웨이블릿

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1. 개요

웨이블릿은 디지털 신호 처리, 영상 처리, 데이터 압축 등 다양한 분야에 활용되는 수학적 도구이다. 20세기 초 알프레드 하르의 연구를 시작으로 발전해왔으며, 1980년대 초 'ondelette'라는 프랑스어 단어에서 유래된 'wavelet'이라는 용어가 사용되기 시작했다. 웨이블릿 변환은 연속 웨이블릿 변환(CWT)과 이산 웨이블릿 변환(DWT)으로 나뉘며, CWT는 신호 분석에, DWT는 데이터 압축에 주로 사용된다. 푸리에 변환과 비교하여 시간과 주파수 모두에서 국소화된 분석이 가능하다는 장점을 가지며, JPEG 2000 이미지 압축 표준, 통신 기술, 신호 잡음 제거 등 다양한 분야에 응용되고 있다.

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웨이블릿
웨이블릿
유형	함수
분야	수학 신호 처리 영상 처리 양자 역학
수학적 정의
정의	웨이블릿 변환에 사용되는 국소화된 파동 함수 시간 또는 공간에서 유한한 길이를 가지는 파동 급격하게 0으로 수렴하는 파동
특징	진폭이 주기적으로 변화하는 파동과 달리 감소 시간-주파수 분석에 활용 다해상도 분석에 유용
웨이블릿 종류
마더 웨이블릿	모든 웨이블릿 변환의 기초 시간 축에서 변환 및 확장을 통해 다른 웨이블릿 생성
파더 웨이블릿	스케일링 함수 또는 스케일링 웨이블릿이라고도 함 다해상도 분석에서 사용 근사 공간을 생성하는 데 활용
웨이블릿 변환
용도	신호 및 영상 분석 데이터 압축 잡음 제거 특징 추출 양자 역학 계산
특징	시간 및 주파수 정보를 동시에 분석 푸리에 변환의 단점 보완 비정상 신호 분석에 적합 다해상도 분석 가능
관련 용어
관련 용어	푸리에 변환 신호 처리 영상 처리 다해상도 분석 시간-주파수 분석

2. 역사

1975년 엘프 아키텐(Elf Aquitaine)에서 석유 탐사를 하던 장 모를레(Jean Morlet)가 웨이블릿 개념을 발견했다. 1981년 모를레는 알렉스 그로스만(Alex Grossman)과의 공동 연구를 통해 연속 웨이블릿 변환(Goupillaud)을 공식화했다. 연속 변환은 모든 가능한 스케일과 변환에 대해 작동하는 반면, 이산 변환은 모든 스케일과 변환 값의 특정 하위 집합을 사용한다는 점이 주요 차이점이다.

1997년부터 2000년까지 투라즈 에브라히미(Touradj Ebrahimi)(후에 JPEG 회장)가 의장을 맡은 공동 사진 전문가 그룹(Joint Photographic Experts Group, JPEG) 위원회에 의해 JPEG 2000 표준이 개발되었다.^[21] 원래 JPEG 형식에 사용된 이산 코사인 변환(DCT) 알고리즘과는 달리, JPEG 2000은 대신 이산 웨이블릿 변환(discrete wavelet transform, DWT) 알고리즘을 사용한다. 손실 압축 알고리즘에는 CDF 9/7 웨이블릿 변환(1992년 잉그리드 도브시(Ingrid Daubechies) 개발)을, 손실 없는 압축 알고리즘에는 Le Gall–Tabatabai (LGT) 5/3 이산 시간 필터 뱅크(1988년 디디에 르 갈(Didier Le Gall)과 알리 J. 타바타바이(Ali J. Tabatabai)가 개발)를 사용한다.^[22] JPEG 2000 기술은 모션 JPEG 2000 확장 기능을 포함하며, 2004년에 디지털 시네마(digital cinema)의 비디오 코딩 표준(video coding standard)으로 선택되었다.^[23]

2. 1. 초기 역사

웨이블릿이라는 단어는 디지털 신호 처리 및 탐사 지구물리학에서 수십 년 동안 사용되어 왔다.^[48] 1980년대 초 장 모를레(Jean Morlet)와 알렉스 그로스만(Alex Grossman)은 "작은 파동"을 의미하는 프랑스어 단어 'ondelette'를 사용했다.

웨이블릿의 발전은 20세기 초 알프레드 하르(Alfréd Haar)의 연구를 시작으로 여러 개별적인 사고의 흐름과 연결될 수 있다. 이후 데니스 가보르(Dennis Gabor)의 연구는 가보르 원자(Gabor atom)(1946)를 만들어냈다.

그 이후 웨이블릿 이론에 대한 주목할 만한 공헌은 다음과 같다:

연도	기여자	공헌
1975	조지 츠바이크(George Zweig)	연속 웨이블릿 변환(continuous wavelet transform, CWT) 발견 (원래는 달팽이관 변환)^[16]
1982	피에르 구필라우드(Pierre Goupillaud), 알렉스 그로스만(Alex Grossman), 장 모를레(Jean Morlet)	CWT 공식화
1983	얀-올로프 스트롬베르크(Jan-Olov Strömberg)	이산 웨이블릿(discrete wavelets) 초기 연구
1988	디디에 르 갈(Didier Le Gall), 알리 J. 타바타바이(Ali J. Tabatabai)	선형 위상을 가진 Le Gall–Tabatabai (LGT) 5/3-탭 비직교 필터 뱅크^[17]^[18]^[19]
1988	잉그리드 도보시(Ingrid Daubechies)	컴팩트 지지를 갖는 직교 웨이블릿
1989	스테판 말라(Stephane Mallat)	비직교 다중 해상도 프레임워크
1990	알리 아칸수(Ali Akansu)	이항 QMF(binomial QMF)
1991	나탈리 델프라트(Nathalie Delprat)	CWT의 시-주파수 해석
1993	데이비드 에드워드 뉴랜드(David Edward Newland)	조화 웨이블릿 변환(harmonic wavelet transform)
1996	아미르 사이드(Amir Said), 윌리엄 A. 펄먼(William A. Pearlman)	계층적 트리의 집합 분할(set partitioning in hierarchical trees, SPIHT)^[20]

최초의 웨이블릿은 1909년에 알프레드 하르(Alfréd Haar)에 의해 개발된 하르 웨이블릿이다.

2. 2. 발전 과정

웨이블릿의 발전은 20세기 초 알프레드 하르(Alfréd Haar)의 연구를 시작으로 여러 개별적인 사고의 흐름과 연결될 수 있다.^[48] 이후 데니스 가보르(Dennis Gabor)의 연구는 웨이블릿과 유사하게 구성되고 유사한 목적으로 적용되는 가보르 원자(Gabor atom)(1946)를 만들어냈다.

그 이후 웨이블릿 이론에 대한 주목할 만한 공헌은 다음과 같다:

1975년: 조지 츠바이크(George Zweig)가 (원래는 달팽이관 변환이라고 불렸으며, 귀의 소리 반응을 연구하는 동안 발견되었다)^[16] 연속 웨이블릿 변환(continuous wavelet transform, CWT) 발견.
1982년: 피에르 구필라우드(Pierre Goupillaud), 알렉스 그로스만(Alex Grossmann) 및 장 모를레(Jean Morlet)가 현재 CWT로 알려진 것에 대한 공식화.
1983년: 얀-올로프 스트롬베르크(Jan-Olov Strömberg)가 이산 웨이블릿에 대한 초기 연구.
1988년:
선형 위상을 가진 Le Gall–Tabatabai (LGT) 5/3-탭 비직교 필터 뱅크 개발.^[17]^[18]^[19]
잉그리드 도브시(Ingrid Daubechies)가 컴팩트 지지를 갖는 직교 웨이블릿 개발.
1989년: 스테판 말라(Stephane Mallat)가 비직교 다중 해상도 프레임워크 개발.
1990년: 알리 아칸수(Ali Akansu)가 이항 QMF(binomial QMF) 개발.
1991년: 나탈리 델프라트(Nathalie Delprat)가 CWT의 시-주파수 해석 발표.
1993년: 데이비드 에드워드 뉴랜드(David Edward Newland)가 조화 웨이블릿 변환(harmonic wavelet transform) 개발.
1996년: 아미르 사이드(Amir Said)와 윌리엄 A.펄먼(William A. Pearlman)이 계층적 트리의 집합 분할(set partitioning in hierarchical trees, SPIHT) 개발.^[20]

1997년부터 2000년까지 투라즈 에브라히미(Touradj Ebrahimi, 후에 JPEG 회장)가 의장을 맡은 공동 사진 전문가 그룹(Joint Photographic Experts Group, JPEG) 위원회에 의해 JPEG 2000 표준이 개발되었다.^[21] 원래 JPEG 형식에 사용된 이산 코사인 변환(DCT) 알고리즘과는 달리, JPEG 2000은 대신 이산 웨이블릿 변환(discrete wavelet transform, DWT) 알고리즘을 사용한다. 손실 압축 알고리즘에는 CDF 9/7 웨이블릿 변환(1992년 잉그리드 도브시(Ingrid Daubechies) 개발)을, 손실 없는 압축 알고리즘에는 Le Gall–Tabatabai (LGT) 5/3 이산 시간 필터 뱅크(1988년 디디에르 르 갈(Didier Le Gall)과 알리 J. 타바타바이(Ali J. Tabatabai)가 개발)를 사용한다.^[22] JPEG 2000 기술은 모션 JPEG 2000 확장 기능을 포함하며, 2004년에 디지털 시네마(digital cinema)의 비디오 코딩 표준(video coding standard)으로 선택되었다.^[23]

3. 웨이블릿 이론

'웨이블릿'이라는 단어는 디지털 신호 처리 및 탐사 지구물리학에서 수십 년 동안 사용되어 왔으며,^[48] 1980년대 초 장 모를레(Jean Morlet)와 알렉스 그로스만(Alex Grossmann)은 "작은 파동"을 의미하는 프랑스어 단어 'ondelette'를 사용했다.^[2]

웨이블릿 이론은 조화 분석과 관련된 시간-주파수 표현의 한 형태로, 연속 웨이블릿 변환, 이산 웨이블릿 변환, 다중 해상도 분석 기반 이산 웨이블릿 변환으로 분류된다.^[3]

연속 웨이블릿 변환과 이산 웨이블릿 변환은 하이젠베르크의 불확정성 원리를 따른다. 이산 웨이블릿 변환은 필터 뱅크를 사용하여 구현되며, 유한 임펄스 응답(FIR) 필터 또는 무한 임펄스 응답(IIR) 필터를 사용할 수 있다.

3. 1. 기본 개념

웨이블릿 이론은 조화 분석과 관련된 시간-주파수 표현의 한 형태로 간주될 수 있다.^[3] 웨이블릿 변환은 크게 연속형, 이산형, 다중 해상도 기반으로 나뉜다.

연속 웨이블릿 변환에서, 주어진 신호는 연속적인 주파수 대역에 투영된다. 예를 들어 신호는 모든 양의 주파수 ''f''에 대해 [''f'', 2''f''] 형태의 주파수 대역에서 표현될 수 있다. 이때 주파수 대역은 스케일 1의 부분 공간의 스케일된 버전이며, 이 부분 공간은 주로 하나의 생성 함수 ψ (마더 웨이블릿)의 시프트에 의해 생성된다. 스케일 ''a''의 부분 공간에 대한 함수 ''x''의 투영은 다음과 같다.

:

x_a(t)=\int_\R WT_\psi\{x\}(a,b)\cdot\psi_{a,b}(t)\,db

여기서 웨이블릿 계수는 다음과 같다.

:

WT_\psi\{x\}(a,b)=\langle x,\psi_{a,b}\rangle=\int_\R x(t){\psi_{a,b}(t)}\,dt.

신호 분석을 위해 웨이블릿 계수를 스케일로그램으로 구성할 수 있다.

연속 웨이블릿의 예시로는 메이어, 모를렛, 멕시칸햇 등이 있다.

이산 웨이블릿 변환에서는 상반평면의 이산 부분집합을 선택하여 신호를 재구성한다. 어파인 시스템을 사용하는 한 가지 예시는 실수 매개변수 ''a'' > 1, ''b'' > 0에 대해, 상반평면의 이산 부분집합이 ''m'', ''n''이 '''Z'''에 있는 모든 점 (''a^m'', ''nb a^m'')로 구성되는 것이다. 이때 상응하는 자식 웨이블릿은 다음과 같이 주어진다.

:

\psi_{m,n}(t) = \frac1{\sqrt{a^m}}\psi\left(\frac{t - nba^m}{a^m}\right).

이때, 함수

\{\psi_{m,n}:m,n\in\Z\}

가 ''L''²('''R''')의 직교 기저를 형성하면, 임의의 신호 ''x''를 재구성할 수 있다.

특수한 상황에서, 스케일링 및 시프트된 웨이블릿이 다중해상도 분석을 형성하는 경우 수치적 복잡성을 피할 수 있다. 이때 '아버지 웨이블릿' φ라는 보조 함수가 존재하며, ''a''는 정수여야 한다. 일반적인 선택은 ''a'' = 2이고 ''b'' = 1이다. 가장 유명한 아버지 및 어머니 웨이블릿 쌍은 다우베시 4탭 웨이블릿이다.

어머니 및 아버지 웨이블릿으로부터 부분 공간을 구성하면,

:

\{0\}\subset\dots\subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset V_{-2}\subset\dots\subset L^2(\R)

이는 ''L''²''의 다중해상도 분석을 형성한다.

연속 웨이블릿 변환의 해석적 요구 사항을 충족하고, 일반적인 이론적 이유로, 웨이블릿 함수는 L^p 공간

L^1(\R)\cap L^2(\R)

의 부분 공간에서 선택한다. 이는 절대적으로 적분 가능하고 제곱 적분 가능한 르베그 가측 함수들의 공간이다. 이 공간에 속하는 것은 평균이 0이고 제곱 노름이 1이라는 조건을 공식화할 수 있게 해준다.

모 웨이블릿은 인수 ''a''만큼 스케일링(또는 팽창)되고 인수 ''b''만큼 병진(또는 이동)되어 다음을 제공한다.

:

\psi _{a,b} (t) = {1 \over \sqrt a}\psi \left( {t - b \over a} \right).

이산 웨이블릿 변환의 경우, 적어도 웨이블릿 급수가 L^p 공간 ''L''²('''R''')에서 항등식의 표현이라는 조건이 필요하다. 이산 웨이블릿 변환의 대부분의 구성은 다중해상도 분석을 사용하며, 이는 스케일링 함수에 의해 웨이블릿을 정의한다.

3. 2. 웨이블릿 변환의 종류

웨이블릿 변환은 크게 연속형, 이산형, 다중 해상도 기반의 세 가지 종류로 나뉜다.^[3]

'''연속 웨이블릿 변환 (Continuous Wavelet Transform, CWT)'''

유한 에너지를 갖는 신호를 연속적인 주파수 대역에 투영한다. 예를 들어 신호는 모든 양의 주파수 ''f''에 대해 [''f'', 2''f''] 형태의 주파수 대역에서 표현될 수 있다. 원래 신호는 결과 주파수 성분에 대한 적절한 적분을 통해 재구성될 수 있다. 주파수 대역은 스케일 1의 부분 공간을 스케일링한 버전이며, 이 부분 공간은 마더 웨이블릿 ψ의 시프트에 의해 생성된다. 스케일 ''a''의 부분 공간에 대한 함수 ''x''의 투영은 웨이블릿 계수를 사용하여 표현된다.

::

WT_\psi\{x\}(a,b)=\langle x,\psi_{a,b}\rangle=\int_\R x(t){\psi_{a,b}(t)}\,dt.

신호 ''x''의 분석을 위해 웨이블릿 계수를 스케일로그램으로 구성할 수 있다.^[4]

대표적인 마더 웨이블릿
종류	이미지	설명
메이어
모를렛
멕시칸햇

'''이산 웨이블릿 변환 (Discrete Wavelet Transform, DWT)'''

연속 웨이블릿 변환에서 모든 스케일과 시프트에 대해 계산하는 것은 불가능하므로, 이산 부분집합을 선택하여 신호를 재구성한다. 실수 매개변수 ''a'' > 1, ''b'' > 0에 대한 어파인 시스템을 사용하며, 상반평면의 이산 부분집합은 ''m'', ''n''이 정수인 모든 점 (''a^m'', ''nb a^m'')로 구성된다.

'''다중해상도 기반 이산 웨이블릿 변환'''

다중해상도 분석을 통해 수치적 복잡성을 피할 수 있다. '아버지 웨이블릿' φ라는 보조 함수가 존재하며, ''a''는 정수이다. (일반적으로 ''a'' = 2, ''b'' = 1) 가장 유명한 아버지 및 어머니 웨이블릿 쌍은 다우베시 4탭 웨이블릿이다.^[9]

아버지 웨이블릿

V_{i}

는 시간 영역 특성을, 어머니 웨이블릿

W_{i}

는 주파수 영역 특성을 유지한다. 부분 공간

\dots,W_1,W_0,W_{-1},\dots

는 직교 "차이"를 가지며, ''W_m''은 부분 공간 ''V''_''m''−1 내에서 ''V_m''의 직교 여공간이다.

::

V_m\oplus W_m=V_{m-1}.

이러한 관계를 통해 고속 웨이블릿 변환 알고리즘의 기반이 되는 항등식을 유도할 수 있다.

이산 웨이블릿 변환은 계산 복잡도가 O(''N'')으로, 고속 푸리에 변환(FFT)의 O(''N'' log ''N'')보다 계산량이 적다. 이는 로그 주파수 분할을 선택했기 때문이다.^[13]

3. 3. 불확정성 원리

연속 웨이블릿 변환은 하이젠베르크의 불확정성 원리에 지배를 받는다. 마찬가지로, 이산 웨이블릿 변환에서도 불확정성 원리를 고려해야 한다.

3. 4. 필터 뱅크

이산 웨이블릿 변환은 필터 뱅크를 사용하여 구현된다. 필터 뱅크는 신호를 여러 주파수 대역으로 분해하는 필터들의 집합이다. 이산 웨이블릿 변환에서는 유한 임펄스 응답(FIR) 필터 또는 무한 임펄스 응답(IIR) 필터를 사용할 수 있다.

다중해상도 분석을 통해, 스케일링 함수(아버지 웨이블릿) φ와 웨이블릿 함수(어머니 웨이블릿) ψ를 이용하여 신호를 분해하고 재구성할 수 있다. 이때, 정수 *a* (일반적으로 *a*=2)와 *b*=1을 사용한다. 도브시의 4탭 웨이블릿은 대표적인 아버지 및 어머니 웨이블릿 쌍이다.

부분 공간 V_m과 W_m은 다음과 같이 정의된다.

$V_m=\operatorname{span}(\phi_{m,n}:n\in\Z)$ , 여기서 $\phi_{m,n}(t)=2^{-m/2}\phi(2^{-m}t-n)$
$W_m=\operatorname{span}(\psi_{m,n}:n\in\Z)$ , 여기서 $\psi_{m,n}(t)=2^{-m/2}\psi(2^{-m}t-n)$

이들로부터 구성된 수열

\{0\}\subset\dots\subset V_1\subset V_0\subset V_{-1}\subset\dots\subset L^2(\R)

은

L^2(\R)

의 다중해상도 분석을 형성한다. 부분 공간

\dots,W_1,W_0,W_{-1},\dots

는 이 수열의 직교하는 차분이며,

W_m

는

V_{m-1}

안에 있는

V_m

의 직교 여공간이 된다.

표본화 정리에 따라, 표본화 거리

2^m

의 공간

V_m

는 0부터

2^{-m-1}

의 주파수 대역을 거의 포함한다.

W_m

는 직교 여공간으로서 대역

[2^{-m-1},2^{-m}]

를 대략적으로 포함한다.

다음 항등식을 만족하는 수열

h=\{h_n\}_{n\in\Z}

와

g=\{g_n\}_{n\in\Z}

가 존재한다:

$h_n=\langle\phi_{0,0},\,\phi_{1,n}\rangle$
$\phi(t)=\sqrt2 \sum_{n\in\Z} h_n\phi(2t-n)$
$g_n=\langle\psi_{0,0},\,\phi_{1,n}\rangle$
$\psi(t)=\sqrt2 \sum_{n\in\Z} g_n\phi(2t-n)$

두 번째 항등식은 아버지 웨이블릿

\phi

의 정제 방정식이다. 이러한 항등 관계는 고속 웨이블릿 변환(FWT) 알고리즘의 기반이 된다. 고속 웨이블릿 변환은 다단계 필터링을 통해 웨이블릿 계수를 효율적으로 계산하는 알고리즘이다.

웨이블릿은 주로 스케일링 필터 ''g''에 의해 정의되며, 이는 길이가 ''2N''이고 합이 1인 유한 임펄스 응답(FIR) 저역 통과 필터이다. 쌍직교 웨이블릿에서는 분석 및 합성 필터가 별도로 결정된다. 분석에서 고역 통과 필터는 저역 통과 필터의 직교 거울 필터(QMF)로 계산되고, 합성 필터는 분석 필터의 시간 역전이다. 예를 들어, Daubechies wavelet과 Symlet wavelet은 스케일링 필터로 정의할 수 있다.

4. 다양한 웨이블릿 함수

웨이블릿은 모(母)웨이블릿이라고 불리는 웨이블릿 함수 ψ(t)와 스케일링 함수 φ(t) (아버지 웨이블릿이라고도 함)에 의해 정의된다. 웨이블릿 함수는 대역 통과 필터와 유사하며, 각 레벨마다 대역폭을 절반으로 줄이는 스케일링을 수행한다. 멕시칸햇 웨이블릿은 웨이블릿 함수로 정의되는 예시 중 하나이다.

컴팩트한 지지를 갖는 웨이블릿의 경우, φ(t)는 유한한 길이로 간주될 수 있으며 스케일링 필터 g와 동일하다. 메이어 웨이블릿은 스케일링 함수로 정의될 수 있다.

다양한 웨이블릿 변환을 이산화할 때, 상반평면의 각 유계 직사각형 영역은 유한 개의 계수만을 갖는다. 그러나 각 계수를 구하려면 적분을 계산해야 하는 어려움이 있다. 이러한 수치적 복잡성을 피하기 위해 아버지 웨이블릿이라 불리는 보조 함수 $\phi\in L^2(\R)$ 가 이용된다. 가장 유명한 아버지-어머니 웨이블릿 쌍으로는 도브시의 4탭 웨이블릿이 있다.

몇 가지 주요 연속 웨이블릿은 다음과 같다.

웨이블릿 종류
멕시칸햇 웨이블릿
허미션 웨이블릿
허미션햇 웨이블릿
복소 멕시칸햇 웨이블릿
모를릿 웨이블릿
변형 모를릿 웨이블릿
베타 웨이블릿
힐베르트-허미션 웨이블릿

4. 1. 이산 웨이블릿

직교 웨이블릿은 스케일링 필터(길이가 2^N이고 합이 1인 저역 유한 임펄스 응답(FIR) 필터)에 의해 완전히 정의된다. 쌍직교 웨이블릿에서는 분해 필터와 재구성 필터가 별도로 정의된다.

직교 웨이블릿을 사용한 분석에서 고역 필터는 저역의 직교 미러 필터로 계산되며, 재구성 필터는 분해 필터의 시간 역전이다.

도브시와 심릿 웨이블릿은 스케일링 필터로 정의할 수 있다. 다음은 널리 사용되는 이산 웨이블릿 함수들이다.

베일킨(Beylkin) (18)
코이플릿(Coiflet) (6, 12, 18, 24, 30)
코헨-도베시-포보 웨이블릿(Cohen-Daubechies-Feauveau wavelet) (때때로 CDF N/P 또는 도베시 쌍직교 웨이블릿으로 불림)
도베시 웨이블릿(Daubechies wavelet) (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 등)
이항 QMF(Binomial QMF) (도베시 웨이블릿으로도 불림)
하르 웨이블릿(Haar wavelet)
심릿(Symlet)^[45]

스케일링 함수(아버지 웨이블릿)

\phi\in L^2(\R)

를 이용하여 이산 웨이블릿 변환을 수행할 수 있다. 이때 *a*는 정수여야 하며, *a=2*, *b=1*과 같은 전형적인 계수가 사용된다. 도브시의 4탭 웨이블릿이 대표적인 아버지-어머니 웨이블릿 쌍이다.

어머니 및 아버지 웨이블릿에서 부분 공간

:

V_m=\operatorname{span}(\phi_{m,n}:n\in\Z)

, 여기서

\phi_{m,n}(t)=2^{-m/2}\phi(2^{-m}t-n)

및

:

W_m=\operatorname{span}(\psi_{m,n}:n\in\Z)

, 여기서

\psi_{m,n}(t)=2^{-m/2}\psi(2^{-m}t-n)

이 구성된다.

이들로부터 수열

:

\{0\}\subset\dots\subset V_1\subset V_0\subset V_{-1}\subset\dots\subset L^2(\R)

은

L^2(\R)

의 다중해상도 분석을 형성하며, 부분 공간

\dots,W_1,W_0,W_{-1},\dots\dots

는 위 수열의 직교하는 ''차분''이 된다. 즉,

W_m

는

V_{m-1}

안에 있는

V_m

의 직교 여공간이 된다.

이러한 포함 관계와 직교 관계로부터, 다음 두 쌍의 항등식

:

h_n=\langle\phi_{0,0},\,\phi_{1,n}\rangle

:

\phi(t)=\sqrt2 \sum_{n\in\Z} h_n\phi(2t-n)

및

:

g_n=\langle\psi_{0,0},\,\phi_{1,n}\rangle

:

\psi(t)=\sqrt2 \sum_{n\in\Z} g_n\phi(2t-n)

을 만족하는 수열

h=\{h_n\}_{n\in\Z}

와

g=\{g_n\}_{n\in\Z}

가 존재하게 된다.

두 번째 항등식은 아버지 웨이블릿

\phi

의 정제 방정식이라고 한다. 이러한 항등 관계는 고속 웨이블릿 변환 알고리즘의 기반이 된다.

4. 2. 연속 웨이블릿

웨이블릿은 시간 영역에서 웨이블릿 함수 ψ(t)로 표현된다.^[48]

멕시칸햇 웨이블릿은 웨이블릿 함수의 한 예시이다. 주요 연속 웨이블릿은 다음과 같다.

웨이블릿 종류
멕시칸햇 웨이블릿
허미션 웨이블릿
허미션햇 웨이블릿
복소 멕시칸햇 웨이블릿
모를릿 웨이블릿
변형 모를릿 웨이블릿
베타 웨이블릿
힐베르트-허미션 웨이블릿

5. 푸리에 변환과의 비교

웨이블릿 변환은 푸리에 변환과 유사하게 신호를 분석하는 방법이지만, 몇 가지 중요한 차이점이 있다. 푸리에 변환은 신호를 사인파의 합으로 나타내며, 주파수 영역에서만 정보를 제공한다. 반면, 웨이블릿 변환은 시간과 주파수 모두에서 국소화된 "작은 파동"인 웨이블릿을 사용하여 신호를 분석한다.

단시간 푸리에 변환(STFT)은 시간과 주파수 정보를 모두 제공한다는 점에서 웨이블릿 변환과 유사하지만, 주파수와 시간 분해능 사이의 절충 문제가 있다. STFT는 고정된 크기의 창(window) 함수를 사용하기 때문에, 모든 주파수에 대해 동일한 분해능을 가진다.

반면, 웨이블릿 변환은 다중해상도 분석 특성을 활용하여 고주파에서는 짧은 시간 간격, 저주파에서는 긴 시간 간격을 사용한다. 이는 시간-주파수 분석을 시간-스케일 분석으로 확장하여, 시간에 따라 변하는 신호의 특성을 더 잘 포착할 수 있게 한다.^[12]

STFT 시간-주파수 원자(왼쪽) 및 DWT 시간-스케일 원자(오른쪽). 시간-주파수 원자는 STFT에 사용되는 네 가지 다른 기저 함수(즉, '''네 개의 별도 푸리에 변환 필요''')이다. DWT의 시간-스케일 원자는 '''단일''' 변환 기저 집합으로 고주파에 대해서는 작은 시간적 폭, 저주파에 대해서는 좋은 시간적 폭을 달성한다.

계산 복잡도 측면에서, 이산 웨이블릿 변환은 O(''N'') 시간이 걸리는 반면, 고속 푸리에 변환(FFT)은 O(''N'' log ''N'') 시간이 걸린다. 이는 웨이블릿 변환이 로그 주파수 분할을 사용하기 때문이다.^[13]

6. 응용 분야

웨이블릿 이론은 여러 분야에 적용될 수 있다. 모든 웨이블릿 변환은 연속 시간(아날로그) 신호에 대한 시간-주파수 표현의 형태로 간주될 수 있으며, 따라서 조화 분석과 관련이 있다.^[3] 이산 시간(샘플링된) 신호의 이산 웨이블릿 변환(시간적으로 연속)은 이진(옥타브 대역) 구성의 이산 시간 필터뱅크를 사용하여 수행되며, 이는 해당 신호에 대한 웨이블릿 근사치이다.

연속 웨이블릿 변환(CWT)을 형성하는 웨이블릿은 각각의 샘플링 이론에 대한 푸리에 분석의 불확정성 원리의 적용을 받는다.^[4] 어떤 사건이 포함된 신호가 주어지면, 그 사건에 대해 정확한 시간과 주파수 응답 스케일을 동시에 할당할 수 없다. 시간과 주파수 응답 스케일의 불확정성 곱은 하한값을 갖는다. 따라서 이 신호의 연속 웨이블릿 변환의 스케일로그램에서 이러한 사건은 단 하나의 점 대신 시간-스케일 평면의 전체 영역을 표시한다. 또한, 이산 웨이블릿 기저는 불확정성 원리의 다른 형태의 맥락에서 고려될 수 있다.^[5]^[6]^[7]^[8]

웨이블릿 변환은 크게 연속형, 이산형, 다중 해상도 기반의 세 가지 종류로 나뉜다.

다양한 응용 프로그램에 적합한 많은 수의 웨이블릿 변환이 있다. 일반적인 변환은 다음과 같다.

연속 웨이블릿 변환 (CWT)
이산 웨이블릿 변환 (DWT)
고속 웨이블릿 변환 (FWT)
리프팅 기법 및 일반화된 리프팅 기법
웨이블릿 패킷 분해 (WPD)
정상 웨이블릿 변환 (SWT)
분수 푸리에 변환 (FRFT)
분수 웨이블릿 변환 (FRWT)

일반적으로 신호가 이미 샘플링된 경우 데이터 압축에는 DWT(이산 웨이블릿 변환)가, 신호 분석에는 CWT(연속 웨이블릿 변환)가 사용된다.^[31]^[32] 따라서 DWT는 공학 및 컴퓨터 과학에서, CWT는 과학 연구에서 주로 사용된다.^[33]^[34]

웨이블릿 변환은 데이터를 변환한 다음 변환된 데이터를 인코딩하여 효과적인 압축을 수행하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, JPEG 2000은 이중 직교 웨이블릿을 사용하는 이미지 압축 표준이다. 파나소닉(Panasonic)이 개발한 전력선 통신 기술인 HD-PLC와 IEEE 1901 표준의 일부로 사용되는 웨이블릿 OFDM과 같이 통신 응용에도 활용된다.

웨이블릿은 시간 국소화 특성 덕분에 푸리에 변환과 달리 급격한 불연속성을 가진 신호를 표현하는 데 유리하며, 이는 신호 재구성, 특히 압축 센싱 분야에서 유용하게 활용된다.

분자 동역학, 카오스 이론,^[36] 제일 원리 계산, 천체물리학, 중력파 과도 데이터 분석,^[37]^[38] 밀도 행렬 국소화, 지진학, 광학, 난류, 양자 역학 등 물리학의 많은 분야에서 푸리에 변환을 대체하여 웨이블릿 변환이 활용되고 있다.

6. 1. 신호 처리

웨이블릿은 주어진 함수 또는 연속 시간 신호를 서로 다른 스케일 성분으로 나누는 데 사용되는 수학적 함수이다. 각 스케일 성분에는 주파수 범위를 할당할 수 있으며, 해당 스케일과 일치하는 해상도로 연구할 수 있다. 웨이블릿 변환은 웨이블릿을 이용한 함수의 표현이다. 웨이블릿은 유한 길이 또는 빠르게 감쇠하는 진동 파형("모웨이블릿")을 스케일링 및 병진한 복사본("자웨이블릿")이다. 웨이블릿 변환은 불연속성과 급격한 피크를 갖는 함수를 나타내고, 유한하고 비주기적이거나 비정상적인 신호를 정확하게 해체하고 재구성하는 데 있어 푸리에 변환보다 장점이 있다.

웨이블릿 변환은 이산 웨이블릿 변환(DWT)과 연속 웨이블릿 변환(CWT)으로 분류된다. DWT와 CWT 모두 연속 시간(아날로그) 변환이며, 연속 시간(아날로그) 신호를 나타내는 데 사용될 수 있다. CWT는 모든 가능한 스케일과 변환에 대해 작동하는 반면, DWT는 특정 부분 집합의 스케일과 변환 값 또는 표현 격자를 사용한다.

신호는 종종 사인파의 합으로 나타낼 수 있지만, 급격한 불연속성을 가진 비연속 신호는 무한히 많은 사인파를 필요로 하며, 이는 기브스 현상으로 알려져 있다. 따라서 무한히 많은 푸리에 계수가 필요하며, 이는 압축과 같은 응용 분야에서 실용적이지 않다. 웨이블릿은 시간 국소화 특성(푸리에 변환과 웨이블릿 변환 모두 주파수 국소화되지만, 웨이블릿은 추가적인 시간 국소화 특성을 가짐) 덕분에 이러한 불연속성을 가진 신호를 설명하는 데 더 유용하다. 실제 신호는 푸리에 영역에서는 비희소하지만, 웨이블릿 영역에서는 매우 희소할 수 있으며, 이는 신호 재구성, 특히 압축 센싱 분야에서 유용하다. 단시간 푸리에 변환(STFT)도 시간과 주파수에서 국소화되지만, 주파수-시간 분해능 트레이드오프 문제가 있으며, 웨이블릿은 다중 해상도 분석 덕분에 더 나은 신호 표현을 제공한다.

잡음이 포함된 신호

x = s + v

를 측정한다고 가정할 때,

s

는 신호,

v

는 잡음을 나타낸다.

s

가 특정 웨이블릿 기저에서 희소 표현을 갖고,

v \ \sim\ \mathcal{N}(0,\,\sigma^2I)

라고 가정한다.

x

의 웨이블릿 변환은

y = W^T x = W^T s + W^T v = p + z

로 표현되며,

p = W^T s

는 신호 성분의 웨이블릿 변환,

z = W^T v

는 잡음 성분의 웨이블릿 변환이다.

p

의 대부분의 요소는 0이거나 0에 가깝고,

z \ \sim\ \mathcal{N}(0,\,\sigma^2I)

이다.

W

가 직교행렬이므로, 추정 문제는 독립 동일 분포(iid) 가우시안 잡음에서 신호를 복구하는 것과 같다.

p

가 희소하므로,

p

에 가우시안 혼합 모델을 적용할 수 있다.

사전 확률

p \ \sim\ a\mathcal{N}(0,\,\sigma_1^2) +(1- a)\mathcal{N}(0,\,\sigma_2^2)

를 가정한다. 여기서

\sigma_1^2

는 "유의미한" 계수의 분산,

\sigma_2^2

는 "유의미하지 않은" 계수의 분산이다.

그러면

\tilde p = E(p/y) = \tau(y) y

이고,

\tau(y)

는 수축 계수(shrinkage factor)이며, 사전 분산

\sigma_1^2

와

\sigma_2^2

에 의존한다. 수축 역치 이하의 계수를 0으로 설정하면, 역변환 적용 시 희소성 가정으로 인해 작은 양의 신호만 손실된다. 더 큰 계수는 주로 신호를 나타내는 것으로 예상되며, 통계적으로 적은 양의 신호와 대부분의 잡음이 작은 크기의 계수에 나타날 것으로 예상된다. 따라서 0으로 만드는 연산은 대부분의 잡음을 제거하고 신호는 거의 제거하지 않는다. 일반적으로 역치 값보다 큰 계수는 수정되지 않으며, 일부 웨이블릿 기반 잡음 제거 알고리즘은 감쇠를 통해 제거될 잡음의 양에 대한 통계적 추정에 따라 더 큰 계수를 감쇠시키기도 한다.

마지막으로, 역 웨이블릿 변환을 적용하여

\tilde s = W \tilde p

를 얻는다.

이산 웨이블릿 변환(DWT)은 데이터 압축에, 연속 웨이블릿 변환(CWT)은 신호 분석에 사용된다. 웨이블릿 변환은 EEG, EMG,^[39] ECG 분석, 뇌파, DNA 분석, 단백질 분석 등에 활용된다.

6. 2. 영상 처리

영상 처리에서 웨이블릿 변환은 영상 압축, 영상 복원, 특징 추출 등 다양한 기법에 활용된다. 특히, JPEG 2000과 같은 웨이블릿 기반 영상 압축 표준은 그 원리와 성능 면에서 주목할 만하다.

웨이블릿 변환은 데이터를 변환한 후 인코딩하여 효과적인 압축을 가능하게 한다. JPEG 2000은 이중 직교 웨이블릿을 사용하는 이미지 압축 표준이다.^[31]^[32] 이중 직교 웨이블릿은 프레임이 과잉완전하지만 ''타이트 프레임''이며, 분석과 합성(순방향 및 역변환)에 동일한 프레임 함수(복소수 웨이블릿의 경우 공액 제외)를 사용한다.

웨이블릿은 시간 국소화 특성을 가지기 때문에, 푸리에 변환과 달리 급격한 불연속성을 가진 신호를 표현하는 데 유리하다. 이는 신호 재구성, 특히 압축 센싱 분야에서 유용하게 활용된다.

웨이블릿 계수 임계값 처리(웨이블릿 축소)를 통해 데이터를 평활화하거나 잡음을 제거할 수도 있다. 원하지 않는 주파수 성분에 해당하는 웨이블릿 계수를 적응적으로 임계값 처리하여 평활화 및 잡음 제거 작업을 수행한다.

HD-PLC와 IEEE 1901 표준에 포함된 웨이블릿 OFDM은 통신 응용 프로그램에도 사용된다. 웨이블릿 OFDM은 기존의 FFT OFDM보다 더 깊은 노치를 달성할 수 있으며, 가드 간격이 필요하지 않다.^[35]

6. 3. 통신

파나소닉이 개발한 전력선 통신 기술인 HD-PLC와 IEEE 1901 표준에 포함된 선택적 모드 중 하나에서 사용되는 기본 변조 방식은 웨이블릿 OFDM이다. 웨이블릿 OFDM은 기존의 FFT OFDM보다 더 깊은 노치를 달성할 수 있으며, 가드 간격(일반적으로 FFT OFDM 시스템에서 상당한 오버헤드를 나타냄)이 필요하지 않다.^[35]

6. 4. 기타 분야

분자 동역학, 카오스 이론,^[36] 제일 원리 계산, 천체물리학, 중력파 과도 데이터 분석,^[37]^[38] 밀도 행렬 국소화, 지진학, 광학, 난류 및 양자 역학을 포함한 물리학의 많은 분야에서 푸리에 변환을 대체하여 웨이블릿 변환이 활용되고 있다.^[41]

영상 처리, EEG, EMG,^[39] ECG 분석, 뇌파, DNA 분석, 단백질 분석, 기후학, 인간의 성 반응 분석,^[40] 신호 처리, 음성 인식, 음향, 진동 신호, 컴퓨터 그래픽스, 다중 분율 분석 및 희소 코딩 등에서도 웨이블릿 변환이 활용되고 있다. 컴퓨터 비전 및 영상 처리에서 스케일 공간 표현과 가우시안 도함수 연산자의 개념은 표준적인 다중 스케일 표현으로 간주된다.

아가왈(Agarwal) 등은 기후를 복잡계 네트워크로 구성하고 조사하기 위해 다양한 시간 척도에서 고급 선형^[42] 및 비선형^[43] 방법을 기반으로 하는 웨이블릿 기반 방법을 제안했다. 다양한 시간 척도의 해수면 온도(SST) 데이터 세트를 사용하여 구성된 기후 네트워크는 기후 과정의 웨이블릿 기반 다중 척도 분석이 단일 시간 척도에서만 분석할 때 간과될 수 있는 시스템 역학을 더 잘 이해할 수 있는 가능성을 지닌다는 것을 보여주었다.^[44]

데이터 압축에는 이산 웨이블릿 변환(DWT)이 사용되는 반면, 신호 분석에는 연속 웨이블릿 변환(CWT)이 사용된다. 따라서 DWT는 공학 및 컴퓨터 과학에서 일반적으로 사용되고, CWT는 과학 연구에서 가장 많이 사용된다.

6. 5. 한국의 응용 사례

데이터 압축에 사용되는 이산 웨이블릿 변환(DWT)과 신호 분석에 사용되는 연속 웨이블릿 변환(CWT)은 각각 공학과 컴퓨터 과학, 과학 연구 분야에서 널리 활용된다. 웨이블릿 변환은 푸리에 변환을 대체하여 영상 처리, 심전도(ECG) 분석, DNA 분석, 신호 처리, 음성 인식 등 다양한 분야에서 활용되고 있다. 특히, 컴퓨터 비전 및 영상 처리에서 스케일 공간 표현은 다중 해상도 표현의 표준으로 간주된다.

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