원뿔 곡선

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1. 개요
2. 역사
3. 정의 및 분류
4. 방정식
5. 성질
6. 응용
7. 추가 정보
참조

1. 개요

원뿔 곡선은 기원전 320년경 메나이크무스에 의해 처음 정의된 기하학적 도형으로, 원뿔과 평면의 교차로 생성된다. 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 있으며, 이심률, 초점, 준선을 이용해 정의할 수 있다. 원뿔 곡선은 다양한 방식으로 정의되고 분류되며, 수학적 특성을 갖는다. 천문학, 광학 등 다양한 분야에 응용되며, 복소 기하학, 퇴화 원뿔곡선, 일반화된 형태로 확장될 수 있다.

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원뿔 곡선
개요
정의	평면과 원뿔의 교선
다른 이름	원추 곡선
종류	원 타원 포물선 쌍곡선
이차 곡선	이차 방정식으로 표현되는 곡선
이심률 (e)	원: e = 0 타원: 0 < e < 1 포물선: e = 1 쌍곡선: e > 1
기하학적 성질
원뿔 절단면 각도	원: α = 90° 타원: α < β 포물선: α = β 쌍곡선: α > β

2. 역사

메나이크모스(기원전 320년경 사망)는 델로스 문제(세제곱의 배가)를 해결하는 과정에서 원뿔곡선을 처음으로 정의한 것으로 알려져 있다.^[25] 당시 사용된 정의는 오늘날 일반적으로 사용되는 정의와는 달랐다. 원뿔은 직각삼각형을 한 변을 중심으로 회전시켜 빗변이 원뿔의 곡면을 생성하도록 구성되었다. 세 가지 유형의 원뿔은 꼭짓점 각도에 따라 결정되었다. 그런 다음 원뿔곡선은 이러한 원뿔 중 하나와 모선에 수직으로 그려진 평면의 교차로 결정되었다. 원뿔곡선의 유형은 원뿔의 유형, 즉 원뿔의 꼭짓점에서 형성되는 각도에 따라 결정되었는데, 각이 예각이면 원뿔곡선은 타원, 각이 직각이면 포물선, 각이 둔각이면 쌍곡선(하지만 곡선의 한 가지 분기만)이었다.^[27]

유클리드(기원전 300년경 활동)는 원뿔에 관한 네 권의 책을 썼다고 전해지지만, 이것들은 역시 사라졌다.^[28] 아르키메데스(기원전 212년경 사망)는 ''포물선의 구적법''에서 포물선과 현으로 둘러싸인 면적을 구하는 등 원뿔곡선과 관련된 도형의 면적과 부피를 측정하는 연구를 수행했다.^[29]

고대 그리스에서 원뿔곡선 연구에 가장 큰 발전을 가져온 인물은 페르가의 아폴로니우스(기원전 190년경 사망)이다. 그의 8권으로 구성된 『원뿔곡선』(Conic Sections 또는 Conics)은 기존 지식을 요약하고 크게 확장했다.^[30] 아폴로니우스는 이 곡선들의 성질에 대한 연구를 통해, 고정된 이중 원뿔(두 개의 껍질을 가진 원뿔)을 자르는 임의의 평면은 각도에 관계없이 이전 정의에 따라 원뿔곡선을 생성한다는 것을 보였다. 이는 오늘날 일반적으로 사용되는 정의로 이어진다. 이전 방법으로는 작도할 수 없었던 원 또한 이러한 방식으로 얻을 수 있다. 아폴로니우스는 '타원', '포물선', '쌍곡선'이라는 용어를 사용했다.^[31]

알렉산드리아의 파푸스(기원후 350년경 사망)는 원뿔곡선의 초점 개념의 중요성을 설명하고, 준선이라는 관련 개념을 상세히 설명했다.^[32]

아폴로니우스의 저술은 아랍어로 번역되었으며, 이슬람 수학자들은 이 이론을 응용했는데, 특히 페르시아의 수학자이자 시인인 오마르 까이얌^[33]은 원뿔곡선을 이용하여 삼차 방정식을 기하학적으로 푸는 방법을 발견했다.^[34]^[35]

요하네스 케플러는 "연속성 원리"를 통해 원뿔곡선 이론을 확장했는데, 이는 극한 개념의 전조였다. 케플러는 1604년에 처음으로 '초점'이라는 용어를 사용했다.^[40]

지라르 데자르그와 블레즈 파스칼은 초기 형태의 사영기하학을 이용하여 원뿔곡선 이론을 발전시켰다. 파스칼은 신비로운 육각형으로 알려진 정리를 발견했다.

르네 데카르트와 피에르 드 페르마는 새롭게 발견된 해석기하학을 원뿔곡선 연구에 적용했다. 존 월리스는 1655년 논문에서 처음으로 원뿔곡선을 2차 방정식의 예로 정의했다.^[41] 얀 더 위트는 케플러의 운동학적 원뿔곡선 구성으로 시작하여 대수 방정식을 전개했고, '준선'이라는 용어를 만들었다.^[42]

고대 그리스의 아폴로니우스가 원뿔곡선론의 체계를 저서에 정리하였고,^[70] 중세 유럽에서는 케플러에 의해 천체의 궤도와의 관련성이 발견되었다. 아폴로니우스의 종합기하학적인 원뿔곡선론은 오일러에 의해 해석기하학을 이용하여 현대적으로 다시 쓰여졌다.

3. 정의 및 분류

원뿔곡선은 평면과 원뿔이 만나서 생기는 곡선으로, 이심률, 초점, 준선을 사용하여 정의할 수도 있다.

원뿔곡선은 이심률에 따라 다음과 같이 분류된다.

타원: 0 < 이심률 < 1
포물선: 이심률 = 1
쌍곡선: 이심률 > 1

원은 이심률이 0인 특별한 경우로, 타원의 일종으로 간주된다.

퇴화 원뿔곡선에는 점, 직선, 교차하는 두 직선 등이 있다.^[6]

3. 1. 유클리드 기하학에서의 정의

원뿔곡선은 평면과 이중 원뿔의 표면이 교차하여 얻어지는 곡선이다. 원, 타원, 포물선, 쌍곡선의 네 가지 유형이 있다.^[6] 원뿔의 꼭짓점을 지나는 평면과의 교차로 발생하는 퇴화 원뿔곡선은 점, 직선, 교차하는 두 직선이 될 수 있다.

원뿔곡선에는 세 가지 유형이 있는데, 타원, 포물선, 쌍곡선이 있다. 원은 타원의 특수한 경우이지만, 역사적으로는 네 번째 유형으로 간주되기도 하였다. 타원은 원뿔과 평면의 교차가 닫힌 곡선일 때 나타난다. 원은 절단면이 원뿔의 생성원의 평면과 평행할 때 얻어진다. 직원뿔의 경우, 이는 절단면이 축에 수직임을 의미한다. 절단면이 원뿔의 생성선과 정확히 하나에 평행하면, 원뿔곡선은 무한하고 포물선이라고 한다. 나머지 경우, 도형은 쌍곡선이다. 이때 평면은 원뿔의 두 반쪽 모두와 교차하여 두 개의 분리된 무한 곡선을 생성한다.

원뿔곡선은 유클리드 공간 2차원 평면 상에서 정의되며, 다음과 같은 음함수 곡선으로 나타낼 수 있다.

:

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\,

또한, 임의의 2차식 에 대해 이 원뿔곡선이 되므로, 원뿔곡선은 '''2차곡선'''이라고도 불린다.

임의의 원뿔곡선은 적절한 직교변환을 통해 다음과 같은 표준형 중 하나로 변형할 수 있다.

원 (모든 모선과 만나고, 밑면에 평행한 평면으로 절단)

:

X^2+Y^2=r^2 \quad

타원 (모든 모선과 만나고, 밑면에 평행하지 않은 평면으로 절단)

:

pX^2+qY^2=1 \quad

포물선 (모선에 평행한 평면으로 절단)

:

2pX-qY^2=1 \quad

쌍곡선 (모선에 평행하지 않은 평면으로 절단)

:

pX^2-qY^2=1 \quad

두 직선 (모든 축을 포함하는 평면으로 절단)

:

pX^2-qY^2=0 \quad

(단, 이며, 두 직선은 퇴화된 것으로 간주하여 원뿔곡선에 포함하지 않는 경우가 많다. 타원과 원은 원뿔곡선의 종류로서 구별되지 않는 경우가 많다.)

3. 2. 이심률, 초점, 준선을 이용한 정의

원뿔곡선은 한 점(초점)으로부터의 거리와 한 직선(준선)으로부터의 거리의 비(이심률)가 일정한 점들의 자취로 정의할 수 있다.

다양한 이심률을 가진 원뿔곡선. 초점과 준선을 공유하며, 타원(빨강), 포물선(녹색), 쌍곡선(파랑)이 포함된다.

인 경우 타원이 된다.
인 경우 포물선이 된다.
인 경우 쌍곡선이 된다.

원은 극한적인 경우이며, 유클리드 평면에서는 초점과 준선으로 정의되지 않는다. 원의 이심률은 0으로 정의되며 초점은 원의 중심이지만, 준선은 사영 평면에서 무한대의 직선으로만 취할 수 있다.^[2]

타원의 이심률은 타원이 원에서 얼마나 벗어나는지를 측정하는 척도로 볼 수 있다.^[3]

원뿔의 표면과 축 사이의 각이

\beta

이고 절단면과 축 사이의 각이

\alpha

이면 이심률은

\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}

이다.^[4]

초점-준선 성질로 정의된 곡선이 평면이 원뿔과 교차하여 얻어지는 곡선과 동일하다는 증명은 단델랭 구를 사용하면 용이해진다.^[5]

다른 정의로는, 직선과 그 직선 위에 포함되지 않는 점 를 취하고, 점 에서 직선에 대한 수선에 대해 점 의 어떤 방향을 양으로 정하고 그것을 축으로 한다. 직선 위에서 점 을 움직일 때, 그 직각 위치에서 을 만족하는 점 의 집합은 원뿔곡선을 그린다. 이때, 과 의 비의 값 를 '''이심률'''이라고 하고, 직선을 '''준선''', 점 를 '''초점'''이라고 한다.

여기서, 초점 를 극으로 하는 평면극좌표 를 새로 취하면, 동점 의 궤도는

:

r(\theta) = \frac{l}{1 - e \cos \theta}

이라는 극방정식으로 나타낼 수 있다. 은 선분 의 길이, 는 선분 이 축과 이루는 각도이다. 이 식은 와 이라는 두 매개변수를 통해 타원, 포물선, 쌍곡선의 3종류 원뿔곡선을 통일적으로 나타낸다고 할 수 있다.

이심률 는 그려지는 원뿔곡선의 개형을 다음과 같이 결정하는 매개변수이다.

: 타원
: 포물선
: 쌍곡선

한편, 은 '''반직경''' 또는 '''반현'''이라고 불리는 매개변수로, 초점 에서 준선 까지의 거리에 이심률 를 곱한 것이다.

참고로, 이 방법으로 원뿔곡선을 그릴 때, 정원은 나타나지 않는다. 이것이 원뿔곡선에 정원이 포함되지 않는 경우가 있는 이유가 되는데, 수학에서 원뿔곡선을 생각할 때는 편의상 일 때 원을 그린다고 한다(실제로는 점이 된다). 또는 준선과 초점을 무한히 멀리 한 극한에서 원이 된다고 생각한다.

3. 3. 원뿔곡선 매개변수

원뿔곡선과 관련된 여러 매개변수는 다음과 같다.

주축: 타원이나 쌍곡선의 두 초점을 잇는 선이다.
중심: 타원이나 쌍곡선의 주축의 중점이다. 포물선은 중심이 없다.
선이심률 (c): 중심과 초점 사이의 거리이다.
주현: 준선과 평행하고 초점을 지나는 현이다.
반주현 (ℓ): 주현의 절반 길이다.
초점 매개변수 (p): 초점에서 해당 준선까지의 거리이다.
장축: 타원의 가장 긴 현이다. 쌍곡선의 경우 두 분지 사이의 가장 짧은 현이다.
장반축 (a): 장축의 절반 길이다.
단축: 타원의 가장 짧은 지름이다.
단반축 (b): 단축의 절반 길이다.

평면 기하학의 관점에서 원뿔곡선은 고정된 점 (''초점'')까지의 거리가 고정된 직선 (''준선'')까지의 거리의 일정한 배수 (''이심률'')인 모든 점의 자취로 정의할 수 있다.

초점을 극으로 하는 평면극좌표를 새로 취하면, 동점의 궤도는

:

r(\theta) = \frac{l}{1 - e \cos \theta}

이라는 극방정식으로 나타낼 수 있다. 은 선분의 길이, 는 선분이 축과 이루는 각도이다. 이 식은 와 이라는 두 매개변수를 통해 타원, 포물선, 쌍곡선의 3종류 원뿔곡선을 통일적으로 나타낸다.

은 '''반직경''' 또는 '''반현'''이라고 불리는 매개변수로, 초점에서 준선까지의 거리에 이심률 를 곱한 것이다.

4. 방정식

원뿔곡선은 직교 좌표계에서 다음과 같은 2차 방정식으로 표현될 수 있다.^[12]

: $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\,$

여기서 A, B, C는 모두 0이 아니고, 모든 계수는 실수이다. 이 방정식은 행렬을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

: $\begin{pmatrix}x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A & B/2\\B/2 & C\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}D & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} + F= 0.$

일반 방정식은 아래와 같이 표현 가능하다.

: $\begin{pmatrix}x & y & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A & B/2 & D/2\\B/2 & C & E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix} = 0.$

이 형태는 사영기하학에서 사용되는 동차 형태의 특수한 경우이다.

적절한 직교변환을 통해 원뿔곡선은 다음 형태 중 하나로 변형할 수 있다. (표준형)

원: $X^2+Y^2=r^2 \quad$
타원: $pX^2+qY^2=1 \quad$
포물선: $2pX-qY^2=1 \quad$
쌍곡선: $pX^2-qY^2=1 \quad$

(단,

p>0, q>0

이다.)

고대 그리스의 아폴로니우스가 원뿔곡선에 대한 연구를 집대성하였고,^[70] 중세 유럽에서는 케플러가 천체의 궤도와 원뿔곡선의 관련성을 발견하였다.

4. 1. 직교 좌표계에서의 표준형

데카르트 좌표계를 도입한 후, 준선-초점 성질을 이용하여 원뿔곡선의 점들이 만족하는 방정식을 얻을 수 있다.^[7] 좌표 변환 (회전 및 병진)을 통해 이러한 방정식들을 ''표준형''으로 나타낼 수 있다.^[8]

타원과 쌍곡선의 표준형은 주축으로 x-축을 가지고 원점 (0,0)을 중심으로 한다. 꼭짓점은 (±a, 0)이고 초점은 (±c, 0)이다. 타원의 경우 c² = a² - b²이고, 쌍곡선의 경우 c² = a² + b²인 방정식으로 b를 정의한다. 원의 경우 c = 0이므로 a² = b²이며, ''반지름''은 r = a = b이다. 포물선의 표준형은 초점이 (a, 0)인 x-축 위에 있고, 준선은 방정식 x = -a인 직선이다. 표준형에서는 포물선이 항상 원점을 지난다.

직각 또는 등변 쌍곡선(점근선이 수직인 쌍곡선)의 경우, 점근선이 좌표축이고 직선 x = y가 주축인 대체 표준형이 있다. 그러면 초점의 좌표는 (c, c)와 (-c, -c)가 된다.^[9]

표준형은 다음과 같다.

원: x² + y² = a²
타원: x²/a² + y²/b² = 1
포물선: y² = 4ax (단, a > 0)
쌍곡선: x²/a² - y²/b² = 1
직각 쌍곡선:^[10] xy = c²/2

이러한 네 가지 형태는 모두 x-축과 y-축에 대해 대칭이다 (원, 타원, 쌍곡선의 경우). 또는 x-축에 대해서만 대칭이다 (포물선의 경우). 그러나 직각 쌍곡선은 y = x와 y = -x 직선에 대해 대칭이다.

이러한 표준형은 매개변수적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

원: (a cosθ, a sinθ)
타원: (a cosθ, b sinθ)
포물선: (at², 2at)
쌍곡선: (a secθ, b tanθ) 또는 (±a cosh ψ, b sinh ψ)
직각 쌍곡선: (dt, d/t) (여기서 d = c/√2)

4. 2. 일반적인 직교 좌표 형식

직교 좌표계에서 두 변수에 대한 이차 방정식의 그래프는 항상 원뿔곡선이며, 모든 원뿔곡선은 이런 방식으로 나타난다.^[11]

가장 일반적인 방정식은 다음과 같다.

:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0,

여기서 모든 계수는 실수이고 A, B, C는 모두 0이 아니다.

위 방정식은 행렬 표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있다.^[12]

:

\begin{pmatrix}x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A & B/2\\B/2 & C\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}D & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} + F= 0.

일반 방정식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

\begin{pmatrix}x & y & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A & B/2 & D/2\\B/2 & C & E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix} = 0.

이차곡선 방정식의 판별식 B² - 4AC를 이용하여 원뿔곡선을 판별할 수 있다.

판별식	원뿔 곡선 종류
B² - 4AC < 0	타원
B² - 4AC = 0	포물선
B² - 4AC > 0	쌍곡선

4. 3. 극좌표

극좌표에서 한 초점이 원점에 있고, 다른 초점이 (타원의 경우) 음수 값 또는 (쌍곡선의 경우) 양수 값을 가지는 x축 위에 있는 원뿔곡선은 다음 방정식으로 나타낼 수 있다.^[17]

:

r=\frac{l}{1+e\cos\theta}

여기서 e는 이심률이고 l은 반직선장축(semi-latus rectum)이다.

위에서와 같이, e = 0이면 그래프는 원, 0 < e < 1이면 타원, e = 1이면 포물선, e > 1이면 쌍곡선이다.

원뿔곡선의 극좌표 형태 방정식은 역학에서 자주 사용된다. 예를 들어, 태양 주위를 공전하는 물체의 궤도를 결정하는 데 사용된다.^[20]

다른 정의로는, 직선과 그 직선 위에 포함되지 않는 점 F를 취하고, 점 F에서 직선에 대한 수선에 대해 점 F의 어떤 방향을 양으로 정하고 그것을 x축으로 한다. 직선 위에서 점 M'을 움직일 때, 그 직각 위치에서 FM : MM' = e : 1 (e > 0)을 만족하는 점 M의 집합은 원뿔곡선을 그린다. 이때, FM과 MM'의 비의 값 e를 '''이심률'''이라고 하고, 직선을 '''준선''', 점 F를 '''초점'''이라고 한다.

여기서, 초점 F를 극으로 하는 평면극좌표 (r, θ)를 새로 취하면, 동점 P의 궤도는

:

r(\theta) = \frac{l}{1 - e \cos \theta}

이라는 극방정식으로 나타낼 수 있다. r은 선분 FM의 길이, θ는 선분 FM이 x축과 이루는 각도이다. 이 식은 e와 l이라는 두 매개변수를 통해 타원, 포물선, 쌍곡선의 3종류 원뿔곡선을 통일적으로 나타낸다고 할 수 있다.

이심률 e는 그려지는 원뿔곡선의 개형을 다음과 같이 결정하는 매개변수이다.

0 < e < 1： 타원
e = 1： 포물선
e > 1： 쌍곡선

한편, l은 '''반직경''' 또는 '''반현'''이라고 불리는 매개변수로, 초점 F에서 준선 l까지의 거리에 이심률 e를 곱한 것이다.

참고로, 이 방법으로 원뿔곡선을 그릴 때, 정원은 나타나지 않는다. 이것이 원뿔곡선에 정원이 포함되지 않는 경우가 있는 이유가 되는데, 수학에서 원뿔곡선을 생각할 때는 편의상 e = 0일 때 원을 그린다고 한다(실제로는 점이 된다). 또는 준선과 초점을 무한히 멀리 한 극한에서 원이 된다고 생각한다.

5. 성질

빛의 반사는 초점을 지나는 광선을 보존한다. 원뿔 곡선을 경계로 하는 이차원 공간에서, 초점을 지나는 광선의 반사 광선은 여전히 (다른 한) 초점을 지난다. 타원의 경우 초점을 지나쳐온 광선은 다른 한 초점이 위치하는 방향으로 반사되고, 쌍곡선은 그 반대 방향으로 반사된다. 초점이 하나뿐인 포물선에서는 준선과 수직인 방향, 즉 대칭축과 평행하는 방향으로 반사되는데, 이는 두 번째 초점이 무한히 멀리 있다고 여길 때 앞의 결론에 부합한다.^[23]

두 점이 직선을 결정하는 것처럼, 원뿔곡선은 다섯 점으로 결정된다. 일반적인 선형 위치에 있는 평면의 임의의 다섯 점이 주어지면, 이들을 통과하는 유일한 원뿔곡선이 있으며, 이는 비퇴화적일 것이다. 이것은 유클리드 평면과 그 확장인 실 사영 평면 모두에서 사실이다. 실제로, 주어진 다섯 점이 있으면 이를 통과하는 원뿔곡선이 있지만, 세 점이 일직선상에 있으면 원뿔곡선은 퇴화될 것이며, 유일하지 않을 수 있다. 자세한 논의를 참조.

일반적인 선형 위치에 있는 평면의 네 점은 처음 세 점을 통과하고 네 번째 점을 중심으로 하는 유일한 원뿔곡선을 결정한다. 따라서 중심을 아는 것은 곡선을 결정하는 목적으로 원뿔곡선상의 두 점을 아는 것과 같다.^[21]

또한, 원뿔곡선은 일반적인 위치에 있는 ''k''개의 점(원뿔곡선이 통과하는 점)과 그것에 접하는 5 – ''k''개의 직선의 임의의 조합으로 결정된다 (0≤''k''≤5).^[22]

평면의 임의의 점은 원뿔곡선의 접선이 0개, 1개 또는 2개 있다. 접선이 하나만 있는 점은 원뿔곡선 위에 있다. 접선이 없는 점은 원뿔곡선의 ''내부점''(또는 내점)이라고 하며, 접선이 두 개 있는 점은 ''외부점''(또는 외점)이라고 한다.

모든 원뿔곡선은 비퇴화 원뿔곡선 모양의 모든 거울은 한 초점에서 나오거나 한 초점을 향하는 빛을 다른 초점을 향하거나 다른 초점에서 나가도록 반사하는 ''반사 속성''을 공유한다. 포물선의 경우, 두 번째 초점은 무한히 멀리 있다고 생각해야 하므로, 두 번째 초점을 향하거나 두 번째 초점에서 나오는 광선은 평행하다.^[24]

파스칼의 정리는 임의의 비퇴화 원뿔곡선상의 여섯 점 집합으로부터 구성된 세 점의 공선성에 관한 것이다. 이 정리는 두 직선으로 구성된 퇴화 원뿔곡선에도 적용되지만, 그 경우에는 파푸스의 정리로 알려져 있다.

비퇴화 원뿔곡선은 항상 "매끄럽습니다". 이것은 층류를 보장하고 난류를 방지하는 데 필요한 공기역학과 같은 많은 응용 분야에서 중요합니다.

6. 응용

천문학에서 원뿔곡선은 중요한 역할을 한다. 만유인력의 법칙에 따라 상호 작용하는 두 개의 질량이 큰 천체의 궤도는, 공통 질량 중심이 정지 상태로 간주될 경우 원뿔곡선이 된다. 두 천체가 서로 결합되어 있다면, 두 천체 모두 타원 궤도를 그리게 된다. 두 천체가 서로 멀어지고 있다면, 두 천체 모두 포물선이나 쌍곡선 궤도를 따르게 된다. 케플러의 법칙 참조.^[20]

원뿔곡선의 반사 특성은 서치라이트, 전파 망원경 및 일부 광학 망원경의 설계에 사용된다.^[43] 서치라이트는 반사경으로 포물면 거울을 사용하고, 초점에 전구를 배치한다. 이와 유사한 구조가 파라볼릭 마이크로폰에도 사용된다. 카나리아 제도 라 팔마에 있는 4.2미터 허셜 광학 망원경은 1차 포물면 거울을 사용하여 빛을 2차 쌍곡면 거울로 반사시키고, 2차 쌍곡면 거울은 다시 빛을 첫 번째 거울 뒤쪽의 초점으로 반사시킨다.

7. 추가 정보

복소 좌표평면 '''C'''²^영어에서 타원과 쌍곡선은 허수 축의 길이를 갖는 타원으로 쌍곡선을 생각함으로써 구분되지 않는다. 예를 들어, 타원 $x^2+y^2=1$ 은 치환 $y=iw$ 를 통해 $x^2-w^2=1$ 이 되어 쌍곡선이 된다.^[62] 복소 사영 평면 '''CP'''²^영어에서는 사영 선형 변환에 의해 모든 비퇴화 이차곡선을 서로 변환할 수 있어 구별이 불가능하다.

두 이차곡선은 베주 정리에 따라 최대 4개의 교점을 가질 수 있으며, 교점의 다중도에 따라 접선, 접곡선, 초접선 등으로 분류된다.^[62] 각 직선은 각 이차곡선과 두 번 교차하며, 교점이 이중점이면 접선이 된다. 무한대 직선과의 교차점에서 이차곡선은 두 점을 가지는데, 이 점들이 실수이면 쌍곡선, 허수 켤레이면 타원, 하나의 이중점이면 포물선이 된다. 무한대의 점이 순환점이면 이차곡선은 원이다.^[62]

원뿔 곡선의 절단면이 원뿔의 꼭짓점을 지나면 퇴화 원뿔 곡선이 된다. 퇴화 원뿔 곡선은 점, 직선, 교차하는 두 직선 등이 있으며, 각각 타원, 포물선, 쌍곡선의 극한 형태로 볼 수 있다.^[63]

행렬 표기법을 사용하면, 원뿔 곡선의 행렬식 β가 0일 때 퇴화 원뿔 곡선이 된다. 판별식 α의 값에 따라 다음과 같이 구분할 수 있다.^[66]

판별식 (α)	퇴화 원뿔 곡선
α < 0	점
α = 0	두 개의 평행선 (일치 가능)
α > 0	두 개의 교차하는 직선

원뿔곡선은 다른 체(field) 위에서도 정의될 수 있지만, 체가 표수 2를 가질 때는 일부 공식을 사용할 수 없다. 투영평면에서 비퇴화 원뿔곡선의 일반화는 오벌이며, 이는 원뿔곡선과 유사한 성질을 갖는 점 집합이다. 원뿔곡선의 초점 성질을 일반화하면 일반화된 원뿔곡선이 생성된다. 타원 원뿔과 구의 교차는 구면 원뿔곡선이며, 평면 원뿔곡선과 많은 성질을 공유한다.^[44]

7. 1. 복소 기하학

복소 좌표평면 '''C'''²^영어에서 타원과 쌍곡선은 구분되지 않는다. 허수 축의 길이를 갖는 타원으로 쌍곡선을 생각할 수 있다. 예를 들어, 타원

x^2+y^2=1

은 치환

y=iw

(기하학적으로 복소 회전)을 통해

x^2-w^2=1

이 되어 쌍곡선이 된다. 따라서 타원/쌍곡선과 포물선의 두 가지 분류가 있다. 복소 사영 평면으로 곡선을 확장하면, 이는 무한대 직선과 두 개의 서로 다른 점(두 개의 점근선에 해당) 또는 하나의 이중 점(포물선의 축에 해당)에서 교차하는 것에 해당한다. 따라서 실수 쌍곡선은 무한대 직선과 두 개의 (실수) 교점을 가지므로 복소 타원/쌍곡선에 대한 더 시사적인 실수 이미지이다.

복소 사영 평면 '''CP'''²^영어에서 더 많은 통합이 일어난다. 비퇴화 이차곡선은 사영 선형 변환에 의해 어떤 곡선이든 다른 어떤 곡선으로 변환될 수 있으므로 서로 구별될 수 없다.

'''CP'''²^영어에서 두 이차곡선은 다중도를 고려하면 네 개의 공통점을 갖는다는 것을 증명할 수 있다. 따라서 1개에서 4개 사이의 교점이 존재한다. 교차 가능성은 다음과 같다. 네 개의 서로 다른 점, 두 개의 특이점과 하나의 이중점, 두 개의 이중점, 하나의 특이점과 다중도 3을 갖는 한 점, 다중도 4를 갖는 한 점. 어떤 교점의 다중도가 1보다 크면 두 곡선은 접선이라고 한다. 다중도 3 이상의 교점이 있으면 두 곡선은 접곡선이라고 한다. 다중도 4를 갖는 교점이 하나뿐이면 두 곡선은 '초접선'이라고 한다.^[62]

또한, 각 직선은 각 이차곡선과 두 번 교차한다. 교점이 이중점이면 그 직선은 접선이다. 무한대 직선과의 교차에서 각 이차곡선은 무한대에 두 점을 갖는다. 이 점들이 실수이면 곡선은 쌍곡선이고, 허수 켤레이면 타원이며, 하나의 이중점만 있으면 포물선이다. 무한대의 점이 순환점과 이면 이차곡선은 원이다. 이차곡선의 계수가 실수이면 무한대의 점은 실수이거나 복소 켤레이다.

7. 2. 퇴화 원뿔곡선

원뿔 곡선의 절단면이 원뿔의 꼭짓점을 지나는 경우, 퇴화 원뿔 곡선이 된다. 퇴화 원뿔 곡선은 다음과 같다:^[63]

점: 평면이 원뿔과 꼭짓점에서만 교차하는 경우
직선: 평면이 원뿔에 접하는 경우 (원뿔의 생성선 하나를 정확히 포함)
교차하는 두 직선: 원뿔의 두 생성선을 포함하는 경우

이들은 각각 타원, 포물선, 쌍곡선의 극한 형태에 해당한다.

유클리드 평면에서 이차 방정식의 영점으로 정의되는 경우, 퇴화 원뿔 곡선은 공집합, 점, 또는 평행하거나 한 점에서 교차하거나 일치할 수 있는 두 직선 쌍이 될 수 있다.^[64]

실수 사영 평면에서는 평행선이 무한대 직선상의 한 점에서 만나므로, 유클리드 평면의 평행선은 교차하는 직선으로 볼 수 있다. 이때 교차점이 원뿔의 꼭짓점이면 원뿔은 원기둥으로 퇴화한다.^[65]

복소 사영 평면에서는 실수 이차 곡면의 퇴화된 경우는 모두 두 직선으로 간주될 수 있다.

행렬 표기법을 사용하면, 원뿔 곡선의 행렬식 β가 0일 때 퇴화 원뿔 곡선이 된다. 판별식 α의 값에 따라 다음과 같이 구분할 수 있다:^[66]

판별식 (α)	퇴화 원뿔 곡선
α < 0	점
α = 0	두 개의 평행선 (일치 가능)
α > 0	두 개의 교차하는 직선

7. 3. 일반화

원뿔곡선은 다른 체(field) 위에서도 정의될 수 있다. 그러나 체가 표수 2를 가질 때는 일부 공식을 사용할 수 없으므로 주의해야 한다.

투영평면에서 비퇴화 원뿔곡선의 일반화는 오벌이다. 오벌은 다음과 같은 성질을 갖는 점 집합으로, 원뿔곡선이 갖는 성질과 같다.

1. 임의의 직선은 오벌과 하나도 만나지 않거나, 한 점 또는 두 점에서 만난다.

2. 오벌의 임의의 점에서 유일한 접선이 존재한다.

원뿔곡선의 초점 성질을 두 개 이상의 초점이 있는 경우로 일반화하면 일반화된 원뿔곡선이 생성된다.

타원 원뿔과 구의 교차는 구면 원뿔곡선이며, 평면 원뿔곡선과 많은 성질을 공유한다.^[44]

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