셀베르그 클래스

3. 정의에 대한 보충 설명

μ_''i''의 실수부가 음수가 아니어야 한다는 조건은 μ_''i''가 음수일 때 리만 가설을 만족하지 않는 것으로 알려진 ''L''-함수가 있기 때문이다. 구체적으로, 라마누잔-페터슨 추측이 성립하고 함수 방정식을 갖지만 리만 가설을 만족하지 않는 예외적인 고유값을 갖는 마스 형식이 있다.^[12]

θ < 1/2 조건은 중요하다. θ = 1의 경우 영점이 임계선 위에 있지 않은 함수가 포함되기 때문이다.^[12]

$a\_n\; \backslash ll\_\backslash varepsilon\; n^\backslash varepsilon$ 조건이 없으면, 리만 가설을 위반하는 경우가 존재한다.

''a_n''은 곱셈적이며, 다음과 같다.

:$F\_p(s)=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_\{p^n\}\}\{p^\{ns\}\}\backslash text\{\; for\; Re\}(s)>0.$

4. 예시

셀베르그 클래스의 대표적인 예시는 리만 제타 함수이다.^[2] 또 다른 예시로는 모듈러 판별식 Δ의 ''L''-함수가 있는데, 다음과 같이 표현된다.

:$L(s,\backslash Delta)=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_n\}\{n^s\}$

여기서 $a\_n=\backslash tau(n)/n^\{11/2\}$이고, τ(''n'')은 라마누잔 타우 함수이다.^[3] 또한, ''F''가 셀베르그 클래스의 원소이고, χ가 원시 디리클레 문자이면,

:$F^\backslash chi(s)=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{\backslash chi(n)a\_n\}\{n^s\}$

로 정의되는 ''F''^χ도 셀베르그 클래스의 원소이다.

알려진 모든 예는 자동형 형식의 L-함수(automorphic L-function)이며, ''F_p''(''s'')의 역수는 유계 차수의 ''p''^−''s''에 대한 다항식이다.^[4][15]

5. 기본 성질

리만 제타 함수와 마찬가지로, 셀베르그 클래스 ''S''의 원소 ''F''는 감마 인자 γ(''s'')의 극점에서 발생하는 '''자명한 영점'''을 갖는다. ''F''의 다른 영점은 '''비자명한 영점'''이라고 하며, 이들은 모두 특정 띠 영역 안에 위치한다. 0 ≤ Im(''s'') ≤ ''T'' 범위에서 ''F''의 비자명한 영점의 개수를 ''N_F''(''T'')로 나타내면,^[6] 셀베르그는 다음과 같은 관계를 보였다.

:$N\_F(T)=d\_F\backslash frac\{T\backslash log(T+C)\}\{2\backslash pi\}+O(\backslash log\; T).$

여기서 ''d_F''는 ''F''의 '''차수''' (또는 '''차원''')라고 불리며, 다음과 같이 주어진다.^[7]

:$d\_F=2\backslash sum\_\{i=1\}^k\backslash omega\_i.$

''F'' = 1은 차수가 1보다 작은 ''S''에 속하는 유일한 함수임이 증명될 수 있다.

만약 ''F''와 ''G''가 셀베르그 클래스에 속한다면, 곱 ''FG''도 셀베르그 클래스에 속하며, 다음이 성립한다.

:$d\_\{FG\}=d\_F+d\_G.$

''S''에 속하는 함수 ''F'' ≠ 1은 ''F'' = ''F''₁''F''₂로 표현될 때, 여기서 ''F_i''는 ''S''에 속하며, ''F'' = ''F''₁ 또는 ''F'' = ''F''₂가 성립할 때 '''원시적'''이라고 한다. 만약 ''d_F'' = 1이면, ''F''는 원시적이다. ''S''의 모든 함수 ''F'' ≠ 1은 원시적 함수의 곱으로 나타낼 수 있다.

6. 셀베르그 추측

셀베르그는 ''S''에 있는 함수에 관해 다음과 같은 추측들을 제시했다.

• 추측 1: 모든 ''F'' in ''S''에 대해, 특정 조건을 만족하는 정수 ''n_F''가 존재하며, ''F''가 원시적일 때는 ''n_F'' = 1이다.
• 추측 2: 서로 다른 원시적 ''F'', ''F''′ ∈ ''S''에 대해, 특정 조건이 성립한다.
• 추측 3: ''F''가 특정 조건을 만족하고 χ가 원시 디리클레 지표이며, 특정 함수가 ''S''에 속한다면, 함수 ''F_i''^χ는 ''S''의 원시적 원소이다.
• ''S''에 대한 리만 가설: ''S''에 있는 모든 ''F''에 대해, ''F''의 비자명 영점은 모두 Re(''s'') = 1/2 선상에 위치한다.

6. 1. 추측 1

7. 셀베르그 추측의 결과

추측 1과 2는 ''F''가 ''s'' = 1에서 차수 ''m''의 극을 갖는다면, ''F''(''s'')/ζ(''s'')^''m''이 전체 함수임을 함축한다. 특히, 이들은 데데킨트 추측을 함축한다.^[23][9][19]

M. 람 무르티는 추측 1과 2가 아르틴 추측을 함축함을 보였다. 실제로, 무르티는 아르틴 L-함수가 유리수체의 가해 확장의 갈루아 군의 기약 표현에 대응하는 자동형 표현임을 보였으며, 이는 랑글란즈 추측이 예측한 바와 같다.^[24][10][20]

''S''의 함수들은 또한 소수 정리와 유사한 성질을 만족한다. 즉, ''F''(''s'')는 Re(''s'') = 1 선상에 영점을 갖지 않는다. 위에서 언급했듯이, 추측 1과 2는 ''S''에 있는 함수를 원시 함수로 유일하게 인수분해할 수 있음을 함축한다. 또 다른 결과는 ''F''의 원시성이 ''n_F'' = 1과 동치라는 것이다.^[25][11][21]

참조

_[1] 문서
_[2] 간행물
_[3] 간행물
_[4] 간행물
_[5] 학술 논문 On the structure of the Selberg class, VII. http://annals.math.p[...]
_[6] 문서
_[7] 문서
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_[9] 문서
_[10] 간행물
_[11] 간행물
_[12] 간행물
_[13] 서적 In Search of the Riemann Zeros: Strings, Fractal Membranes and Noncommutative Spacetimes American Mathematical Society
_[14] 간행물
_[15] 간행물
_[16] 문서
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_[25] 간행물