않지만, 이러한 점근선은 유리 함수에서 발생할 수 있다.

음이 아닌 정수 n과 상수 \(a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n\) 및 \(b_1, b_2, b_3,\ldots, b_n\)에 대해,

\(\lim_{x \to \infty} \frac{a_1 x^n + a_2 x^{n-1} + a_3 x^{n-2} + \dots + a_n}{b_1 x^n + b_2 x^{n-1} + b_3 x^{n-2} + \dots + b_n} = \frac{a_1}{b_1}\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0\)

\(\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{r \to \infty} \left(1+\frac{1}{r}\right)^r = e\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x} = 1\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-1}{bx} = \frac{a}{b}\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{c^{ax}-1}{bx} = \frac{a}{b}\ln c\)

\(\lim_{x \to 0^+} x^x = 1\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{bx} = \frac{a}{b}\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{\log_c(1+ax)}{bx} = \frac{a}{b\ln c}\)

\(f(x)\)를 실수 함수, \(c\)를 실수라고 하자.

\(\lim_{x \to c}f(x) = L \) 또는 \(f(x) \rightarrow L \quad (x \rightarrow c)\)는 \(x\)의 값을 \(c\)에 "충분히 가깝게" 하면 \(f(x)\)의 값을 \(L\)에 원하는 만큼 가까이할 수 있음을 의미한다. 이때 "x를 c에 접근시킬 때 f(x)의 극한은 L이다"라고 한다.

예를 들어, \(x\)가 2에 접근할 때 \(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\)의 값을 생각한다. 이 경우, \(f(x)\)는 \(x\)가 2일 때 정의되어 있으며, 값은 0.4이다.

  • \(f(1.9)=0.4121\)
  • \(f(1.99)=0.4012\)
  • \(f(1.999)=0.4001\)


\(x\)가 2에 접근함에 따라 \(f(x)\)가 0.4에 접근한다. 따라서 \(\lim_{x\to 2}f(x)=0.4\)이다. 이와 같이 \(f(c) = \lim_{x\to c} f(x)\)일 때, \(f(x)\)는 \(x = c\)에서 연속이라고 한다. 그러나 이러한 일이 항상 성립하는 것은 아니다.

예를 들어,

:g(x)=\begin{cases}

\frac{x}{x^2+1}, & \mbox{if }x\ne 2 \\

0, & \mbox{if }x=2

\end{cases}

를 생각한다. \(x\)가 2에 접근할 때 \(g(x)\)의 극한은 0.4이지만, \(\lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2)\)이다. 따라서 \(g(x)\)는 \(x = 2\)에서 연속이 아니다.

\(x\to c\)일 때, \(f(x)\)의 값이 한없이 커지는 것을 "\(x\)가 \(c\)에 한없이 가까워질 때 함수 \(f(x)\)는 양의 무한대로 발산한다"라고 하며, \(\lim_{x\to c}f(x)=\infty\) 또는 \(f(x)\to \infty\quad (x\to c)\)로 나타낸다. 반대로, \(x\to c\)일 때, \(f(x)\)의 값이 한없이 작아지는 것을 "\(x\)가 \(c\)에 한없이 가까워질 때 함수 \(f(x)\)는 음의 무한대로 발산한다"라고 하며, \(\lim_{x\to c}f(x)=-\infty\) 또는 \(f(x)\to -\infty\quad (x\to c)\)로 나타낸다. 연속인 실수 함수 \(f(x)\)가 \(x \to c\)일 때의 극한에서 발산한다면, \(f(x)\)는 \(x = c\)에서 정의할 수 없다. 왜냐하면 정의되어 있었다면 \(x = c\)는 불연속점이 되기 때문이다.

\(x\)가 유한한 값에 접근할 뿐만 아니라, \(x\)가 양 또는 음의 무한대에 접근할 때의 함수의 극한을 정의할 수도 있다. 어떤 무한 구간 \((a, \infty)\)에서 정의되는 함수 \(f(x)\)에 있어서, \(x\)가 한없이 커질 때 함수 \(f(x)\)의 값이 어떤 값 \(L\)에 접근할 때, "\(x\)가 한없이 커질 때 \(f(x)\)는 \(L\)에 수렴한다"라고 하며, \(\lim_{x\to\infty}f(x)=L\) 또는 \(f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow\infty)\)로 나타낸다.

예를 들어, \(f(x) = \frac{2x}{x+1}\)을 생각한다.

  • \(f(100) = 1.9802\)
  • \(f(1000) = 1.9980\)
  • \(f(10000) = 1.9998\)


\(x\)가 충분히 커짐에 따라 \(f(x)\)는 2에 접근한다. 이때 \(\lim_{x\to\infty} f(x)=2\)로 나타낸다.

또한, 어떤 무한 구간 \((-\infty, a)\)에서 정의되는 함수 \(f(x)\)에 있어서, \(x\)가 한없이 작아질 때 함수 \(f(x)\)의 값이 어떤 값 \(L\)에 접근할 때, "\(x\)가 한없이 작아질 때 \(f(x)\)는 \(L\)에 수렴한다"라고 하며, \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=L\) 또는 \(f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow -\infty)\)로 나타낸다.

함수의 무한대에서의 극한에서도 함수의 발산을 생각할 수 있다. 어떤 무한 구간 \((a, \infty)\)에서 정의되는 함수 \(f(x)\)에 있어서, \(x\)가 한없이 커질 때 함수 \(f(x)\)의 값도 한없이 커질 때, "\(x\)가 한없이 커질 때 \(f(x)\)는 양의 무한대로 발산한다"라고 하며, \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\) 또는 \(f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow\infty)\)로 나타낸다. 또한, 어떤 무한 구간 \((-\infty, a)\)에서 정의되는 함수 \(f(x)\)에 있어서, \(x\)가 한없이 작아질 때 함수 \(f(x)\)의 값이 한없이 커질 때, "\(x\)가 한없이 작아질 때 \(f(x)\)는 양의 무한대로 발산한다"라고 하며, \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty\) 또는 \(f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow -\infty)\)로 나타낸다. 마찬가지로, \(x \to \infty\)나 \(x \to -\infty\)에서의 음의 무한대로의 발산을 정의할 수 있다.

\(x \to \infty\)나 \(x \to -\infty\)에서, 함수 \(f(x)\)가 수렴하지도 않고, 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는 경우, 그 함수는 수열과 마찬가지로 진동한다고 한다.

3. 다변수 함수의 극한

다변수 함수의 극한은 유클리드 공간에서 정의된 함수에서 변수가 특정 점으로 접근할 때 함수 값의 변화를 나타낸다.

두 유클리드 공간 사이의 함수의 극한은 실수와 비슷한 성질을 갖는다. 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 이는 유일하며, 그 점을 포함하는 어떤 열린 공에서 유계 함수이다. 어떤 점에서 두 함수의 극한이 존재한다면, 그 함수들의 선형 결합의 극한은 각 함수의 극한의 선형 결합과 같다. 또한, 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다는 것은 극한과 닿지 않는 모든 수열의 극한을 보존한다는 것이다. 공역이 1차원 유클리드 공간(즉 실수 공간)인 경우, 극한은 순서를 보존하며, 샌드위치 정리가 성립한다.

연결 열린집합 \mathbf a\in D\subseteq\mathbb R^n 및 함수 \mathbf f\colon D\setminus\{\mathbf a\}\to\mathbb R^m 및 점 \mathbf L\in\mathbb R^m에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이다.


  • \lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)=\mathbf L
  • \lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\Vert\mathbf f(\mathbf x)-\mathbf L\Vert_{\mathbb R^m}=0
  • \lim_{\mathbf x\to\mathbf a}f_j(\mathbf x)=L_j\qquad j=1,2,\ldots,m


이에 따라, 다변수 함수의 극한 개념은 공역이 실수 공간인 경우로 귀결된다.

함수가 극한을 갖는다고 해서 반드시 다중 극한을 가질 필요는 없으며, 반대로 다중 극한을 갖는다고 해서 극한을 가질 필요는 없다. 그러나 일반 극한과 다중 극한이 모두 존재한다면, 둘은 서로 같다.

예를 들어, 함수

:f(x,y)=\begin{cases}0&xy=0\\1&xy\ne0\end{cases}\qquad(x,y)\in\mathbb R^2

는 (0,0)\in\mathbb R^2에서 극한을 갖지 않지만, 다중 극한 1을 갖는다.

:\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}f(x,y)=\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}f(x,y)=1

반면, 함수

:g(x,y)=\begin{cases}(x+y)\sin\frac1x\sin\frac1y&xy\ne0\\0&xy=0\end{cases}\qquad(x,y)\in\mathbb R^2

는 (0,0)\in\mathbb R^2에서 극한 0을 갖지만, 다중 극한을 갖지 않는다.

:\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)=0

3. 1. 정의

유클리드 공간 \mathbb R^n의 연결 열린집합 \mathbf a\in D\subseteq\mathbb R^n 및 함수 \mathbf f\colon D\setminus\{\mathbf a\}\to\mathbb R^m에 대하여, 점 \mathbf a에서 함수 \mathbf f의 '''극한'''은 다음 조건을 만족시키는 점 \mathbf L=\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)\in\mathbb R^m이다.

  • 임의의 \epsilon>0에 대하여, \delta>0이 존재하여, 0<\Vert\mathbf x-\mathbf a\Vert_{\mathbb R^n}<\delta이면 항상 \Vert\mathbf f(\mathbf x)-\mathbf L\Vert_{\mathbb R^m}<\epsilon이다.


점 \mathbf a에서 함수 \mathbf f의 '''다중 극한'''은 반복적으로 각각의 변수에 대하여 극한을 취한 것이다. (다중 극한과 극한은 서로 필요 조건도 아니고 충분 조건도 아니다.)

:\lim_{x_1\to a_1}\lim_{x_2\to a_2}\cdots\lim_{x_n\to a_n}\mathbf f(\mathbf x)

유클리드 공간 \mathbb R^n의 연결 열린집합 D\subseteq\mathbb R^n 및 함수 \mathbf f\colon D\to\mathbb R^m 및 D의 부분 집합 E\subseteq D 및 그 극한점 \mathbf a\in E'에 대하여, 집합 E의 범위에서 점 \mathbf a에서 함수 \mathbf f의 '''극한'''은 다음 조건을 만족시키는 점 L=\lim_{E\ni\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)\in\mathbb R^m이다.

  • 임의의 \epsilon>0에 대하여, \delta>0이 존재하여, \mathbf x\in E이고 0<\Vert\mathbf x-\mathbf a\Vert_{\mathbb R^n}<\delta이면 항상 \Vert\mathbf f(\mathbf x)-\mathbf L\Vert_{\mathbb R^m}<\epsilon이다.


절댓값이 거리를 나타낸다는 점에 주목하여, 극한의 정의는 둘 이상의 변수의 함수로 확장될 수 있다. S \times T \subseteq \R^2에서 정의된 함수 f : S \times T \to \R의 경우, 극한을 다음과 같이 정의한다. '''f의 (x, y)가 (p, q)에 접근할 때의 극한은 L이다''', 다음과 같이 표기한다.

: \lim_{(x,y) \to (p, q)} f(x, y) = L

다음 조건이 성립할 경우:

:모든 \epsilon > 0에 대해, 모든 x in S 및 y in T에 대해 0 < \sqrt{(x-p)^2 + (y-q)^2} < \delta인 \delta > 0가 존재하며, 이때 |f(x, y) - L| < \epsilon이 성립한다.[12]

또는 형식적으로:

:(\forall \varepsilon > 0)\, (\exists \delta > 0)\, (\forall x \in S) \, (\forall y \in T)\, (0 < \sqrt{(x-p)^2 + (y-q)^2} < \delta \implies |f(x, y) - L| < \varepsilon)).

여기서 \sqrt{(x-p)^2 + (y-q)^2}는 (x, y)와 (p, q) 사이의 유클리드 거리이다. (이는 사실상 임의의 노름 ||(x, y) - (p, q)||으로 대체될 수 있으며, 변수의 수를 늘려 확장할 수 있다.)

예를 들어, 다음과 같이 말할 수 있다.

: \lim_{(x,y) \to (0, 0)} \frac{x^4}{x^2+y^2} = 0

이는 모든 \epsilon > 0에 대해, 모든 실수 x \ne 0 및 실수 y \ne 0에 대해 0 < \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} < \delta이면 |f(x, y) - 0| < \epsilon가 되도록 \delta = \sqrt \varepsilon를 취할 수 있기 때문이다.

단일 변수의 경우와 마찬가지로, 극한의 이 정의에서 f의 (p, q)에서의 값은 중요하지 않다.

이러한 다변수 극한이 존재하려면, 이 정의는 f의 값이 (p, q)에 접근하는 모든 가능한 경로를 따라 L에 접근해야 한다.

반대로, 함수

:f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}

는 (0, 0)에서 극한을 갖지 않는다. 경로 (x, y) = (t, 0) \to (0, 0)을 취하면, 다음을 얻는다.

:\lim_{t \to 0} f(t, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{0}{t^2} = 0,

반면에 경로 (x, y) = (t, t) \to (0, 0)를 취하면, 다음을 얻는다.

:\lim_{t \to 0} f(t, t) = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{t^2 + t^2} = \frac{1}{2}.

두 값이 일치하지 않으므로, f는 (x, y)가 (0, 0)에 접근함에 따라 단일 값으로 접근하지 않는다.

다변수 함수의 또 다른 유형의 극한은 '''다중 극한'''이다. 이변수 함수의 경우, '''이중 극한'''이라고 한다.[13] f : S \times T \to \R이 S \times T \subseteq \R^2,에서 정의될 때, '''x가 p에 접근하고 y가 q에 접근할 때 f의 이중 극한은 L이다''', 즉

: \lim_{ {x \to p} \atop {y \to q} } f(x, y) = L

라고 쓰며, 다음 조건이 만족될 경우이다.

: 모든 \epsilon > 0에 대해, \delta > 0가 존재하여 S에 있는 모든 x와 T에 있는 모든 y에 대해, 0 < |x - p| < \delta이고 0 < |y - q| < \delta일 때, |f(x, y) - L| < \epsilon이다.[13]

:(\forall \varepsilon > 0)\, (\exists \delta > 0)\, (\forall x \in S) \, (\forall y \in T)\, ( (0 < |x-p| < \delta) \land (0 < |y-q| < \delta) \implies |f(x, y) - L| < \varepsilon) .

이중 극한이 존재하기 위해서는, f의 값이 (p, q)에 접근하는 모든 가능한 경로를 따라 L에 접근해야 하며, 두 선 x = p와 y = q를 제외해야 한다. 다중 극한은 일반적인 극한보다 약한 개념이다. 일반적인 극한이 존재하고 L과 같다면, 다중 극한이 존재하고 또한 L과 같다. 역은 성립하지 않는다. 다중 극한의 존재는 일반적인 극한의 존재를 의미하지 않는다. 다음 예를 살펴보자.

:f(x,y) = \begin{cases}

1 \quad \text{for} \quad xy \ne 0 \\

0 \quad \text{for} \quad xy = 0

\end{cases}

여기서

: \lim_{ {x \to 0} \atop {y \to 0} } f(x, y) = 1

이지만,

:\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)는 존재하지 않는다.

f의 정의역이 (S\setminus\{p\}) \times (T\setminus\{q\}),로 제한된다면, 두 극한의 정의는 일치한다.[13]

함수의 극한 개념은 단일 변수 함수의 극한과 유사한 방식으로 무한대에서의 극한으로 확장될 수 있다. f : S \times T \to \R에 대해, '''x와 y가 무한대로 갈 때 f의 이중 극한은 L이다'''라고 말하며, 다음과 같이 표기한다.

: \lim_{ {x \to \infty} \atop {y \to \infty} } f(x, y) = L

다음 조건이 성립할 경우:

: 모든 \epsilon > 0에 대해, 모든 x in S와 y in T에 대해 x > c이고 y > c일 때마다 |f(x, y) - L| < \epsilon가 성립하는 c > 0가 존재한다.

:(\forall \varepsilon > 0)\, (\exists c> 0)\, (\forall x \in S) \, (\forall y \in T)\, ( (x > c) \land (y > c) \implies |f(x, y) - L| < \varepsilon) .

'''x와 y가 마이너스 무한대로 갈 때 f의 이중 극한은 L이다'''라고 말하며, 다음과 같이 표기한다.

: \lim_{ {x \to -\infty} \atop {y \to -\infty} } f(x, y) = L

다음 조건이 성립할 경우:

: 모든 \epsilon > 0에 대해, 모든 x in S와 y in T에 대해 x < -c이고 y < -c일 때마다 |f(x, y) - L| < \epsilon가 성립하는 c > 0가 존재한다.

:(\forall \varepsilon > 0)\, (\exists c> 0)\, (\forall x \in S) \, (\forall y \in T)\, ( (x < -c) \land (y < -c) \implies |f(x, y) - L| < \varepsilon) .

3. 2. 성질

두 유클리드 공간 사이의 함수의 극한은 실숫값 함수의 극한과 유사한 성질을 갖는다.

  • 극한의 유일성: 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 그 극한값은 유일하다.
  • 유계성: 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 그 점을 포함하는 어떤 열린 공에서 함수는 유계 함수이다.
  • 선형 결합: 어떤 점에서 두 함수의 극한이 존재한다면, 그 함수들의 선형 결합의 극한은 각 함수의 극한의 선형 결합과 같다.
  • 수열의 극한 보존: 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다는 것은, 그 점으로 수렴하는 모든 수열에 대해, 함수에 의한 상(image)의 수열이 함수의 극한으로 수렴한다는 것과 같다.
  • 순서 보존: 공역이 1차원 유클리드 공간(실수 공간)인 경우, 극한은 순서를 보존하며, 샌드위치 정리가 성립한다.


연결 열린집합 \mathbf a\in D\subseteq\mathbb R^n 및 함수 \mathbf f\colon D\setminus\{\mathbf a\}\to\mathbb R^m 및 점 \mathbf L\in\mathbb R^m에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이다.

  • \lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)=\mathbf L
  • \lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\Vert\mathbf f(\mathbf x)-\mathbf L\Vert_{\mathbb R^m}=0
  • \lim_{\mathbf x\to\mathbf a}f_j(\mathbf x)=L_j\qquad j=1,2,\ldots,m


이에 따라, 다변수 함수의 극한은 공역이 실수 공간인 경우로 귀결된다.

일반 극한과 다중 극한의 관계는 다음과 같다.

  • 함수가 극한을 갖는다고 해서 반드시 다중 극한을 가질 필요는 없다.
  • 함수가 다중 극한을 갖는다고 해서 반드시 극한을 가질 필요는 없다.
  • 일반 극한과 다중 극한이 모두 존재한다면, 둘은 서로 같다.


예를 들어 함수

:f(x,y)=\begin{cases}0&xy=0\\1&xy\ne0\end{cases}\qquad(x,y)\in\mathbb R^2

는 (0,0)\in\mathbb R^2에서 극한을 갖지 않지만, 다중 극한 1을 갖는다.

:\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}f(x,y)=\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}f(x,y)=1

반면, 함수

:g(x,y)=\begin{cases}(x+y)\sin\frac1x\sin\frac1y&xy\ne0\\0&xy=0\end{cases}\qquad(x,y)\in\mathbb R^2

는 (0,0)\in\mathbb R^2에서 극한 0을 갖지만, 다중 극한을 갖지 않는다.

:\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)=0

다변수 함수의 또 다른 유형의 극한으로 다중 극한(이변수 함수의 경우 이중 극한)이 있다.[13]

f : S \times T \to \R이 S \times T \subseteq \R^2,에서 정의될 때, x가 p에 접근하고 y가 q에 접근할 때 f의 이중 극한은 L이다.

\lim_{ {x \to p} \atop {y \to q} } f(x, y) = L

위 식은 다음 조건이 만족될 경우이다.

(\forall \varepsilon > 0)\, (\exists \delta > 0)\, (\forall x \in S) \, (\forall y \in T)\, ( (0 < |x-p| < \delta) \land (0 < |y-q| < \delta) \implies |f(x, y) - L| < \varepsilon) .

다중 극한은 일반적인 극한보다 약한 개념이다. 일반적인 극한이 존재하고 L과 같다면, 다중 극한이 존재하고 또한 L과 같다. 역은 성립하지 않는다. 다음 예를 살펴보자.

f(x,y) = \begin{cases}

1 \quad \text{for} \quad xy \ne 0 \\

0 \quad \text{for} \quad xy = 0

\end{cases}

여기서

\lim_{ {x \to 0} \atop {y \to 0} } f(x, y) = 1

이지만,

\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)는 존재하지 않는다.

만약 f의 정의역이 (S\setminus\{p\}) \times (T\setminus\{q\}),로 제한된다면, 두 극한의 정의는 일치한다.[13]

함수의 극한 개념은 단일 변수 함수의 극한과 유사한 방식으로 무한대에서의 극한으로 확장될 수 있다.

f : S \times T \to \R에 대해, x와 y가 무한대로 갈 때 f의 이중 극한은 L이라고 한다.

\lim_{ {x \to \infty} \atop {y \to \infty} } f(x, y) = L

위 식은 다음 조건이 성립할 경우이다.

(\forall \varepsilon > 0)\, (\exists c> 0)\, (\forall x \in S) \, (\forall y \in T)\, ( (x > c) \land (y > c) \implies |f(x, y) - L| < \varepsilon) .

x와 y가 마이너스 무한대로 갈 때 f의 이중 극한은 L이라고 한다.

\lim_{ {x \to -\infty} \atop {y \to -\infty} } f(x, y) = L

위 식은 다음 조건이 성립할 경우이다.

(\forall \varepsilon > 0)\, (\exists c> 0)\, (\forall x \in S) \, (\forall y \in T)\, ( (x < -c) \land (y < -c) \implies |f(x, y) - L| < \varepsilon) .

f : S \times T \to \R이라고 하자. 예를 들어 x → p와 같이 한 변수의 극한을 취하여 y에 대한 단일 변수 함수 g : T \to \R을 얻을 수 있으며, 그런 다음 다른 변수인 y → q에 대한 극한을 취하여 숫자 L을 얻을 수 있다.

\lim_{y \to q} \lim_{x \to p} f(x, y) = \lim_{y \to q} g(y) = L.

이 극한을 다변수 함수의 '''반복 극한'''이라고 한다. 극한을 취하는 순서가 결과에 영향을 미칠 수 있다.

\lim_{y \to q} \lim_{x \to p} f(x,y) \ne \lim_{x \to p} \lim_{y \to q} f(x, y) 식은 일반적으로 성립한다.

무어-오스굿 정리에 의해 극한 \lim_{x \to p}f(x, y) = g(y)가 T에서 균등해야 등식이 성립한다.[14]

4. 거리 공간에서의 극한

거리 공간에서의 함수의 극한은 공역(함수의 출력값들이 속하는 공간)이 실수 공간인 경우로 단순화할 수 있다. 이는 다음 두 명제가 서로 동치이기 때문이다.


  • \lim_{x\to a}f(x)=L
  • \lim_{x-a}d(f(x),L)=0


여기서 d(f(x), L)은 f(x)와 L 사이의 거리를 나타낸다.

연결 열린집합 \mathbf a\in D\subseteq\mathbb R^n 및 함수 \mathbf f\colon D\setminus\{\mathbf a\}\to\mathbb R^m 및 점 \mathbf L\in\mathbb R^m에 대하여, 다음 조건은 서로 동치이다.

  • 어떤 1\le p\le\infty에 대하여, (\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^n},\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^m})\bar{}\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)=\mathbf L
  • 모든 1\le p\le\infty에 대하여, (\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^n},\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^m})\bar{}\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)=\mathbf L


즉, 유클리드 공간 위의 Lp 노름(1\le p\le\infty)에 대한 함수의 극한은 서로 같다. 그러나 이는 무한 차원에서는 성립하지 않는다.

유클리드 공간에서의 극한은 벡터 값 함수에 대한 극한을 일반화 한것이다. 예를 들어 함수 f:S \times T \to \R^3가

f(x, y) = (f_1(x, y), f_2(x, y), f_3(x, y) ).

와 같이 주어졌을 때, 유클리드 거리에서,

\lim_{(x, y) \to (p, q)} f(x, y) = (L_1, L_2, L_3)이다.

이는

(\forall \varepsilon > 0 )\, (\exists \delta > 0) \, (\forall x \in S) \, (\forall y \in T)\, \left(0 < \sqrt{(x-p)^2+(y-q)^2} < \delta \implies \sqrt{(f_1-L_1)^2 + (f_2-L_2)^2 + (f_3-L_3)^2} < \varepsilon \right).

이기 때문이다.[16]

이 예시는 유한 차원 벡터 값 함수이다. '''벡터 값 함수에 대한 극한 정리'''에 따르면 각 성분의 극한이 존재하면 벡터 값 함수의 극한은 각 성분에 극한을 취한 벡터와 같다.[16]

\lim_{(x, y) \to (p, q)} \Bigl(f_1(x, y), f_2(x, y), f_3(x, y)\Bigr) = \left(\lim_{(x, y) \to (p, q)}f_1(x, y), \lim_{(x, y) \to (p, q)}f_2(x, y), \lim_{(x, y) \to (p, q)}f_3(x, y)\right).

맨해튼 거리 공간과 같이 유클리드 공간이 아닌 다른 공간을 고려해 볼 수도 있다. f:S \to \R^2가

f(x) = (f_1(x), f_2(x)).

와 같이 주어졌다면, 맨해튼 거리에 따라,

\lim_{x \to p} f(x) = (L_1, L_2)이다.

이는

(\forall \varepsilon > 0 )\, (\exists \delta > 0) \,(\forall x \in S) \,(0 < |x - p| < \delta \implies |f_1 - L_1| + |f_2 - L_2| < \varepsilon).

이기 때문이다.

이것 또한 유한 차원 벡터값 함수이므로, 위에 언급된 극한 정리가 적용된다.

4. 1. 정의

두 거리 공간 (M,d_M), (N,d_N) 사이의 함수 f\colon M\to N에 대하여, 점 a\in M에서 함수 f의 '''극한'''은 다음 조건을 만족시키는 점 L=\lim_{x\to a}f(x)\in N이다.

  • 임의의 \epsilon>0에 대하여, \delta>0이 존재하여, 0이면 항상 d_N(f(x),L)<\epsilon이다.


같은 집합 위의 서로 다른 거리 함수에 대하여 서로 다른 함수의 극한을 정의 내릴 수 있다. 구분이 필요한 경우, 거리 함수 d_M,d_N에 대한 함수의 극한을 (d_M,d_N)\bar{}\lim_{x\to a}f(x)와 같이 표기한다. 특히, 노름 \Vert\cdot\Vert_V,\Vert\cdot\Vert_W에 의해 유도되는 거리 함수에 대한 함수의 극한을 (\Vert\cdot\Vert_V,\Vert\cdot\Vert_W)\bar{}\lim_{x\to a}f(x)와 같이 표기한다.

만약 M과 N이 각각 거리 공간 A와 B의 부분 집합이고, f : M \to N이 M과 N 사이에서 정의되며, x \in M, p가 M의 극한점이고, L \in N라고 하자. 이때, '''x가 p에 접근할 때 f의 극한은 L이다'''라고 말하며, 다음과 같이 표기한다.

\lim_{x \to p}f(x) = L

다음 성질이 만족될 때:[15]

(\forall \varepsilon > 0 )\, (\exists \delta > 0) \,(\forall x \in M) \,(0 < d_A(x, p) < \delta \implies d_B(f(x), L) < \varepsilon).

다시 말해, p는 f의 정의역에 속할 필요가 없으며, L도 f의 치역에 속할 필요가 없다. 또한, f(p)가 정의되더라도 L과 같을 필요는 없다.

유클리드 공간에서의 극한은 벡터 값 함수에 대한 극한의 직접적인 일반화이다. 예를 들어, 다음과 같은 함수 f:S \times T \to \R^3을 고려할 수 있다.

f(x, y) = (f_1(x, y), f_2(x, y), f_3(x, y) ).

그러면, 일반적인 유클리드 거리에서,

\lim_{(x, y) \to (p, q)} f(x, y) = (L_1, L_2, L_3)

다음이 성립하면:[16]

(\forall \varepsilon > 0 )\, (\exists \delta > 0) \, (\forall x \in S) \, (\forall y \in T)\, \left(0 < \sqrt{(x-p)^2+(y-q)^2} < \delta \implies \sqrt{(f_1-L_1)^2 + (f_2-L_2)^2 + (f_3-L_3)^2} < \varepsilon \right).

이 예에서, 관련 함수는 유한-차원 벡터 값 함수이다. 이 경우, '''벡터 값 함수에 대한 극한 정리'''는 각 성분의 극한이 존재하면, 벡터 값 함수의 극한은 각 성분에 극한을 취한 벡터와 같다고 말한다:[16]

\lim_{(x, y) \to (p, q)} \Bigl(f_1(x, y), f_2(x, y), f_3(x, y)\Bigr) = \left(\lim_{(x, y) \to (p, q)}f_1(x, y), \lim_{(x, y) \to (p, q)}f_2(x, y), \lim_{(x, y) \to (p, q)}f_3(x, y)\right).

함수의 극한을 고려할 때 유클리드 공간 이외의 공간을 고려할 수도 있다. 예시로 맨해튼 거리 공간이 있다. f:S \to \R^2가 주어져 다음과 같이 표현된다고 하자.

f(x) = (f_1(x), f_2(x)).

그렇다면, 맨해튼 거리에 따라,

\lim_{x \to p} f(x) = (L_1, L_2)

다음이 성립한다면:

(\forall \varepsilon > 0 )\, (\exists \delta > 0) \,(\forall x \in S) \,(0 < |x - p| < \delta \implies |f_1 - L_1| + |f_2 - L_2| < \varepsilon).

이것 또한 유한 차원 벡터값 함수이므로, 위에 언급된 극한 정리가 적용된다.

함수 공간에서 극한에 대해 논의해 볼 것이다. 함수 공간은 무한 차원을 갖는다. 함수 공간 S \times T \to \R에서 함수 f(x, y)를 고려해 보자. 우리는 x가 p에 접근할 때 f(x, y)가 함수 공간 T \to \R에 있는 다른 함수 g(y)에 어떻게 접근하는지 알고자 한다. 이 함수 공간에서의 "근접성"은 균등 거리 아래에서 측정될 수 있다.[17] 그러면, 우리는 '''x가 p에 접근할 때 T에서 f의 균등 극한은 g'''라고 말하고 다음과 같이 쓴다.

\underset{ {x \to p} \atop {y \in T} }{\mathrm{unif} \lim \;} f(x, y) = g(y), 또는

\lim_{x \to p}f(x, y) = g(y) \;\; \text{uniformly on} \; T,

다음이 성립하면:

(\forall \varepsilon > 0 )\, (\exists \delta > 0) \,(\forall x \in S) \,(0 < |x-p| < \delta \implies \sup_{y \in T} | f(x, y) - g(y) | < \varepsilon).

사실, 이 정의는 이전 절에서 소개된 다변수 함수의 균등 극한의 정의와 동등함을 알 수 있다.

4. 2. 성질

두 거리 공간 (M,d_M), (N,d_N) 사이의 함수 f\colon M\to N 및 점 L\in N에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

  • \lim_{x\to a}f(x)=L
  • \lim_{x-a}d(f(x),L)=0


이에 따라, 거리 공간 위의 함수의 극한은 공역이 (표준적인 거리 함수를 갖춘) 실수 공간인 경우로 귀결된다.

연결 열린집합 \mathbf a\in D\subseteq\mathbb R^n 및 함수 \mathbf f\colon D\setminus\{\mathbf a\}\to\mathbb R^m 및 점 \mathbf L\in\mathbb R^m에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이다.

  • 어떤 1\le p\le\infty에 대하여, (\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^n},\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^m})\bar{}\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)=\mathbf L
  • 모든 1\le p\le\infty에 대하여, (\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^n},\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^m})\bar{}\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)=\mathbf L


즉, 유클리드 공간 위의 Lp 노름 (1\le p\le\infty)에 대한 함수의 극한은 서로 동치이다. 그러나, 이는 무한 차원의 경우 성립하지 않는다.

유클리드 공간에서의 극한은 벡터 값 함수에 대한 극한의 직접적인 일반화이다. 예를 들어, 다음과 같은 함수 f:S \times T \to \R^3을 고려할 수 있다.

:f(x, y) = (f_1(x, y), f_2(x, y), f_3(x, y) ).

그러면, 일반적인 유클리드 거리에서,

:\lim_{(x, y) \to (p, q)} f(x, y) = (L_1, L_2, L_3)

다음이 성립한다:[16]

:(\forall \varepsilon > 0 )\, (\exists \delta > 0) \, (\forall x \in S) \, (\forall y \in T)\, \left(0 < \sqrt{(x-p)^2+(y-q)^2} < \delta \implies \sqrt{(f_1-L_1)^2 + (f_2-L_2)^2 + (f_3-L_3)^2} < \varepsilon \right).

이 예에서, 관련 함수는 유한 차원 벡터 값 함수이다. 이 경우, '''벡터 값 함수에 대한 극한 정리'''는 각 성분의 극한이 존재하면, 벡터 값 함수의 극한은 각 성분에 극한을 취한 벡터와 같다고 말한다:[16]

:\lim_{(x, y) \to (p, q)} \Bigl(f_1(x, y), f_2(x, y), f_3(x, y)\Bigr) = \left(\lim_{(x, y) \to (p, q)}f_1(x, y), \lim_{(x, y) \to (p, q)}f_2(x, y), \lim_{(x, y) \to (p, q)}f_3(x, y)\right).

함수의 극한을 고려할 때 유클리드 공간 이외의 공간을 고려할 수도 있다. 예시로 맨해튼 거리 공간이 있다. f:S \to \R^2가 주어져 다음과 같이 표현된다고 하자.

:f(x) = (f_1(x), f_2(x)).

그렇다면, 맨해튼 거리에 따라,

:\lim_{x \to p} f(x) = (L_1, L_2)

다음이 성립한다.

:(\forall \varepsilon > 0 )\, (\exists \delta > 0) \,(\forall x \in S) \,(0 < |x - p| < \delta \implies |f_1 - L_1| + |f_2 - L_2| < \varepsilon).

이것 또한 유한 차원 벡터값 함수이므로, 위에 언급된 극한 정리가 적용된다.

5. 역사

라이프니츠는 곡선 위에 있는 한 점의 기울기를 나타내기 위해 함수의 극한을 도입하였다.[22]

17세기와 18세기의 미적분학 발전에서 암묵적으로 나타났지만, 함수의 극한에 대한 현대적 개념은 1817년 볼차노로 거슬러 올라간다. 볼차노는 연속 함수를 정의하기 위해 (ε, δ)-극한의 정의를 도입했다. 그러나 그의 연구는 생전에 알려지지 않았다.[1]

1821년 저서 해석학 강의|해석학 강의프랑스어에서 오귀스탱 루이 코시는 변량, 무한소 및 극한에 대해 논의하고, x에서의 무한소 변화가 y에서의 무한소 변화를 반드시 일으킨다고 말함으로써 y=f(x)의 연속성을 정의했다. Grabiner는 그가 증명에서 엄격한 입실론-델타 정의를 사용했다고 주장한다.[2] 1861년, 바이어슈트라스는 오늘날 일반적으로 사용되는 형태로 극한의 입실론-델타 정의를 처음으로 도입했다.[3]

극한 기호 아래에 화살표를 놓는 현대적 표기법은 하디에 의한 것으로, 1908년 그의 저서 ''순수 수학 강좌''에서 소개되었다.[5]

참조

[1] 간행물 Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta
[2] 간행물 Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus http://www.maa.org/e[...]
[3] 간행물 Historia epsylontyki Cornell University
[4] 서적 The History of Mathematics: An introduction McGraw–Hill
[5] 간행물 Earliest Uses of Symbols of Calculus http://jeff560.tripo[...] 2004-12-01
[6] 간행물 Calculus with Analytic Geometry https://books.google[...] Taylor & Francis
[7] 문서 Bartle Sherbert 2000
[8] 문서 Bartle 1967
[9] 문서 Hubbard 2015
[10] 문서 Apostol 1974 Courant 1924 Hardy 1921 Rudin 1964 Whittaker Watson 1904
[11] 웹사이트 Limit https://encyclopedia[...]
[12] 간행물 Multivariable Calculus Cengage Learning
[13] 간행물 Mathematical Anaylysis, Volume I University of Windsor
[14] 간행물 General Theory of Functions and Integration Dover Books on Mathematics Series
[15] 간행물 Principles of mathematical analysis http://worldcat.org/[...] McGraw - Hill Book C 1986
[16] 간행물 The Calculus of Vector-Valued Functions II https://math.librete[...] 2019
[17] 간행물 Principles of mathematical analysis http://worldcat.org/[...] McGraw - Hill Book C 1986
[18] 간행물 Andrzej Mostowski and foundational studies IOS, Amsterdam
[19] 간행물 The Strength of Nonstandard Analysis Springer
[20] 간행물 Ten misconceptions from the history of analysis and their debunking
[21] 간행물 1908 International Congress of Mathematicians 1908-04-07
[22] 서적 Calculus Made Easy 1998


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