부분파 방법

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1. 개요
2. 전개
3. 위상 변화
4. 부분파 전개(평면파)
참조

1. 개요

부분파 방법은 산란 문제를 해결하기 위한 양자역학적 방법으로, 슈뢰딩거 방정식을 풀기 위해 부분파 가설 풀이를 사용한다. 이 방법은 입사 평면파를 구면 베셀 함수와 르장드르 다항식을 사용하여 부분파로 분해하고, 각 부분파의 산란 진폭을 계산하여 전체 산란 진폭과 단면적을 구하는 방식으로 진행된다. 부분파 방법은 특히 낮은 에너지에서 유용하며, 산란 위상 이동을 통해 산란 현상을 이해하는 데 기여한다.

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부분파 방법
개요
분야	양자역학
주제	산란 이론
설명	산란 문제를 푸는 기술
상세 내용
방법	산란 진폭을 각운동량의 고유 함수로 전개 각운동량 채널별로 분리하여 문제를 단순화
활용	핵물리학, 원자 물리학, 응집 물질 물리학 등 다양한 분야에서 활용
장점	복잡한 산란 문제를 단순화 각운동량에 대한 물리적 통찰력을 제공
단점	높은 에너지에서는 수렴성이 떨어질 수 있음 비탄성 산란에는 적용이 어려울 수 있음

2. 전개

파수 $k=\sqrt{2mE}/\hbar$ 를 가지고 $z$ 방향으로 움직이는 입사 평면파 파동 함수 $\langle\mathbf r|\phi\rangle=\exp(\mathrm ikz)$ 가 원점 근처에 국한된 구면 대칭 퍼텐셜 $V(r)$ 에 의하여 $|\psi\rangle$ 으로 산란된다고 하자.

: $(H_0+V)|\psi\rangle=E|\psi\rangle$ .

퍼텐셜은 원점 근처에 국한되어 있으므로, 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 파동 함수는 진공 슈뢰딩거 방정식을 따른다.

: $-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(r,\theta,\phi)=0$

구면좌표계에서 진공 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 해는 다음과 같은 구면 베셀 함수 $j_l(x)$ , $y_l(x)$ 와 구면 조화 함수 $Y_l^m(\theta,\phi)$ 의 곱들의 선형결합이다.

: $\psi(r,\theta,\phi)=\sum_{l,m}B_l^mj_l(kr)Y_l^m(\theta,\phi)+C_l^m ki^{l+1}\left(j_l(kr)+iy_l(kr)\right)Y_l^m(\theta,\phi)$ .

여기서 $B_l^m$ 과 $C_l^m$ 은 미지의 계수이다.

'''레일리 공식'''(Rayleigh formula^영어)에 따라,

: $\phi(r,\theta,\phi)=\exp(ikr\cos\theta)=\sum_{l,m}i^l\sqrt{4\pi(2l+1)}j_l(kr)Y_l^0(\theta,\phi)$

이고,

: $ki^{l+1}\left(j_l(kr)+iy_l(kr)\right)\approx\exp(ikr)/r$ ( $kr\gg 1$ )

은 산란된 구면파를 나타내므로, 평면파의 산란을 나타내기 위해서는 다음과 같은 경계 조건을 부여하여야 한다.

: $B_l^m=\sqrt{4\pi(2l+1)}\delta_{m0}$ .

따라서

: $\psi(r,\theta,\phi)=\sum_{l,m}\sqrt{4\pi(2l+1)}\delta_{m0}j_l(kr)Y_l^0(\theta,\phi)+C_l^mki^{l+1}\left(j_l(kr)+iy_l(kr)\right)Y_l^m(\theta,\phi)$

이다. 여기서 각각의 $C_l^m i^{l+1}\left(j_l(kr)+iy_l(kr)\right)Y_l^m(\theta,\phi)$ 성분을 '''부분파'''라고 하고, $C_l^m$ 을 '''부분파 산란 진폭'''이라고 한다.

'''부분파 방법'''은 퍼텐셜 근처에서의 슈뢰딩거 방정식을 위와 같은 가설 풀이를 대입하여 푸는 것이다. 이렇게 하여 부분파 산란 진폭 $C_l^m$ 을 구하면 그 총 산란 진폭 $f(\theta,\phi)$ 는

: $f(\theta,\phi)=\sum_{l,m}C_l^mY_l^m(\theta,\phi)$

와 같이 주어진다. 이로부터 총 산란 단면적 $\sigma$ 와 미분 단면적 $d\sigma/d\Omega$ 를 다음과 같이 구할 수 있다.

: $\sigma=\oint|f|^2\,d\Omega=\sum_{l,m}|C_l^m|^2$

: $\frac{d\sigma(\theta,\phi)}{d\Omega}=\sum_{l',m'}\sum_{l,m}C_l^mY_l^m(\theta,\phi)(C_{l'}^{m'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi))^*$ .

다음 설명은 기본적인 산란 이론을 소개하는 정형적인 방식을 따른다. 입자의 정상적인 빔이 단거리 구형 대칭 포텐셜 $V(r)$ 에 의해 산란되는데, 이는 장거리 $r \to \infty$ 에서 입자가 자유 입자처럼 행동하도록 한다. 원칙적으로, 모든 입자는 파동 묶음으로 묘사되어야 하지만, 파동 묶음은 평면파로 전개될 수 있고, 이것이 수학적으로 더 간단하기 때문에, 우리는 대신 ''z'' 축을 따라 이동하는 평면파 $\exp(ikz)$ 의 산란을 설명한다. 빔이 입자가 산란 포텐셜과 상호작용하는 시간보다 훨씬 더 오랜 시간 동안 켜져 있기 때문에, 정상 상태가 가정된다. 이는 입자 빔을 나타내는 파동 함수 $\Psi(\mathbf r)$ 에 대한 정상 슈뢰딩거 방정식을 풀어야 함을 의미한다.

: $\left[-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(r)\right] \Psi(\mathbf r) = E\Psi(\mathbf r).$

다음과 같은 안자츠를 사용한다.

: $\Psi(\mathbf r) = \Psi_0(\mathbf r) + \Psi_\text{s}(\mathbf r),$

여기서 $\Psi_0(\mathbf r) \propto \exp(ikz)$ 는 입사 평면파이고, $\Psi_\text{s}(\mathbf r)$ 는 원래 파동 함수를 교란시키는 산란 부분이다.

관심 있는 것은 $\Psi_\text{s}(\mathbf r)$ 의 점근적인 형태인데, 산란 중심(예: 원자핵) 근처의 관측은 대부분 실행 가능하지 않고, 입자 검출은 원점에서 멀리 떨어진 곳에서 일어나기 때문이다. 장거리에서 입자는 자유 입자처럼 행동해야 하므로, $\Psi_\text{s}(\mathbf r)$ 은 자유 슈뢰딩거 방정식의 해가 되어야 한다. 이는 물리적으로 의미 없는 부분을 제외하고 평면파와 유사한 형태를 가질 수 있음을 시사한다. 따라서, 평면파 전개를 조사한다.

: $e^{ikz} = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell j_\ell(k r) P_\ell(\cos \theta).$

구형 베셀 함수 $j_\ell(kr)$ 는 점근적으로 다음과 같이 행동한다.

: $j_\ell(kr) \to \frac 1 {2ikr} \big(\exp[i(kr-\ell\pi/2)] - \exp[-i(kr-\ell\pi/2)]\big).$

이는 발산하는 구면파와 입사하는 구면파에 해당한다. 산란 파동 함수의 경우, 발산하는 부분만 예상된다. 따라서, 우리는 $\Psi_\text{s}(\mathbf r) \propto \exp(ikr) / r$ 을 장거리에서 예상하고, 산란 파동의 점근적인 형태를 다음과 같이 설정한다.

: $\Psi_\text{s}(\mathbf r) \to f(\theta, k) \frac{\exp(ikr)}{r},$

여기서 $f(\theta, k)$ 는 소위 ''산란 진폭''이며, 이 경우에는 고도각 $\theta$ 와 에너지에만 의존한다.

결론적으로, 이것은 전체 파동 함수에 대한 다음과 같은 점근적 표현을 제공한다.

: $\Psi(\mathbf r) \to \Psi^{(+)}(\mathbf r) = \exp(ikz) + f(\theta, k) \frac{\exp(ikr)}{r}.$

구면 대칭 전위 $V(\mathbf r) = V(r)$ 의 경우, 산란 파동 함수는 구면 조화 함수로 전개될 수 있으며, 방위각 대칭성( $\phi$ 에 의존하지 않음) 때문에 르장드르 다항식으로 축소된다.

: $\Psi(\mathbf r) = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{u_\ell(r)}{r} P_\ell(\cos\theta).$

표준 산란 문제에서 입사 빔은 파수 k를 갖는 평면파의 형태를 취하는 것으로 가정하며, 이는 구면 베셀 함수 및 르장드르 다항식을 사용하여 평면파 전개로 부분파로 분해될 수 있다.

: $\psi_\text{in}(\mathbf r) = e^{ikz} = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell j_\ell(kr) P_\ell(\cos \theta).$

여기서 z축이 빔 방향과 일치하는 구면 좌표계를 가정했다. 이 파동 함수의 방사형 부분은 구면 베셀 함수로만 구성되며, 이는 두 개의 구면 행켈 함수의 합으로 다시 쓸 수 있다.

: $j_\ell(kr) = \frac{1}{2} \left(h_\ell^{(1)}(kr) + h_\ell^{(2)}(kr)\right).$

이것은 물리적 의미를 갖는다. $h_\ell^{(2)}$ 는 점근적으로(즉, 큰 r에 대해) $i^{-(\ell+1)}e^{ikr}/(kr)$ 로 동작하므로 발산파이고, $h_\ell^{(1)}$ 는 점근적으로 $i^{\ell+1}e^{-ikr}/(kr)$ 로 동작하므로 입사파이다. 입사파는 산란의 영향을 받지 않지만 발산파는 '''부분파 S-행렬 요소''' S_ℓ라고 하는 인자에 의해 수정된다.

: $\frac{u_\ell(r)}{r} \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \frac{i^\ell k}{\sqrt{2 \pi}} \left(h_\ell^{(1)}(k r) + S_\ell h_\ell^{(2)}(k r)\right),$

여기서 $u_{\ell}(r)/r$ 는 실제 파동 함수의 방사형 성분이다. 산란 위상 이동 δ_ℓ는 S_ℓ의 위상의 절반으로 정의된다.

: $S_\ell = e^{2 i \delta_\ell}.$

플럭스가 손실되지 않으면 |S_ℓ| = 1이고, 따라서 위상 이동은 실수이다. 이는 전위가 다른 반응 채널로 인한 손실을 시뮬레이션하기 위해 현상학적 모델에서 자주 사용되는 허수 흡수 성분을 갖지 않는 한 일반적으로 그렇다.

따라서 전체 점근적 파동 함수는

: $\psi(\mathbf r) \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell \frac{h_\ell^{(1)}(k r) + S_\ell h_\ell^{(2)}(k r)}{2} P_\ell(\cos \theta).$

ψ_in을 빼면 점근적 발산 파동 함수가 생성된다.

: $\psi_\text{out}(\mathbf r) \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell \frac{S_\ell - 1}{2} h_\ell^{(2)}(k r) P_\ell(\cos \theta).$

구면 행켈 함수의 점근적 거동을 사용하면

: $\psi_\text{out}(\mathbf r) \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \frac{e^{i k r}}{r} \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{S_\ell - 1}{2 i k} P_\ell(\cos \theta).$

산란 진폭 f(θ, k)가 다음과 같이 정의되므로

: $\psi_\text{out}(\mathbf r) \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \frac{e^{i k r}}{r} f(\theta, k),$

다음이 된다.

: $f(\theta, k) = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{S_\ell - 1}{2 i k} P_\ell(\cos \theta) = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{e^{i \delta_\ell} \sin\delta_\ell}{k} P_\ell(\cos \theta),$

따라서 미분 단면적은 다음과 같다.

: $\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta, k)|^2 = \frac{1}{k^2} \left| \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) e^{i\delta_\ell} \sin \delta_\ell P_\ell(\cos \theta) \right|^2.$

이것은 모든 단거리 상호 작용에 적용된다. 쿨롱 상호 작용과 같은 장거리 상호 작용의 경우, ℓ에 대한 합이 수렴하지 않을 수 있다. 이러한 문제에 대한 일반적인 접근 방식은 쿨롱 문제를 단거리 상호 작용과 별도로 처리하는 것으로, 쿨롱 문제는 이 문제에서 행켈 함수의 역할을 하는 쿨롱 함수를 사용하여 정확하게 해결할 수 있다.

2. 1. 레일리 공식

입사 빔이 파수 k를 갖는 평면파 형태를 취한다고 가정하고, 이를 구면 베셀 함수 및 르장드르 다항식을 사용하여 부분파로 분해할 수 있다.

:

e^{ikz} = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell j_\ell(k r) P_\ell(\cos \theta).

여기서 z축은 빔 방향과 일치하는 구면 좌표계를 가정한다.

j_l(kr)

는 구면 베셀 함수,

P_l (\cos \theta)

는 르장드르 다항식이다. 이 파동 함수의 방사형 부분은 구면 베셀 함수로만 구성되며, 이는 두 개의 구면 행켈 함수의 합으로 표현할 수 있다.

:

j_\ell(kr) = \frac{1}{2} \left(h_\ell^{(1)}(kr) + h_\ell^{(2)}(kr)\right).

이 식에서

h_\ell^{(2)}

는 발산파,

h_\ell^{(1)}

는 입사파를 나타낸다.

평면파

e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}

는 다음과 같이 부분파 전개할 수 있다.

:

e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} = e^{ikr \cos \theta} = \sum_{l=0}^{\infty} (2l + 1) i^l j_l(kr) P_l (\cos \theta)

이것을 "레일리의 공식"이라고 부른다. 이는 르장드르 다항식이 완전계인 것 등에서 도출할 수 있다.

2. 2. 부분파 방법

슈뢰딩거 방정식을 풀기 위해 부분파 가설 풀이를 이용하고, 이를 통해 부분파 산란 진폭을 구하는 방법을 부분파 방법이라고 한다.

파수

k=\sqrt{2mE}/\hbar

를 가지고

z

방향으로 움직이는 입사 평면파 파동 함수

\langle\mathbf r|\phi\rangle=\exp(\mathrm ikz)

가 원점 근처에 국한된 구면 대칭 퍼텐셜

V(r)

에 의하여

|\psi\rangle

으로 산란된다고 가정한다. 이 때, 퍼텐셜은 원점 근처에 국한되어 있으므로, 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 파동 함수는 진공 슈뢰딩거 방정식을 따른다.

진공 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 해는 구면 베셀 함수

j_l(x)

,

y_l(x)

와 구면 조화 함수

Y_l^m(\theta,\phi)

의 곱들의 선형결합으로 주어진다.

:

\psi(r,\theta,\phi)=\sum_{l,m}B_l^mj_l(kr)Y_l^m(\theta,\phi)+C_l^m ki^{l+1}\left(j_l(kr)+iy_l(kr)\right)Y_l^m(\theta,\phi)

.

여기서

B_l^m

과

C_l^m

은 미지의 계수이다.

레일리 공식(Rayleigh formula^영어)에 따라 입사 평면파는 다음과 같이 전개된다.

:

\phi(r,\theta,\phi)=\exp(ikr\cos\theta)=\sum_{l,m}i^l\sqrt{4\pi(2l+1)}j_l(kr)Y_l^0(\theta,\phi)

kr\gg 1

일 때,

ki^{l+1}\left(j_l(kr)+iy_l(kr)\right)\approx\exp(ikr)/r

은 산란된 구면파를 나타내므로, 평면파의 산란을 위해서는 다음과 같은 경계 조건이 필요하다.

:

B_l^m=\sqrt{4\pi(2l+1)}\delta_{m0}

.

따라서 파동 함수는 다음과 같이 표현된다.

:

\psi(r,\theta,\phi)=\sum_{l,m}\sqrt{4\pi(2l+1)}\delta_{m0}j_l(kr)Y_l^0(\theta,\phi)+C_l^mki^{l+1}\left(j_l(kr)+iy_l(kr)\right)Y_l^m(\theta,\phi)

여기서 각각의

C_l^m i^{l+1}\left(j_l(kr)+iy_l(kr)\right)Y_l^m(\theta,\phi)

성분을 '''부분파'''라고 하고,

C_l^m

을 '''부분파 산란 진폭'''이라고 한다.

부분파 방법은 퍼텐셜 근처에서의 슈뢰딩거 방정식을 위와 같은 가설 풀이를 대입하여 부분파 산란 진폭

C_l^m

을 구하는 방법이다. 총 산란 진폭

f(\theta,\phi)

는 다음과 같이 주어진다.

:

f(\theta,\phi)=\sum_{l,m}C_l^mY_l^m(\theta,\phi)

총 산란 단면적

\sigma

와 미분 단면적

d\sigma/d\Omega

는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

\sigma=\oint|f|^2\,d\Omega=\sum_{l,m}|C_l^m|^2

:

\frac{d\sigma(\theta,\phi)}{d\Omega}=\sum_{l',m'}\sum_{l,m}C_l^mY_l^m(\theta,\phi)(C_{l'}^{m'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi))^*

.

입자의 빔이 단거리 구형 대칭 포텐셜

V(r)

에 의해 산란될 때, 장거리에서 입자는 자유 입자처럼 행동한다. 정상 상태를 가정하고, 입자 빔을 나타내는 파동 함수

\Psi(\mathbf r)

에 대한 정상 슈뢰딩거 방정식을 풀면 다음과 같다.

:

\left[-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(r)\right] \Psi(\mathbf r) = E\Psi(\mathbf r).

이때, 다음과 같은 안자츠(Ansatz)를 사용한다.

:

\Psi(\mathbf r) = \Psi_0(\mathbf r) + \Psi_\text{s}(\mathbf r),

\Psi_0(\mathbf r) \propto \exp(ikz)

는 입사 평면파이고,

\Psi_\text{s}(\mathbf r)

는 산란 부분이다.

장거리에서 입자는 자유 입자처럼 행동하므로,

\Psi_\text{s}(\mathbf r)

은 자유 슈뢰딩거 방정식의 해가 되어야 한다. 산란 파동 함수의 경우, 발산하는 부분만 예상되므로,

\Psi_\text{s}(\mathbf r) \propto \exp(ikr) / r

을 장거리에서 예상하고, 산란 파동의 점근적인 형태를 다음과 같이 설정한다.

:

\Psi_\text{s}(\mathbf r) \to f(\theta, k) \frac{\exp(ikr)}{r},

여기서

f(\theta, k)

는 산란 진폭이며, 고도각

\theta

와 에너지에만 의존한다.

결과적으로, 전체 파동 함수에 대한 점근적 표현은 다음과 같다.

:

\Psi(\mathbf r) \to \Psi^{(+)}(\mathbf r) = \exp(ikz) + f(\theta, k) \frac{\exp(ikr)}{r}.

구면 대칭 전위

V(\mathbf r) = V(r)

의 경우, 산란 파동 함수는 구면 조화 함수로 전개될 수 있으며, 방위각 대칭성 때문에 르장드르 다항식으로 축소된다.

:

\Psi(\mathbf r) = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{u_\ell(r)}{r} P_\ell(\cos\theta).

표준 산란 문제에서 입사 빔은 파수 를 갖는 평면파 형태를 가지며, 구면 베셀 함수 및 르장드르 다항식을 사용하여 부분파로 분해될 수 있다.

:

\psi_\text{in}(\mathbf r) = e^{ikz} = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell j_\ell(kr) P_\ell(\cos \theta).

여기서 축이 빔 방향과 일치하는 구면 좌표계를 가정한다. 이 파동 함수의 방사형 부분은 구면 베셀 함수로만 구성되며, 이는 두 개의 구면 행켈 함수의 합으로 표현 가능하다.

:

j_\ell(kr) = \frac{1}{2} \left(h_\ell^{(1)}(kr) + h_\ell^{(2)}(kr)\right).

입사파는 산란의 영향을 받지 않지만 발산파는 '''부분파 S-행렬 요소''' 에 의해 수정된다.

:

\frac{u_\ell(r)}{r} \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \frac{i^\ell k}{\sqrt{2 \pi}} \left(h_\ell^{(1)}(k r) + S_\ell h_\ell^{(2)}(k r)\right),

여기서 는 실제 파동 함수의 방사형 성분이다. 산란 위상 이동 는 의 위상의 절반으로 정의된다.

:

S_\ell = e^{2 i \delta_\ell}.

플럭스가 손실되지 않으면 has been transcluded; see mw:Help:Magic words#Escaped characters for details. To fix this, use only the code to generate the | character.}}

''S_ℓ'' has been transcluded; see mw:Help:Magic words#Escaped characters for details. To fix this, use only the code to generate the | character.}}

has been transcluded; see mw:Help:Magic words#Escaped characters for details. To fix this, use only the code to generate the = character.}}

1}}이고, 따라서 위상 이동은 실수이다.

전체 점근적 파동 함수는 다음과 같다.

:

\psi(\mathbf r) \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell \frac{h_\ell^{(1)}(k r) + S_\ell h_\ell^{(2)}(k r)}{2} P_\ell(\cos \theta).

을 빼면 점근적 발산 파동 함수가 생성된다.

:

\psi_\text{out}(\mathbf r) \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell \frac{S_\ell - 1}{2} h_\ell^{(2)}(k r) P_\ell(\cos \theta).

구면 행켈 함수의 점근적 거동을 사용하면

:

\psi_\text{out}(\mathbf r) \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \frac{e^{i k r}}{r} \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{S_\ell - 1}{2 i k} P_\ell(\cos \theta).

산란 진폭 가 다음과 같이 정의되므로

:

\psi_\text{out}(\mathbf r) \stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} \frac{e^{i k r}}{r} f(\theta, k),

다음과 같은 결과를 얻는다.

:

f(\theta, k) = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{S_\ell - 1}{2 i k} P_\ell(\cos \theta) = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{e^{i \delta_\ell} \sin\delta_\ell}{k} P_\ell(\cos \theta),

따라서 미분 단면적은 다음과 같다.

:

\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta, k)|^2 = \frac{1}{k^2} \left| \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) e^{i\delta_\ell} \sin \delta_\ell P_\ell(\cos \theta) \right|^2.

쿨롱 상호 작용과 같은 장거리 상호 작용의 경우, 에 대한 합이 수렴하지 않을 수 있다. 이 경우, 쿨롱 문제는 쿨롱 함수를 사용하여 별도로 처리한다.

2. 3. 산란 진폭과 단면적

입자의 정상적인 빔이 단거리 구형 대칭 포텐셜 $V(r)$에 의해 산란되는 상황을 고려한다. 장거리에서 입자는 자유 입자처럼 행동하며, $z$축을 따라 이동하는 평면파 $\exp(ikz)$의 산란을 설명한다. 이 때, 정상 상태를 가정하고 슈뢰딩거 방정식을 푼다.

전체 파동 함수에 대한 점근적 표현은 다음과 같다.

$\Psi(\mathbf r) \to \Psi^{(+)}(\mathbf r) = \exp(ikz) + f(\theta, k) \frac{\exp(ikr)}{r}.$

여기서 $f(\theta, k)$는 산란 진폭이며, 고도각 $\theta$와 에너지에 의존한다.

구면 대칭 전위 $V(\mathbf r) = V(r)$의 경우, 산란 파동 함수는 구면 조화 함수로 전개될 수 있으며, 방위각 대칭성 때문에 르장드르 다항식으로 축소된다.

표준 산란 문제에서 입사 빔은 파수 $k$를 갖는 평면파 형태로 가정하며, 이는 구면 베셀 함수 및 르장드르 다항식을 사용하여 부분파로 분해될 수 있다.

$\psi_\text{in}(\mathbf r) = e^{ikz} = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell j_\ell(kr) P_\ell(\cos \theta).$

여기서 $z$축은 빔 방향과 일치하는 구면 좌표계를 가정한다. 이 파동 함수의 방사형 부분은 구면 베셀 함수로만 구성되며, 이는 두 개의 구면 행켈 함수의 합으로 다시 쓸 수 있다.

$j_\ell(kr) = \frac{1}{2} \left(h_\ell^{(1)}(kr) + h_\ell^{(2)}(kr)\right).$

입사파는 산란의 영향을 받지 않지만, 발산파는 부분파 S-행렬 요소 $S_\ell$에 의해 수정된다. 산란 위상 이동 $\delta_\ell$는 $S_\ell$의 위상의 절반으로 정의된다.

$S_\ell = e^{2 i \delta_\ell}.$

따라서 산란 진폭은 다음과 같이 표현된다.

$f(\theta, k) = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{S_\ell - 1}{2 i k} P_\ell(\cos \theta) = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{e^{i \delta_\ell} \sin\delta_\ell}{k} P_\ell(\cos \theta).$

미분 단면적은 다음과 같다.

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta, k)|^2 = \frac{1}{k^2} \left| \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) e^{i\delta_\ell} \sin \delta_\ell P_\ell(\cos \theta) \right|^2.$

이것은 모든 단거리 상호 작용에 적용된다. 쿨롱 상호 작용과 같은 장거리 상호 작용의 경우, $\ell$에 대한 합이 수렴하지 않을 수 있다. 이러한 문제에 대한 일반적인 접근 방식은 쿨롱 문제를 단거리 상호 작용과 별도로 처리하는 것이다.

2. 4. 낮은 에너지에서의 근사

퍼텐셜의 크기가 대략

a

라고 할 때,

V(r)

는 다음과 같은 형태를 가진다.

:

V(r)\approx\begin{cases}0&r>a\\\infty&r

이 경우,

\psi(r=a,\theta,\phi)\approx0

이므로 다음과 같은 경계 조건이 주어진다.

:

0\approx\sum_{l,m}\sqrt{4\pi(2l+1)}\delta_{m0}j_l(ka)Y_l^0(\theta,\phi)+C_l^mki^{l+1}\left(j_l(ka)+iy_l(ka)\right)Y_l^m(\theta,\phi)

.

이에 따라,

:

C_l^m\approx-\frac{\sqrt{4\pi(2l+1)}\delta_{m0}j_l(ka)}{ki^{l+1}\left(j_l(ka)+iy_l(ka)\right)}

이다.

입사 파동 함수의 에너지

E=\hbar^2k^2/2m

가 퍼텐셜의 크기에 비해 매우 작다고 가정하면, 즉,

:

ka\ll 1

:

E\ll\frac{\hbar^2}{2ma^2}

라고 하면,

:

j_l(x)\propto x^l

(

x\ll 1

)

:

y_l(x)\propto x^{-l-1}

(

x\ll 1

)

이므로,

:

C_l^m\propto a(ka)^{2l}

이다. 따라서

ka\ll1

이므로

l=0

인 항이 다른 항보다 매우 크다. 즉, 매우 작은 에너지에서는

l,m=0

인 부분파만 고려하면 된다.

3. 위상 변화

부분파 진폭 $C^l_m$ 은 일반적으로 $C^l_m=\sqrt{4\pi}\exp(i\delta^l_m)\sin\delta^l_m$ 형태로 표현된다. 여기서 $\delta^l_m$ 은 $(l,m)$ 부분파의 위상 변화(phase shift^영어)라고 한다.

구면 대칭 전위 $V(\mathbf r) = V(r)$ 에서, 산란 파동 함수는 구면 조화 함수로 전개될 수 있으며, 방위각 대칭성 때문에 르장드르 다항식으로 축소된다.

표준 산란 문제에서 입사 빔은 파수 를 갖는 평면파 형태로 가정하며, 구면 베셀 함수 및 르장드르 다항식을 사용하여 평면파 전개로 부분파로 분해될 수 있다.

입사파는 산란의 영향을 받지 않지만, 발산파는 부분파 S-행렬 요소 에 의해 수정된다. 산란 위상 이동 는 의 위상의 절반으로 정의된다. 즉, $S_\ell = e^{2 i \delta_\ell}$ 이다.

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1}}이고, 따라서 위상 이동은 실수이다. 이는 전위가 다른 반응 채널로 인한 손실을 시뮬레이션하기 위해 현상학적 모델에서 자주 사용되는 허수 흡수 성분을 갖지 않는 한 일반적으로 그렇다.

산란 진폭 는 $f(\theta, k) = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{S_\ell - 1}{2 i k} P_\ell(\cos \theta) = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \frac{e^{i \delta_\ell} \sin\delta_\ell}{k} P_\ell(\cos \theta)$ 와 같이 표현된다.

따라서 미분 단면적은 $\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta, k)|^2 = \frac{1}{k^2} \left| \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) e^{i\delta_\ell} \sin \delta_\ell P_\ell(\cos \theta) \right|^2$ 이다.

4. 부분파 전개(평면파)

표준 산란 문제에서 입사 빔은 파수 k를 갖는 평면파의 형태를 취하며, 이는 구면 베셀 함수 및 르장드르 다항식을 사용하여 부분파로 분해될 수 있다.

: $\psi_\text{in}(\mathbf r) = e^{ikz} = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) i^\ell j_\ell(kr) P_\ell(\cos \theta).$

여기서 z축은 빔 방향과 일치하는 구면 좌표계를 가정했다. 이 파동 함수의 방사형 부분은 구면 베셀 함수로만 구성되며, 이는 두 개의 구면 행켈 함수의 합으로 다시 쓸 수 있다.

: $j_\ell(kr) = \frac{1}{2} \left(h_\ell^{(1)}(kr) + h_\ell^{(2)}(kr)\right).$

h_ℓ⁽²⁾^영어는 점근적으로(즉, 큰 r에 대해) i^−(ℓ+1)e^ikr/(kr)^영어로 동작하므로 발산파이고, h_ℓ⁽¹⁾^영어는 점근적으로 i^ℓ+1e^−ikr/(kr)^영어로 동작하므로 입사파이다. 입사파는 산란의 영향을 받지 않지만 발산파는 '''부분파 S-행렬 요소''' S_ℓ}}라고 하는 인자에 의해 수정된다.

평면파 $e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}$ 는 다음과 같이 부분파 전개할 수 있다.

: $e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r$ ^영어 = e^{ikr \cos \theta} = \sum_{l=0}^{\infty} (2l + 1) i^l j_l(kr) P_l (\cos \theta)

여기서 $j_l(kr)$ 는 구면 베셀 함수, $P_l (\cos \theta)$ 는 르장드르 다항식이다. 이것을 "레일리의 공식"이라고 부른다.

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