맨위로가기

사다리꼴행렬

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

사다리꼴 행렬은 행렬의 특정 형태를 지칭하며, 모든 성분이 0인 행이 가장 아래에 위치하고, 각 0이 아닌 행의 가장 왼쪽에 있는 0이 아닌 성분(피벗)은 그 위의 행의 피벗보다 오른쪽에 위치하는 조건을 만족한다. 기약 사다리꼴 행렬은 사다리꼴 행렬이면서 모든 피벗이 1이고 피벗을 포함하는 열의 다른 모든 성분이 0인 경우를 말한다. 가우스 소거법을 통해 임의의 행렬을 사다리꼴 행렬로 변환할 수 있으며, 이를 통해 역행렬 계산, 선형 연립 방정식의 해를 구하는 데 활용된다. 16~17세기 가우스에 의해 가우스 소거법이 제안되었고, 1888년 조르단에 의해 기약 사다리꼴 행렬이 발전되었다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 수치선형대수학 - 가우스 소거법
    가우스 소거법은 연립 일차 방정식의 해를 구하기 위해 행렬을 사다리꼴로 변환하는 알고리즘이며, 기본 행 연산을 통해 전진 소거와 후퇴 대입 단계를 거쳐 해를 계산하고, 행렬식 계산 등 다양한 분야에 응용된다.
  • 수치선형대수학 - LINPACK
    LINPACK은 부동소수점 연산 성능을 평가하는 벤치마크 프로그램이자 FORTRAN 라이브러리로, 슈퍼컴퓨터 성능 측정 기준으로 사용되는 HPLinpack 벤치마크의 기반이 되었으며, TOP500 목록에서 고성능 컴퓨터 순위를 결정하는 데 기여한다.
  • 행렬 - 스핀 (물리학)
    스핀은 양자역학적 각운동량으로, 양자화된 값을 가지며 자기 쌍극자 모멘트를 유발하여 다양한 분야에 응용되고 스핀트로닉스 기술 발전에 기여하지만, 전자의 스핀 기원은 아직 완전히 밝혀지지 않았다.
  • 행렬 - 파울리 행렬
    파울리 행렬은 양자역학에서 스핀을 나타내는 데 사용되는 에르미트 행렬이자 유니타리 행렬로, 행렬식은 -1이고 대각합은 0이며, 리 대수의 생성원이자 파울리 벡터로 정의되어 다양한 물리학 분야에서 활용된다.
사다리꼴행렬
정의
설명행렬의 한 형태
형식 조건
1단계 조건모든 영행(성분이 모두 0인 행)은 행렬의 맨 아래에 위치해야 함.
2단계 조건각 행의 맨 처음 0이 아닌 성분(선행 계수 또는 피벗이라고 함)은 윗 행의 선행 계수보다 오른쪽에 있어야 함.
3단계 조건각 행의 선행 계수 아래의 모든 성분은 0이어야 함.
기원
용어영어 'echelon form'
추가 정보
피벗 (수학)피벗

2. 정의 및 조건

행렬을 다룰 때, 특정 조건을 만족하도록 행의 형태를 변형하면 행렬의 중요한 속성을 파악하기 쉬워진다. 대표적인 형태가 '''사다리꼴 행렬'''(Row Echelon Form, REF)과 '''기약 사다리꼴 행렬'''(Reduced Row Echelon Form, RREF)이다.

어떤 행렬이든 가우스 소거법이라고 불리는 기본 행 연산을 유한 번 수행하여 사다리꼴 행렬 형태로 변환할 수 있다. 이러한 변환 과정은 행렬의 행 공간을 보존하며, 변환된 행렬로부터 원래 행렬의 계수나 커널과 같은 여러 속성을 쉽게 추론할 수 있다.[17]

사다리꼴 행렬은 주어진 행렬에 대해 유일하게 결정되지 않을 수 있지만, 기약 사다리꼴 행렬은 모든 행렬에 대해 유일하게 결정된다. 각 형태의 구체적인 조건은 아래 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

2. 1. 조건

어떤 행렬이 '''사다리꼴 행렬'''(row echelon form)이 되기 위한 조건은 다음과 같다.

  • 모든 원소가 0인 행, 즉 영행(zero row)은 행렬의 맨 아래쪽에 위치해야 한다.[1]
  • 0이 아닌 원소를 포함하는 각 행에서 가장 왼쪽에 있는 0이 아닌 원소, 즉 '''피벗'''(pivot) 또는 선행 성분은 그 위에 있는 행의 피벗보다 반드시 오른쪽에 위치해야 한다.[2]
  • 일부 문헌에서는 각 행의 피벗 값이 1이어야 한다는 조건을 추가하기도 하지만[3][16], 이는 기약 사다리꼴 행렬에서만 요구하는 경우도 있다.


이 두 가지 기본 조건은 각 피벗이 위치한 열에서 해당 피벗 아래의 모든 원소는 0이어야 함을 의미한다.[4][17]

다음은 사다리꼴 행렬의 조건을 만족하는 4\times 5 행렬의 예시이다. (단, 이 행렬은 기약 사다리꼴 행렬은 아니다.)



\left[ \begin{array}{ccccc}

1 & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\

0 & 0 & 2 & a_4 & a_5 \\

0 & 0 & 0 & 1 & a_6 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{array} \right]



행렬을 사다리꼴 형태로 만들면 행렬의 계수나 커널과 같은 중요한 속성들을 쉽게 파악할 수 있다.

2. 2. 기약 사다리꼴 행렬

행렬이 '''기약 사다리꼴 행렬'''(Reduced Row Echelon Form, RREF) 또는 '''행 표준형'''인 것은 행사다리꼴행렬(REF)의 조건을 만족하면서 다음 추가 조건들을 만족하는 경우이다.[18][5]

기약 사다리꼴 행렬이 되기 위한 조건은 다음과 같다.[12]

# 행사다리꼴행렬의 조건을 만족한다. 즉:

#* 0이 아닌 원소를 가진 행(적어도 하나의 0이 아닌 원소가 있는 행)은 모든 원소가 0인 행 위에 온다. (따라서 모든 원소가 0인 행은 행렬의 맨 아래에 위치한다.)

#* 0이 아닌 각 행의 선행 계수(leading coefficient, 해당 행에서 가장 왼쪽에 있는 0이 아닌 원소)는 그 위 행의 선행 계수보다 오른쪽에 있다.

# 모든 선행 계수는 1이다. (이를 '선행 1'이라고도 한다.)

# 선행 1을 포함하는 각 열에서, 그 선행 1을 제외한 다른 모든 원소는 0이다.

어떤 행렬의 기약 사다리꼴 행렬은 가우스 소거법을 통해 구할 수 있다. 행사다리꼴 행렬과는 달리, 어떤 행렬의 기약 사다리꼴 행렬은 유일하게 결정되며, 계산 방법에 의존하지 않는다.[5] 이러한 행렬 형태로부터 행렬의 계수나 커널(Kernel)과 같은 많은 속성을 쉽게 파악할 수 있다.

기약 사다리꼴 행렬의 예시는 다음과 같다.



\left[ \begin{array}{ccccc}

1 & 0 & 0 & 0 & b_1 \\

0 & 1 & 0 & 0 & b_2 \\

0 & 0 & 0 & 1 & b_3

\end{array} \right]



다음 행렬 또한 기약 사다리꼴 행렬이다. 이 예시처럼 행렬의 왼쪽 부분이 반드시 항등행렬일 필요는 없다.



\left[ \begin{array}{cccccc}

1 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & b_1 \\

0 & 0 & 1 & -1/3 & 0 & b_2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 & b_3

\end{array} \right]



기약 사다리꼴 행렬이 주어졌을 때, i번째 행의 선행 1을 i번째 열에 갖도록 열의 순서를 바꾸면 다음과 같은 형태의 행렬을 얻을 수 있다.

:\begin{pmatrix}

I & X\\ 0&0

\end{pmatrix}

여기서 I는 행렬의 계수와 같은 j 차원의 항등행렬이고, X는 j행과 n-j열을 가진 행렬이며, 두 개의 0은 적절한 크기의 영행렬이다. (단, 열의 순서를 바꾸는 것은 기본 행 연산이 아니므로, 이렇게 변형된 행렬이 원래 행렬과 행 동치인 것은 아니다.)

정수 성분을 가진 행렬의 경우, 에르미트 표준형은 유클리드 호제법을 사용하여 유리수나 분모를 도입하지 않고 계산할 수 있는 행 사다리꼴 형태이다. 반면, 정수 계수 행렬의 기약 사다리꼴 행렬은 일반적으로 정수가 아닌 성분(유리수)을 포함할 수 있다.

3. 사다리꼴 행렬의 형태

사다리꼴 행렬과 기약 행사다리꼴 행렬의 구체적인 형태는 아래 하위 섹션에서 예시를 통해 확인할 수 있다.

3. 1. 행사다리꼴 행렬의 예


  • 사다리꼴 행렬의 예시는 다음과 같다.



\left[ \begin{array}{ccccc}

x & x & x & x \\

0 & x & x & x \\

0 & 0 & x & x

\end{array} \right]





\left[ \begin{array}{ccccc}

x & x & x & x & x \\

0 & 0 & x & x & x \\

0 & 0 & 0 & x & x

\end{array} \right]





\left[ \begin{array}{ccccc}

x & x & x & x & x & x \\

0 & 0 & x & x & x & x \\

0 & 0 & 0 & 0 & x & x

\end{array} \right]





\left[ \begin{array}{ccccc}

0 & 0 \\

0 & 0

\end{array} \right]





\left[ \begin{array}{ccccc}

x & x & 0 & x & 0 & x \\

0 & 0 & 1 & x & 0 & x \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 & x

\end{array} \right]


  • 다음은 사다리꼴 행렬이지만 기약 행사다리꼴 행렬은 아닌 4\times 5 행렬의 예이다.



\left[ \begin{array}{ccccc}

1 & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\

0 & 0 & 2 & a_4 & a_5 \\

0 & 0 & 0 & 1 & a_6 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{array} \right]


3. 2. 기약행사다리꼴 행렬의 예

다음은 기약행사다리꼴 행렬(행 축약 사다리꼴 형태)의 예시이다.[12]


\left[ \begin{array}{ccccc}

1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{array} \right]

(이는 항등 행렬의 예시이기도 하다.)


\left[ \begin{array}{ccccc}

1 & 0 & 0 & 0 & b_1 \\

0 & 1 & 0 & 0 & b_2 \\

0 & 0 & 0 & 1 & b_3

\end{array} \right]



\left[ \begin{array}{cccccc}

1 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & b_1 \\

0 & 0 & 1 & -1/3 & 0 & b_2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 & b_3

\end{array} \right]



위의 마지막 예시처럼, 기약행사다리꼴 행렬의 왼쪽 부분이 항상 단위 행렬인 것은 아니다.

기약행사다리꼴 행렬은 다음 조건을 만족한다:

  • 각 행의 첫 번째 0이 아닌 성분(주성분 또는 선두항목)은 1이다.
  • 이 1을 포함하는 열의 다른 모든 성분은 0이다.
  • 0으로만 이루어진 행은 0이 아닌 성분을 가진 행 아래에 위치한다.
  • 각 행의 주성분은 바로 윗 행의 주성분보다 오른쪽에 위치한다.


어떤 행렬의 기약행사다리꼴 형태는 가우스 소거법을 통해 구할 수 있으며, 그 결과는 유일하다.

정수 계수를 가지는 행렬의 경우, 유리수나 분모를 사용하지 않고 유클리드 호제법을 이용하여 구하는 에르미트 표준형과는 달리, 기약행사다리꼴 형태는 일반적으로 정수가 아닌 성분을 포함할 수 있다.

4. 행 사다리꼴 행렬 변환

가우스 소거법은 기본 행 연산을 유한 번 적용하여 임의의 행렬을 행 사다리꼴 행렬로 변환하는 주요 알고리즘이다.[7] 때때로 가우스-조르단 소거법이라고 불리는 변형은 가우스 소거법을 확장하여 기약 사다리꼴 행렬을 생성한다.[7] 두 방법 모두 유한한 횟수의 기본 행 연산으로 구성되며, 필요한 연산 횟수는 m행 n열 행렬의 경우 최대 m*n 번이다.[7]

기본 행 연산은 행렬의 행 공간을 보존하므로, 변환을 통해 얻은 사다리꼴 행렬의 행 공간은 원래 행렬의 행 공간과 동일하다.

주어진 행렬에 대한 사다리꼴 행렬은 유일하지 않다. 예를 들어, 어떤 행 사다리꼴 행렬에 0이 아닌 스칼라를 곱하거나, 한 행의 스칼라 배수를 그 위의 다른 행에 더하는 기본 행 연산을 적용하면 다른 형태의 사다리꼴 행렬을 얻을 수 있다.[7] 하지만 어떤 행렬이든 그 행렬의 기약 사다리꼴 행렬은 유일하다.[7][12] 이는 기약 사다리꼴 행렬의 0이 아닌 행들이 원래 행렬의 행 공간에 대한 유일한 행 기약 사다리꼴 생성 집합임을 의미한다. 기약 사다리꼴 행렬은 가우스-조르단 소거법을 통해 얻을 수 있다.

정수 계수를 갖는 행렬의 경우, 에르미트 표준형은 유클리드 호제법이나 베주 항등식을 사용하여 분수를 도입하지 않고 계산할 수 있는 사다리꼴 행렬의 한 형태이다. 반면, 정수 계수 행렬의 기약 사다리꼴 행렬은 일반적으로 정수가 아닌 성분을 포함할 수 있다.

4. 1. 변환 과정 예시

다음은 주어진 행렬을 가우스 소거법을 이용하여 사다리꼴행렬로 변환하는 과정의 예시이다.

주어진 행렬은 다음과 같다.

:M = \begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 & 5 \\

4 & -6 & 0 & -2 \\

  • 2 & 7 & 2 & 9

\end{pmatrix}
첫 번째 방법1. 첫째 열을 사다리꼴 형태로 만들기 위해, 첫째 행을 이용하여 나머지 행들을 계산한다.

  • 둘째 행 = 둘째 행 - (2 × 첫째 행)

:M = \begin{pmatrix}

{\color{blue}{2}} & {\color{blue}{1}}& {\color{blue}{1}} & {\color{blue}{5}} \\

4-({\color{red}{2}}\times{\color{blue}{2}}) & -6-({\color{red}{2}}\times{\color{blue}{1}}) & 0 -({\color{red}{2}}\times{\color{blue}{1}}) & -2-({\color{red}{2}}\times {\color{blue}{5}} ) \\

  • 2 & 7 & 2 & 9

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 & 5 \\

0 & -8 & -2 & -12 \\

  • 2 & 7 & 2 & 9

\end{pmatrix}

  • 셋째 행 = 셋째 행 - (-1 × 첫째 행) = 셋째 행 + 첫째 행

:M = \begin{pmatrix}

{\color{blue}{2}} & {\color{blue}{1}}& {\color{blue}{1}} & {\color{blue}{5}} \\

0 & -8 & -2 & -12 \\

  • 2-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{2}}) & 7-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{1}}) & 2-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{1}}) & 9-({\color{red}{-1}}\times {\color{blue}{5}} )

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 & 5 \\

0 & -8 & -2 & -12 \\

0 & 8 & 3 & 14

\end{pmatrix}

2. 둘째 열을 사다리꼴 형태로 만들기 위해, 둘째 행을 이용하여 마지막 행을 계산한다.

  • 셋째 행 = 셋째 행 - (-1 × 둘째 행) = 셋째 행 + 둘째 행

:M = \begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 & 5 \\

{\color{blue}{0}} & {\color{blue}{-8}}& {\color{blue}{-2}} & {\color{blue}{-12}} \\

0 -({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{0}})& 8-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{-8}}) & 3-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{-2}}) & 14-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{-12}})

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 & 5 \\

0 & -8 & -2 & -12 \\

0 & 0 & 1 & 2

\end{pmatrix}

이렇게 사다리꼴행렬을 얻을 수 있다.
두 번째 방법기본 행 연산의 순서나 선택은 다를 수 있으며, 결과적으로 같은 사다리꼴행렬을 얻을 수 있다.

1. 첫째 열 변형

  • 둘째 행 = 둘째 행 + (-2 × 첫째 행)

: \begin{pmatrix}

{\color{blue}{2}} & {\color{blue}{1}}& {\color{blue}{1}} & {\color{blue}{5}} \\

4+({\color{red}{-2}}\times{\color{blue}{2}}) & -6+({\color{red}{-2}}\times{\color{blue}{1}}) & 0 +({\color{red}{-2}}\times{\color{blue}{1}}) & -2+({\color{red}{-2}}\times {\color{blue}{5}} ) \\

  • 2 & 7 & 2 & 9

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 & 5 \\

0 & -8 & -2 & -12 \\

  • 2 & 7 & 2 & 9

\end{pmatrix}

  • 셋째 행 = 셋째 행 + (1 × 첫째 행)

: \begin{pmatrix}

{\color{blue}{2}} & {\color{blue}{1}}& {\color{blue}{1}} & {\color{blue}{5}} \\

0 & -8 & -2 & -12 \\

  • 2+({\color{red}{1}}\times{\color{blue}{2}}) & 7+({\color{red}{1}}\times{\color{blue}{1}}) & 2+({\color{red}{1}}\times{\color{blue}{1}}) & 9+({\color{red}{1}}\times {\color{blue}{5}} )

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 & 5 \\

0 & -8 & -2 & -12 \\

0 & 8 & 3 & 14

\end{pmatrix}

2. 둘째 열 변형

  • 셋째 행 = 셋째 행 + (1 × 둘째 행)

: \begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 & 5 \\

{\color{blue}{0}} & {\color{blue}{-8}}& {\color{blue}{-2}} & {\color{blue}{-12}} \\

0 +({\color{red}{1}}\times{\color{blue}{0}})& 8+({\color{red}{1}}\times{\color{blue}{-8}}) & 3+({\color{red}{1}}\times{\color{blue}{-2}}) & 14+({\color{red}{1}}\times{\color{blue}{-12}})

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 & 5 \\

0 & -8 & -2 & -12 \\

0 & 0 & 1 & 2

\end{pmatrix}

이렇게 해도 같은 사다리꼴행렬을 얻을 수 있다.[19]

5. 사다리꼴 행렬의 성질

사다리꼴 행렬은 행렬의 계수나 커널과 같은 중요한 성질들을 쉽게 파악하는 데 유용하다. 가우스 소거법과 같은 기본 행 연산을 통해 행렬을 사다리꼴 형태로 변환하는 과정에서 원래 행렬의 행 공간은 변하지 않고 그대로 보존된다.

어떤 행렬을 기본 행 연산을 통해 변환하여 얻을 수 있는 사다리꼴 행렬은 유일하지 않을 수 있다.[7] 예를 들어, 특정 행에 0이 아닌 상수를 곱하거나 다른 행의 배수를 더해도 여전히 사다리꼴 형태를 유지하는 경우가 있다.

: \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 7 \\ \end{bmatrix}

\xrightarrow{\text{2행을 1행에 더함}}

\begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 7 \\ \end{bmatrix}.

하지만 어떤 행렬이든 기약 사다리꼴 행렬 형태는 유일하게 결정된다.[7] 이 유일한 기약 사다리꼴 행렬의 0이 아닌 행들은 원래 행렬의 행 공간에 대한 유일한 기약 사다리꼴 생성 집합이 된다.

또한, 사다리꼴 행렬은 가우스 소거법을 이용한 역행렬 계산이나 첨가 행렬을 활용한 선형 연립 방정식의 해를 구하는 데 중요한 도구로 사용된다.

5. 1. 역행렬 계산 예시

가우스 소거법을 사용해서,

다음과 같은 행렬 M의 단위행렬 I을 첨가 행렬로 계산하면,

역행렬 M^{-1}를 얻을 수 있다.

:M = \begin{pmatrix}

  • 1 & 1 & 2 \\

3 & -1 & 1 \\

  • 1 & 3 & 4

\end{pmatrix}

기본행연산을 가하면, 다음과 같다.

:\begin{align}

\begin{pmatrix}

\ M &\vert& I

\end{pmatrix} &\to \left( \left. \begin{matrix}

  • 1 & 1 & 2 \\

3 & -1 & 1 \\

  • 1 & 3 & 4 \\

\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1 \\

\end{matrix} \right)\\

&\to\left(\left. \begin{matrix}

  • 1 & 1 & 2 \\

0 & 2 & 7 \\

0 & 2 & 2 \\

\end{matrix} \right| \begin{matrix}

1 & 0 & 0 \\

3 & 1 & 0 \\

  • 1 & 0 & 1 \\

\end{matrix} \right)\\

&\to\left(\left. \begin{matrix}

  • 1 & 1 & 2 \\

0 & 2 & 7 \\

0 & 0 & -5 \\

\end{matrix} \right| \begin{matrix}

1 & 0 & 0 \\

3 & 1 & 0 \\

  • 4 & -1 & 1 \\

\end{matrix}\right)\\

&\to\left( \left. \begin{matrix}

1 & -1 & -2 \\

0 & 1 & 3.5 \\

0 & 0 & 1 \\

\end{matrix} \right| \begin{matrix}

  • 1 & 0 & 0 \\

1.5 & 0.5 & 0 \\

0.8 & 0.2 & -0.2 \\

\end{matrix} \right)\\

&\to\left( \left. \begin{matrix}

1 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1 \\

\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}

0.6 & 0.4 & -0.4 \\

  • 1.3 & -0.2 & 0.7 \\

0.8 & 0.2 & -0.2 \\

\end{matrix} \right) \\

& \to \left( \left. \begin{matrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1 \\

\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}

  • 0.7 & 0.2 & 0.3 \\
  • 1.3 & -0.2 & 0.7 \\

0.8 & 0.2 & -0.2 \\

\end{matrix} \right)

\end{align}

따라서 M^{-1}은 다음과 같다.

:M^{-1}=\begin{pmatrix}

  • 0.7 & 0.2 & 0.3 \\
  • 1.3 & -0.2 & 0.7 \\

0.8 & 0.2 & -0.2

\end{pmatrix}

5. 2. 선형 연립 방정식과의 관계

선형 연립 방정식의 첨가 행렬을 사다리꼴 행렬 형태로 변환하면 방정식의 해를 구하는 과정을 단순화할 수 있다. 어떤 선형 연립 방정식의 첨가 행렬이 사다리꼴 행렬 형태일 때, 그 방정식을 사다리꼴 형태라고 부른다.

마찬가지로, 첨가 행렬이 기약 사다리꼴 행렬 형태일 때, 해당 선형 연립 방정식은 기약 사다리꼴 형태 또는 정규 형태라고 한다. 이 정규 형태는 선형 연립 방정식의 해를 명시적으로 보여주는 것으로 간주할 수 있다.

만약 첨가 행렬을 기약 사다리꼴 형태로 변환했을 때, `[ 0 0 ... 0 | 1 ]` 과 같이 마지막 열(상수항 열)에만 0이 아닌 값(특히 1)이 있는 행이 나타난다면, 이는 `0 = 1`이라는 모순된 방정식을 의미한다. 이러한 경우, 해당 선형 연립 방정식은 해를 가지지 않으며, 이를 불능(inconsistent)이라고 한다.[6]

반대로, 위와 같은 모순된 행이 없다면 선형 연립 방정식은 해를 가진다. 이 경우, 각 행의 선행 성분(피벗)에 해당하는 변수를 좌변에 남기고, 나머지 변수(자유 변수)들을 우변으로 옮겨 정리하면 해를 명확하게 표현할 수 있다. 피벗에 해당하는 변수들은 상수항과 자유 변수들의 선형 결합으로 나타나게 된다. 자유 변수들은 임의의 값을 가질 수 있다.

6. 역사

16세기와 17세기 이후, 가우스는 연립방정식 행렬을 삼각행렬 형태로 변형하는 방법으로 행사다리꼴행렬을 이용하는 가우스 소거법을 제안했다. 1888년, 조르단은 이를 더욱 발전시켜 기약행사다리꼴행렬을 만드는 가우스-조르단 소거법을 제안했다. 같은 해 프랑스 수학자 클라센(Clasen) 역시 조르단과는 독립적으로 유사한 방법을 발표한 것으로 여겨진다.[20][21]

이러한 소거법과 사다리꼴 행렬 개념은 행렬식, 행 공간, 커널 등 행렬의 여러 속성을 이해하고 행렬 이론을 정립하는 데 중요한 기여를 했다.[22] 가우스 소거법과 같은 기본 행 연산을 통해 모든 행렬은 행 사다리꼴 형태로 변환될 수 있으며, 이 과정에서 행렬의 행 공간은 보존된다. 행 사다리꼴 형태는 유일하지 않지만, 모든 행렬은 유일한 '기약' 행 사다리꼴 형태를 가진다. 이는 기약 행 사다리꼴 형태가 행렬의 행 공간에 대한 중요한 정보를 담고 있음을 의미한다.

7. 추가 정보 (심화 내용)

정수 계수를 갖는 행렬의 경우, 에르미트 표준형은 특별한 형태의 행 사다리꼴 행렬이다. 이 표준형은 유클리드 호제법을 이용하여 계산할 수 있으며, 계산 과정에서 유리수나 분모를 사용하지 않는다는 장점이 있다. 반면, 정수 계수 행렬의 행 축약 사다리꼴 형태(행 표준형)는 일반적으로 정수가 아닌 성분을 포함할 수 있다.

7. 1. 아핀 공간과의 관계

k\times n 행렬 A가 기약 행 사다리꼴 형태일 때, 각 행의 선두 항목(피벗)이 있는 열의 위치를 (L_1, \dots, L_j)로 표기할 수 있다. 여기서 0< L_1 \cdots < L_j \le n 이고, j \le k는 행렬의 행 공간의 차원이다. 데이터 (k, n, L_1, \ldots, L_j)는 A의 모양이라고 부른다.

기약 행 사다리꼴 행렬은 다음 조건을 만족한다.[5]

  • A_{i, L_i} =1\qquad \text{for } i=1, \dots, j (피벗 값은 1)
  • A_{l, L_i}=0\qquad \text{for } l\ne i (피벗 열의 다른 모든 항목은 0)
  • A_{i, l} =0\qquad \text{for } l< L_i (피벗 왼쪽 항목은 0)
  • A_{i, l} =0\qquad \text{for } i>j (영행의 모든 항목은 0)


이 조건들에 의해 값이 0 또는 1로 고정되지 않는 다른 모든 항목들은 기저체 K의 임의의 원소를 가질 수 있다. 따라서, 주어진 모양 (k, n, L_1, \ldots, L_j)을 가진 모든 기약 행 사다리꼴 행렬의 집합 A(k, n, L_1, \ldots, L_j)는 K 위의 아핀 공간을 형성한다.[8][9] 이 아핀 공간의 차원은 다음과 같다.

:\text{dim}(A(k,n, L_1, \dots, L_j))=nj -\frac{1}{2}j(j-1)- \sum_{i=1}^j L_i.

이 차원은 다음과 같이 확인할 수 있다. 처음 j개의 행에 있는 총 nj개의 가능한 행렬 항목 중, 피벗을 포함하는 열 (L_1, \dots, L_j)에 있는 j^2개의 항목은 값이 0 또는 1로 결정된다. 추가로 피벗의 왼쪽에 있는 \sum_{i=1}^j(L_i-1) 개의 항목도 0이어야 한다. 이 피벗 왼쪽 항목들 중 피벗 열 (L_1, \dots , L_j)에도 속하는 항목의 수는 \sum_{i=0}^{j-1}i = \frac{1}{2}j(j-1) 개이다. 따라서 0 또는 1로 값이 고정되지 않은 항목(즉, 자유롭게 선택 가능한 항목)의 총 개수는 다음과 같다.

:: nj - j^2 +\frac{1}{2}j(j-1) - \sum_{i=1}^j L_i +j = nj - \frac{1}{2}j(j-1)- \sum_{i=1}^j L_i.

7. 2. 최대 랭크: 슈베르트 세포

행 사다리꼴은 슈베르트 세포에 대한 구체적인 설명을 제공하는 데 사용될 수 있으며, 이는 벡터 공간의 k차원 부분 공간의 그라스만 다양체와 관련이 있다.

만약 j=k \le n이면, 행렬 A \in A(k, n, L_1, \dots, L_k)는 최대 랭크 k를 가지며, 자유 K-모듈 V:=K^n의 k차원 부분 공간 w \subset V를 다음과 같이 결정한다.

: w= \text{span}\{W_1, \dots, W_k\}

선형 결합

: W_i := \sum_{l=1}^n A_{il} e_l, \quad i=1, \dots , k

기본 기저 벡터 (e_1, \dots, e_n)의 계수는 행 벡터와 같다. 이 경우, 아핀 공간 A(k, n, L_1, \dots, L_k)는 슈베르트 세포[8][9]

X_\lambda(\mathcal{V})로, 그라스만 다양체 \mathbf{Gr}_k(V)의 부분 공간으로, 정수 분할에 해당하는 V의 k차원 부분 공간으로 구성된다.

: \lambda = (\lambda_1 \ge \cdots \ge \lambda_k \ge 0)

부분은 다음과 같다.

: \lambda_i := n-k - L_i +i, \quad 1\le j \le k,

완전 깃발을 기준으로 한다.

: \mathcal{V}= (V_1 \subset V_2 \cdots \subset V_n = V),

여기서

: V_i = \text{span}\{e_1, \dots, e_i\}, \quad i =1, \dots n.

이는 X_\lambda(\mathcal{V}) \subset \mathbf{Gr}_k(V) 가 부분 공간 \{V_j\}_{j=1, \dots, n}과의 교차점이 차원을 갖는 V의 k차원 부분 공간 w \subset V로 구성됨을 의미한다.

: \text{dim}(w \cap V_{j}) = i, \ \text{for } n-k -\lambda_i +i \le j\le n-k -\lambda_{i+1} +i, \quad i=1, \dots , k.

그것의 차원은 분할의 가중치 |\lambda| = \sum_{i=1}^k \lambda_i 와 같다[8]

: \dim({X_\lambda(\mathcal{V})}) = |\lambda|.

슈베르트 세포 X_\lambda(\mathcal{V})에 대한 동등하지만 더 간단한 특징은 이중 완전 깃발을 사용하여 제공될 수 있다.

: \tilde{\mathcal{V}}= (\tilde{V}_1 \subset \tilde{V}_2 \cdots \subset \tilde{V}_n = V),

여기서

: \tilde{V}_i = \text{span}\{e_n, \dots, e_{n-i+1}\}, \quad i =1, \dots n.

그러면 X_\lambda(\mathcal{V}) \subset \mathbf{Gr}_k(V) 는 기저 (\tilde{W}_1, \dots, \tilde{W}_k)를 갖는 k차원 부분 공간 w \subset V로 구성되며, 그 요소는 다음과 같다.

: \tilde{W}_i \in \tilde{V}_{n- L_i +1}=\tilde{V}_{k+\lambda_i -i +1 }, \quad i=1, \dots, k

표준 기저와 관련하여 행 사다리꼴의 행 벡터 (W_k, \dots, W_1)인 부분 공간 \{\tilde{V}_{k+\lambda_i -i +1}\}_{i=1, \dots, k} 의 요소이며, 역순으로 작성된다.

참조

[1] 문서
[2] 문서
[3] 문서
[4] 간행물
[5] 간행물
[6] 서적 Linear Algebra: Theory and Applications https://books.google[...] Jones & Bartlett Publishers 2010-12-29
[7] 서적 Elementary Linear Algebra: Applications Version, 11th Edition https://books.google[...] Wiley Global Education 2013-10-23
[8] 서적 Young Tableaux. With Applications to Representation Theory and Geometry, Chapt. 9.4 Cambridge University Press
[9] 논문 Schubert Calculus American Mathematical Society
[10] 문서
[11] 간행물
[12] 간행물
[13] 웹인용 보관된 사본 http://www.ktword.co[...] 2017-05-31
[14] 웹사이트 https://ko.wikipedia[...]
[15] 웹사이트 http://navercast.nav[...]
[16] 문서
[17] 간행물
[18] 문서 행사다리꼴행렬 정의 "[[가우스 소거법#행사다리꼴행렬|행[...]
[19] 서적
[20] 인용 Gauss–Jordan reduction: a brief history Mathematical Association of America
[21] 문서
[22] 문서 행력식의 역사 "[[행렬식#역사|행력식의 역사]]"


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com