비네 방정식

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
4. 유도
5. 예시
참조

1. 개요

비네 방정식은 프랑스 수학자 자크 필리프 마리 비네가 유도한 미분 방정식으로, 이체 문제를 일체 문제로 변환하여 궤도의 형태를 설명하는 데 사용된다. 각운동량 보존 법칙을 활용하여 유도되며, 궤도의 형태는 역수 u = 1/r을 각도 θ의 함수로 표현한다. 비네 방정식은 케플러 문제, 역 케플러 문제, 코테스 나선 등 다양한 물리적 상황에 적용될 수 있으며, 상대론적 효과를 포함하는 경우에도 활용된다.

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비네 방정식
개요
종류	미분 방정식
분야	역학
고안자	자크 필리프 마리 비네
수식 정보
형태	u''( heta) + u( heta) = -rac{F(1/u( heta))}{h^2 u( heta)^2} rac{d^2(1/r)}{d heta^2} + rac{1}{r} = -rac{m}{L^2} r^2 F(r)
변수	u: r의 역수 (u = 1/r) heta: 각도 F(1/u( heta)): 중심력의 크기, 거리 r = 1/u의 함수로 표현 h: 단위 질량당 각운동량 r: 반지름 좌표 m: 질량 L: 각운동량
설명	중심력 하에서 입자의 궤도를 기술하는 미분 방정식
활용	행성 궤도 계산 (케플러 문제) 원자 내 전자 운동 분석 (특정 조건 하)
추가 정보
관련 개념	중심력 궤도 미분 방정식 케플러 법칙
참고 문헌	Beer, P. & Johnston, E. R. Vector Mechanics for Engineers, Statics and Dynamics, 3rd Ed, McGraw-Hill, pp. 1074-1076, 1977.

2. 역사

프랑스의 수학자 자크 필리프 마리 비네가 유도하였다.^[8]

3. 정의

이체 문제는 일반적으로 환산 질량을 통해 일체 문제로 바꿀 수 있다. 즉, 일반적으로 다음과 같은 형태의 방정식을 얻는다.

: $\mu\ddot{\mathbf r}=F(r)\hat{\mathbf r}$ .

여기서 $\mu$ 는 환산 질량이고, $\mathbf r$ 은 입자의 위치, $F(r)$ 는 입자에 가해지는 힘이다. 각운동량 보존에 의하여, 일반적으로 $\mathbf r$ 은 각운동량에 수직인 평면에 국한된다. 이 2차원 공간에 극좌표 $(r,\theta)$ 를 잡자. 그렇다면 입자의 궤도는 $r(\theta)$ 의 꼴로 나타낼 수 있다.

도움변수 $u(\theta)$ 를 $r$ 의 역수로 정의하자.

: $u(\theta)=1/r(\theta)$ .

그렇다면 $u$ 는 다음과 같은 미분 방정식을 만족한다. 이를 '''비네 방정식'''이라고 한다.

: $u''+u+\frac{\mu}{L^2u^2}F(1/u)=0$ .

여기서 $L$ 은 계의 (질량 중심으로부터의) 총 각운동량 $L=\mu r^2\dot\theta$ 이다.

궤도의 형태는 흔히 각도 $\theta$ 의 함수로서 상대 거리 $r$ 의 관점에서 편리하게 설명된다. 비네 방정식의 경우, 궤도 형태는 대신 역수 $u = 1/r$ 을 $\theta$ 의 함수로 사용하여 더욱 간결하게 설명된다. 비선형 운동량을 $h=L/m$ 으로 정의하는데, 여기서 $L$ 은 각운동량이고, $m$ 은 질량이다. 비네 방정식은 함수 $u(\theta)$ 의 관점에서 힘을 다음과 같이 나타낸다.

$F(u^{-1}) = -m h^2 u^2 \left(\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^2}+u\right).$

4. 유도

궤도의 형태는 흔히 각도 $\theta$ 의 함수로서 상대 거리 $r$ 의 관점에서 편리하게 설명된다. 비네 방정식의 경우, 궤도 형태는 대신 역수 $u = 1/r$ 을 $\theta$ 의 함수로 사용하여 더욱 간결하게 설명된다. 비선형 운동량을 $h=L/m$ 으로 정의하는데, 여기서 $L$ 은 각운동량이고, $m$ 은 질량이다. 그러면, 비네 방정식은 함수 $u(\theta)$ 의 관점에서 힘을 다음과 같이 나타낸다.

: $F(u^{-1}) = -m h^2 u^2 \left(\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^2}+u\right).$

뉴턴의 제2법칙에서 순수한 중심력은 다음과 같다.

: $F(r) = m \left(\ddot{r}-r\dot{\theta }^2\right).$

각운동량 보존은 다음을 요구한다.

: $r^{2}\dot{\theta } = h = \text{상수}.$

시간에 대한 $r$ 의 미분은 각도에 대한 $u=1/r$ 의 미분으로 다시 쓸 수 있다.

: $\begin{align}&\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta } = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{r}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta }=-\frac}{r^{2}\dot{\theta }}=-\frac}{h} \\& \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}=-\frac{1}{h}\frac{\mathrm{d}\dot{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta }=-\frac{\ddot{r}}{h\dot{\theta }} = -\frac{\ddot{r}}{h^2 u^2}\end{align}$

위의 모든 것을 결합하면 다음을 얻는다.

: $F = m\left(\ddot{r}-r\dot{\theta }^2\right) = -m\left(h^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^2} +h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left(\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}+u\right)$

일반 해는^[1]

: $\theta = \int_{r_0}^r \frac{\mathrm dr}{r^2\sqrt{\frac{2m}{L^2} (E-V) - \frac{1}{r^2}}} + \theta_0$ 여기서 $(r_0, \theta_0)$ 는 입자의 초기 좌표이다.

5. 예시

비네 방정식은 케플러 문제에서 역제곱 법칙을 따르는 궤도를 계산하는 데 사용되는 미분 방정식이다.^[5]

슈바르츠실트 좌표를 사용한 상대론적 방정식은 다음과 같다.

: $\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+u=\frac{r_s c^{2}}{2h^{2}}+\frac{3r_s}{2}u^{2}$

여기서 $c$ 는 광속, $r_s$ 는 슈바르츠실트 반지름이다. 라이스너-노르드스트룀 계량을 사용하면 다음과 같다.

: $\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+u=\frac{r_s c^{2}}{2h^{2}}+\frac{3r_s}{2}u^{2}-\frac{G Q^{2}}{4\pi\varepsilon_0 c^{4}}\left(\frac{c^{2}}{h^{2}}u+2u^3\right)$

여기서 $Q$ 는 전하, $\varepsilon_0$ 는 진공 유전율이다.

5. 1. 케플러 문제

케플러 문제에서 역제곱 법칙을 따르는 궤도를 계산하기 위해 비네 방정식을 미분 방정식으로 풀 수 있다. 슈바르츠실트 좌표를 사용한 상대론적 방정식은 다음과 같다.^[5]

:

\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+u=\frac{r_s c^{2}}{2h^{2}}+\frac{3r_s}{2}u^{2}

여기서

c

는 광속,

r_s

는 슈바르츠실트 반지름이다. 라이스너-노르드스트룀 계량을 사용하면 다음과 같다.

:

\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+u=\frac{r_s c^{2}}{2h^{2}}+\frac{3r_s}{2}u^{2}-\frac{G Q^{2}}{4\pi\varepsilon_0 c^{4}}\left(\frac{c^{2}}{h^{2}}u+2u^3\right)

여기서

Q

는 전하,

\varepsilon_0

는 진공 유전율이다.

5. 1. 1. 고전

전통적인 케플러 문제에서 역제곱 법칙을 따르는 궤도를 계산하려면, 비네 방정식을 미분 방정식으로 풀면 된다.

:

\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+u=\text{constant}>0

근점에서 각도 θ^영어를 측정하면, 일반해는 다음과 같이 (역수) 극 방정식으로 나타낼 수 있다.

:

lu=1+\varepsilon\cos\theta

이 식은 반통경 l^영어, 이심률 ε^영어을 갖는 원뿔 곡선을 나타낸다.

5. 1. 2. 상대론적

슈바르츠실트 좌표에 대해 유도된 상대론적 방정식은 다음과 같다.^[2]

:

\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}+u=\frac{r_s c^2}{2 h^{2}}+\frac{3 r_s}{2}u^{2}

여기서

c

는 빛의 속도이고,

r_s

는 슈바르츠실트 반지름이다. 라이스너-노르드스트룀 계량의 경우 다음을 얻을 수 있다.

:

\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}+u=\frac{r_s c^2}{2 h^{2}}+\frac{3 r_s}{2} u^2-\frac{G Q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 c^{4}}\left(\frac{c^2}{h^2} u +2u^3\right)

여기서

Q

는 전하이고,

\varepsilon_0

는 진공 유전율이다.

5. 2. 역 케플러 문제

역 케플러 문제를 고려해 보자. 어떤 종류의 힘의 법칙이 타원 궤도(또는 더 일반적으로 비원형 원뿔 곡선)를 타원의 초점 주위에서 생성하는가?

타원의 위 극좌표 방정식을 두 번 미분하면 다음과 같다.

:

l \, \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^2} = - \varepsilon \cos \theta.

따라서 힘의 법칙은 다음과 같다.

:

F = -mh^{2}u^{2} \left(\frac{- \varepsilon \cos \theta}{l}+\frac{1 + \varepsilon \cos \theta}{l}\right)=-\frac{m h^2 u^2}{l}=-\frac{m h^2}{l r^2},

이는 예상된 역제곱 법칙이다. 궤도

h^2/l = \mu

를

GM

또는

k_e q_1 q_2/m

과 같은 물리적 값에 맞추면 각각 뉴턴의 만유인력의 법칙 또는 쿨롱의 법칙이 재현된다.

슈바르츠실트 좌표의 유효한 힘은 다음과 같다.^[3]

:

F = -GMmu^2 \left(1+3\left(\frac{hu}{c}\right)^2\right)= - \frac{GMm}{r^2} \left(1+3\left(\frac{h}{rc}\right)^2\right).

여기서 두 번째 항은 근점의 각도 이동과 같은 사중극 효과에 해당하는 역 4차 힘이다 (지연 전위를 통해 얻을 수도 있다.^[4]).

매개변수화된 포스트 뉴턴 형식주의에서 우리는 다음을 얻을 것이다.

:

F = -\frac{GMm}{r^2} \left(1+(2+2\gamma-\beta)\left(\frac{h}{rc}\right)^2\right).

여기서 일반 상대성 이론의 경우

\gamma = \beta = 1

이고 고전적인 경우에는

\gamma = \beta = 0

이다.

5. 3. 코테스 나선

역 세제곱 힘 법칙은 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

F(r) = -\frac{k}{r^3}.

역 세제곱 법칙 궤도의 모양은 코테스 나선으로 알려져 있다. 비네 방정식은 궤도가 다음 방정식의 해여야 함을 보여준다.

:

\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}\theta^2}+u=\frac{k u}{m h^2} = C u.

미분 방정식은 케플러 문제의 서로 다른 원뿔 곡선과 유사하게 세 가지 종류의 해를 갖는다.

C < 1

일 때, 해는 에피스파이럴이며,

C = 0

일 때의 특수한 경우인 직선을 포함한다.

C = 1

일 때, 해는 쌍곡선 나선이다.

C > 1

일 때 해는 푸아소 나선이다.

5. 4. 축에서 벗어난 원 운동

비네 방정식은 중심력에 대한 원운동에 대해 고유한 힘의 법칙을 제공하지 못하지만, 원의 중심과 힘의 중심이 일치하지 않는 경우 방정식을 통해 힘의 법칙을 제공할 수 있다. 예를 들어, 힘의 중심을 직접 통과하는 원 궤도를 생각해 보자. 직경이

D

인 이러한 원 궤도에 대한 (역수) 극 방정식은 다음과 같다.

:

D \, u(\theta)= \sec \theta.

u

를 두 번 미분하고 피타고라스 정리를 사용하면 다음과 같다.

:

D \, \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^2} = \sec \theta \tan^2 \theta + \sec^3 \theta = \sec \theta (\sec^2 \theta - 1) + \sec^3 \theta = 2 D^3 u^3-D \, u.

따라서 힘의 법칙은 다음과 같다.

:

F = -mh^2u^2 \left( 2 D^2 u^3- u + u\right) = -2mh^2D^2u^5 = -\frac{2mh^2D^2}{r^5}.

일반적인 역 문제, 즉 인력

1/r^5

힘의 법칙의 궤도를 구성하는 것은 다음과 같은 방정식을 푸는 것과 같으므로 훨씬 더 어려운 문제라는 점에 유의해야 한다.

:

\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}+u=Cu^3

이것은 2차 비선형 미분 방정식이다.

참조

_[1] 서적 Classical mechanics https://www.worldcat[...] Addison-Wesley Pub. Co 1980
_[2] 웹사이트 Archived copy http://www.wbabin.ne[...] 2010-11-15
_[3] 문서 The first-order orbital equation http://chaos.swarthm[...]
_[4] arXiv A flat space-time relativistic explanation for the perihelion advance of Mercury
_[5] Harvtxt
_[6] Harvtxt
_[7] Harvtxt
_[8] 저널 http://gallica.bnf.f[...]

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