슈바르츠실트 반지름

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1. 개요
2. 역사
3. 슈바르츠실트 반지름 공식
- 3.1. 슈바르츠실트 반지름 유도
4. 슈바르츠실트 반지름에 의한 블랙홀 분류
5. 슈바르츠실트 반지름의 다른 쓰임
참조

1. 개요

슈바르츠실트 반지름은 1916년 카를 슈바르츠실트가 아인슈타인 방정식의 해를 구하면서 발견한 개념으로, 중력이 매우 강하여 빛조차 탈출할 수 없는 시공간 영역인 블랙홀의 경계를 나타내는 반지름이다. 슈바르츠실트 반지름은 물체의 질량에 비례하며, 질량이 클수록 반지름도 커진다. 이 반지름보다 작은 크기로 압축된 천체를 블랙홀이라고 부르며, 블랙홀은 질량에 따라 초대질량 블랙홀, 항성 블랙홀, 원시 블랙홀 등으로 분류된다. 슈바르츠실트 반지름은 시간 지연, 케플러 궤도, 컴프턴 파장 등 다양한 물리 현상과 관련되어 연구되며, 지구의 슈바르츠실트 반지름은 약 0.9cm이다.

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1916년 과학 - 슈바르츠실트 계량
슈바르츠실트 계량은 전하와 자하가 0인 정적이고 구면 대칭을 가지는 회전하지 않는 구형 별 또는 블랙홀을 나타내는 시공간의 계량으로, 아인슈타인 방정식의 해이며 블랙홀의 질량에 따라 사건 지평선을 가지는 특징을 보인다.
1916년 과학 - 1916년 12월 24일 일식
상대성이론 - 시공간
시공간은 시간과 공간을 4차원 연속체로 통합한 개념으로, 아인슈타인의 상대성이론에 따라 상대적이며, 일반 상대성이론에서는 중력을 시공간의 곡률로 설명하고, 현대 물리학과 우주론 연구에 필수적이다.
상대성이론 - 대응원리
대응 원리는 플랑크 상수가 0에 가까워지는 극한에서 양자역학이 고전역학으로 근사적으로 환원됨을 보이는 원리로서, 초기 양자역학 발전에 기여했으나 현대에는 유추적인 역할로 중요성이 감소하였지만, 고전역학과 양자역학의 수학적 대응 관계 연구를 통해 계승되고 있다.

슈바르츠실트 반지름
개요
블랙홀의 예술적 렌더링
정의	블랙홀의 사건 지평선의 반경
명명 유래	카를 슈바르츠실트
수식
공식	$r_s = rac{2GM}{c^2}$
변수 설명	r_s: 슈바르츠실트 반지름 G: 중력 상수 M: 블랙홀의 질량 c: 광속
참고	기하학적 단위계에서는 G와 c가 모두 1이므로, 수식이 r_s = 2M으로 간단해짐

2. 역사

1916년, 카를 슈바르츠실트는 회전하지 않는 구형 물체에 대한 아인슈타인 방정식의 해인 슈바르츠실트 계량을 발견하였다. 이 해는 r = 2M (슈바르츠실트 반지름)에서 미분가능하지 않은 특이점을 가졌다. 이 특이점의 의미에 대한 논쟁은 오랜 시간 동안 이어졌다. 자크 아다마르는 1922년 파리 회의에서 블랙홀이 실제로 존재할 수 있다고 주장한 반면, 알베르트 아인슈타인은 블랙홀의 존재를 부정했다.^[3]^[4]

1939년, 로버트 오펜하이머와 하틀랜드 스나이더는 티끌구름 모델을 통해 블랙홀이 유한한 시간 안에 형성될 수 있음을 증명했다. 그들은 광원뿔이 안쪽을 향하고, 신호가 밖으로 나갈 수 없음을 보였다.

18세기에 존 미첼^[6]과 피에르시몽 라플라스^[7]는 뉴턴 역학을 사용하여 탈출 속도가 빛의 속도와 같아지는 구형 대칭 물체의 반지름을 계산했다.

3. 슈바르츠실트 반지름 공식

카를 슈바르츠실트가 1916년에 발견한 슈바르츠실트 반지름은 다음 공식으로 표현된다.^[3]^[4]

: $r_s = \frac{2Gm}{c^2},$

: $r_s\!$ =슈바르츠실트 반지름, $G$ =중력 상수, $m$ =물체의 질량, $c$ =진공상태에서의 빛의 속도

이 공식에서 비례상수 $2G/c^2$ 는 약 1.48×10^-27 m/kg 또는 태양 질량( $M$ _☉) 기준 2.95 km/M_☉이다.

슈바르츠실트 반지름은 물체의 질량에 비례한다. 예를 들어 태양의 슈바르츠실트 반지름은 약 3km이고,^[8] 지구는 약 8.87mm이며,^[8] 달은 약 0.1mm이다.

다음은 여러 천체들의 슈바르츠실트 반지름, 질량, 실제 반지름, 슈바르츠실트 밀도를 나타낸 표이다.

물체의 슈바르츠실트 반지름
물체	질량 $M$ (kg)	슈바르츠실트 반지름 $\frac{2GM}{c^2}$ (m)	실제 반지름 $r$ (m)
은하수		()	()
피닉스 A의 초대질량 블랙홀 (가장 큰 블랙홀 중 하나)		(~2000 AU)
Ton 618		(~1300 AU)
NGC 4889의 초대질량 블랙홀		(~410 AU)
M87의 초대질량 블랙홀^[9]		(~130 AU)
안드로메다 은하의 초대질량 블랙홀^[10]		(3.3 AU)
궁수자리 A* (은하수의 초대질량 블랙홀)^[18]		(0.08 AU)
NGC 4395의 초대질량 블랙홀^[11]		(1.53 R_⊙)
HCN-0.009-0.044의 잠재적 중간 질량 블랙홀^[12]^[13]		(14.8 R_🜨)
GW190521 합병으로부터 생성된 중간 질량 블랙홀^[14]		(0.066 R_🜨)
태양
목성		2.82m
토성		8.42m
해왕성		1.52m
천왕성		1.29m
지구		8.87m
금성		7.21m
화성		9.47m
수성		4.87m
달		1.09m
인간	70 kg	1.04m	~5m
플랑크 질량		3.23m (2 l_P)	style="text-align:left;" \|

18세기에 존 미첼^[6]과 피에르시몽 라플라스는 뉴턴 역학을 사용하여 탈출 속도가 빛의 속도와 같아지는 구형 대칭 물체의 반지름을 계산했는데, 이는 슈바르츠실트 반지름 공식과 동일한 결과를 도출했다.^[7]

3. 1. 슈바르츠실트 반지름 유도

구형 고체 질량의 정지 에너지 크기와 중력 에너지가 같다는 점에서 슈바르츠실트 반지름을 유도할 수 있다.

:

M c^2 = \frac{2GM^2}{r}

따라서 슈바르츠실트 반지름은 다음과 같다.

:

r = \frac{2GM}{c^2}

1916년, 카를 슈바르츠실트는 아인슈타인의 중력장 방정식의 해를 통해, 매우 작고 무거운 별이 있다면 중심으로부터 특정 반지름의 구면 내에서는 곡률이 무한대가 되고, 빛조차 탈출할 수 없을 정도로 굴절되는 시공간 영역이 나타난다는 것을 발견했다. 그 반지름을 슈바르츠실트 반지름(Schwarzschild radius^영어) 또는 '''중력 반지름'''이라고 한다.

천체의 질량을 ''M'', 광속을 ''c'', 만유인력 상수를 ''G''라고 하면, 슈바르츠실트 반지름 ''r''_g는,

:

r_{\rm g} = {2GM \over c^2}

로 나타낼 수 있다.

뉴턴 역학에서도 다음과 같이 비슷한 결과를 얻을 수 있다.

질량 ''M'', 반지름 ''r''인 천체 표면에서의 탈출 속도 ''v''_esc를 생각해 보면, 에너지 보존 법칙에 의해

:

\frac{1}{2} mv_{\rm esc}^2 = G \frac{mM}{r}

이므로

:

v_{\rm esc} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

가 된다. 여기서 ''v''_esc = ''c''로 놓고, 탈출 속도가 광속 ''c''와 같아지는 시점의 천체 반지름 ''r''을 구하면 위와 같은 중력 반지름의 식을 얻을 수 있다. 실제로, 18세기 말 영국의 존 미첼과 프랑스의 라플라스는 이와 같이 생각하여, 어느 정도 이상 질량이 크고 반지름이 작은 별에서 방출된 빛은 별 밖으로 나갈 수 없다고 보았다.

하지만 뉴턴 역학에서 탈출 속도는 물체가 무한대까지 도달하는 데 필요한 초속도이므로, 결국 돌아온다면 일시적으로 유한한 거리까지는 날아갈 수 있다. 반면, 일반 상대성 이론의 해로서의 슈바르츠실트 반지름은 중력에 의한 곡률 왜곡이 커져서 발생하며, 이 반지름 밖으로는 잠시라도 나갈 수 없다는 차이가 있다. 슈바르츠실트는 슈바르츠실트 반지름을 곡률이 무한대가 되는 반지름으로 구했지만, 실제로는 좌표 선택에 따른 일종의 겉보기 특이점이고, 곡률이 무한대가 되는 것은 ''r'' = 0의 특이점이다.

4. 슈바르츠실트 반지름에 의한 블랙홀 분류

블랙홀은 슈바르츠실트 반지름을 기준으로 여러 유형으로 분류할 수 있다. 슈바르츠실트 반지름은 블랙홀의 질량을 슈바르츠실트 구의 부피로 나눈 밀도와도 관련이 있다. 슈바르츠실트 반지름은 질량에 선형적으로 비례하지만, 닫힌 부피는 반지름의 세제곱에 해당하므로, 작은 블랙홀은 큰 블랙홀보다 훨씬 높은 밀도를 가진다.

어떤 물체의 반지름이 슈바르츠실트 반지름보다 작으면 그 물체는 블랙홀이 된다. 회전하지 않는 블랙홀에서 슈바르츠실트 반지름 표면은 사건의 지평선 역할을 하며, 이 표면을 통해 빛이나 입자는 내부에서 탈출할 수 없다.^[8]

슈바르츠실트 반지름에 따른 블랙홀 분류
분류	대략적인 질량	대략적인 반지름
초대질량 블랙홀	10⁵–10¹¹ M_☉	0.002AU–2000AU
중간 질량 블랙홀	10³ M_☉	3000km ≈ R_화성
별 블랙홀	10 M_☉	30km
미니 블랙홀	최대 M_달	최대 0.1mm

물체의 슈바르츠실트 반지름
물체	슈바르츠실트 반지름 $\frac{2GM}{c^2}$	실제 반지름 $r$
은하수	()	()
피닉스 A의 초대질량 블랙홀 (가장 큰 블랙홀 중 하나)	(~2000AU)
Ton 618	(~1300AU)
NGC 4889의 초대질량 블랙홀	(~410AU)
M87의 초대질량 블랙홀^[9]	(~130AU)
안드로메다 은하의 초대질량 블랙홀^[10]	(3.3AU)
궁수자리 A* (은하수의 초대질량 블랙홀)^[18]	(0.08AU)
NGC 4395의 초대질량 블랙홀^[11]	(1.53R_sun)
HCN-0.009-0.044의 잠재적 중간 질량 블랙홀^[12]^[13]	(14.8R_earth)
GW190521 합병으로부터 생성된 중간 질량 블랙홀^[14]	(0.066R_earth)
태양	2.95m
목성	2.82m
토성	8.42m
해왕성	1.52m
천왕성	1.29m
지구	8.87m
금성	7.21m
화성	9.47m
수성	4.87m
달	1.09m
인간	1.04m
플랑크 질량	3.23m (2 l_P)	style="text-align:left;" \|

4. 1. 초대질량 블랙홀

만약 어떤 물체가 일반적인 밀도로 태양 질량의 1억 5천만 배로 축적되어 그 축적물이 슈바르츠실트 반지름 안으로 들어오게 된다면, 이를 '''초대질량 블랙홀'''(supermassive black hole)이라고 한다. 초대질량 블랙홀은 가장 큰 유형의 블랙홀이지만, 이러한 천체가 그렇게 간주되는 방법에 대한 공식적인 기준은 거의 없으며, 수십만에서 수십억 태양 질량 정도이다.^[15] 항성 질량 블랙홀과 달리 초대질량 블랙홀은 평균 밀도가 비교적 낮다.^[16] 초대질량 블랙홀의 평균 밀도는 물의 밀도보다 낮을 수 있다.

물체의 슈바르츠실트 반지름은 질량에 비례하며, 따라서 부피에 비례한다. 여기서 물체는 일정한 질량 밀도를 갖는다고 가정한다.^[16] 반대로, 물체의 물리적 반지름은 부피의 세제곱근에 비례한다. 따라서 물체가 주어진 고정 밀도(이 예에서는 kg/m³ 997, 즉 물의 밀도)로 물질을 축적함에 따라 슈바르츠실트 반지름은 물리적 반지름보다 더 빠르게 증가할 것이다. 이 밀도의 물체가 약 1억 3600만 태양 질량(1.36 × 10⁸ ''M''_☉)까지 성장하면, 물리적 반지름은 슈바르츠실트 반지름에 추월당하여 초대질량 블랙홀을 형성하게 된다.

이러한 초대질량 블랙홀은 별 무리의 단일 붕괴로부터 즉시 형성되지 않는 것으로 생각된다. 대신, 더 작은 항성 크기의 블랙홀로 시작하여 물질, 또는 다른 블랙홀의 강착을 통해 더 커질 수 있다.^[17]

우리 은하 중심의 초대질량 블랙홀은 블랙홀의 존재에 대해 신빙성 있는 관측에 의한 증거 중 하나이다. 실험에 의해 밝혀진 초대질량 블랙홀의 크기와 은하 팽대부(bulge)의 별의 분산속도(stellar velocity dispersion)인 σ 사이의 관계는 M-sigma relation이라 불린다. 궁수자리 A*의 슈바르츠실트 반지름은 약 1200만 킬로미터이다.^[18] 질량은 약 410만 태양 질량이다. 현재 그 크기가 180억 태양 질량에 달하는 초대질량 블랙홀(OJ 287)까지 관측되었다.

4. 2. 항성 블랙홀

핵 밀도(원자핵의 밀도로, 약 1018kg/m3이며, 중성자별 역시 이 밀도이다.)에서 물질이 약 3태양질량(M)으로 슈바르츠실트 반지름 내에서 축적된다면 이를 '''항성 블랙홀'''이라고 한다. 별 블랙홀은 초대질량 블랙홀보다 평균 밀도가 훨씬 더 높다.^[1] 만약 핵 밀도에서 물질을 축적한다면, 그러한 축적은 약 3태양질량(M)에서 자체 슈바르츠실트 반지름 내로 떨어지며, 따라서 별 블랙홀이 될 것이다.^[1]

4. 3. 원시 블랙홀 (미시 블랙홀)

작은 질량은 극도로 작은 슈바르츠실트 반지름을 갖는다. 에베레스트 산^[19]과 비슷한 질량의 블랙홀은 나노미터보다 훨씬 작은 슈바르츠실트 반지름을 가질 것이다.^[19] 해당 크기에서의 평균 밀도는 너무 높아 알려진 어떠한 메커니즘으로도 이처럼 극도로 콤팩트한 물체를 형성할 수 없다. 이러한 블랙홀은 물질의 밀도가 극도로 높았던 빅뱅 직후, 우주의 진화 초기 단계에서 형성될 수 있다. 그러므로 이러한 가상적인 소형 블랙홀을 원시 블랙홀이라고 부른다.

5. 슈바르츠실트 반지름의 다른 쓰임

슈바르츠실트 반지름은 다양한 분야에서 응용된다.

크고, 구형이며, 느리게 회전하는 물체 근처에서 중력적 시간 지연 현상은 슈바르츠실트 반지름을 사용하여 다음과 같이 근사할 수 있다.^[21]

: $\frac{t_r}{t} = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}$

여기서:

t|r^영어는 중력장 내의 반경 좌표 ''r''에 있는 관찰자에게 경과된 시간이다.
t^영어는 거대한 물체로부터 멀리 떨어진 관찰자(따라서 중력장 외부에 있는)에게 경과된 시간이다.
r^영어는 관찰자의 반경 좌표(이는 물체의 중심으로부터의 고전적인 거리와 유사하다)이다.
r|s^영어는 슈바르츠실트 반지름이다.

1959년 파운드와 레브카의 실험 결과는 일반 상대성 이론의 예측과 일치했다.^[21]

뉴턴 중력장에서 크고 느리게 회전하는 구형 물체 근처에서는 다음과 같은 슈바르츠실트 반지름을 적용할 수 있다.^[1]

:

\frac{g}{r_s} \left( \frac{r}{c} \right)^2 = \frac{1}{2}

::''g'' = 방사상의 위치 "r" 에서의 중력 가속도, ''r_s'' = 강하게 끌리는 중심부의 슈바르츠실트 반지름, ''r'' = 방사상의 위치, ''c'' = 진공에서의 빛의 속도

탈출 속도 ''v''_esc를 고려하면, 에너지 보존 법칙에 의해^[1]

:

\frac{1}{2} mv_{\rm esc}^2 = G \frac{mM}{r}

이므로

:

v_{\rm esc} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

가 된다. 여기서 ''v''_esc = ''c''로 놓고, 탈출 속도가 광속 ''c''와 같아지는 시점의 천체 반지름 ''r''을 구하면, 슈바르츠실트 반지름과 같은 식을 얻을 수 있다. 18세기 말 영국의 존 미첼과 프랑스의 라플라스는 이와 같은 고찰을 통해 빛이 별 밖으로 나갈 수 없는 천체를 예상했다.^[1]

중심부의 모든 원형 궤도에 대해 다음과 같은 식이 성립한다.

:

\frac{r}{r_s} \left( \frac{v}{c} \right)^2 = \frac{1}{2}

::

r\!

=궤도반지름,

r_s\!

=중력에 끌리는 중심부의 슈바르츠실트 반지름,

v\!

=궤도의 속도,

c\!

=진공에서의 빛의 속도,

이 식을 타원궤도로 일반화하면 다음과 같다.

:

\frac{a}{r_s} \left( \frac{2 \pi a}{c T} \right)^2 = \frac{1}{2}

::

a\!

=긴반지름(semi-major axis),

T\!

=주기

원궤도에 대한 케플러의 공식은 속도구간에서 시간 늘어짐 현상을 측정함으로써 원궤도에 대한 상대성이론의 공식을 일반화할 수 있다.

:

\frac{r}{r_s} \left( \frac{v}{c} \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \right)^2 = \frac{1}{2}

:

\frac{r}{r_s} \left( \frac{v}{c} \right)^2 \left(1 - \frac{r_s}{r} \right) = \frac{1}{2}

:

\left( \frac{v}{c} \right)^2 \left( \frac{r}{r_s} - 1 \right) = \frac{1}{2}.

이 최종 공식은 빛의 속도로 공전하는 물체는 슈바르츠실트 반지름의 1.5배만큼의 궤도반지름을 가진다는 것을 의미한다. 이는 광자구로 알려진 특별한 궤도이다.

주어진 질량에 해당하는 컴프턴 파장(

2\pi\hbar/M c

)과 슈바르츠실트 반지름(

2 G M/c^2

)은 플랑크 질량(

M=\sqrt{\hbar c/G}

) 정도의 질량에서 그 크기가 유사하며, 이때 둘 다 플랑크 길이(

\sqrt{\hbar G/c^3}

)와 비슷한 크기를 갖는다.^[20]^[22]

5. 1. 지구의 슈바르츠실트 반지름

지구를 슈바르츠실트 반지름 미만으로 압축시키면 반지름은 0.88cm이다. 이는 작은 견과류와 비슷한 크기이다.

5. 2. 중력에 의한 시간 늘어남 현상

크고, 구형이며, 느리게 회전하는 물체 근처에서 중력적 시간 지연 현상은 슈바르츠실트 반지름을 사용하여 다음과 같이 근사할 수 있다.^[21]

:

\frac{t_r}{t} = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}

여기서:

t|r^영어는 중력장 내의 반경 좌표 ''r''에 있는 관찰자에게 경과된 시간이다.
t^영어는 거대한 물체로부터 멀리 떨어진 관찰자(따라서 중력장 외부에 있는)에게 경과된 시간이다.
r^영어는 관찰자의 반경 좌표(이는 물체의 중심으로부터의 고전적인 거리와 유사하다)이다.
는 슈바르츠실트 반지름이다.

1959년 파운드와 레브카의 실험 결과는 일반 상대성 이론의 예측과 일치했다.^[21] 이 실험은 지구의 중력에 의한 시간 늘어남 현상을 통해 지구의 슈바르츠실트 반지름을 계산했다.

5. 3. 뉴턴 중력장에서의 슈바르츠실트 반지름

크고 느리게 회전하는 구형 물체 근처에서는 뉴턴의 중력장을 이용하여 다음과 같은 슈바르츠실트 반지름을 적용할 수 있다.^[1]

:

\frac{g}{r_s} \left( \frac{r}{c} \right)^2 = \frac{1}{2}

::''g'' = 방사상의 위치 "r" 에서의 중력 가속도, ''r_s'' = 강하게 끌리는 중심부의 슈바르츠실트 반지름, ''r'' = 방사상의 위치, ''c'' = 진공에서의 빛의 속도

예를 들어, 지구 표면에서는 다음과 같다.^[1]

:

\frac{9.80665 m/s^2}{8.870056 mm} \left( \frac{6375416 m}{299792458 m/s} \right)^2 = \left(1105.59 s^{-2} \right) \left(0.0212661 s\right)^2 = \frac{1}{2}.

슈바르츠실트 반지름 방정식을 변형하면 블랙홀을 형성하지 않는 입력 밀도에서 가능한 최대 반지름을 나타내는 식을 얻을 수 있다. 입력 밀도를 ρ라 하면,^[1]

:

r_\text{s} = \sqrt{\frac{3 c^{2}}{8 \pi G \rho}}.

예를 들어, 물의 밀도는 이다. 이는 블랙홀을 형성하지 않고 가질 수 있는 최대 양의 물의 반지름이 400,920,754 km (약 2.67 AU)임을 의미한다.^[1]

탈출 속도 ''v''_esc를 고려하면, 에너지 보존 법칙에 의해^[1]

:

\frac{1}{2} mv_{\rm esc}^2 = G \frac{mM}{r}

이므로

:

v_{\rm esc} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

가 된다. 여기서 ''v''_esc = ''c''로 놓고, 탈출 속도가 광속 ''c''와 같아지는 시점의 천체 반지름 ''r''을 구하면, 슈바르츠실트 반지름과 같은 식을 얻을 수 있다. 실제로 18세기 말 영국의 존 미첼과 프랑스의 라플라스는 이와 같은 고찰을 통해 빛이 별 밖으로 나갈 수 없는 천체를 예상했다.^[1]

5. 4. 케플러 궤도와 광자구

중심부의 모든 원형 궤도에 대해 다음과 같은 식이 성립한다.

:

\frac{r}{r_s} \left( \frac{v}{c} \right)^2 = \frac{1}{2}

::

r\!

=궤도반지름,

r_s\!

=중력에 끌리는 중심부의 슈바르츠실트 반지름,

v\!

=궤도의 속도,

c\!

=진공에서의 빛의 속도,

이 식을 타원궤도로 일반화하면 다음과 같다.

:

\frac{a}{r_s} \left( \frac{2 \pi a}{c T} \right)^2 = \frac{1}{2}

::

a\!

=긴반지름(semi-major axis),

T\!

=주기

원궤도에 대한 케플러의 공식은 속도구간에서 시간 늘어짐 현상을 측정함으로써 원궤도에 대한 상대성이론의 공식을 일반화할 수 있다.

:

\frac{r}{r_s} \left( \frac{v}{c} \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \right)^2 = \frac{1}{2}

:

\frac{r}{r_s} \left( \frac{v}{c} \right)^2 \left(1 - \frac{r_s}{r} \right) = \frac{1}{2}

:

\left( \frac{v}{c} \right)^2 \left( \frac{r}{r_s} - 1 \right) = \frac{1}{2}.

이 최종 공식은 빛의 속도로 공전하는 물체는 슈바르츠실트 반지름의 1.5배만큼의 궤도반지름을 가진다는 것을 의미한다. 이는 광자구로 알려진 특별한 궤도이다.

5. 5. 컴프턴 파장과의 관계

주어진 질량에 해당하는 컴프턴 파장(

2\pi\hbar/M c

)과 슈바르츠실트 반지름(

2 G M/c^2

)은 플랑크 질량(

M=\sqrt{\hbar c/G}

) 정도의 질량에서 그 크기가 유사하며, 이때 둘 다 플랑크 길이(

\sqrt{\hbar G/c^3}

)와 비슷한 크기를 갖는다.

:

r_s=\frac{2GM}{c^2}=\frac{2G}{c^3}Mc=\frac{2G}{c^3}P_0\Rightarrow\frac{2G}{c^3}\frac{\hbar}{2r}=\frac{\ell_P^2}{r}.

따라서,

r_s r\sim\ell^2_P

또는

\Delta r_s\Delta r\ge\ell^2_P

인데, 이는 플랑크 단위에서 하이젠베르크 불확정성 원리의 또 다른 형태이다. (가상 블랙홀 참고).^[20]^[22]

참조

_[1] 서적 Astronomy: a physical perspective https://archive.org/[...] Cambridge University Press 2003
_[2] 서적 Modern general relativity: black holes, gravitational waves, and cosmology Cambridge University Press 2019
_[3] 논문 Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie https://ui.adsabs.ha[...] 1916
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